26.2.2 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（人教版·新教材 安徽专版）

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=ax²+k的图象和性质，通过复习y=ax²的开口方向、对称轴等性质搭建学习支架，引导学生从已有认知自然过渡到新知探究，梳理前后知识脉络。 以学生自主探究为特色，通过列表描点画y=2x²±1的图象，对比分析培养几何直观与空间观念，追问平移关系发展推理意识，结合篮球投篮实例渗透模型意识，提升学生应用能力，助力教师高效突破教学重难点。

26.2 二次函数的图象和性质 26.2.2 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 课题 二次函数y=ax2+k的图象和性质 课型 新授课 教学内容 教材第36-38页的内容 教学目标 1．使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象。 2．让学生经历二次函数y＝ax2＋k性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋k的性质及它与函数y＝ax2的关系。 教学重难点 教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解函数y＝ax2＋k与函数y＝ax2的相互关系。 教学难点：正确理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的关系。 教 学 过 程 备 注 1.回顾复习，引入课题 前面我们已经学习了二次函数y=ax2的图象和性质，同学们能说出二次函数y=ax2的图象的开口方向、大小、对称轴、顶点坐标、最值、以及增减性吗? 今天我们将学习只有二次项和常数项的二次函数y=ax2+k的图象和性质. 2.探索新知，归纳知识 【探究1】在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y=2x2 +1， y=2x2-1的图象. 【学生活动】 先列表： x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y =2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 … 作出函数图象如图： 【追问1】二次函数，的图象的开口方向、对称轴和顶点各如何？ 抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0，1)；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0，-1)。 【追问2】抛物线上的点是，将它的各个点的纵坐标都加1（减1），相应的点在什么抛物线上？由此你能得出什么结论？ 抛物线上的点是，将它的各个点的纵坐标都加1（减1），相应的点在抛物线（）的上；就是将抛物线向上（下）平移1个单位长度，得到抛物线（）。 【总结】当k＞0时，把抛物线y=ax2向上平移k个单位长度，就得到抛物线y=ax2+k；当k＜0时，把抛物线y=ax2向下平移|k|个单位长度，就得到抛物线y=ax2+k。 3.学以致用，应用新知 【例1】抛物线y＝x2+1的图象大致是（　　） A B C D 答案：C 【例2】二次函数y＝﹣+5有最　 　值为　 　． 答案：大 5 【例3】函数y＝4x2+5的图象可由y＝4x2的图象向　 　平移　 　个单位长度得到；函数y＝4x2+5的图象可由y＝4x2﹣11的图象向　 　平移　 　个单位长度得到． 答案： 上 5 上 16 4.随堂训练，巩固新知 （1）抛物线y＝ax2+k与抛物线y=-5x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标为（0，5），该抛物线的解析式是（　　） A．y＝5（x+5）2 B．y＝-5（x﹣5）2 C．y＝5x2+5 D．y＝-5x2﹣5 答案：C （2）二次函数y＝ax2+k的图象顶点坐标是（0，2），且形状及开口方向与抛物相线y＝﹣相同． ①确定a，k的值； ②画出二次函数y＝ax2+k的图象． 解：①由y＝ax2+k形状及开口方向与y＝﹣x2相同，所以a＝﹣， 由y＝ax2+k的顶点是（0，2），得k＝2. ②y＝﹣x2+2的函数图象如下. （3）抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝－5x2怎样得到的？ 解：抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a＝－5.又∵其顶点坐标为(0，3)．∴c＝3.∴y＝－5x2＋3.它是由抛物线y＝－5x2向上平移3个单位得到的． （4）如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－x2＋运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m. ①球在空中运行的最大高度为多少？ ②如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？ 解：①∵y＝－x2＋的顶点坐标为(0，3.5)， ∴球在空中运行的最大高度为3.5m. ②在y＝－x2＋中，当y＝3.05时，3.05＝－x2＋，解得x＝±1.5.∵篮筐在第一象限内，∴篮筐中心的横坐标x＝1.5.又当y＝2.25时，2.25＝－x2＋，解得x＝±2.5.∵运动员在第二象限内，∴运动员的横坐标x＝－2.5.故该运动员距离篮球筐中心的水平距离为1.5－(－2.5)＝4(m)． 5.课堂小结，自我完善 理解在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系；能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质。 6.布置作业 课本P38练习。 复习旧知，为类比学习新知作铺垫. 先让学生观察图象，指出抛物线y=2x2+1，y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点。 老师可引导学生观察方向：二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同? 从解析式、函数对应值表和图象三个角度，综合进行对比，从而得出形状相同，位置知识上下平移的结论。 归纳抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的关系。 先直观形象地巩固抛物线y=ax2+k的图象和性质，再巩固抛物线y=ax2+k和抛物线y=ax2的关系。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2开口大小，方向都相同，只是顶点不同，二者可相互平移得到． 板书设计 二次函数y=ax2+k的图象和性质 从开口方向、对称轴和顶点坐标等角度探究抛物线y=ax2+k的图象与性质，探究函数的平移问题。 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋k的图象与性质，体会抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间联系与区别。 学科网（北京）股份有限公司 $