25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（人教版·新教材 安徽专版）

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过解三个具体方程（含二次项系数为1和不为1的情况）并填表，引导学生观察两根之和、两根之积与系数的关系，衔接求根公式，构建从具体到抽象的学习支架。 特色在于以探究为主线，让学生经历观察方程根、猜想关系、用因式分解与求根公式证明的过程，培养抽象能力与推理意识。例题和训练题涵盖不同形式方程，提升模型意识与应用能力，助力学生发展数学思维，也为教师提供清晰的教学实施路径。

25.2 降次——解一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课题 一元二次方程根与系数的关系 课型 新授课 教学内容 教材第15-16页的内容 教学目标 1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差。 2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。 3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。 教学重难点 教学重点：一元二次方程根与系数的关系。 教学难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 由求根公式可知，通过对系数a，b，c进行有限次加、减、乘、乘方、开方等运算，可以得到方程的根.求根公式反映了一元二次方程的根与系数的关系，这种关系还有其他表现形式吗？ 今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。 【问题】解下列方程并填写下表： （1）x2-5x+6=0；（2）2x2+5x+3=0；（3）3x2-2x-8=0. 填写下表： 一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-5x+6=0 2x2+5x+3=0 3x2-2x-8=0 请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？ 【问题2】请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a，b，c之间的关系：____________。 2.探索新知，归纳知识 【探究1】从因式分解法可知，方程（x-x1）（x-x2）=0（x1，x2为已知数）的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 【师生活动】学生研究，老师指导。 把方程（x-x1）（x-x2）=0的左边展开，化成一般形式，得方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0. 可知上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1+x2=-p，x1x2=q. 【探究2】一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它们的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 【师生活动】设是方程的两个根。 ∴  ∴ 　　　　 　　　　 方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系： x1+x2=，x1x2=。 3.学以致用，应用新知 【例】根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： （1）x2-6x-15=0； （2）3x2+7x-9=0； （3）5x-1=4x2. 解：(1)x1+x2=-（-6）=6，x1x2=-15. (2)x1+x2=-，x1x2==-3. （3）方程化为4x2-5x+1=0，x1+x2=-=，x1x2=. 4.随堂训练，巩固新知 （1）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，则αβ的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2022 D．﹣2022 答案：D （2）设x1，x2是方程x2﹣3x﹣3＝0的两个实数根，则x12x2+x1x22的值为（　　） A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1 答案：B （3）已知m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，则＋的值为(　　) A．－1 B. C．－ D．1 解析：根据根与系数的关系，可以求出m＋n和mn的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，所以m＋n＝，mn＝－1，＋＝＝＝－. 答案：C 5.课堂小结，自我完善 1、方程的根是由系数决定的。 2、a≠0，且b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的根为x1、x2 3、a≠0，△≥0时，x1+x2=，x1x2=。 4、方程根与系数关系的有关应用。 （1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有关代数式的值。 6.布置作业 课本P16练习。 二次项系数为1有1题；二次项系数不为1有2题,系数性质符号各有不同.让学生尽量体会与猜想两根和、两根积与系数之间的关系。 这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-（x1+x2），常数项q=x1x2. 借鉴探究2，结合求根公式。 探究2与探究3是特殊与一般的关系。 将方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两边同除以a，便可以转化为探究2种的情形。 教学时可根据学生水平灵活处理，可适当补充计算x12+x22，x1-x2，+之类的问题。 解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0. 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 先将一元二次方程化为一般形式，再判断两根的和和乘积． 板书设计 一元二次方程的根与系数的关系 根据给定方程求根的反面是如果知道方程的根，探究方程是什么样的，得到一元二次方程根与系数的关系，进而求字母取值或代数式的值。 教后反思 教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件。 学科网（北京）股份有限公司 $