5.4 二元一次方程与一次函数 第1课时 (课件) 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程与一次函数的关系，通过复习一次函数概念，以“二元一次方程能否转化为一次函数形式”设问引入，搭建从一次函数到二元一次方程的知识支架，逐步探究方程解与函数图象点的对应关系及方程组与函数交点的联系。 其亮点在于以“数”“形”结合为主线，通过列表描点、画图找交点等操作，培养学生几何直观与推理意识，如用函数图象解决相遇问题发展模型意识。采用探究式教学，学生能深化知识理解，教师可高效落实教学目标。

北师版八年级上册 5.4 二元一次方程与一次函数 第五章 二元一次方程组 第1课时　二元一次方程与一次函数 一次函数的概念： 若两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 （k，b为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的一次函数. 复习回顾 新课探究 二元一次方程 一次函数 变形 二元一次方程 可以化成一次函数的形式吗？ 有什么关系？ （1）方程 x+y=5 的解有多少个？ 写出其中的几个. 有无数个 知识点一 二元一次方程与一次函数的关系 新课探究 4 （2）在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数 y = 5−x 的图象上吗？ 列表 描点 连线 x 2 4 6 7 … y=5−x 3 1 -1 -2 … 画一次函数的图象： y = 5−x 5 在一次函数 y = 5−x 的图象上. y = 5−x （2）在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数 y = 5−x 的图象上吗？ 6 （3）在一次函数 y=5−x 的图象上任取一点，它的坐标满足方程 x+y=5 吗？ （4）以方程 x+y=5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y=5−x 的图象相同吗？ 满足 相同 恒等变形 y = 5−x 7 方程 x+y=5 的解有无数个． 以方程 x+y=5 的解为坐标的点组成的图象与一次函数 y=5−x 的图象相同，是同一条直线. 8 一个二元一次方程对应着平面上的一条直线. 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线. 归纳小结 直线 y=kx+b （k≠0）的表达式是一个关于 x, y 的二元一次方程. 方程的解与对应函数图象上的点的坐标一一对应. 10 1.填空：二元一次方程2x－y＝4有　 　个解，以它的每一组解为坐标的点都在一次函数　 　的图象上.  无数 y＝2x－4 对应练习 2.以二元一次方程2x＋y＝－1的解为坐标的点组成的图象可能是( ) D A.3x－2y＋3.5＝0 B.3x－2y－3.5＝0 C.3x－2y＋7＝0 D.3x＋2y－7＝0 3.如图，过点Q(0，3.5)的一次函数的图象与正比例函数 y＝2x的图象相交于点P，则以这个一次函数图象上的点坐标为解的方程是( ) D 通过对二元一次方程与一次函数的对比分析，我们发现： 从“数”的角度看，方程与函数描述的是同样的关系； 从“形”的角度看，它们对应解（点）组成的图象相同. 那么二元一次方程组与一次函数之间是否也有数与形上的关系呢？ 14 知识点二 二元一次方程组与一次函数的关系 在同一平面直角坐标系中分别画出一次函数 y=5−x 和 y=2x−1 的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组 的解有什么关系？ x+y=5, 2x−y=1 操作·思考 o y x A y=2x-1 y=5-x 15 o y x A y=2x-1 y=5-x 3 2 一次函数 y=5−x 和 y=2x−1 图象的 交点为A(2, 3)，而 就是方程组 的解. x+y=5, 2x−y=1 x=2, y=3 一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标. 16 在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=x+1 和 y=x−2 的图象有怎样的位置关系？ 方程组 解的情况如何？你 发现了什么？与同伴进行交流. 平行 方程组没有解 x−y=−1, x−y=2 思考·交流 17 规律总结 二元一次方程组的解 两个一次函数的图象上的点 无解 平行（无交点） 有一个解 相交（有一个交点） 有无数个解 重合（有无数个交点） 数 形 18 1.[教材P132习题5.4第1题改编]下列方程组的解组成的有序数对是一次函数y＝2－x和y＝3x＋2的图象的交点坐标的是( ) A. B. C. D. B 对应练习 2.如图，一次函数y＝2x＋1的图象与y＝kx＋b的图象相交于点A，则方程组的解是  　.  3.[教材P129随堂练习第3题改编]如图，一次函数y1＝2x＋m与y2＝2x＋n(m≠n)的图象位置关系是　 　；关于x，y的二元一次方程组的解的个数为　 　.  　0　 　平行　 4.下列选项中，直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x－3y＝6的解的是( ) D 二元一次方程与一次函数的关系： 每个二元一次方程都可转化为一次函数； 以二元一次方程 的解 为坐标的点(s, t)在一次函数 的图象上. 课堂小结 23 二元一次方程组 两个一次函数 两条直线 解 两个一次函数值相等时的自变量的值及函数值 两条直线的 交点的坐标 转化 对应 二元一次方程组与一次函数的关系： 课堂小结 24 1. 下列一次函数中，其图象与以二元一次方程2x＋y－5＝0的 解为坐标的点组成的图象完全相同的是(　D　) A. y＝－5＋2x B. y＝－5－2x C. y＝5＋2x D. y＝5－2x D 课堂练习 A层 基础练 2. 已知一次函数y1＝2x＋m与y2＝2x＋n(m≠n)的图象如图 所示，则关于x与y的二元一次方程组 的解的 个数为(　A　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 A A层 基础练 3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋b与直线y＝ －3x＋6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组 的解是 　​ 　。 ​ A层 基础练 4. 已知方程组 的解为 则直线y＝－x ＋2与直线y＝2x－7的交点在平面直角坐标系中位于第 ⁠ 象限。 四　 A层 基础练 5. 一次函数y1＝k1x＋b和y2＝k2x的图象上一部分点的坐标如 下表： x －4 1 2 3 y1 －11 －1 1 3 y2 4 －1 －2 －3 则方程组 的解为 　​ 　。 ​ A层 基础练 6. (教材P129练习T2•改编)(1)请在如图所示的平面直角坐标系 中画出一次函数y＝－2x＋4和y＝x＋1的图象； (2)(1)中所画两条直线的交点坐标可以看作哪个方程组的解？ 解：(2)两条直线的交点坐标可以看作方程组 的解。 解：(1)如图所示。 (2)两条直线的交点坐标可以看作方程组的解。 答图 A层 基础练 7. 若关于x，y的二元一次方程组 无 解，则一次函数y＝kx＋2的图象经过的象限是(　A　) A. 第一、二、四象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第一、二、三象限 A B层 提升练 8. 若直线y＝ax＋7经过一次函数y＝4－3x和y＝2x－1的图 象的交点，则a的值为 ⁠。 －6　 B层 提升练 9. 小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前 往甲地，他们同时出发，则两人离甲地的距离y(单位：m)与出 发时间x(单位：min)之间的函数关系如图所示。求当两人相遇 时，他们到甲地的距离。 解：设小丽离甲地的距离y(单位：m)与出发时间x(单位：min) 之间的函数关系式为y1＝ax(a≠0)。 将点(30，2 400)代入y1＝ax，得30a＝2 400。解得a＝80。 所以y1＝80x(0≤x≤30)。 解：设小丽离甲地的距离y(单位：m)与出发时间x(单位：min) 之间的函数关系式为y1＝ax(a≠0)。 将点(30，2 400)代入y1＝ax，得30a＝2 400。 解得a＝80。 所以y1＝80x(0≤x≤30)。 B层 提升练 设小华离甲地的距离y(单位：m)与出发时间x(单位：min)之间的 函数关系式为y2＝kx＋b(k≠0)。 将点(20，0)和(0，2 400)分别代入y2＝kx＋b，得20k＋b＝0，b ＝2 400。 将b＝2 400代入20k＋b＝0， 得20k＋2 400＝0。解得k＝－120。 设小华离甲地的距离y(单位：m)与出发时间x(单位：min)之间的函数关系式 为y2＝kx＋b(k≠0)。 将点(20，0)和(0，2 400)分别代入y2＝kx＋b，得20k＋b＝0，b＝2 400。 将b＝2 400代入20k＋b＝0， 得20k＋2 400＝0。解得k＝－120。 9. 小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，他们同时出 发，则两人离甲地的距离y(单位：m)与出发时间x(单位：min)之间的函数关系如 图所示。求当两人相遇时，他们到甲地的距离。 所以y2＝－120x＋2 400(0≤x≤20)。 联立，得 解得 所以当两人相遇时，他们到甲地的距离是960 m。 B层 提升练 10. (核心素养•几何直观)如图，直线l1：y＝x＋5交y轴、x轴于A，B两点， 直线l2：y＝－ x－1交y轴、x轴于C，D两点，直线l1，l2相交于点P。 (1)方程组 的解是 　​ 　； ​ (2)求直线l1，l2与x轴围成的三角形的面积。 (2)解：把y＝0代入y＝x＋5，得x＝－5。 把y＝0代入y＝－ x－1，得x＝－2。 所以B(－5，0)，D(－2，0)。 由(1)可知P(－4，1)， 所以直线l1，l2与x轴围成的三角形的面积为 ×(－2＋5)×1＝ 。 C层 拓展练 $