2.8直角三角形全等的判定 教学课件 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形全等的“HL”判定定理，通过新知导入回顾直角三角形判定方法及一般三角形全等判定，以“两边一角对应相等是否全等”的问题链引导探究，搭建新旧知识学习支架。 其亮点在于采用合作学习（作图、叠合）培养几何直观与空间观念，通过严谨证明过程发展推理能力，结合分层练习（基础、提升、拓展）落实应用意识。结构化小结明确“HL”内容、前提与方法，助力学生构建知识体系，教师可借助此资料提升教学效率与学生探究能力。

第2章 特殊三角形 2.8直角三角形全等的判定 （浙教版）八年级 上 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 课堂练习 05 课堂小结 06 板书设计 01 教学目标 01 02 重点应用HL定理：明确“斜边和直角边对应相等（HL）”是直角三角形特有的判定方法，并能用规范的几何语言书写证明过程。 探究推理能力：通过画图、剪拼等实践活动，探索直角三角形全等的条件，体会数学猜想与验证的过程。 严谨性培养：感受几何证明的严密性，养成步步有据的数学表达习惯。 应用意识：体会直角三角形全等在实际问题（如测量、建筑）中的应用价值，增强学习兴趣。 03 02 新知导入 问题：怎么判断一个三角形是直角三角形？ 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形. 三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形. 三角形的三条边满足a2 + b2 = c2的三角形是直角三角形. 03 新知讲解 合作学习 （1）回顾：要判定两个三角形全等，我们已经有哪些方法？ 判定方法 简称 图示 A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' 三边分别相等 两边和它们的 夹角分别相等 两角和它们的 夹边分别相等 两角分别相等且其中 一组等角的对边相等 SSS SAS AAS ASA 定义法：能够重合的两个三角形是全等三角形 03 新知讲解 合作学习 （2）有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？如果对应角是直角呢？可以通过作图、叠合等方法进行探索。 如图，已知AC=DF，BC=EF， ∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？ 我们知道，证明三角形全等不存 在SSA定理. A B C D E F 03 新知讲解 合作学习 （2）有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？如果对应角是直角呢？可以通过作图、叠合等方法进行探索。 A B C D E F 03 新知讲解 A B C (1)画∠MC′N =90°； (2)在射线C′M上取B′C′=BC； (3)以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′ N于点A′； (4)连接A′B′． 现象：两个直角三角形能重合． 说明：这两个直角三角形全等． 画法： A′ N M C′ B′ 03 新知讲解 直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 如图，在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL） AB=A′B′ ， BC = B′C′， 几何语言： C A B C' A' B' 03 新知讲解 如图，在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL） AB= A′B′ ， BC = B′C′， 几何语言： 注意 ①“H”代表斜边，“L”代表直角边. 顺序不要混淆 ②“HL”是判定直角三角形全等的特有方法，两个“△”前要加“Rt”. C A B C' A' B' 03 新知讲解 证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 已知:如图，在△ACB 和△A'C'B'中，∠C=∠C'=Rt∠,AB=A'B',AC=A'C'. 求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. A B C A' B' C' 分析：因为 AC＝A'C'，所以可考虑以 AC 为一边作一个直角三角形，使它和 Rt△A'B'C'全等，然后只要证明所作的直角三角形和Rt△ABC全等。 03 新知讲解 证明 如图，延长BC至D. 使 CD=B'C'，连结AD. 由AC=A'C'(已知)，∠ACD=Rt∠=∠C' 得△ADC≌△A'B'C'(SAS) 故有AD=A'B'（全等三角形的对应边相等) 因为A'B'=AB(已知)， 所以AD=AB. 又因为AC⊥BD，AC是等腰三角形ABD的高线， 所以BC＝CD（等腰三角形三线合一）。 而AC＝AC（公共边）， A B C D 可得△ADC ≌△ABC（SSS）， 所以△ABC ≌△A'B'C'。 03 新知讲解 “HL”是直角三角形所独有的判定三角形全等的定理， 直角三角形全等的判定,除了“HL”外,还可用SAS，ASA，SSS，AAS. “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 03 新知讲解 做一做 已知线段 a，c（如图），用直尺和圆规作Rt△ABC， 使∠C＝Rt∠，BC＝a，AB＝c。 c 画法：1.画∠MCN=90 °. 3.以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A. 4.连结AB △ABC就是所要画的直角三角形. M C N a B c A 2.在射线CM上取CB=a. 03 新知讲解 已知：如图，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分 别是垂足，且PD＝PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。 例 分析：如图，要证明点P在∠AOB的平分线上，可以转化为证明射线OP平分∠AOB。 03 新知讲解 已知：如图，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分 别是垂足，且PD＝PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。 例 证明：如图，作射线OP。 由PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， 可得∠PDO＝∠PEO＝Rt∠。 又因为OP＝OP（公共边），PD＝PE（已知）， 所以Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。 所以∠1＝∠2，即点P在∠AOB的平分线上（角平分线的定义）。 03 新知讲解 角平分线性质定理的逆定理： 角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 应用所具备的条件： 定理的作用：判断点是否在角平分线上. （1）位置关系：点在角的内部 （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. A O B P D E C 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE. ∴点 P 在 ∠AOB 的平分线上. 04 课堂练习 基础题 1.如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（　　） A．AC＝AD或BC＝BD B．AC＝AD且BC＝BD C．∠BAC＝∠BAD D．以上都不对 A 04 课堂练习 基础题 2. 如图，在 △ABC 中，AD ⊥ BC 于点 D，CE ⊥ AB 于点 E ，AD，CE 交于点 H，已知 EH ＝ EB ＝ 3，AE ＝ 4，则 CH 的长为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 A 04 课堂练习 基础题 3. 如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 ，理由是 “ ”（填简称）． AB=DC或AC=DB HL 04 课堂练习 基础题 4.如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC． 求证：Rt△ABC≌Rt△DEF． 证明：∵BF＝EC， ∴BF+FC＝FC+EC. 即BC＝EF . ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABC和△DEF都是直角三角形 . 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． 04 课堂练习 提升题 D 1.如图，∠EBF，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M，N，连结CP，则下列结论中正确的是(　　) ①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°； ③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP. A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 04 课堂练习 提升题 115° 2.如图，作△ABC的两内角平分线与两外角平分线，其交点分别为点O与点D，连结OA，已知∠D＝65°，则∠BOC＝________，∠BAO＝________． 25° 04 课堂练习 拓展题 BM＋NC＝MN 在等边三角形ABC的两边AB，AC所在直线上分别有M，N两点，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC.探究当点M，N分别在直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系． (1)如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM＝DN时， BM，NC，MN之间的数量关系是______________． 04 课堂练习 拓展题 (2)如图②，当点M，N在边AB，AC上，且DM≠DN时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【解】(1)中的结论仍然成立． 证明：如图①，在NC的延长线上截取CM1＝BM， 连结DM1，易知∠MBD＝∠M1CD＝90°. 又因为BD＝CD，BM＝CM1， 所以△DBM≌△DCM1(SAS)． 所以DM＝DM1，∠MDB＝∠M1DC. 因为∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， 04 课堂练习 拓展题 所以∠M1DN＝∠NDC＋∠CDM1＝∠NDC＋∠BDM＝∠BDC－∠MDN ＝120°－60°＝60°. 所以∠MDN＝∠M1DN＝60°. 又因为DM＝DM1，DN＝DN， 所以△MDN≌△M1DN(SAS)． 所以MN＝M1N＝M1C＋NC＝BM＋NC. 04 课堂练习 拓展题 (3)如图③，当M，N分别在边AB，CA的延长线上时，探索BM，NC，MN之间的数量关系，并给出证明． 【解】NC－BM＝MN. 证明：如图②，在边AC上截取CM2＝BM， 连结DM2.易得△DBM≌△DCM2， 所以DM＝DM2，∠MDB＝∠M2DC. 因为∠MDN＝60°， 所以∠MDB＋∠BDN＝∠M2DC＋∠BDN＝60°. 又因为∠BDC＝120°，所以∠M2DN＝60°＝∠MDN. 04 课堂练习 拓展题 又因为DN＝DN，DM＝DM2， 所以△MDN≌△M2DN(SAS)． 所以MN＝M2N.所以NC＝CM2＋M2N＝BM＋MN. 所以NC－BM＝MN. 05 课堂小结 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. “斜边、直角边” 在直角三角形中 内容 前提条件 在直角三角形中，只要有两边对应相等，则直角三角形全等 使用方法 06 板书设计 2.8直角三角形全等的判定 1.直角三角形全等的判定定理： 2.角平分线性质定理的逆定理： $