3.1.2正比例和反比例关系课堂讲义2026-2027学年人教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦正比例和反比例关系核心知识点，承接列代数式表示数量关系基础，通过定义（正比例y=kx、反比例y=k/x）、判断方法（找变量、看定量、作判断）及注意事项搭建学习支架，结合实例深化理解。 资料以生活实例（如单价与总价、路程与速度）引导学生用数学眼光观察数量关系，通过分步判断培养推理意识，借助公式与表格强化数学语言表达。课中例题助教师高效教学，课后分层练习（选择、解答等）帮学生查漏补缺，提升应用能力。

人教版七年级上册数学 · 新授课讲义 3.1 列代数式表示数量关系 （第2课时）正比例和反比例关系 【知识笔记】 1. 正比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 即 y/x = k（k为常数，k≠0），或 y = kx。 2. 反比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。 即 xy = k（k为常数，k≠0），或 y = k/x。 3. 判断正、反比例的方法： ① 找变量：确定两种相关联的量； ② 看定量：分析这两种量之间的关系是商一定还是积一定； ③ 作判断：商一定→正比例，积一定→反比例，都不一定→不成比例。 ▲正比例关系是比值（商）一定，反比例关系是乘积一定，注意区分。 ▲两种量必须是相关联的量，不相关联的量不成比例。 ▲圆的面积与半径不成正比例（S/r=πr，r变化，比值不固定），但圆的周长与直径成正比例。 【例题讲解】 考点1. 判断正比例关系 例题1. 下列各题中的两种量，成正比例关系的是（ ） A．人的身高与体重 B．正方形的周长与边长 C．圆的面积与半径 D．路程一定，速度与时间 例题2. 判断下列各题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。 (1) 单价一定，总价与数量； (2) 长方形的宽一定，面积与长； (3) 一个人的年龄与身高。 考点2. 判断反比例关系 例题1. 下列各题中的两种量，成反比例关系的是（ ） A．时间一定，路程与速度 B．数量一定，单价与总价 C．面积一定，平行四边形的底与高 D．圆的周长与半径 例题2. 判断下列各题中的两种量是否成反比例关系，并说明理由。 (1) 总价一定，单价与数量； (2) 长方体体积一定，底面积与高； (3) 总页数一定，已看页数与未看页数。 考点3. 正、反比例的综合应用 例题1. 已知a×b=c（a、b、c均不为0）。 (1) 当a一定时，b和c成____________比例； (2) 当b一定时，a和c成____________比例； (3) 当c一定时，a和b成____________比例。 例题2. 某工厂生产一批零件，每天生产的个数与需要的天数如下表： 每天生产个数：100、200、300、400 需要天数：6、3、2、1.5 每天生产个数与需要天数成什么比例关系？为什么？ 【课堂练习】 1. 下列各组量中，成正比例关系的是（ ） A．长方形的面积一定，长和宽 B．圆的半径和面积 C．工作效率一定，工作总量和工作时间 D．正方形的边长和面积 2. 判断：出油率一定，香油的质量与芝麻的质量成正比例。（ ） 3. 下列各组量中，成反比例关系的是（ ） A．速度一定，路程和时间 B．长方形周长一定，长和宽 C．三角形面积一定，底和高 D．单价一定，总价和数量 4. ：铺地面积一定，每块砖的面积和需要的块数成反比例。（ ） 5. 若x/7=y（x、y均不为0），则x和y成____________比例；若7/x=y，则x和y成____________比例。 6. 已知x和y成正比例，当x=2时y=8，则当x=5时y=____________。 【课后巩固】 一、单选题 1．下列各组量中，成正比例关系的是（ ） A．路程一定，速度和时间 B．圆的周长和直径 C．身高和跳高的高度 D．一本书，已读页数和未读页数 2．下列各组量中，成反比例关系的是（ ） A．时间一定，路程和速度 B．数量一定，单价和总价 C．长方形的长一定，周长和宽 D．圆柱体积一定，底面积和高 3．下列说法正确的是（ ） A．长方形的周长一定，长与宽成反比例 B．圆的面积与半径成正比例 C．正方体的体积与棱长成正比例 D．路程一定，车轮直径与转数成反比例 4．若x、y均不为0，表示x和y成反比例关系的式子是（ ） A．x+y=6 B．x=6y C．x-y=6 D．xy=6 5．若y=8/x，则y与x（ ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 6．下列各题中，两种量成正比例关系的有（ ） ①比例尺一定，图上距离与实际距离；②正方形的面积与边长； ③3x=5y（x、y均不为0），x与y；④圆的周长与半径。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的____________一定，这两种量就叫作成正比例的量；如果____________一定，就叫作成反比例的量。 8．若5x=y（x、y均不为0），则x和y成____________比例；若xy=5，则x和y成____________比例。 9．已知x和y成反比例，当x=3时y=4，则当x=6时y=____________。 10．在"单价×数量=总价"中，若总价一定，单价和数量成____________比例；若单价一定，总价和数量成____________比例。 11．观察下表：x与y成____________比例，表中a=____________。 x：2、3、5；y：6、9、a 三、解答题 12．判断下列各题中的两种量是否成比例，成什么比例，并说明理由。 (1) 每袋大米的质量一定，大米的总质量和袋数； (2) 铺地面积一定，方砖边长和所需块数； (3) 长方体的底面积一定，体积和高； (4) 总人数一定，每行站的人数和站的行数。 13．已知A×B=C。 (1) 当A一定时，B和C成什么比例？为什么？ (2) 当C一定时，A和B成什么比例？为什么？ 14．某工厂加工一批零件，每天加工的数量和需要的天数如下表： 每天加工数量：120、180、240、360 需要天数：6、4、3、2 (1) 表中有哪两种相关联的量？ (2) 写出两组这两种量中相对应两个数的积，并比较积的大小； (3) 这个积表示什么？这两种量成什么比例关系？ 15．一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶50km，6小时可以到达。 (1) 如果每小时行驶60km，几小时可以到达？ (2) 如果要5小时到达，每小时应行驶多少千米？ (3) 速度和时间成什么比例关系？ 答案 【例题讲解】 考点1. 判断正比例关系 例题1：B 例题2：(1) 成正比例，总价/数量=单价（一定）；(2) 成正比例，面积/长=宽（一定）；(3) 不成比例 考点2. 判断反比例关系 例题1：C 例题2：(1) 成反比例，单价×数量=总价（一定）；(2) 成反比例，底面积×高=体积（一定）；(3) 不成反比例，和一定不是积一定 考点3. 正、反比例的综合应用 例题1：(1) 正；(2) 正；(3) 反 例题2：成反比例关系，因为每天生产个数×需要天数=600（零件总数一定） 【课堂练习】 1. C 2. √ 3. C 4. √ 5. 正，反 6. 20 【课后巩固】 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D D D B C 7．比值（商），乘积 8．正，反 9．2 10．反，正 11．正，15 12．(1) 正比例；(2) 不成比例；(3) 正比例；(4) 反比例 13．(1) 正比例，C/B=A（一定）；(2) 反比例，A×B=C（一定） 14．(1) 每天加工数量和需要天数；(2) 120×6=720，180×4=720，积相等；(3) 零件总数，反比例 15．(1) 5小时；(2) 60km；(3) 反比例 3.1 列代数式表示数量关系 学科网（北京）股份有限公司 $