2.3.1 有理数的乘方 讲义 2026-2027学年人教版七年级上册数学

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，从乘方的意义（相同因数积的运算）入手，梳理底数指数概念，通过符号判定法则过渡到计算，再延伸至偶次方非负性、aⁿ/-aⁿ/(-a)ⁿ的区别及混合运算，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以“重点-易错-方法”三维提示强化理解，如用口诀区分负号位置对结果的影响，典例分题型覆盖概念辨析、非负性应用（如|y-2|+(x-1/2)²=0求(xy)²⁰²⁴）及实际问题（病毒繁殖、折纸层数），分层训练满足不同需求。通过抽象能力（概念提炼）、运算能力（符号推理）培养数学思维，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺。

初中数学（RJ）七年级上册 2.3.1 有理数的乘方 学生版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算；了解底数、指数的概念，能进行含乘方的有理数混合运算。 二、知识梳理 知识点 1 　有理数的乘方的意义 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。一般地：，记作，读作：a的次n方。当看做结果时也可读作a的次n幂。在中，叫作底数，叫作指数 特别提示：当指数是1时，指数省略不写。 当底数是负数或分数时，要把底数用括号括起来。如－2的三次方写成(−2) ；的二次方写成()。 任何数都可以看做是它本身的 1 次方，一个数的2次方可以读作：平方，一个数3次方可以读作：立方。 ★ 重点　乘方表示 n 个相同因数的乘积：aⁿ 中 a 是底数、n 是指数，读作"a 的 n 次方（或 n 次幂）"。 ⚠ 易错　把 aⁿ 误解为 a×n 是最低级也最高频的错误——aⁿ 是 n 个 a 相乘，不是 a 加 n 次。 知识点 2 　有理数的乘方的计算 在计算有理数的乘方时，先根据有理数的乘方的意义把有理数的乘方转化为乘法运算，计算时先确定幂的符号，在计算幂的绝对值。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。 特别提示：正数的任何次方都是正数。负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数。 0的任何正整数次方（除0外）都得0。 1的任何次方都得1，﹣1的奇次方得﹣1，﹣1的偶次方得1。 ★ 重点　先定符号再求幂：正数的任何次幂为正；负数的奇次幂为负、偶次幂为正。 ⚠ 易错　符号判定必须先于计算：−2³ 表示 2³ 的相反数（=−8），而 (−2)³=−8；但 −2²=−4 而 (−2)²=4，括号有无天差地别。 知识点 3 　有理数的偶次方 由乘方的计算可知，任何一个数的偶次方得到的结果都大于等于0，即任何数的偶次方（常考有理数的平方）都是非负数，非负数具有非负性。几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0。 ★ 重点　负数的偶次幂为正、正数的偶次幂为正、0 的偶次幂为 0；任何数的偶次幂都非负。 ⚠ 易错　勿把"偶次方非负"记成"任何次幂非负"；奇次幂的符号与底数相同。 知识点 4 　aⁿ、−aⁿ 与 (−a)ⁿ 的区别与联系 表示的意义是n个a相乘的积，底数是a。 -表示的意义是n个a相乘的积的相反数，底数是a。 表示的意义是n个－a相乘的积，数是－a。 三者的联系 当n为奇数时，－a和(−a)相等，他们与互为相反数。 当n为偶数时，a和(−a)相等，他们与-互为相反数。 ★ 重点　区分三者：aⁿ 是 n 个 a 相乘；−aⁿ 是 aⁿ 的相反数（先乘方后取负）；(−a)ⁿ 是 n 个 −a 相乘，奇偶次幂符号不同。 ⚠ 易错　三者极易混淆：底数的括号"包不包含负号"决定符号随不随指数变；−aⁿ 与 (−a)ⁿ 只在某些情况相等，不能想当然。 ◆ 方法　口诀：有括号，负号随指数（奇负偶正）；无括号，先算幂再取负。 知识点 5 　有理数的混合运算 先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。 ★ 重点　运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内（小→中→大）；同级从左到右。 ⚠ 易错　最典型错误是"见负号就先算"或把乘方与乘法优先级颠倒；务必牢记"乘方 > 乘除 > 加减"。 三、即学即练 1.　45表示（　　） A．4个5相乘　　B．5个4相乘　　C．5与4的积　　D．5个4相加的和 2.　对于式子（﹣3）2，下列说法正确的是（　　） A．指数是﹣3　　B．底数是3　　C．幂是9　　D．表示2个3相乘 3.　求下列各式的值： （1）（﹣3）3 （2）（−）3 （3）（﹣1）3 （4）﹣（﹣0.3）3 4.　已知（x+2）2+|y﹣3|＝0，则xy＝ ． 5.　如果a表示一个有理数，那么式子a2+3的最小值是 ，此时a＝ ． 6.　下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（　　） A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．﹣（）3和− 7.　计算下列各题，并说说它们的区别． （1）()； （2）； （3）． 8.　计算： （1）﹣5﹣（﹣16）+（﹣21）； （2）（﹣1）2023−×（−1）÷（﹣3）2； （3）（﹣2）4+（﹣4）×（）2﹣（﹣1）3； （4）（﹣1）4﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]． 四、典例精析 题型 1 　有理数的幂的概念的理解　 例1　下列说法正确的是（　　） A．﹣35的底数是﹣3 B．23表示3个2相加 C．（﹣2）3与﹣23意义相同 D．﹣23的指数是3 【答案】D解：A．∵﹣35的底数是3，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意；B．∵23表示3个2相乘，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意；C．∵（﹣2）3表示3个﹣2相乘，﹣23表示3个2相乘的相反数，∴这两个数表示的意义不同，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意；D．∵﹣23的指数是3，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意； 变式1　﹣23表示的意义是（　　） A．3个﹣2相乘 B．3个2相乘的相反数 C．2个﹣3相加 D．2个3相乘的相反数 【答案】B解：意义是3个2相乘的相反数， 变式2　关于（﹣2）4说法正确的是（　　） A．结果是﹣8 B．底数是4，指数是﹣2 C．可以表示为﹣2×2×2×2 D．底数是﹣2，指数是4 【答案】D解：A、（﹣2）4＝16，故此选项不符合题意；B、（﹣2）4的底数是﹣2，指数是4，故此选项不符合题意；C、（﹣2）4表示（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），故此选项不符合题意；D、（﹣2）4的底数是﹣2，指数是4，故此选项符合题意； 变式3　关于（﹣3）4的正确说法是（　　） A．﹣3是底数，4是幂 B．﹣3是底数，4是指数，﹣81是幂 C．3是底数，4是指数，81是幂 D．﹣3是底数，4是指数，81是幂 【答案】D解：（﹣3）4中，﹣3是底数，4是指数，81是幂． 题型 2 　有理数的乘方运算　 例2　计算：（1）﹣（﹣3）3； （2）（−）2； （3）（−）3． 【答案】解：（1）原式＝﹣（﹣33）＝33＝3×3×3＝27． （2）原式=×=． （3）原式＝﹣（××）=−． 变式1　计算：（1）23； （2）﹣54； （3）−； （4）﹣（）3． ⚠ 易错　乘方运算先定符号再求值：−aⁿ 是 aⁿ 的相反数，而 (−a)ⁿ 中负号随指数奇偶变化；括号包不包含负号结果可能完全不同。 【答案】解：（1）23＝8；（2）﹣54＝﹣625；（3）−=−；（4）﹣（）3=−． 变式2　计算： （1）(−)； （2）−(−)； （3）﹣25； （4）−． ⚠ 易错　乘方运算先定符号再求值：−aⁿ 是 aⁿ 的相反数，而 (−a)ⁿ 中负号随指数奇偶变化；括号包不包含负号结果可能完全不同。 【答案】解：（1）原式=−；（2）原式=−；（3）原式＝﹣32；（4）原式=−． 例2　下列各对数中，数值相等的是（　　） A．﹣27与（﹣2）7 B．﹣32与（﹣3）2 C．3×23与32×2 D．﹣（﹣3）2与（﹣2）3 【答案】A解：A、﹣27＝（﹣2）7＝﹣128，相等，符合题意；B、﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，不相等，不合题意；C、3×23＝24，32×2＝18，不相等，不合题意；D、﹣（﹣3）2＝﹣9，（﹣2）3＝﹣8，不相等，不合题意 变式3　下列各组式子中，运算结果相等的是（　　） A．﹣23与（﹣2）3 B．﹣（﹣2）2与22 C．（﹣2）2与﹣23 D．|﹣22|与﹣|22| 【答案】A解：A、﹣23=（﹣2）3 ＝﹣8，选项正确；B、﹣（﹣2）2＝﹣4，22＝4，选项错误；C、（﹣2）2，＝4，﹣23＝﹣8，故选项错误；D、|﹣22|＝4，﹣|22|＝﹣4，故选项错误． 变式4　下列各组数中，数值相等的是（　　） A．﹣22和（﹣2）2 B．−和（−）2 C．（﹣2）2和22 D．﹣（−）2和− 【答案】C解：∵﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，∴选项A不符合题意； ∵−=−，（−）2=，∴选项B不符合题意； ∵（﹣2）2＝4，22＝4，∴选项C符合题意； ∵﹣（−）2=−，−=−，∴选项D不符合题意． 题型 3 　偶次方与绝对值的非负性　 例3　已知|y−2|+(x−)=0，则（xy）2024的值为（　　） A．1　　B．﹣1　　C．2024　　D．﹣2024 【答案】A解：∵|y−2|+(x−)=0，∴y﹣2＝0，x−=0，∴x=，y＝2，∴（xy）2024=(×2)=1． 变式1　已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）3的值是（　　） A．﹣1　　B．﹣3　　C．1　　D．3 【答案】A解：由题意得，a+2＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b＝1，所以（a+b）3＝（﹣2+1）3＝﹣1． 变式2　当式子7+（a﹣2）2有最小值时，a＝ ． 【答案】解：∵（a﹣2）2≥0，∴当a＝2时，（a﹣2）2有最小值， ∴当式子7+（a﹣2）2有最小值时，a＝2． 变式3　若|a+1|+（b﹣2）2＝0，求（a+b）2022+a2021的值． 【答案】解：由题意得，a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2， 所以（a+b）2022+a2021＝（﹣1+2）2022+（﹣1）2021＝1﹣1＝0． 变式4　x取什么值时，式子（x+3）2+15的值最小，这个最小值是多少？ 【答案】解：（x+3）2＝0时即x＝﹣3时，值最小，这个最小值为15． 题型 4 　有理数的混合运算　 例4　计算： （1）(−)×(−8)+(−6)； （2）−1+(−2)÷(+)+|−9|． 【答案】解：（1）原式＝4+36＝40； （2）原式＝﹣1﹣2×3+9＝﹣1﹣6+9＝2． 变式1　计算 （1）（﹣1）2018×5+（﹣2）3÷4 （2）（−）×24−÷（−）3﹣|﹣25|． 【答案】解：（1）原式＝1×5+（﹣8）÷4＝5﹣2＝3； （2）原式＝15﹣16−÷（−）﹣25＝15﹣16+2﹣25＝﹣24． 变式2　计算 （1）﹣20+（﹣5）﹣（﹣18）； （2）﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣32）]； （3）﹣72+2×（﹣3）2+（﹣6）÷（−）2； 【答案】解：（1）原式＝﹣20﹣5+18＝﹣7 （2）原式＝﹣3+6﹣8+9＝4 （3）原式＝﹣49+2×9+（﹣6）×9=﹣49+18﹣54＝﹣85 题型 5 　有理数乘方的简单应用　 例5　某药厂生产了一批新药，装箱后存放在仓库中，为了方便清点，按10×10×10箱一堆的方式摆放，共摆放了10堆，已知每箱装100瓶药，每瓶药装100片． （1）这批药共有多少箱？ （2）这批药共有多少片？ 【答案】解：（1）10×10×10×10＝104（箱）；（2）10×10×10×10×100×100＝108（片）． 变式1　某种球形病毒，直径是0.01纳米，每一个病毒每经过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒，假如这种病毒在人体内聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不适．（1米＝109纳米） （1）那么人从感染到第一个病毒后，5分钟后体内病毒的长度是多少纳米？ （2）经过多少分钟人会感到不适． 【答案】解：（1）0.01×1×105＝103（纳米）； （2）∵第9分钟病毒数量长度是：0.01×1×109＝107（纳米）=（米）=（分米）， 第10分钟病毒数量长度是：0.01×1×1010＝108（纳米）=（米）＝1（分米）， ∴经过10分钟人会感到不适． 变式2　当你把纸对折一次时，就得到2层，当对折两次时，就得到4层，照这样折下去（最多折7次）． （1）你能发现层数和折纸的次数有什么关系吗？ （2）计算当你对折6次时，层数是多少； （3）如果纸的厚度是0.1mm，求对折7次时，总厚度是多少． 【答案】解：（1）纸对折一次时，就得到2层，即21层；当对折两次时，就得到4层，即22层；当对折三次时，就得到8层，即23层；当折纸的次数是n时，折得的层数是2n（1≤n≤7且n为正整数）； （2）26＝64，所以对折6次时，层数是64； （3）0.1×27＝0.1×128＝12.8（mm），所以对折7次时，总厚度是12.8mm 五、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　对于算式（﹣3）4，正确的说法是（　　） A．3是底数，4是指数 B．3是底数，4是幂 C．﹣3是底数，4是幂 D．﹣3是底数，4是指数 2.　对于(−3)×(−3)×⋯×(−3)共有m个(−3)相乘，若m＝2025，则其结果为（　　） A．正数　　B．负数　　C．0　　D．不能确定 3.　计算的（﹣a）3•（﹣a）4结果是（　　） A．a7　　B．﹣a12　　C．a12　　D．﹣a7 4.　已知|a+5|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（　　） A．25　　B．﹣25　　C．10　　D．﹣10 5.　若33×36＝3m，则m的值为（　　） A．18　　B．9　　C．5　　D．3 B 档 　巩固提升　 1.　下列各组数相等的有（　　） A．（﹣2）2与﹣22 B．（﹣1）3与﹣（﹣1）2 C．﹣|﹣0.3|与0.3 D．|a|与a 2.　（﹣1）2n+（﹣1）2n+1＝ （n为正整数）． C 档 　提高拓展　 1.　若a，b为实数，且（a+3）2+|b﹣3|＝0，则()= ． D 档 　压轴挑战　 1.　观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…通过观察，用你所发现的规律确定22009的个位数字是 ． 2.　当a＝ 时，式子5+（a﹣2）2的值最小，最小值是 ． 3.　如图某种细胞经过30分钟便由1个分裂成2个，经过3小时这种细胞由1个分裂成 个． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）七年级上册 2.3.1 有理数的乘方 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算；了解底数、指数的概念，能进行含乘方的有理数混合运算。 二、知识梳理 知识点 1 　有理数的乘方的意义 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。一般地：，记作，读作：a的次n方。当看做结果时也可读作a的次n幂。在中，叫作底数，叫作指数 特别提示：当指数是1时，指数省略不写。 当底数是负数或分数时，要把底数用括号括起来。如－2的三次方写成(−2) ；的二次方写成()。 任何数都可以看做是它本身的 1 次方，一个数的2次方可以读作：平方，一个数3次方可以读作：立方。 ★ 重点　乘方表示 n 个相同因数的乘积：aⁿ 中 a 是底数、n 是指数，读作"a 的 n 次方（或 n 次幂）"。 ⚠ 易错　把 aⁿ 误解为 a×n 是最低级也最高频的错误——aⁿ 是 n 个 a 相乘，不是 a 加 n 次。 知识点 2 　有理数的乘方的计算 在计算有理数的乘方时，先根据有理数的乘方的意义把有理数的乘方转化为乘法运算，计算时先确定幂的符号，在计算幂的绝对值。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。 特别提示：正数的任何次方都是正数。负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数。 0的任何正整数次方（除0外）都得0。 1的任何次方都得1，﹣1的奇次方得﹣1，﹣1的偶次方得1。 ★ 重点　先定符号再求幂：正数的任何次幂为正；负数的奇次幂为负、偶次幂为正。 ⚠ 易错　符号判定必须先于计算：−2³ 表示 2³ 的相反数（=−8），而 (−2)³=−8；但 −2²=−4 而 (−2)²=4，括号有无天差地别。 知识点 3 　有理数的偶次方 由乘方的计算可知，任何一个数的偶次方得到的结果都大于等于0，即任何数的偶次方（常考有理数的平方）都是非负数，非负数具有非负性。几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0。 ★ 重点　负数的偶次幂为正、正数的偶次幂为正、0 的偶次幂为 0；任何数的偶次幂都非负。 ⚠ 易错　勿把"偶次方非负"记成"任何次幂非负"；奇次幂的符号与底数相同。 知识点 4 　aⁿ、−aⁿ 与 (−a)ⁿ 的区别与联系 表示的意义是n个a相乘的积，底数是a。 -表示的意义是n个a相乘的积的相反数，底数是a。 表示的意义是n个－a相乘的积，数是－a。 三者的联系 当n为奇数时，－a和(−a)相等，他们与互为相反数。 当n为偶数时，a和(−a)相等，他们与-互为相反数。 ★ 重点　区分三者：aⁿ 是 n 个 a 相乘；−aⁿ 是 aⁿ 的相反数（先乘方后取负）；(−a)ⁿ 是 n 个 −a 相乘，奇偶次幂符号不同。 ⚠ 易错　三者极易混淆：底数的括号"包不包含负号"决定符号随不随指数变；−aⁿ 与 (−a)ⁿ 只在某些情况相等，不能想当然。 ◆ 方法　口诀：有括号，负号随指数（奇负偶正）；无括号，先算幂再取负。 知识点 5 　有理数的混合运算 先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。 ★ 重点　运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内（小→中→大）；同级从左到右。 ⚠ 易错　最典型错误是"见负号就先算"或把乘方与乘法优先级颠倒；务必牢记"乘方 > 乘除 > 加减"。 三、即学即练 1.　45表示（　　） A．4个5相乘　　B．5个4相乘　　C．5与4的积　　D．5个4相加的和 【答案】B解：45表示5个4相乘． 2.　对于式子（﹣3）2，下列说法正确的是（　　） A．指数是﹣3　　B．底数是3　　C．幂是9　　D．表示2个3相乘 【答案】C解：A．（﹣3）2的指数是2，故选项A错误；B．（﹣3）2的底数是﹣3，故选项B错误； C．（﹣3）2的幂是9，故选项C正确；D．（﹣3）2表示2个﹣3相乘，故选项D错误． 3.　求下列各式的值： （1）（﹣3）3 （2）（−）3 （3）（﹣1）3 （4）﹣（﹣0.3）3 【答案】解：（1）原式＝（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）＝﹣27， （2）原式＝（−）×（−）×（−）=−， （3）原式＝（−）3＝（−）×（−）×（−）=−， （4）原式＝﹣（﹣0.3）×（﹣0.3）×（﹣0.3）＝0.027． 4.　已知（x+2）2+|y﹣3|＝0，则xy＝ ． 【答案】解：∵|x+2|+|y﹣3|＝0，∴x+2＝0，y﹣3＝0，解得：x＝﹣2，y＝3，故xy＝（﹣2）×3＝﹣8． 5.　如果a表示一个有理数，那么式子a2+3的最小值是 ，此时a＝ ． 【答案】解：∵a2≥0，∴a＝0时，a2+3有最小值，是3． 6.　下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（　　） A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．﹣（）3和− 【答案】解：A、23＝8，32＝9，不相等；B、﹣33＝（﹣3）3＝﹣27，相等； C、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，不相等；D、﹣（）3=−，−=−，不相等， 7.　计算下列各题，并说说它们的区别． （1）()； （2）； （3）． 【答案】解：（1）()=××=；（2）==；（3）==． 8.　计算： （1）﹣5﹣（﹣16）+（﹣21）； （2）（﹣1）2023−×（−1）÷（﹣3）2； （3）（﹣2）4+（﹣4）×（）2﹣（﹣1）3； （4）（﹣1）4﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]． 【答案】解：（1）原式＝﹣5+16﹣21＝11﹣21＝﹣10； （2）原式＝﹣1−×（−）÷9＝﹣1−×（−）×＝﹣1+=−； （3）原式＝16+（﹣4）×−（﹣1）＝16+（﹣1）+1＝16； （4）原式＝1−××（2﹣9）＝1−×（﹣7）＝1+=． 四、典例精析 题型 1 　有理数的幂的概念的理解　 例1　下列说法正确的是（　　） A．﹣35的底数是﹣3 B．23表示3个2相加 C．（﹣2）3与﹣23意义相同 D．﹣23的指数是3 【答案】D解：A．∵﹣35的底数是3，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意；B．∵23表示3个2相乘，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意；C．∵（﹣2）3表示3个﹣2相乘，﹣23表示3个2相乘的相反数，∴这两个数表示的意义不同，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意；D．∵﹣23的指数是3，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意； 变式1　﹣23表示的意义是（　　） A．3个﹣2相乘 B．3个2相乘的相反数 C．2个﹣3相加 D．2个3相乘的相反数 【答案】B解：意义是3个2相乘的相反数， 变式2　关于（﹣2）4说法正确的是（　　） A．结果是﹣8 B．底数是4，指数是﹣2 C．可以表示为﹣2×2×2×2 D．底数是﹣2，指数是4 【答案】D解：A、（﹣2）4＝16，故此选项不符合题意；B、（﹣2）4的底数是﹣2，指数是4，故此选项不符合题意；C、（﹣2）4表示（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），故此选项不符合题意；D、（﹣2）4的底数是﹣2，指数是4，故此选项符合题意； 变式3　关于（﹣3）4的正确说法是（　　） A．﹣3是底数，4是幂 B．﹣3是底数，4是指数，﹣81是幂 C．3是底数，4是指数，81是幂 D．﹣3是底数，4是指数，81是幂 【答案】D解：（﹣3）4中，﹣3是底数，4是指数，81是幂． 题型 2 　有理数的乘方运算　 例2　计算：（1）﹣（﹣3）3； （2）（−）2； （3）（−）3． 【答案】解：（1）原式＝﹣（﹣33）＝33＝3×3×3＝27． （2）原式=×=． （3）原式＝﹣（××）=−． 变式1　计算：（1）23； （2）﹣54； （3）−； （4）﹣（）3． ⚠ 易错　乘方运算先定符号再求值：−aⁿ 是 aⁿ 的相反数，而 (−a)ⁿ 中负号随指数奇偶变化；括号包不包含负号结果可能完全不同。 【答案】解：（1）23＝8；（2）﹣54＝﹣625；（3）−=−；（4）﹣（）3=−． 变式2　计算： （1）(−)； （2）−(−)； （3）﹣25； （4）−． ⚠ 易错　乘方运算先定符号再求值：−aⁿ 是 aⁿ 的相反数，而 (−a)ⁿ 中负号随指数奇偶变化；括号包不包含负号结果可能完全不同。 【答案】解：（1）原式=−；（2）原式=−；（3）原式＝﹣32；（4）原式=−． 例2　下列各对数中，数值相等的是（　　） A．﹣27与（﹣2）7 B．﹣32与（﹣3）2 C．3×23与32×2 D．﹣（﹣3）2与（﹣2）3 【答案】A解：A、﹣27＝（﹣2）7＝﹣128，相等，符合题意；B、﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，不相等，不合题意；C、3×23＝24，32×2＝18，不相等，不合题意；D、﹣（﹣3）2＝﹣9，（﹣2）3＝﹣8，不相等，不合题意 变式3　下列各组式子中，运算结果相等的是（　　） A．﹣23与（﹣2）3 B．﹣（﹣2）2与22 C．（﹣2）2与﹣23 D．|﹣22|与﹣|22| 【答案】A解：A、﹣23=（﹣2）3 ＝﹣8，选项正确；B、﹣（﹣2）2＝﹣4，22＝4，选项错误；C、（﹣2）2，＝4，﹣23＝﹣8，故选项错误；D、|﹣22|＝4，﹣|22|＝﹣4，故选项错误． 变式4　下列各组数中，数值相等的是（　　） A．﹣22和（﹣2）2 B．−和（−）2 C．（﹣2）2和22 D．﹣（−）2和− 【答案】C解：∵﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，∴选项A不符合题意； ∵−=−，（−）2=，∴选项B不符合题意； ∵（﹣2）2＝4，22＝4，∴选项C符合题意； ∵﹣（−）2=−，−=−，∴选项D不符合题意． 题型 3 　偶次方与绝对值的非负性　 例3　已知|y−2|+(x−)=0，则（xy）2024的值为（　　） A．1　　B．﹣1　　C．2024　　D．﹣2024 【答案】A解：∵|y−2|+(x−)=0，∴y﹣2＝0，x−=0，∴x=，y＝2，∴（xy）2024=(×2)=1． 变式1　已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）3的值是（　　） A．﹣1　　B．﹣3　　C．1　　D．3 【答案】A解：由题意得，a+2＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b＝1，所以（a+b）3＝（﹣2+1）3＝﹣1． 变式2　当式子7+（a﹣2）2有最小值时，a＝ ． 【答案】解：∵（a﹣2）2≥0，∴当a＝2时，（a﹣2）2有最小值， ∴当式子7+（a﹣2）2有最小值时，a＝2． 变式3　若|a+1|+（b﹣2）2＝0，求（a+b）2022+a2021的值． 【答案】解：由题意得，a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2， 所以（a+b）2022+a2021＝（﹣1+2）2022+（﹣1）2021＝1﹣1＝0． 变式4　x取什么值时，式子（x+3）2+15的值最小，这个最小值是多少？ 【答案】解：（x+3）2＝0时即x＝﹣3时，值最小，这个最小值为15． 题型 4 　有理数的混合运算　 例4　计算： （1）(−)×(−8)+(−6)； （2）−1+(−2)÷(+)+|−9|． 【答案】解：（1）原式＝4+36＝40； （2）原式＝﹣1﹣2×3+9＝﹣1﹣6+9＝2． 变式1　计算 （1）（﹣1）2018×5+（﹣2）3÷4 （2）（−）×24−÷（−）3﹣|﹣25|． 【答案】解：（1）原式＝1×5+（﹣8）÷4＝5﹣2＝3； （2）原式＝15﹣16−÷（−）﹣25＝15﹣16+2﹣25＝﹣24． 变式2　计算 （1）﹣20+（﹣5）﹣（﹣18）； （2）﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣32）]； （3）﹣72+2×（﹣3）2+（﹣6）÷（−）2； 【答案】解：（1）原式＝﹣20﹣5+18＝﹣7 （2）原式＝﹣3+6﹣8+9＝4 （3）原式＝﹣49+2×9+（﹣6）×9=﹣49+18﹣54＝﹣85 题型 5 　有理数乘方的简单应用　 例5　某药厂生产了一批新药，装箱后存放在仓库中，为了方便清点，按10×10×10箱一堆的方式摆放，共摆放了10堆，已知每箱装100瓶药，每瓶药装100片． （1）这批药共有多少箱？ （2）这批药共有多少片？ 【答案】解：（1）10×10×10×10＝104（箱）；（2）10×10×10×10×100×100＝108（片）． 变式1　某种球形病毒，直径是0.01纳米，每一个病毒每经过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒，假如这种病毒在人体内聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不适．（1米＝109纳米） （1）那么人从感染到第一个病毒后，5分钟后体内病毒的长度是多少纳米？ （2）经过多少分钟人会感到不适． 【答案】解：（1）0.01×1×105＝103（纳米）； （2）∵第9分钟病毒数量长度是：0.01×1×109＝107（纳米）=（米）=（分米）， 第10分钟病毒数量长度是：0.01×1×1010＝108（纳米）=（米）＝1（分米）， ∴经过10分钟人会感到不适． 变式2　当你把纸对折一次时，就得到2层，当对折两次时，就得到4层，照这样折下去（最多折7次）． （1）你能发现层数和折纸的次数有什么关系吗？ （2）计算当你对折6次时，层数是多少； （3）如果纸的厚度是0.1mm，求对折7次时，总厚度是多少． 【答案】解：（1）纸对折一次时，就得到2层，即21层；当对折两次时，就得到4层，即22层；当对折三次时，就得到8层，即23层；当折纸的次数是n时，折得的层数是2n（1≤n≤7且n为正整数）； （2）26＝64，所以对折6次时，层数是64； （3）0.1×27＝0.1×128＝12.8（mm），所以对折7次时，总厚度是12.8mm 五、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　对于算式（﹣3）4，正确的说法是（　　） A．3是底数，4是指数 B．3是底数，4是幂 C．﹣3是底数，4是幂 D．﹣3是底数，4是指数 【答案】D解：在（﹣3）4中，﹣3是底数，4是指数，（﹣3）4是幂， 2.　对于(−3)×(−3)×⋯×(−3)共有m个(−3)相乘，若m＝2025，则其结果为（　　） A．正数　　B．负数　　C．0　　D．不能确定 【答案】B解：(−3)×(−3)×⋯×(−3)一共m个(−3)相乘=（﹣3）m， ∵负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数，∴m＝2025时，（﹣3）m是负数， 3.　计算的（﹣a）3•（﹣a）4结果是（　　） A．a7　　B．﹣a12　　C．a12　　D．﹣a7 【答案】D解：原式＝（﹣a）7＝﹣a7 4.　已知|a+5|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（　　） A．25　　B．﹣25　　C．10　　D．﹣10 【答案】A．解：∵|a+5|+（b﹣2）2＝0，∴a+5＝0，b﹣2＝0，∴a＝﹣5，b＝2，∴ab＝（﹣5）×2＝25． 5.　若33×36＝3m，则m的值为（　　） A．18　　B．9　　C．5　　D．3 【答案】B解：∵33×36＝33+6＝39，∴m＝9 B 档 　巩固提升　 1.　下列各组数相等的有（　　） A．（﹣2）2与﹣22 B．（﹣1）3与﹣（﹣1）2 C．﹣|﹣0.3|与0.3 D．|a|与a 【答案】B解：A．∵（﹣2）2＝（﹣2）×（﹣2）＝4，﹣22＝﹣2×2＝﹣4，故此选项不符合题意；B．∵（﹣1）3＝（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，﹣（﹣1）2＝﹣（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，故此选项符合题意；C．∵﹣|﹣0.3|＝﹣0.3，故此选项不符合题意；D．∵当a≥0时，|a|＝a，当a＜0时，|a|＝﹣a，故此选项不符合题意 2.　（﹣1）2n+（﹣1）2n+1＝ （n为正整数）． 【答案】解：原式＝1﹣1＝0， C 档 　提高拓展　 1.　若a，b为实数，且（a+3）2+|b﹣3|＝0，则()= ． 【答案】解：∵（a+3）2+|b﹣3|＝0，∴a+3＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣3，b＝3，∴()=()=−1． D 档 　压轴挑战　 1.　观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…通过观察，用你所发现的规律确定22009的个位数字是 ． 【答案】解：以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的，2009÷4＝502…1， 所以22006的个位数字是2， 2.　当a＝ 时，式子5+（a﹣2）2的值最小，最小值是 ． 【答案】解：当a＝2时，（a﹣2）2有最小值0，此时式子5+（a﹣2）2的值最小，最小值是5． 3.　如图某种细胞经过30分钟便由1个分裂成2个，经过3小时这种细胞由1个分裂成 个． 【答案】解：∵3÷=6（次），∴1个分裂26＝64个． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $