第二十五章 一元二次方程的6种特殊解法 专项课时练 2026--2027学年人教版九年级数学上册
2026-08-13
|
8页
|
529人阅读
|
7人下载
摘要：
**基本信息**
聚焦一元二次方程6种特殊解法，以方法体系为纲，构建从代数技巧到几何直观的知识逻辑链，突出转化思想与分类讨论的数学思维。
**专项设计**
|模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑|
|----|-----------|----------|----------|
|十字相乘法|7题/含二次项系数不为1示例|整系数方程快速因式分解|基于因式分解原理，拓展二次项系数非1情形|
|换元法|3题/降次转化示例|设辅助元将高次方程降次|体现转化思想，连接高次与基础方程|
|拆项分组法|3题/分组提公因式示例|拆分一次项后分组提取公因式|深化因式分解技巧，培养代数变形能力|
|绝对值结合|3题/区间分类示例|分类讨论去绝对值并验根|结合绝对值定义，强化分类讨论思维|
|分式换元法|4题/倒数结构示例|整体换元转化整式方程并验根|针对对称分式结构，渗透方程转化策略|
|赵爽弦图法|3题/面积构造示例|面积法构造图形求正根|融合几何直观，体现数学文化与数形结合|
内容正文：
第二十五章一元二次方程的6种特殊解法专项课时练
类型1 十字相乘法（最快因式分解法）
方法公式：
方法说明：适用于整系数一元二次方程，可快速拆分因式，同时适配二次项系数不为1的方程，是解方程最常用的速算技巧。
经典示例
1.
2.
3. 二次项系数不为1：
培优练习题
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
类型2 换元法（降次思想）
核心思想：通过设辅助未知数，将高次、复杂复合方程转化为基础一元二次方程，降次化简，体现数学转化思想。
例题示范
解方程：
解：设 ，原方程变形为 ，解得 。
当 时，，解得 ；
当 时，，解得 。
∴ 方程的解为 。
培优练习题
1.
2.
3.
类型3 拆项分组法
解题思路：拆分一次项，将四项式分组，分别提取公因式，再次合并整体公因式，完成因式分解解方程。
例题示范
解方程：
解：拆项分组：
提公因式：
合并公因式：
解得 。
培优练习题
1.
2.
3.
类型4 与绝对值符号相结合
解题思路：根据绝对值定义，划分自变量取值区间，分类讨论去掉绝对值符号，解方程后舍去区间外的增根。
例题示范
解方程：
① 当 时，方程化为 ，解得 （舍去）；
② 当 时，方程化为 ，解得 （舍去），；
综上，方程的解为 或 。
培优练习题
1.
2.
3.
类型5 与分式相结合（分式换元法）
解题思路：针对互为倒数、结构对称的复杂分式方程，整体换元简化结构，转化为整式方程求解，分式方程必须验根，舍去增根。
例题示范
解方程：
解：设 ，原方程可化为，
两边同乘得整式方程：，解得 。
经检验： 都是原分式方程的解。
当 时，，解得 ，验根成立；
当 时，，解得 ，验根成立。
∴ 原方程的解为 或 。
培优练习题
(1) 关于 的方程 ，设 ，写出化简后的整式方程；
(2)
(3)
(4)
类型6 与几何图形相结合（赵爽弦图构图法）
方法原理：源自《勾股圆方图注》，利用面积法构造大正方形、小正方形与矩形，通过几何面积关系求解一元二次方程正根，仅适用于 型方程。
经典示例
解方程 正根：构造4个长、宽的矩形，围成大正方形。
大正方形面积 ，边长为12，即 ，解得正根 。
(
S
4
)X+2 x
(
S
5
)X
(
S
3
) (
S
2
)
X+2
X X+2
图①
培优练习题
(1) 利用几何法求方程 的正根；
(2) 能否用几何法求 的正根？如果能，请直接画出图形，如果不能，请说明理由；
(3) 利用赵爽弦图几何法求方程 的正根。
参考答案与详细解析
类型1 十字相乘法 解析
① 解：
因式分解：
解得：
② 解：
因式分解：
解得：
③ 解：
因式分解：
解得：
④ 解：
因式分解：
解得：
⑤ 解：
因式分解：
解得：
⑥ 解：
因式分解：
解得：
⑦ 解：
因式分解：
解得：
类型2 换元法 解析
1. 解：设 ，原方程化为
因式分解得 ，解得 。
当 时，，得 ；
当 时，，得 。
综上：。
2. 解：设 ，原方程化为
解得 。
，解得 ；
，，无实数根。
综上：。
3. 解：设 ，原方程化为
解得 。
，得 ；
，得 。
综上：。
类型3 拆项分组法 解析
1. 解：
拆项：
分组：
提公因式：
解得：。
2. 解：
拆项：
分组：
提公因式：
解得：。
3. 解：
拆项：
分组：
提公因式：
解得：。
类型4 绝对值结合法 解析
1. 解：
① 当 时，方程化为
解得 ，均不满足 ，全部舍去；
② 当 时，方程化为
解得 ，均符合取值范围。
综上：。
2. 解：
① 当 时，方程化为 ，解得 ，均符合条件；
② 当 时，方程化为 ，解得根均不满足区间，舍去。
综上：。
3. 解：
① 当 时，，解得 ；
② 当 时，，解得 。
综上：。
类型5 分式换元法 解析
(1) 答案：
(2) 解：
设 ，方程化为 ，即 ，解得 。
时，，解得 ，验根成立；
时，，解得 ，验根成立。
综上：。
(3) 解：
设 ，得 ，解得 。
代回解得 ，验根均成立。
(4) 解：
设 ，解得 。
代回解得 ，验根均成立。
类型6 赵爽弦图几何法 解析
(1) 解：，变形得 。
构造4个长、宽的矩形，大正方形面积 。
大正方形边长 ，
解得正根：。
(2) 解：不能。
理由：赵爽弦图几何解法仅适用于 型（二次项、一次项系数为正）的方程。方程 一次项为负，无法构造规整的矩形、正方形面积模型，故不能用该方法。
(3) 解：，变形得 。
大正方形面积 ，边长为10。
由 ，解得正根：。
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
1
2
3
相关资源
示范课
由于学科网是一个信息分享及获取的平台，不确保部分用户上传资料的 来源及知识产权归属。如您发现相关资料侵犯您的合法权益，请联系学科网，我们核实后将及时进行处理。