第2.5节 实验：用单摆测量重力加速度（高效培优·讲义）物理人教版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中物理“用单摆测量重力加速度”实验，基于单摆周期公式T=2π√(l/g)，系统梳理摆长测量（悬线长加球半径）、周期测量（30-50次全振动计时取平均）、数据处理（公式法求平均与T²-l图像斜率计算g）及误差分析（摆角、圆锥摆等影响），构建从原理到操作再到分析的完整学习支架。 该资料以科学探究为主线，通过“目标导航-方法指导-避坑指南”引导实验规范，图像法处理数据培养科学推理能力，引入力传感器、磁场传感器等创新测量方式体现质疑创新。含高考真题及分层练习，课中辅助教师演示操作与误差分析，课后帮助学生巩固物理观念，通过基础到思维挑战的练习查漏补缺。

第2.5节 实验：用单摆测量重力加速度 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 实验：用单摆测量重力加速度 03 避坑指南·解题通法 角度01 用单摆测量重力加速度的大小 角度02 利用传感器测量重力加速度的大小 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.规范完成单摆组装、摆长测量操作 2.掌握多次全振动计时减小误差的方法 3.分析实验误差来源并提出修正方案 1.测周期要测30~50次全振动总时间取平均值 2.摆长需加上小球半径，摆动角度严格控制在小角度范围内 3.圆锥摆、摆线松动、空气阻力都会造成测量偏差 知识导图 考点01 实验：用单摆测量重力加速度 1、实验目的：利用单摆测定当地的重力加速度。 2、实验原理：当单摆摆角很小(小于5°)时，可看做简谐运动，其固有周期为T＝2π，得g＝，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加速度。 3、实验器材：铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺。 4、实验步骤 （1）让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆。 （2）将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂．在单摆平衡位置处做上标记。 （3）用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋。 （4）把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球．摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 （5）改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。 5、数据处理 （1）公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值． 设计如下所示实验表格 实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2) 1 g＝ 2 3 （2）图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵坐标，以l为横坐标作出T2－l图像(如图所示)．其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g. 6、误差分析 （1）系统误差：主要来自于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定，摆球和摆长是否符合要求，最大摆角是否不超过5°，是否在同一竖直平面内摆动等。 （2）偶然误差 ①主要来自于时间测量，测量时间时要求从摆球通过平衡位置开始计时，在记次数时不能漏记或多记。同时应多次测量，再对多次测量结果求平均值。 ②测长度和摆球直径时，读数也容易产生误差。秒表读数读到秒的十分位即可。 【深化点拨】 1．实验：用单摆测量重力加速度注意事项 （1）选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。 （2）摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。 （3）摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 （4）计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间。 （5）秒表的读数等于内侧分针的读数与外侧秒针的读数之和，当内侧分针没有超过半格时，外侧秒针读小于30的数字；超过半格时，外侧秒针读大于30的数字；机械式停表只能精确到0.1s，读数时不需估读。 2．秒表的使用和读数：秒表的读数等于内侧分针的读数与外侧秒针的读数之和。 注意：当内侧分针没有超过半格时，外侧秒针读小于30的数字．超过半格时，外侧秒针读大于30的数字．机械式停表只能精确到0.1s，读数时不需估读。 1．银川二中科学实验节中，某兴趣小组利用单摆测定银川当地的重力加速度，实验装置如图所示，下列说法正确的是（　　） A．在摆球通过最高点时开始计时，可减小单摆周期的测量误差 B．摆长等于摆线的长度加上摆球的半径 C．测量摆球通过最低点50次的时间为t，则单摆周期为 D．应选择质量、体积均较大的小球作为摆球 【答案】B 【详解】A．在摆球通过最低点时开始计时，可减小单摆周期的测量误差，故A错误； B．摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，故B正确； C．摆球相邻两次通过最低点的时间为半个周期，如果开始计时时为零次，通过最低点50次的时间为t，则单摆周期，故C错误； D．摆球选择质量大一些，体积小一些的小球作摆球，故D错误。 故选B。 2．（多选）在用单摆测重力加速度的实验中，以下的做法中正确的是（　　） A．测量摆长的方法：用刻度尺量出从悬点到摆球间的细线的长 B．测量周期时，从小球到达最低位置开始计时，摆球完成50次全振动时，及时停止计时，然后求出完成一次全振动的时间 C．要保证单摆自始至终在同一竖直平面内摆动 D．单摆振动时，应注意使它的偏角开始时不能小于5° 【答案】BC 【详解】A．测量摆长的方法：用刻度尺量出从悬点到摆球间的细线的长，然后测量小球的直径，单摆的摆长等于摆线的长度与小球的半径之和，故A错误； B．测量周期时，从小球到达最低位置开始计时，摆球完成50次全振动时，及时停止计时，然后求出完成一次全振动的时间，故B正确； C．实验时要保证单摆自始至终在同一竖直面内摆动，故C正确； D．单摆振动时，应注意使它的偏角开始时不能大于5°，故D错误。 故选BC。 3．某学习小组用如图甲所示装置进行“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)下列说法正确的有______（填标号）。 A．摆角要尽可能大 B．摆线应适当长些 C．摆球应选择密度大、体积小的实心金属小球 (2)如图甲，可在单摆悬点处安装力传感器，某同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，则单摆的周期为______（用字母表示）。 (3)在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长为，再用螺旋测微器测得摆球的直径为，则该单摆摆长的表达式为______（用所测物理量的字母表示）。 (4)根据已知的物理量，可得重力加速度的表达式为______（用字母、、表示）。 【答案】(1)BC (2) (3) (4) 【详解】（1）A．为减小实验误差，摆角要小于5°，故A错误； B．摆线适当长一些，故B正确； C．摆球选质量大体积小的，减小空气阻力，故C正确。 故选BC。 （2）由图可知，每次到最高点时绳子的拉力最小，故周期为 （3）摆长是从悬点至球心的距离，故 （4）由 得 4．用图甲所示装置做“探究单摆周期与摆长的关系”的实验。 (1)用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径，结果如图乙所示，可读出摆球的直径为________。 (2)实验时，摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置光敏电阻与激光光源，如图甲中所示，光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的周期为________。 (3)若把该装置放到正在匀加速上升的电梯中，用完全相同的操作重新完成实验，图像中将________（填“变大”“不变”或“变小”）。 【答案】(1)1.87 (2) (3)变小 【详解】（1）摆球的直径为 （2）由图可知，该单摆的周期为 （3）若把该装置放到正在匀加速上升的电梯中，则等效重力加速度变为 则用完全相同的操作重新完成实验，单摆的周期变小。 实验：用单摆测量重力加速度的综合应用及解题步骤 1.实验原理与数据处理：必须“掌握”图像法求 g 本实验的核心公式是单摆周期公式的变形：  。 基本计算：测出摆长L和周期 T，代入公式即可求出 g。 图像法（重点）：为了减小偶然误差，通常改变摆长 L，测出对应的周期T，作T2−L图像。 根据公式，图像应为一条过原点的直线。 斜率 k的含义： 。 求g：通过计算斜率k，可得 。 避坑点：注意坐标轴的物理量，如果是 L−T2图像，斜率则是，千万别搞反了。 2.摆长的测量：必须“算对”悬点到球心的距离 摆长L不等于绳长，这是最容易出错的地方。 正确测量：L=l线+r球。即从悬挂点量到细线末端（线长），再加上摆球的半径。 游标卡尺的使用：测量小球直径d时，要多次测量取平均值，半径 r=d/2。 误差分析：如果漏加了小球半径，导致L偏小，测得的g值也会偏小。 3.周期的测量与计数：必须“选对”计时起点（周期的测量直接决定实验精度，操作细节至关重要）。 （1）计时位置：必须在摆球经过平衡位置（最低点）时开始计时和停止计时。 原因：摆球在平衡位置速度最快，经过该点的时间极短，视觉判断误差最小。若在最高点计时，速度慢，很难精准捕捉瞬间。 （2）计数方法：采用“倒数计数法”或“全振动计数”。 当摆球经过平衡位置时按下秒表并记为“0”，以后每经过一次平衡位置记数加1（注意：经过2次才算1个周期 T），记到n次全振动（即经过2n次平衡位置）时停止。 周期T=t/n 。 （3）累积法：不要只测一次全振动，通常要测30~50次全振动的总时间 t，再求平均值，以减小反应时间带来的误差。 角度01 用单摆测量重力加速度的大小 1．某同学在利用直径为d的钢球做用单摆测当地重力加速度实验时，通过改变摆线长度，测得几组摆线长度l和对应周期T的数据，以T2为横轴，l为纵轴，作出的l-T2图像的斜率为k，则当地重力加速度g为（　　） A．4π2k B．4πk C．2π2k D．2πk 【答案】A 【详解】根据单摆的周期公式 解得 则斜率 解得g=4π2k 故选A。 2．（多选）某同学利用如图甲所示的单摆测量当地重力加速度g，他通过多次改变摆长L，并测出不同摆长对应的周期T，做出的图像如图乙所示。关于此实验，下列说法正确的是（　　） A．摆长一定的情况下，为减小误差，应尽量减小摆角 B．为减小误差，测周期时应从摆球到达最高点时开始计时 C．由图乙可得，当地重力加速度 D．图乙中图线延长线不过坐标原点的原因可能是将摆球的直径计入了摆长 【答案】AC 【详解】A．单摆在摆角小于5°时的运动是简谐运动，单摆的摆角不能太大，故A正确； B．为减小周期测量误差，测量周期时，应取摆球通过最低点开始计时，故B错误； C．根据 可得 代入图中数据可得，故C正确； D．根据图像可知L=0时周期不为零，所以不过坐标原点的原因可能是将摆线长当成了摆长，故D错误。 故选AC。 3．某同学用单摆测当地的重力加速度。由于实验室提供的刻度尺能测量的最大长度明显小于悬线的长度，因此该同学设计了如图甲所示的装置。悬线（长度一定）穿过薄木板上的小孔，一端悬于点，另一端系着小球，将薄木板水平固定，并保持悬线竖直。 (1)使小球在竖直面内做小角度的摆动，从小球经过最低点时开始计时，并记为1，此后小球依次经过最低点时分别记为2，3，…，记为时，小球运动的总时间为，则小球摆动的周期__________。（用、表示） (2)改变薄木板的高度重复实验，每次测量点到小孔的距离，测得对应每次小球摆动的周期。得到多组数据后，为更直观地得出结论，应绘制以为纵轴、__________（填“”“”或“”）为横轴的图像。 (3)若获得的图像如图乙所示，该图线斜率的绝对值为，则当地的重力加速度大小为__________。（用、表示） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）从第1次经过最低点开始计时，到第次经过最低点的过程中，小球经过最低点的间隔数为次，每经过一次全振动小球会2次经过最低点， 因此总全振动次数为。已知总计时时长为，可得周期 （2）设悬线的总固定长度为，当点到小孔的距离为，则此时单摆的实际摆长为时，有 整理得 为更直观地得出结论，应绘制以为纵轴、为横轴的图像。 （3）由上述推导的线性关系可知该图像的斜率绝对值 整理得当地的重力加速度大小 角度02 利用传感器测量重力加速度的大小 4．某学习小组的同学在实验室用图甲所示的装置研究单摆的运动。将单摆挂在力传感器的下端，通过力传感器测得单摆摆动过程中摆线受到拉力大小的变化情况如图乙。已知摆球的质量为m，则当地的重力加速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设单摆长度为，最大摆角为，设最低点速度为，从最高点到最低点过程中由动能定理得 解得 ① 最高点 ② 最低点 ③ 联立①②③得 故选B。 5．某小组利用如图甲所示的实验装置，测量当地的重力加速度，用长度为的细线将一小球悬挂于点，悬点处有一个拉力传感器，能测出细线的拉力大小。将小球由平衡位置拉开一定角度，然后由静止释放小球，根据拉力传感器的数据描绘出细线拉力随时间变化的图像，如图乙所示。 (1)下列关于实验操作以及器材选择的说法中，正确的是（     ） A．为了便于观察，摆球应拉开一个较大的角度然后释放 B．小球应选取质量大、体积小的金属球 C．摆线应选取细一些，长一些且弹性较好的线 (2)根据图乙可知，单摆的周期__________s； (3)在实验中通过多次改变细线长度并测出相应的周期，从而得出几组对应的与的数据，再以为纵坐标，为横坐标，将所得数据连成直线，理论上图像是一条过坐标原点的直线，但小组同学们根据实验数据作出的图像如图丙所示，请分析： ①造成图像不过坐标原点的原因是_____________； ②由图像求出的重力加速度__________。（取，结果保留3位有效数字） 【答案】(1)B (2)2 (3) 将绳长当作了摆长 9.86 【详解】（1）A．小球做单摆运动时，角度一般不超过，A错误； B．为避免空气阻力的影响，小球应选取质量大、体积小的金属球，B正确； C．摆线应选取细一些，长一些且无弹性的线，C错误。 故选B。 （2）根据单摆的运动规律，可知拉力相邻两次出现最大值的时间间隔为半个周期，结合图乙可知单摆的周期为 （3）[1][2]设小球的半径为，由单摆周期公式有 整理得 图像不过原点的原因是计算摆长时将摆线长度当作了摆长，结合图像信息可知斜率为 解得当地的重力加速度为 6．磁场传感器是一种电子设备，用于测量周围的磁场强度和方向。在智能手机中，磁场传感器通常采用霍尔效应或磁阻技术来实现。某学习小组用图甲装置测量当地重力加速度。 将细绳一端固定在点，另一端系一磁性小球（质量很大，体积很小），在摆球的正下方放置一手机。打开手机中测量磁感应强度的软件，调整手机位置使手机磁传感器恰好位于磁性小球的悬挂点正下方。用毫米刻度尺测出细绳悬挂点到摆球球心的长度； (1)使磁性小球做小角度摆动，手机呈现出沿轴方向磁感应强度随时间变化曲线。当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于最高点；当磁感应强度约为0时，小球所在位置为__________（选填“最低点”或“最高点”）。 (2)实验采集到磁感应强度随时间变化的图像如图乙，可知0s-20s内有_____个周期； (3)通过计算得到当地重力加速度大小为_____（取，结果保留三位有效数字）； (4)另一组同学多次改变摆长，根据测得数据，画出单摆周期平方与摆长的关系图线，发现其延长线未过原点，如图丙所示，原因可能是_____（选填正确选项前的字母）。 A．将摆线的长度作为摆长 B．将摆线的长度与小球直径的和作为摆长 C．将摆线的长度与小球半径的和作为摆长 【答案】(1)最低点 (2)10 (3)9.76 (4)B 【详解】（1）由题意可知，磁性小球位于最高点时x方向磁感应强度最大，说明此时小球在传感器侧上方，x方向磁分量显著；当小球运动到最低点时，恰好位于传感器正上方，x方向磁感应强度分量相互抵消，测量值约为0。 （2）单摆一个周期内会先后到达左、右两个最高点，对应图像中一正一负两个磁感应强度峰值。观察图乙，0~20s内共包含10组完整的正负峰值，对应10个完整的摆动周期。 （3）由图得单摆周期，已知摆长 根据单摆周期公式 变形得重力加速度： 代入、、 解得 （4）单摆真实周期与摆长的关系为，其中真实摆长为摆线长加小球半径 若将摆线长与小球直径之和作为摆长，即测量摆长 代入得，当时，与图丙中延长线与横轴正半轴相交的特征一致。 故选B。 【例1】（2026·湖南·高考真题）某同学借助视频分析软件进行“用单摆测量重力加速度”的实验，步骤如下： （1）准备好单摆，用支架将手机竖直放置。 （2）打开手机录像，将单摆拉离平衡位置4°摆角由静止释放。 （3）将录制的视频导入软件进行分析，得到摆球的v—t图像，拟合后如图1所示，可知此单摆的周期T为______s。 （4）如图2，用刻度尺测量单摆摆长，该同学将刻度尺竖直放置，刻度尺0刻度线与单摆悬点对齐，读出______（填“a”“b”或“c”）位置的读数，该读数即为摆长l。 （5）重力加速度g = ______（用题中给出的字母“T”和“l”表示）。 （6）该同学发现所得实验结果小于当地重力加速度，可能的原因是刻度尺0刻度线______（填“高于”或“低于”）悬点。 【答案】 低于 【详解】（3）[1]根据题意，由图1可知，单摆的周期为。 （4）[2]如图2，用刻度尺测量单摆摆长，该同学将刻度尺竖直放置，刻度尺0刻度线与单摆悬点对齐，应读出球心所在位置的读数，即位置的读数，该读数即为摆长。 （5）[3]由单摆周期公式 可得重力加速度 （6）[4]若该同学发现所得实验结果小于当地重力加速度，可知摆长测量值偏小，即刻度尺0刻度线低于悬点 【深化点拨】 （1）考查单摆 v-t 图像周期判断，速度完成一次完整周期性变化的时间就是单摆的振动周期，能从振动图像读取周期数值。 （2）考查单摆有效摆长测量规范，摆长定义为悬点到摆球球心的距离，测量时需要对准小球圆心位置读数。 （3）考查单摆测重力加速度的误差分析，测量的摆长偏大或偏小，会直接导致最终计算出的重力加速度结果出现偏差。 （4）考查单摆实验核心原理，依托单摆周期与摆长的对应关系推导重力加速度表达式，理解实验推导逻辑。 【变式1-1】（2025·海南·高考真题）小组用单摆测量重力加速度，装置如图。 (1)游标卡尺测得摆球直径，刻度尺测得摆线长，则摆长_____（保留四位有效数字）； (2)使摆线与竖直方向夹角为（），无初速度释放摆球，摆球位于_____选填：“最高点”或“最低点”）开始计时，记录摆球做次全振动，则单摆周期_____，由此测得当地重力加速度_____（取，保留三位有效数字）。 【答案】(1) (2) 最低点 1.80 【详解】（1）单摆的摆长为 （2）[1]为减小实验计时误差，需摆球经过最低点时开始计时； [2]单摆周期 [3]根据单摆周期公式 可得 代入数值得 【变式1-2】（2026·贵州·高考真题）如图，某同学居家设计简易单摆测量重力加速度。主要器材有：细线、金属球、卷尺、手机、挂衣架。 请完成下列步骤： （1）用卷尺测量金属球直径三次后得平均值。 （2）用卷尺测量摆线长度三次后得平均值。将金属球从平衡位置拉至一个偏角小于的位置并由静止释放，用手机秒表测量金属球20次全振动的时间。重复测量三次，得周期的平均值。 （3）改变摆线长度，重复步骤（2）。得、（、、）和的数据如下表： 110.10 42.43 42.25 42.38 2.12 100.37 40.43 40.50 40.38 90.23 38.62 38.38 38.50 1.93 计算上表中时的_____s。（保留三位有效数字） （4）根据重力加速度表达式_____（用、T、L和 表示），计算实验值。 （5）查询当地重力加速度，发现 的实验值偏小。为减小空气阻力引起的误差，应尽量选择质量_____（填“大”或“小”）、体积_____（填“大”或“小”）的摆球。 【答案】 2.02 大 小 【详解】（3）[1]金属球做20次全振动的时间为，则周期 当时，代入数据可得 （4）[2])根据单摆的周期公式 其中 则 可得重力加速度表达式为 （5）[3][4]为减小空气阻力引起的误差，应尽量选择质量大、体积小的摆球。 【变式1-3】（2025·浙江·高考真题）在用单摆测重力加速度的实验中， (1)如图1所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图2所示，则单摆的周期为___________s（结果保留3位有效数字）。乙同学利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光的时刻t，则单摆的周期为___________； (2)丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的关系图线，如图3所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度___________，小钢球重心到摆线下端的高度差___________；（结果均用k、b表示） (3)丁同学用3D打印技术制作了一个圆心角等于、半径已知的圆弧槽，如图4所示。他让小钢球在槽中运动，测出其运动周期，算出重力加速度为。若周期测量无误，则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是___________。 【答案】(1) 1.31 (2) (3)存在空气阻力，且小球不是纯平动而有滚动，导致实际测出的周期大于理想情况下的周期，导致g的测量值小于真实值。 【详解】（1）[1]单摆摆动过程中，在最低点绳子的拉力最大，相邻两次拉力最大的时间间隔为半个周期。从图2可知，从起始值到终止值经历的时间间隔 则有 解得 [2]由题可得 解得周期为 （2）[1]设小钢球重心到摆线下端的高度差为，则摆长为 根据单摆周期公式有 可得 变形得 可得图像的斜率为 解得 [2]当时，则有 解得小钢球重心到摆线下端的高度差 （3）略 ⚡基础速刷 1．下列悬挂单摆的装置中最合理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】单摆的悬线要求无弹性且粗细、质量可忽略，选择细丝线，摆球选择铁球可以减小空气阻力的影响，悬点必须用铁夹固定。 故选D。 2．如图所示是用单摆测定重力加速度的实验装置，测量多组摆长L和周期T，通过T2-L图像即能够测出g。关于该实验中的下列四个说法中正确的是（　　） A．在摆球放手的同时要启动停表进行计时 B．为便于观测，单摆摆动时的最大摆角越大越好 C．测量摆长时未计入小球半径，会导致测量值偏小 D．单摆摆动时应保持摆线在同一竖直平面内 【答案】D 【详解】A．在摆球放手后，等摆球摆动稳定时启动停表进行计时，选项A错误； B．单摆摆动时的最大摆角不超过5°，否则就不是简谐振动，选项B错误； C．根据 可得 通过图像的斜率可求解重力加速度g。若测量摆长时未计入小球半径，表达式变为 则T2-L图像的斜率不变，则g的测量值不变，选项C错误； D．单摆摆动时应保持摆线在同一竖直平面内，否则周期会改变，选项D正确。 故选D。 3．（多选）在“用单摆测量重力加速度”实验中，下列叙述正确的有（　　） A．摆线要选择长度在1m左右、伸缩性小的细线 B．摆球尽量选择质量大、体积小的金属球 C．为方便测量摆的周期，开始时拉开摆球，使摆角较大 D．从摆球到达最高点开始计时，测量周期的误差较小 【答案】AB 【详解】A．为减小实验误差，摆线要选择长度在1m左右、伸缩性小的细线，A正确； B．为减小空气阻力对实验的影响，摆球尽量选择质量大、体积小的，B正确； C．单摆的摆角小于5°时，视为简谐运动，实验时摆角不能太大，C错误； D．从摆球经过最低点开始计时，测量周期的误差较小，D错误。 故选AB。 4．某同学用单摆测定重力加速度，测得摆线长为l0，摆球直径为d，完成n次全振动所用时间为t。 (1)摆长L=______； (2)重力加速度g=______（用题中所给字母表示）； (3)若测量值g偏大，可能的原因是______（填字母）。 A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．开始计时时，秒表过早按下 C．摆线上端未牢固系于悬点，振动中出现松动 D．测n次全振动时间时，误将n+1次全振动计为n次 【答案】(1) (2) (3)A 【详解】（1）摆长 （2）周期为 根据 可得 （3）根据 A．测摆线长时摆线拉得过紧，则L偏大，g偏大，A正确； B．开始计时时，秒表过早按下，则T偏大，g偏小，B错误； C．摆线上端未牢固系于悬点，振动中出现松动，则摆长L变大，而计算时仍用原来的值计算，则g偏小，C错误； D．测n次全振动时间时，误将n+1次全振动计为n次，则T偏大，g偏小，D错误。 故选A。 5．智能手机内置许多传感器，某同学使用其中的光传感器，结合单摆原理测量当地的重力加速度。 (1)实验操作步骤如下： ① 用螺旋测微器测量小钢球的直径 d； ② 如左图所示，将细绳一端固定在O点，另一端系上小钢球，用毫米刻度尺测量出细绳的长度L； ③实验前，使手机的光感元件位于小钢球的正下方，打开手机中测量亮度的应用软件； ④ 使单摆摆动，每当小钢球经过最低点时，光感元件会采集到一个亮度的最小值。采集到亮度随时间变化的图像如右图所示，则单摆的周期T=_____s（保留两位有效数字）； (2)若该同学把 O 点到钢球中心的距离作为单摆摆长，则重力加速度的表达式可表示为：g=_________（用L、d、T 进行表示）； (3)关于实验操作，下列说法正确的是 A．尽量选择粗一些、长一些的摆线 B．尽量选择质量大、体积小的小球 C．单摆偏离平衡位置的角度尽量大一些 D．为使亮度变化更明显，应将小球涂黑 【答案】(1)2.0 (2) (3)B 【详解】（1）当小钢球经过最低点时，光感元件会采集到一个亮度的最小值，可知相邻两次亮度的最小值的时间为单摆的半个周期，由此可得单摆的周期为T=2.0s （2）由题意可知，单摆的摆长为 根据单摆的周期公式 解得 （3）A．该实验中，要选择细些的、伸缩性小些的摆线，长度要适当长一些，故A错误； B．该实验中，选择体积比较小，密度较大，质量较大的小球，故B正确； C．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置以内，角度过大则不能看作单摆，故C错误； D．小球过最低点时遮挡光线，与小球的颜色无关，故D错误。 故选B。 🚀能力跃升 6．在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，采用课本装置如图甲所示，用游标卡尺测得小钢球的直径如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．用游标卡尺测得小钢球的直径为18.30mm B．质量相同，体积不同的摆球，应选用体积较大的 C．单摆偏离平衡位置的角度要小些，单摆在摆角较小的情况下才做简谐运动 D．单摆偏离平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间作为单摆周期 【答案】C 【详解】A．用游标卡尺测得小钢球的直径，故A错误； B．质量相同，体积不同的摆球，应选用体积较小的，从而减小空气阻力带来的影响，故B错误； C．当摆角较小时，单摆才做简谐运动，则单摆偏离平衡位置的角度不能太大，一般不超过，故C正确； D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过次全振动后停止计时，求出平均周期，故D错误。 故选C。 7．在“用单摆测重力加速度的大小”实验中，小明作出摆线长L与周期T的图像如图所示，图像的斜率为k，则当地的重力加速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据单摆的周期公式 变形可得 根据图像的斜率可知 解得 故选A。 8．（多选）用单摆测定重力加速度，下列做法正确的是（　　） A．摆长的测量：让单摆自由下垂，用米尺量出摆线长L'，用游标卡尺量出摆球直径并算出半径r，则摆长L=L'+r B．实验中若把小球的直径作为半径代入计算，则会使重力加速度的测量值偏小 C．必须从摆球通过最高点时开始计时，测出单摆做几十次全振动所用的时间，算出周期的平均值T D．改变摆长重做几次实验，记录每次实验的摆长和对应的周期，建立T²-L图像，从而得出重力加速度值 【答案】AD 【详解】A．摆长的测量：让单摆自由下垂，用米尺量出摆线长，用游标卡尺量出摆球直径算出半径，则摆长 A正确； B．若把小球的直径作为半径，根据周期的公式 解得 可知由于L偏大，值偏大，B错误； C．应从摆球通过平衡位置时开始计时，测出单摆做几十次全振动所用的时间，算出周期的平均值，C错误； D．改变摆长重做几次实验，计算每次实验得到的周期，用图像计算重力加速度，D正确。 故选AD。 9．某同学用双线摆测当地的重力加速度，装置如图所示。用长为L的不可伸长的细线穿过球上过球心的V型小孔，细线两端固定在水平杆上的A、B两点。球的直径远小于细线长。 (1)使小球在垂直于AB的竖直平面内做小幅度摆动，小球经过最低点时开始计时并记为1，第 n次经过最低点时停止计时，总时长为t，则该双线摆的周期 ________（用 n、t表示），若A、B间距离为d，则等效摆长为___________（用L、d表示）； (2)改变细线的长度，细线的两端分别固定在A、B两点不变，多次重复实验，记录每次细线的长L及相应的周期T，为了能直观地看出物理量之间的关系，根据测得的多组L、T，应作出___________图像（填选项序号）； A． B． C． D． (3)若作出的图像为直线且斜率为k，则可求得当地的重力加速度。___________。（用π、k表示） 【答案】(1) (2)D (3) 【详解】（1）[1] 根据题意有 故双线摆的周期为 [2] 根据几何关系有 故等效摆长为 （2）根据单摆的周期公式有 又知等效摆长为 联立解得 所以，和是线性关系，为了能直观地看出物理量之间关系，根据测得的多组L、T数据，应作出的图像。 故选D。 （3） 由第二问得 根据线性函数关系有 联立解得，当地的重力加速度为 10．某同学利用在半径为R的光滑圆弧球面上做简谐运动的匀质小球来测定当地的重力加速度，实验装置如图1所示，在该实验条件下，小球在圆弧球面上的运动可视为单摆。 (1)该同学首先利用游标卡尺测量小球的直径，示数如图2所示，则小球的直径为______cm。 (2)该同学在圆弧球面下方安装了压力传感器，将小球从A点由静止释放后，压力传感器的示数变化如图3所示，则小球摆动的周期为______。 (3)下列说法不正确的是______。 A．小球摆动到最高点速度为零，加速度不为零 B．小球摆动过程中合力方向始终指向 C．最低点为平衡位置，此时合力为0 (4)根据已知的物理量，可得当地重力加速度g的表达式为______（用d、、R表示）。 (5)另一同学将光滑圆弧球面半径R当做小球等效单摆长度所测得g比真实重力加速度______（选填“偏大”“偏小”“正确”）。 【答案】(1) (2) (3)BC (4) (5)偏大 【详解】（1）由图可知该游标卡尺是20分度的，小球的直径为 （2）根据图3可知，小球摆动的周期 （3）A．小球摆动到最高点速度为零，此时受到的合力并不为零，所以加速度不为零，故A正确； B．小球摆动过程中既有指向圆心的向心加速度，也有沿切线方向的切向加速度，所以小球的加速度方向并不指向圆心，所以合力方向并不是始终指向，故B错误； C．最低点为平衡位置，此时具有竖直向上的向心加速度，所以此时合力提供向心加速度，合力并不为0，故C错误。 本题是选不正确的，故选BC。 （4）把小球的运动看作单摆运动，根据单摆周期公式可得小球的运动周期为，整理可得 （5）根据上面的分析可知，如果将光滑圆弧球面半径R当做小球等效单摆长度，则摆长偏大，则测得g比真实重力加速度偏大。 🌟思维挑战 11．用如图所示的双线摆来测重力加速度，轻质细线AC、BC的长度相等，下端均系在小球表面的点，上端分别悬挂在水平天花板的、两点，是AB的中点。当、两点的距离为，小球做小角度的摆动（摆动所在面与ABC所在的面垂直）时，20次全振动对应的总时间为；当、两点的距离为，小球做小角度的摆动（摆动所在面仍与ABC所在的面垂直）时，20次全振动对应的总时间为。下列说法正确的是（　　） A．AC与BC的夹角越大，重力加速度的测量误差越小 B．双线摆的等效摆长等于、两点间的距离 C．实验一定要测出小球的直径 D．当地的重力加速度为 【答案】D 【详解】A．双线摆的等效摆长等于悬点连线中点到球心的距离。当AC与BC的夹角越大，即A、B两点距离越大，等效摆长越短，周期越小。测量周期时，周期越大，相对误差越小，因此夹角越小误差越小，故A错误； B．双线摆的等效摆长等于悬点连线中点到球心的距离，而不是、两点间的距离，故B错误； C．设线长为，球半径为，A、B间距为，则等效摆长 根据 利用两次测量数据列方程组相减可消去，因此不需要半径数据，也就不需要测出小球直径，故C错误； D．设两次等效摆长分别为，周期分别为 由 得 两式相减得 根据几何关系 联立解得，故D正确。 故选D。 12．某同学遇到一个还未安装的超大排水管，管内壁光滑且为正圆形.他想通过实验间接测量管道的内径。实验器材有：铁架台、细线、摆球、秒表、刻度尺等。 (1)先在实验室测量当地的重力加速度g。 ①如图1所示，将细线的一端连接摆球，另一端固定在铁架台上的O点，然后将摆球拉离平衡位置，释放摆球，让其摆动，并用秒表记录时间。下列做法有助于减小实验误差的有( ) A、摆球选择半径较小、密度较大的                B、使摆角大一些，方便观察 C、让摆球尽量在同一竖直面内摆动                D、在摆球摆至最高点时开始计时 ②测得摆线长度为l条件下，摆球摆动30个完整周期的时间t，计算出单摆周期T。改变摆线长度重复实验，记录相关数据，在坐标纸上作出的图线为一条直线，如图2所示，可求得当地的重力加速度大小为______（取9.86，结果保留3位有效数字）。 ③本实验没有测量摆球直径，对测量结果______（选填“有”或“无”）影响。 (2)再测量排水管道的内径。排水管道水平放置，截面为圆形，内壁较光滑。先让小钢球停在管底，标记管底位置。再让小钢球从一个较小高度释放，开始滚动，小钢球第1次通过管底开始计时，小球第n次通过该点停止计时，记录的时间为t，可算出管道内径（直径）为______（用符号t、n、g表示）。 【答案】(1) AC/CA （9.50到9.80均可） 无 (2) 【详解】（1）[1] A．摆球选半径小、密度大的，可减小空气阻力的影响，故A正确； B．单摆测重力加速度的实验中，单摆只有摆角小于时才近似做简谐运动，摆角过大会偏离简谐运动，增大误差，故B错误； C．摆球需在同一竖直面内摆动，若变成圆锥摆会导致周期测量错误，故C正确； D．应在摆球经过最低点（速度最大，位置易判断）时计时，最高点速度小，计时误差大，故D错误。 故选AC。 [2]设小球半径为，根据单摆周期公式 整理得 因此图线的斜率 可得 [3]根据上述推导可知重力加速度只由图线的斜率决定，摆球半径只影响图线截距，不影响斜率，因此不测量摆球直径对结果无影响。 （2）小钢球在管道内做小角度摆动，等效为单摆，设管道内径为D，忽略钢球半径，等效摆长为 由题意得摆动周期 代入单摆周期公式 整理得 13．用图1所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验。 (1)组装单摆时，应该选用 。（用器材前的字母表示） A．长度为1m左右的细线 B．长度为30cm左右的细线 C．直径约为1.8cm的塑料球 D．直径约为1.8cm的钢球 (2)甲同学测量了6组数据，在坐标纸上描点作图得到了如图2所示的图像，其中T表示单摆的周期，L表示单摆的摆长。用g表示当地的重力加速度，图线的数学表达式可以写为T2=___________（用题目所给的字母表示）。由图像可计算出当地的重力加速度g=___________m/s2（取3.14，计算结果保留两位有效数字） (3)乙同学在实验中操作不当，使得摆球没有在一个竖直平面内摆动。他认为这种情况不会影响测量结果，所以他仍然利用所测得的运动周期根据单摆周期公式计算重力加速度。若将小球的实际运动看作是在水平面内的圆周运动，请通过推导，分析乙同学计算出的重力加速度与真实值相比是还是_________（选填“偏大”或“偏小”或“不变”）。 【答案】(1)AD (2) 9.9 (3)偏大 【详解】（1）AB．根据，为了减小摆长测量和周期测量的误差，摆线应选择长度为1m左右的细线，故A正确，B错误； CD．为了减小空气阻力的影响，摆球应选择密度大、体积小的钢球，故C错误，D正确。 故选AD。 （2）[1][2]根据单摆周期公式 可得 可知图像的斜率为 可得重力加速度为 （3）若将小球的实际运动看作是在水平面内的圆周运动，根据牛顿第二定律可得 解得 可知周期测量值偏小，根据，可知计算出的重力加速度与真实值相比偏大。 14．某实验小组进行“单摆测重力加速度”的实验装置如图1所示。 (1)用如图2所示方式测量摆长，已知悬点对齐零刻度，测得的摆长L=________cm。 (2)释放摆球，从摆球第1次经过平衡位置开始计时，第n次经过平衡位置结束计时，停表记录的时间为t，则单摆周期T=________（用t和n表示）。 (3)若小球形成了圆锥摆运动，则测得周期________（填“>”、“<”或“=”）实际值； (4)多次改变摆长L，测量对应的单摆周期T，用多组实验数据绘制得到如图3的T2-L图像，可知当地重力加速度g=________（用图3中字母表示）； (5)单摆可用于计时，当其位于不同地区时，有可能因g值不同产生偏差。为能方便快捷地重新调准，某同学设计了一装置如图4所示：劲度系数为k的轻质弹性细绳OB两端分别与地面、不可伸长的轻绳OA拴连，OA绕过光滑定滑轮拴连一质量为m的小球。操作步骤： ①托住小球上下移动，当OA、OB两绳都竖直且刚好伸直时，记下球心位置，在此位置固定一小孔卡口（可开合以释放、卡死摆线）；②释放小球，使摆线穿过卡口。待小球静止后闭合卡口，若令________s-2，则可使该摆球小角度摆动周期为2s。重新调准时，只需让小球停摆，打开卡口，待小球静止后再闭合卡口，重新让小球开始摆动即可。 【答案】(1)//// (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）如图2所示方式测量摆长，可由刻度尺上读出摆长 （2）从摆球第1次经过平衡位置开始计时，第n次经过平衡位置结束计时，停表记录的时间为t，则 所以单摆周期 （3）单摆的周期 圆锥摆运动 解得圆锥摆运动的周期 联立解得，故测得周期实际值。 （4）根据单摆的周期公式有 整理得 所以斜率 由图3可得斜率 联立解得当地重力加速度 （5）当OA、OB两绳都竖直且刚好伸直时，记下球心位置，在此位置固定一小孔卡口，此时轻质弹性细绳的弹力为零；释放小球，使摆线穿过卡口，待小球静止后闭合卡口，故单摆的摆长 单摆的周期 联立解得 所以 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2.5节 实验：用单摆测量重力加速度 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 实验：用单摆测量重力加速度 03 避坑指南·解题通法 角度01 用单摆测量重力加速度的大小 角度02 利用传感器测量重力加速度的大小 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.规范完成单摆组装、摆长测量操作 2.掌握多次全振动计时减小误差的方法 3.分析实验误差来源并提出修正方案 1.测周期要测30~50次全振动总时间取平均值 2.摆长需加上小球半径，摆动角度严格控制在小角度范围内 3.圆锥摆、摆线松动、空气阻力都会造成测量偏差 知识导图 考点01 实验：用单摆测量重力加速度 1、实验目的：利用单摆测定当地的重力加速度。 2、实验原理：当单摆摆角很小(小于5°)时，可看做简谐运动，其固有周期为T＝2π，得g＝，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加速度。 3、实验器材：铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺。 4、实验步骤 （1）让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆。 （2）将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂．在单摆平衡位置处做上标记。 （3）用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋。 （4）把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球．摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 （5）改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。 5、数据处理 （1）公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值． 设计如下所示实验表格 实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2) 1 g＝ 2 3 （2）图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵坐标，以l为横坐标作出T2－l图像(如图所示)．其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g. 6、误差分析 （1）系统误差：主要来自于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定，摆球和摆长是否符合要求，最大摆角是否不超过5°，是否在同一竖直平面内摆动等。 （2）偶然误差 ①主要来自于时间测量，测量时间时要求从摆球通过平衡位置开始计时，在记次数时不能漏记或多记。同时应多次测量，再对多次测量结果求平均值。 ②测长度和摆球直径时，读数也容易产生误差。秒表读数读到秒的十分位即可。 【深化点拨】 1．实验：用单摆测量重力加速度注意事项 （1）选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。 （2）摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。 （3）摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 （4）计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间。 （5）秒表的读数等于内侧分针的读数与外侧秒针的读数之和，当内侧分针没有超过半格时，外侧秒针读小于30的数字；超过半格时，外侧秒针读大于30的数字；机械式停表只能精确到0.1s，读数时不需估读。 2．秒表的使用和读数：秒表的读数等于内侧分针的读数与外侧秒针的读数之和。 注意：当内侧分针没有超过半格时，外侧秒针读小于30的数字．超过半格时，外侧秒针读大于30的数字．机械式停表只能精确到0.1s，读数时不需估读。 1．银川二中科学实验节中，某兴趣小组利用单摆测定银川当地的重力加速度，实验装置如图所示，下列说法正确的是（　　） A．在摆球通过最高点时开始计时，可减小单摆周期的测量误差 B．摆长等于摆线的长度加上摆球的半径 C．测量摆球通过最低点50次的时间为t，则单摆周期为 D．应选择质量、体积均较大的小球作为摆球 2．（多选）在用单摆测重力加速度的实验中，以下的做法中正确的是（　　） A．测量摆长的方法：用刻度尺量出从悬点到摆球间的细线的长 B．测量周期时，从小球到达最低位置开始计时，摆球完成50次全振动时，及时停止计时，然后求出完成一次全振动的时间 C．要保证单摆自始至终在同一竖直平面内摆动 D．单摆振动时，应注意使它的偏角开始时不能小于5° 3．某学习小组用如图甲所示装置进行“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)下列说法正确的有______（填标号）。 A．摆角要尽可能大 B．摆线应适当长些 C．摆球应选择密度大、体积小的实心金属小球 (2)如图甲，可在单摆悬点处安装力传感器，某同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，则单摆的周期为______（用字母表示）。 (3)在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长为，再用螺旋测微器测得摆球的直径为，则该单摆摆长的表达式为______（用所测物理量的字母表示）。 (4)根据已知的物理量，可得重力加速度的表达式为______（用字母、、表示）。 4．用图甲所示装置做“探究单摆周期与摆长的关系”的实验。 (1)用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径，结果如图乙所示，可读出摆球的直径为________。 (2)实验时，摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置光敏电阻与激光光源，如图甲中所示，光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的周期为________。 (3)若把该装置放到正在匀加速上升的电梯中，用完全相同的操作重新完成实验，图像中将________（填“变大”“不变”或“变小”）。 实验：用单摆测量重力加速度的综合应用及解题步骤 1.实验原理与数据处理：必须“掌握”图像法求 g 本实验的核心公式是单摆周期公式的变形：  。 基本计算：测出摆长L和周期 T，代入公式即可求出 g。 图像法（重点）：为了减小偶然误差，通常改变摆长 L，测出对应的周期T，作T2−L图像。 根据公式，图像应为一条过原点的直线。 斜率 k的含义： 。 求g：通过计算斜率k，可得 。 避坑点：注意坐标轴的物理量，如果是 L−T2图像，斜率则是，千万别搞反了。 2.摆长的测量：必须“算对”悬点到球心的距离 摆长L不等于绳长，这是最容易出错的地方。 正确测量：L=l线+r球。即从悬挂点量到细线末端（线长），再加上摆球的半径。 游标卡尺的使用：测量小球直径d时，要多次测量取平均值，半径 r=d/2。 误差分析：如果漏加了小球半径，导致L偏小，测得的g值也会偏小。 3.周期的测量与计数：必须“选对”计时起点（周期的测量直接决定实验精度，操作细节至关重要）。 （1）计时位置：必须在摆球经过平衡位置（最低点）时开始计时和停止计时。 原因：摆球在平衡位置速度最快，经过该点的时间极短，视觉判断误差最小。若在最高点计时，速度慢，很难精准捕捉瞬间。 （2）计数方法：采用“倒数计数法”或“全振动计数”。 当摆球经过平衡位置时按下秒表并记为“0”，以后每经过一次平衡位置记数加1（注意：经过2次才算1个周期 T），记到n次全振动（即经过2n次平衡位置）时停止。 周期T=t/n 。 （3）累积法：不要只测一次全振动，通常要测30~50次全振动的总时间 t，再求平均值，以减小反应时间带来的误差。 角度01 用单摆测量重力加速度的大小 1．某同学在利用直径为d的钢球做用单摆测当地重力加速度实验时，通过改变摆线长度，测得几组摆线长度l和对应周期T的数据，以T2为横轴，l为纵轴，作出的l-T2图像的斜率为k，则当地重力加速度g为（　　） A．4π2k B．4πk C．2π2k D．2πk 2．（多选）某同学利用如图甲所示的单摆测量当地重力加速度g，他通过多次改变摆长L，并测出不同摆长对应的周期T，做出的图像如图乙所示。关于此实验，下列说法正确的是（　　） A．摆长一定的情况下，为减小误差，应尽量减小摆角 B．为减小误差，测周期时应从摆球到达最高点时开始计时 C．由图乙可得，当地重力加速度 D．图乙中图线延长线不过坐标原点的原因可能是将摆球的直径计入了摆长 3．某同学用单摆测当地的重力加速度。由于实验室提供的刻度尺能测量的最大长度明显小于悬线的长度，因此该同学设计了如图甲所示的装置。悬线（长度一定）穿过薄木板上的小孔，一端悬于点，另一端系着小球，将薄木板水平固定，并保持悬线竖直。 (1)使小球在竖直面内做小角度的摆动，从小球经过最低点时开始计时，并记为1，此后小球依次经过最低点时分别记为2，3，…，记为时，小球运动的总时间为，则小球摆动的周期__________。（用、表示） (2)改变薄木板的高度重复实验，每次测量点到小孔的距离，测得对应每次小球摆动的周期。得到多组数据后，为更直观地得出结论，应绘制以为纵轴、__________（填“”“”或“”）为横轴的图像。 (3)若获得的图像如图乙所示，该图线斜率的绝对值为，则当地的重力加速度大小为__________。（用、表示） 角度02 利用传感器测量重力加速度的大小 4．某学习小组的同学在实验室用图甲所示的装置研究单摆的运动。将单摆挂在力传感器的下端，通过力传感器测得单摆摆动过程中摆线受到拉力大小的变化情况如图乙。已知摆球的质量为m，则当地的重力加速度为（　　） A． B． C． D． 5．某小组利用如图甲所示的实验装置，测量当地的重力加速度，用长度为的细线将一小球悬挂于点，悬点处有一个拉力传感器，能测出细线的拉力大小。将小球由平衡位置拉开一定角度，然后由静止释放小球，根据拉力传感器的数据描绘出细线拉力随时间变化的图像，如图乙所示。 (1)下列关于实验操作以及器材选择的说法中，正确的是（     ） A．为了便于观察，摆球应拉开一个较大的角度然后释放 B．小球应选取质量大、体积小的金属球 C．摆线应选取细一些，长一些且弹性较好的线 (2)根据图乙可知，单摆的周期__________s； (3)在实验中通过多次改变细线长度并测出相应的周期，从而得出几组对应的与的数据，再以为纵坐标，为横坐标，将所得数据连成直线，理论上图像是一条过坐标原点的直线，但小组同学们根据实验数据作出的图像如图丙所示，请分析： ①造成图像不过坐标原点的原因是_____________； ②由图像求出的重力加速度__________。（取，结果保留3位有效数字） 6．磁场传感器是一种电子设备，用于测量周围的磁场强度和方向。在智能手机中，磁场传感器通常采用霍尔效应或磁阻技术来实现。某学习小组用图甲装置测量当地重力加速度。 将细绳一端固定在点，另一端系一磁性小球（质量很大，体积很小），在摆球的正下方放置一手机。打开手机中测量磁感应强度的软件，调整手机位置使手机磁传感器恰好位于磁性小球的悬挂点正下方。用毫米刻度尺测出细绳悬挂点到摆球球心的长度； (1)使磁性小球做小角度摆动，手机呈现出沿轴方向磁感应强度随时间变化曲线。当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于最高点；当磁感应强度约为0时，小球所在位置为__________（选填“最低点”或“最高点”）。 (2)实验采集到磁感应强度随时间变化的图像如图乙，可知0s-20s内有_____个周期； (3)通过计算得到当地重力加速度大小为_____（取，结果保留三位有效数字）； (4)另一组同学多次改变摆长，根据测得数据，画出单摆周期平方与摆长的关系图线，发现其延长线未过原点，如图丙所示，原因可能是_____（选填正确选项前的字母）。 A．将摆线的长度作为摆长 B．将摆线的长度与小球直径的和作为摆长 C．将摆线的长度与小球半径的和作为摆长 【例1】（2026·湖南·高考真题）某同学借助视频分析软件进行“用单摆测量重力加速度”的实验，步骤如下： （1）准备好单摆，用支架将手机竖直放置。 （2）打开手机录像，将单摆拉离平衡位置4°摆角由静止释放。 （3）将录制的视频导入软件进行分析，得到摆球的v—t图像，拟合后如图1所示，可知此单摆的周期T为______s。 （4）如图2，用刻度尺测量单摆摆长，该同学将刻度尺竖直放置，刻度尺0刻度线与单摆悬点对齐，读出______（填“a”“b”或“c”）位置的读数，该读数即为摆长l。 （5）重力加速度g = ______（用题中给出的字母“T”和“l”表示）。 （6）该同学发现所得实验结果小于当地重力加速度，可能的原因是刻度尺0刻度线______（填“高于”或“低于”）悬点。 【深化点拨】 （1）考查单摆 v-t 图像周期判断，速度完成一次完整周期性变化的时间就是单摆的振动周期，能从振动图像读取周期数值。 （2）考查单摆有效摆长测量规范，摆长定义为悬点到摆球球心的距离，测量时需要对准小球圆心位置读数。 （3）考查单摆测重力加速度的误差分析，测量的摆长偏大或偏小，会直接导致最终计算出的重力加速度结果出现偏差。 （4）考查单摆实验核心原理，依托单摆周期与摆长的对应关系推导重力加速度表达式，理解实验推导逻辑。 【变式1-1】（2025·海南·高考真题）小组用单摆测量重力加速度，装置如图。 (1)游标卡尺测得摆球直径，刻度尺测得摆线长，则摆长_____（保留四位有效数字）； (2)使摆线与竖直方向夹角为（），无初速度释放摆球，摆球位于_____选填：“最高点”或“最低点”）开始计时，记录摆球做次全振动，则单摆周期_____，由此测得当地重力加速度_____（取，保留三位有效数字）。 【变式1-2】（2026·贵州·高考真题）如图，某同学居家设计简易单摆测量重力加速度。主要器材有：细线、金属球、卷尺、手机、挂衣架。 请完成下列步骤： （1）用卷尺测量金属球直径三次后得平均值。 （2）用卷尺测量摆线长度三次后得平均值。将金属球从平衡位置拉至一个偏角小于的位置并由静止释放，用手机秒表测量金属球20次全振动的时间。重复测量三次，得周期的平均值。 （3）改变摆线长度，重复步骤（2）。得、（、、）和的数据如下表： 110.10 42.43 42.25 42.38 2.12 100.37 40.43 40.50 40.38 90.23 38.62 38.38 38.50 1.93 计算上表中时的_____s。（保留三位有效数字） （4）根据重力加速度表达式_____（用、T、L和 表示），计算实验值。 （5）查询当地重力加速度，发现 的实验值偏小。为减小空气阻力引起的误差，应尽量选择质量_____（填“大”或“小”）、体积_____（填“大”或“小”）的摆球。 【变式1-3】（2025·浙江·高考真题）在用单摆测重力加速度的实验中， (1)如图1所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图2所示，则单摆的周期为___________s（结果保留3位有效数字）。乙同学利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光的时刻t，则单摆的周期为___________； (2)丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的关系图线，如图3所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度___________，小钢球重心到摆线下端的高度差___________；（结果均用k、b表示） (3)丁同学用3D打印技术制作了一个圆心角等于、半径已知的圆弧槽，如图4所示。他让小钢球在槽中运动，测出其运动周期，算出重力加速度为。若周期测量无误，则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是___________。 ⚡基础速刷 1．下列悬挂单摆的装置中最合理的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示是用单摆测定重力加速度的实验装置，测量多组摆长L和周期T，通过T2-L图像即能够测出g。关于该实验中的下列四个说法中正确的是（　　） A．在摆球放手的同时要启动停表进行计时 B．为便于观测，单摆摆动时的最大摆角越大越好 C．测量摆长时未计入小球半径，会导致测量值偏小 D．单摆摆动时应保持摆线在同一竖直平面内 3．（多选）在“用单摆测量重力加速度”实验中，下列叙述正确的有（　　） A．摆线要选择长度在1m左右、伸缩性小的细线 B．摆球尽量选择质量大、体积小的金属球 C．为方便测量摆的周期，开始时拉开摆球，使摆角较大 D．从摆球到达最高点开始计时，测量周期的误差较小 4．某同学用单摆测定重力加速度，测得摆线长为l0，摆球直径为d，完成n次全振动所用时间为t。 (1)摆长L=______； (2)重力加速度g=______（用题中所给字母表示）； (3)若测量值g偏大，可能的原因是______（填字母）。 A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．开始计时时，秒表过早按下 C．摆线上端未牢固系于悬点，振动中出现松动 D．测n次全振动时间时，误将n+1次全振动计为n次 5．智能手机内置许多传感器，某同学使用其中的光传感器，结合单摆原理测量当地的重力加速度。 (1)实验操作步骤如下： ① 用螺旋测微器测量小钢球的直径 d； ② 如左图所示，将细绳一端固定在O点，另一端系上小钢球，用毫米刻度尺测量出细绳的长度L； ③实验前，使手机的光感元件位于小钢球的正下方，打开手机中测量亮度的应用软件； ④ 使单摆摆动，每当小钢球经过最低点时，光感元件会采集到一个亮度的最小值。采集到亮度随时间变化的图像如右图所示，则单摆的周期T=_____s（保留两位有效数字）； (2)若该同学把 O 点到钢球中心的距离作为单摆摆长，则重力加速度的表达式可表示为：g=_________（用L、d、T 进行表示）； (3)关于实验操作，下列说法正确的是 A．尽量选择粗一些、长一些的摆线 B．尽量选择质量大、体积小的小球 C．单摆偏离平衡位置的角度尽量大一些 D．为使亮度变化更明显，应将小球涂黑 🚀能力跃升 6．在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，采用课本装置如图甲所示，用游标卡尺测得小钢球的直径如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．用游标卡尺测得小钢球的直径为18.30mm B．质量相同，体积不同的摆球，应选用体积较大的 C．单摆偏离平衡位置的角度要小些，单摆在摆角较小的情况下才做简谐运动 D．单摆偏离平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间作为单摆周期 7．在“用单摆测重力加速度的大小”实验中，小明作出摆线长L与周期T的图像如图所示，图像的斜率为k，则当地的重力加速度大小为（　　） A． B． C． D． 8．（多选）用单摆测定重力加速度，下列做法正确的是（　　） A．摆长的测量：让单摆自由下垂，用米尺量出摆线长L'，用游标卡尺量出摆球直径并算出半径r，则摆长L=L'+r B．实验中若把小球的直径作为半径代入计算，则会使重力加速度的测量值偏小 C．必须从摆球通过最高点时开始计时，测出单摆做几十次全振动所用的时间，算出周期的平均值T D．改变摆长重做几次实验，记录每次实验的摆长和对应的周期，建立T²-L图像，从而得出重力加速度值 9．某同学用双线摆测当地的重力加速度，装置如图所示。用长为L的不可伸长的细线穿过球上过球心的V型小孔，细线两端固定在水平杆上的A、B两点。球的直径远小于细线长。 (1)使小球在垂直于AB的竖直平面内做小幅度摆动，小球经过最低点时开始计时并记为1，第 n次经过最低点时停止计时，总时长为t，则该双线摆的周期 ________（用 n、t表示），若A、B间距离为d，则等效摆长为___________（用L、d表示）； (2)改变细线的长度，细线的两端分别固定在A、B两点不变，多次重复实验，记录每次细线的长L及相应的周期T，为了能直观地看出物理量之间的关系，根据测得的多组L、T，应作出___________图像（填选项序号）； A． B． C． D． (3)若作出的图像为直线且斜率为k，则可求得当地的重力加速度。___________。（用π、k表示） 10．某同学利用在半径为R的光滑圆弧球面上做简谐运动的匀质小球来测定当地的重力加速度，实验装置如图1所示，在该实验条件下，小球在圆弧球面上的运动可视为单摆。 (1)该同学首先利用游标卡尺测量小球的直径，示数如图2所示，则小球的直径为______cm。 (2)该同学在圆弧球面下方安装了压力传感器，将小球从A点由静止释放后，压力传感器的示数变化如图3所示，则小球摆动的周期为______。 (3)下列说法不正确的是______。 A．小球摆动到最高点速度为零，加速度不为零 B．小球摆动过程中合力方向始终指向 C．最低点为平衡位置，此时合力为0 (4)根据已知的物理量，可得当地重力加速度g的表达式为______（用d、、R表示）。 (5)另一同学将光滑圆弧球面半径R当做小球等效单摆长度所测得g比真实重力加速度______（选填“偏大”“偏小”“正确”）。 🌟思维挑战 11．用如图所示的双线摆来测重力加速度，轻质细线AC、BC的长度相等，下端均系在小球表面的点，上端分别悬挂在水平天花板的、两点，是AB的中点。当、两点的距离为，小球做小角度的摆动（摆动所在面与ABC所在的面垂直）时，20次全振动对应的总时间为；当、两点的距离为，小球做小角度的摆动（摆动所在面仍与ABC所在的面垂直）时，20次全振动对应的总时间为。下列说法正确的是（　　） A．AC与BC的夹角越大，重力加速度的测量误差越小 B．双线摆的等效摆长等于、两点间的距离 C．实验一定要测出小球的直径 D．当地的重力加速度为 12．某同学遇到一个还未安装的超大排水管，管内壁光滑且为正圆形.他想通过实验间接测量管道的内径。实验器材有：铁架台、细线、摆球、秒表、刻度尺等。 (1)先在实验室测量当地的重力加速度g。 ①如图1所示，将细线的一端连接摆球，另一端固定在铁架台上的O点，然后将摆球拉离平衡位置，释放摆球，让其摆动，并用秒表记录时间。下列做法有助于减小实验误差的有( ) A、摆球选择半径较小、密度较大的                B、使摆角大一些，方便观察 C、让摆球尽量在同一竖直面内摆动                D、在摆球摆至最高点时开始计时 ②测得摆线长度为l条件下，摆球摆动30个完整周期的时间t，计算出单摆周期T。改变摆线长度重复实验，记录相关数据，在坐标纸上作出的图线为一条直线，如图2所示，可求得当地的重力加速度大小为______（取9.86，结果保留3位有效数字）。 ③本实验没有测量摆球直径，对测量结果______（选填“有”或“无”）影响。 (2)再测量排水管道的内径。排水管道水平放置，截面为圆形，内壁较光滑。先让小钢球停在管底，标记管底位置。再让小钢球从一个较小高度释放，开始滚动，小钢球第1次通过管底开始计时，小球第n次通过该点停止计时，记录的时间为t，可算出管道内径（直径）为______（用符号t、n、g表示）。 13．用图1所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验。 (1)组装单摆时，应该选用 。（用器材前的字母表示） A．长度为1m左右的细线 B．长度为30cm左右的细线 C．直径约为1.8cm的塑料球 D．直径约为1.8cm的钢球 (2)甲同学测量了6组数据，在坐标纸上描点作图得到了如图2所示的图像，其中T表示单摆的周期，L表示单摆的摆长。用g表示当地的重力加速度，图线的数学表达式可以写为T2=___________（用题目所给的字母表示）。由图像可计算出当地的重力加速度g=___________m/s2（取3.14，计算结果保留两位有效数字） (3)乙同学在实验中操作不当，使得摆球没有在一个竖直平面内摆动。他认为这种情况不会影响测量结果，所以他仍然利用所测得的运动周期根据单摆周期公式计算重力加速度。若将小球的实际运动看作是在水平面内的圆周运动，请通过推导，分析乙同学计算出的重力加速度与真实值相比是还是_________（选填“偏大”或“偏小”或“不变”）。 14．某实验小组进行“单摆测重力加速度”的实验装置如图1所示。 (1)用如图2所示方式测量摆长，已知悬点对齐零刻度，测得的摆长L=________cm。 (2)释放摆球，从摆球第1次经过平衡位置开始计时，第n次经过平衡位置结束计时，停表记录的时间为t，则单摆周期T=________（用t和n表示）。 (3)若小球形成了圆锥摆运动，则测得周期________（填“>”、“<”或“=”）实际值； (4)多次改变摆长L，测量对应的单摆周期T，用多组实验数据绘制得到如图3的T2-L图像，可知当地重力加速度g=________（用图3中字母表示）； (5)单摆可用于计时，当其位于不同地区时，有可能因g值不同产生偏差。为能方便快捷地重新调准，某同学设计了一装置如图4所示：劲度系数为k的轻质弹性细绳OB两端分别与地面、不可伸长的轻绳OA拴连，OA绕过光滑定滑轮拴连一质量为m的小球。操作步骤： ①托住小球上下移动，当OA、OB两绳都竖直且刚好伸直时，记下球心位置，在此位置固定一小孔卡口（可开合以释放、卡死摆线）；②释放小球，使摆线穿过卡口。待小球静止后闭合卡口，若令________s-2，则可使该摆球小角度摆动周期为2s。重新调准时，只需让小球停摆，打开卡口，待小球静止后再闭合卡口，重新让小球开始摆动即可。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $