25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的定义，通过复习方程定义和已学方程类型，结合雕像比例、方盒制作等实际问题列方程，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生逐步理解概念。 其亮点是以实际问题驱动教学，引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过对比一元一次方程归纳三要素培养数学思维。课堂练习分层设计强化模型意识，助力学生提升抽象概括能力，也为教师提供清晰教学路径。

第25章 一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 人教版九年级上册 教学目标 01 02 理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的三大判定特征；熟 记一元二次方程的一般形式，能准确识别方程的各项及系数；掌握 方程根的定义，会检验一个数是否为一元二次方程的根。 经历“实际问题列方程—观察对比—归纳概念辨析应用”的全过 程，提升抽象概括、类比迁移、数学建模的能力。 感受方程与生活的紧密联系，体会数学建模的实用性，培养严谨的 数学辨析思维，激发主动探究代数问题的兴趣。 03 1.下列哪些式子是方程？ 2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 x−5<18 −2=9 × 没有未知数 × 代数式 √ √ × 不等式 √ 新知导入 2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫作方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 只含一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫作一元一次方程. 新知导入 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 解：雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量关系： AC∶BC=BC∶5， 即BC2=5AC. 设雕像腰部以下的身长BC为x m， 根据上述等量关系，就可以列出方程 x2=5(5-x)， 整理得 x2+5x-25=0. ① 解这个方程就可以得出雕像腰部以下的身长. A C B 5-x x 新知讲解 问题1 如图 25.1-1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm。在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图 25.1-2）。 如果要制作的无盖方盒的底面积为 3 600 cm²，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 新知讲解 问题1 设各角切去的正方形铁皮的边长为xcm，则盒底的长为（100-2x）cm，宽为（50-2x）cm，根据方盒的底面积为3 600 cm’，可列得方程 (100-2x)(50-2x) = 3 600. 整理并化简，得 -75x+350=0. ② 由方程②可以得出各角所切正方形铁皮的边长. 方程②中未知数的个数和最高次数各是多少？ 新知讲解 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 新知讲解 问题2 设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他（x-1）支球队各赛1场，则此次邀请赛共需进行x（x-1）场，所以可列得方程 x（x-1） = 28 . 整理并化简，得 - x – 56 = 0. ③ 由方程③可以得出应邀请的球队数. 为什么需要进行x（x-1）场? 方程③中未知数的个数和最高次数各是多少？ 新知讲解 思考 方程①②③都不是一元一次方程.那么这几个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ x2−75x+350 = 0 ② x2−x−56 = 0 ③ x2+5x−25 = 0 ① 特点： 1.都是整式方程； 2.只含一个未知数； 3.未知数的最高次数是2. 新知讲解 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的三要素 1.是整式方程 2.只含有一个未知数 3.整理后未知数的最高次数是2 注意 要从原方程和整理后的方程两方面判断 新知讲解 一元二次方程的一般形式 a x 2 ＋ b x ＋ c ＝ 0 （a≠0） 二次项系数 一次项系数 常数项 二次项 一次项 为什么规定a≠0，b，c可以为0吗？ 新知讲解 当 a＝0时， bx＋c＝0 当a≠0，b＝0时， ax2＋c＝0 当a≠0，c＝0时， ax2＋bx＝0 当a≠0，b＝c＝0时， ax2＝0 归纳：只要满足a≠0，b，c可以为任意实数． 新知讲解 判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键 观察含有未知数的式子是否为整式 不是一元二次方程 使方程的右边为0，左边合并同类项 观察是否满足“一元”和“二次” 不是一元二次方程 是一元二次方程 是 是 否 否 新知讲解 例1 将方程 3x(x-1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 它的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 新知讲解 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 判断一个数是不是一元二次方程的根的方法：将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个方程的根． 新知讲解 试一试 下列哪些数是一元二次方程  的解？ -1，0，1，3. 解：当x=-1时，左边=(-1)2-4×(-1)+3=8， ∵左边≠右边， ∴-1不是方程x2-4x+3=0的解； 当x=0时，左边=0-0+3=3， ∵左边≠右边， ∴0不是方程x2-4x+3=0的解； 新知讲解 试一试 下列哪些数是一元二次方程  的解？ -1，0，1，3. 解：当x=1时，左边=12-4×1+3=0， ∵左边=右边， ∴1是方程x2-4x+3=0的解； 当x=3时，左边=32-4×3+3=0， ∵左边=右边， ∴3是方程x2-4x+3=0的解. 综上可知，1和3是一元二次方程x2-4x+3=0的解. 新知讲解 1.下列方程：①2x2＋3y＝0；②x2＋＝2；③-x2+2x－9＝0；④6x2－3x＝2(3x2－2)，其中是一元二次方程的有(　　) A．1个　　B. 2个　　C．3个　　D．4个 A 2. 一元二次方程4x2=6x+2的二次项系数和一次项分别是（ ） A. 4，6 B. 4，-6 C. 4，-6x D.4x2 ，6x C 课堂练习 3.关于x的方程(a–1)x2+4x–3=0是一元二次方程，则（ ） A. a>1 B. a=1 C. a≠1 D. a≥0 4.已知关于 x 的方程 xk–1–2x+3=0 是一元二次方程，则k=______. C 3 课堂练习 5．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）3x2＋1＝6x； （2）4x2＝81－5x； 解：（1）一般形式：3x2－6x＋1＝0． 二次项系数：3． 一次项系数：－6． 常数项：1． （2）一般形式：4x2＋5x－81＝0． 二次项系数：4． 一次项系数：5． 常数项：－81． 课堂练习 6. 下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？ -4，－3， －2， －1， 0， 1， 2， 3， 4. 解：-4，3 课堂练习 7. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）一个矩形的长比宽多1 cm，面积是132 cm2，矩形的长和宽各是多少？ （2）参加一次聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？ 解：设矩形的长为x cm，则宽为(x-1)cm. 根据题意，得x(x-1)=132, 整理，得 x2-x-132=0. 解：设有x人参加了这次聚会. 根据题意，得x(x-1)=10， 整理，得 x2-x-20=0. 课堂练习 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0） 只含有一个未知数 未知数的最高次数是2 是整式方程 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的解（根） 一元二次方程的概念 课堂小结 25.1一元二次方程的概念 1.一元二次方程的概念： 2.一元二次方程的解： 板书设计 $