1.3 矩形的性质与判定 第2课时教案 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

该教案聚焦矩形的判定定理这一核心知识点，通过实物观察与动画演示复习矩形概念及性质，搭建旧知到新知的学习支架，为探究判定定理奠定基础。 此资料亮点在于引导学生从矩形性质逆命题出发，经动手操作（平行四边形框架实验）和逻辑证明得出判定定理，培养数学思维中的推理能力，结合门框检查等生活实例发展应用意识，例题与分层练习助学生巩固知识，提升逻辑推理与解决问题能力，也为教师提供高效教学支持。

第一章 特殊平行四边形 3 矩形的性质与判定 第2课时   一、教学目标 1.理解并掌握矩形的判定定理，并会用矩形的判定定理进行证明和计算； 2.经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力. 3.能够用综合法证明矩形的判定定理，进一步发展演绎推理能力. 4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.   二、教学重难点 重点：理解并掌握矩形的判定定理，会用矩形的判定定理进行证明和计算. 难点：探究证明矩形的判定定理.   三、教学过程 · 情境导入 教师活动：先提出问题让学生观察，然后再动画演示. 问题：观察下列实物中的矩形，说一说什么是矩形？ 预设答案：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 追问：矩形具有哪些性质呢？ 预设答案：矩形的性质：①对边平行且相等；②四个角都是直角；③对角线互相平分且相等. 设计意图：通过对实物中的矩形的直观观察及动画演示复习回顾矩形的概念和性质，为本节课要学习的内容作准备. · 探究新知 活动：矩形的判定定理 矩形是特殊的平行四边形，当平行四边形满足什么条件时，会变成矩形呢？ 追问：还有其他判定方法吗？ 设计意图：明确矩形的定义可以作为判定矩形的方法之一，并学会用几何语言描述. 想一想：你能写出矩形性质定理的逆命题吗？它们都是真命题吗？为什么？与同伴进行交流. 预设答案：逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 追问：是不是真命题呢？ 想一想：我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？ 猜想：三个角是直角的四边形是矩形. 设计意图：鼓励学生根据自己的实际情况，进行实际操作与探究，引导学生探索出矩形的另一种判定方法. 追问：你能证明这个猜想吗？ 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵∠A=∠B=∠C= 90°， ∴∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形. 设计意图：通过证明让学生明确矩形的判定定理，培养学生的逻辑推理能力. 总结：矩形的判定定理： 定理 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言： ∵在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90. ∴四边形ABCD是矩形. 设计意图：通过归纳进一步熟悉矩形的判定定理，培养归纳概括能力. 做一做：如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.当对角线的长度相等时，观察平行四边形的形状，你能得到什么猜想？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.. 追问：你能证明这个结论吗？ 设计意图：观察图形，让学生直观感知对角线的变化带来平行四边形的改变，体会对角线相等的平行四边形是矩形，自然引出矩形的判定定理. 已知：如图，在▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，AC=BD. 求证：▱ABCD是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=DC，AB∥DC. 又∵BC = CB，AC = DB， ∴△ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB. ∵AB∥DC，∴∠ABC+ ∠DCB = 180°. ∴∠ABC=∠DCB= 90°. ∴▱ABCD 是矩形（矩形的定义）. 设计意图：通过证明让学生明确矩形的判定定理，培养学生的逻辑推理能力. 总结：矩形的判定定理： 定理 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言： ∵在▱ABCD中，AC=BD， ∴▱ABCD是矩形. 设计意图：通过归纳进一步熟悉矩形的判定定理，培养归纳概括能力. 想一想：现在你知道如何判定一个四边形为矩形了吗？ 设计意图：通过归纳总结从图形所属的范围考虑矩形的判定方法，培养归纳概括能力. 议一议：如果仅有一根较长的绳子，你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形？ 预设答案：①先用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形. ②再用绳子测量对角线是否相等,相等则是矩形. 追问：说一说这样检查的理由？ 预设答案：对角线相等的平行四边形是矩形. 设计意图：鼓励学生利用矩形的判定定理解决问题，让学生体会数学与生活的联系. · 应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【教材例题】 例1：如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4.求▱ ABCD 的面积. 分析：由平行四边形的性质可得，OA=OC ，OB=OD.由△ABO 是等边三角形，得OA=OB =AB=4，从而有AC=BD=2OA=8，所以▱ABCD是矩形. 再由矩形的性质得∠ABC=90°，从而由勾股定理求出BC的长，即可求出□ABCD的面积. 解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC，OB = OD. 又∵△ABO 是等边三角形， ∴OA = OB = AB = 4. ∴OA = OB = OC = OD = 4. ∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8. ∴▱ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. ∴∠ABC = 90°（矩形的四个角都是直角）. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2 = AC2，. ∴SABCD = AB·BC =. 设计意图：让学生在探究过程中进一步加深对矩形的判定定理的认识和理解，培养学生的应用意识. · 课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 【教材练习】 1.已知：如图，在▱ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：在平行四边形ABCD中， AB = CD，M是AD边的中点， ∴MA=MD，且MB=MC， 即△ABM≌△DCM， ∴∠A =∠D. 又∵∠A +∠D = 180°， ∴∠A =∠D = 90°. ∴四边形ABCD是矩形. 【自选练习】 2.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE. (1)试判断四边形ABEC的形状； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？ 解：(1)四边形ABEC是平行四边形． ∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD， ∵AD=DE，∴四边形ABEC的对角线互相平分， ∴四边形ABEC是平行四边形. (2)当△ABC 满足∠BAC＝90°时，四边ABEC是矩形．理由如下： 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 3.如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D.试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论. 解：∵CD∥MN，BC，BD分别为∠MBA，∠ABN的平分线， ∴∠ABD＝∠DBN＝∠CDB， ∠ABC＝∠CBM＝∠DCB， ∴OC＝OB＝OD＝OA ． ∵∠AOD＝∠COB， ∴△AOD ≌△COB， 则∠DAO＝∠OBC， AD∥BC， AD＝BC， ∴四边形ACBD为平行四边形． 又∵AB＝CD ， ∴四边形ACBD为矩形． 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.矩形的判定定理有哪些？ 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $