25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 几何图形问题-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（人教版·新教材 安徽专版）

该初中数学教学设计聚焦几何图形问题与一元二次方程的应用，以封面设计情境导入，通过分析中央矩形与封面的比例关系，引导学生设间接未知数建立面积等量关系，衔接方程解法，构建从实际问题到数学模型的学习支架。 资料特色在于以真实情境（封面设计、道路问题）培养数学眼光，通过不同设元方法（设边衬宽或中央矩形长宽）发展数学思维，结合例1直角三角形、例2矩形面积及道路问题平移法强化模型意识，提升学生应用能力，为教师提供可操作的教学流程与实例。

25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 几何图形问题 课题 实际问题与一元二次方程——几何图形问题 课型 新授课 教学内容 教材第20-21页 教学目标 1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题． 3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力． 教学重难点 教学重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题。 教学难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究】要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 分析： 正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？ 上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关系？ 若设正中央的长方形的长和宽分别为9a㎝，7a㎝，尝试表示边衬的长度，并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系？ “应如何设计四周边衬的宽度？”是要求四周边衬的宽度，除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比为9：7，设上下边衬宽为9x㎝，左右边衬宽为7x㎝.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9：7，设正中央的长方形的长为9x㎝，宽为7x㎝.尝试列出方程. 方程的两个根都是正数，但是它们不都是问题的解，需要根据它们的值的大小来确定哪个更合乎实际，这种取舍选择更多的要考虑问题的实际意义. 解：设上、下边衬的宽均为9xcm，左、右边衬的宽均为7xcm. 则（27-18x）（21-14x）=×27×21. 整理，得16x2-48x+9=0. 解方程，得x=. 当x=时，上、下边衬的宽度之和会超过封面的宽度。 上、下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm。 拓展：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 2.探索新知，归纳知识 （1）在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决； （2）对于比较复杂的问题，可以通过设间接未知数的方法来列方程. 3.学以致用，应用新知 【例1】是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个? 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数. 由勾股定理，得x2+(x+1)2=(x+2)2. 解方程，得x1=3，x2=-1（不符合题意，舍去）. 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5. 【例2】用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m， 可得此边的邻边长为(20-x)m；再由矩形的面积为96 m2，得x(20-x)=96. 解方程，得x1=12，x2=8. 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8 m，12 m. 4.随堂训练，巩固新知 （1）用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为(　　) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6 C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6 解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6. 答案：B （2）如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为______________． 解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，如图，用含x的代数式表示草坪的长为(22－x)米，宽为(17－x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22－x)(17－x)＝300. 解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x－17x＋x2＝300. 答案：答案不唯一，如(22－x)(17－x)＝300. 5.课堂小结，自我完善 利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题。 6.布置作业 课本P21练习。 已知封面及正中央矩形的长度比都是9:7，由此可以推出上、下，左、右边衬宽度之比也是9:7, 这个关系很重要。 教师提出问题，让学生结合画图独立理解并解答问题，培养学生对几何图形的分析能力，将数学知识和实际问题相结合的应用意识。 方程的两个根都是正数，但它们并不都是问题的解。需要根据它们值的大小，判断哪一个更合乎实际。 教师总结，学生体会 理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程。 解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 实际问题与一元二次方程——几何面积问题 从实际问题中构建出用一元二次方程解决面积问题的模型，进而解决与面积相关的整体法和动点问题等。 教后反思 与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好。 学科网（北京）股份有限公司 $