专题06 有理数混合运算（重难点讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦有理数混合运算核心知识点，构建从运算优先级（先乘方再乘除最后加减，同级从左到右，括号由小到大）、乘方定义（区分底数意义）、符号规律（正数任意次幂正，负数偶正奇负，0正整数次幂0）到运算律（加法交换/结合律，乘法交换/结合律，分配律）的学习支架，结合化简要点（统一形式、分步定符号）与转化思想（减法转加法、除法转乘法），形成完整知识脉络。 资料通过新定义运算（如“☆”运算）、二进制与十进制变换（如二进制101101转十进制）、二十四点游戏等多样题型，培养学生抽象能力、运算能力与应用意识。巩固与强化训练结合实例分析（如错解辨析），课中辅助教师突破难点，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与表达能力。

专题 06 有理数混合运算 1. 牢记有理数运算优先级，规范完成含乘方、多层括号综合计算； 2. 灵活使用五大运算律进行简便计算； 3．依托转化统一算式形式、整体分组简算，突破乘方符号易错、多层括号计算难点； 4. 综合解决含乘方实际统计压轴计算题。 （一）基础核心知识点 运算优先级：先乘方→再乘除→最后加减；同级从左向右；括号由小到大依次计算。 乘方定义：表示个相乘；底数为，底数仅为，二者意义不同。 乘方符号规律：正数任意次幂为正；负数偶次幂正、奇次幂负；0正整数次幂为0。 运算律：加法交换/结合律、乘法交换/结合律、乘法分配律（可正向、逆向使用）。 （二）混合运算化简要点 统一形式：小数、分数互化，减法转加法，除法转乘法；分配律去括号时，括号外数字、符号需乘括号内每一项； 计算顺序：先定整体符号，再计算数值，分步验算减少错误。 （三）核心数学思想 转化思想：减法、除法、小数分数互相转化，统一算式结构，方便使用运算律简算。 题型 01 新定义运算 【典例1】用“☆“定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝a2b﹣ab+1，则（﹣2）☆3的值为（　　） A．﹣17 B．19 C．﹣13 D．13 B【解析】（﹣2）☆3＝（﹣2）2×3﹣（﹣2）×3+1 ＝12+6+1 ＝19，故选：B． 【变式】定义一种新运算：m⊕n＝m2﹣mn，则（﹣3）⊕2的结果为（　　） A．﹣3 B．3 C．15 D．﹣15 C【解析】根据题意得，（﹣3）⊕2＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）＝9+6＝15，故选：C． 题型 02 二进制与十进制运算的变换 【典例2】已知20＝1，计算机使用的是二进制计算法，是逢2进1，如二进制数字10011可以写为十进制数字19，因为1×24+0×23+0×22+1×21+1×20＝19，则二进制数字101101可以写为十进制数字的是（　　） A．34 B．44 C．45 D．53 C【解析】二进制数字101101可以写为十进制数：1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20＝45，故选：C． 【变式】我们常用的十进制，如；2025＝2×103+0×102+2×101+5，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中111＝1×22+1×21+1．相当于十进制中的7，又如：11011＝1×24+1×23+0×22+1×21+1．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的（　　） A．10011 B．11001 C．11010 D．11101 B【解析】根据二进制的表示方法可知，25＝1×24+1×23+0×22+0×21+1，故十进制中的25相当于二进制中的11001． 题型 03 与基本概念相关的运算 【典例3】若m是最大的负整数，a，b互为相反数，c，d互为倒数，则m﹣3a﹣3b﹣cd的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．0 D．0或2 A【解析】∵m是最大的负整数，a和b互为相反数，c和d互为倒数， ∴m＝﹣1，a+b＝0，cd＝1， ∴m﹣3a﹣3b﹣cd＝﹣3a﹣3b+m﹣cd＝﹣3a﹣3b﹣1﹣1＝﹣2． 【变式】a、b互为倒数，m、n互为相反数，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． A【解析】∵a和b互为倒数，m和n互为相反数， ∴ab＝1，m+n＝0， ∴． 题型 04 “二十四点”游戏运算 【典例4】有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是﹣1，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24：　　 ． （5﹣11）×（﹣1）×4（答案不唯一）【解析】（5﹣11）×（﹣1）×4＝24． 【变式】有一种游戏叫24点游戏，规则是：2位小朋友从分得的26张扑克牌（不含大小王，J算11点、Q算12点、K算13点、A算1点）各抽出2张，共4个点数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24．如：两人抽出的点数为2、3、4、5，可以由（5+3﹣2）×4＝24或42+3+5＝24．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌的点数分别是3、4、1、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请你写出一个成功的算式：　 　 ＝24． 4×7﹣3﹣1（答案不唯一）【解析】根据题意得：4×7﹣3﹣1＝24（答案不唯一）． 【巩固训练】 1. 下列计算正确的是（　　） A．（﹣2）3＝﹣6 B． C． D．﹣32﹣（﹣2）3＝1 C【解析】A、（﹣2）3＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝﹣8≠﹣6，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、﹣32﹣（﹣2）3＝﹣9﹣（﹣8）＝﹣9+8＝﹣1≠1，原计算错误，不符合题意． 2. 如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4﹣q）＝4，则4m+3n+2p+q的最大值为（　　） A．47 B．48 C．49 D．50 A【解析】∵四个互不相同的正整数m，n，p，q，满足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4﹣q）＝4， ∴要求4m+3n+2p+q的最大值，则有：4﹣m＝﹣2，4﹣n＝﹣1，4﹣p＝1，4﹣q＝2， 解得：m＝6，n＝5，p＝3，q＝2， ∴4m+3n+2p+q＝24+15+6+2＝47． 3. 在代数式“（﹣2﹣3）□4”的“□”中填入运算符号“+”“﹣”“×”“÷”，要使运算的结果最小，则“□”中填入的运算符号是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ C【解析】（﹣2﹣3）+4＝﹣5+4＝﹣1，（﹣2﹣3）﹣4＝﹣5﹣4＝﹣9， （﹣2﹣3）×4＝﹣5×4＝﹣20， （﹣2﹣3）÷4＝﹣5÷4＝﹣1.25， ∵﹣20＜﹣9＜﹣1.25＜﹣1，∴要使运算的结果最小，则“□”中填入的运算符号是×． 4. 计算：　　 ． ﹣1【解析】原式＝1﹣2＝﹣1． 5. 计算或简化： （1）﹣44﹣（）×[4﹣（﹣2）2]﹣1； （2）18﹣6÷（﹣2）3×（）． 解:（1）原式＝﹣256﹣（）×0﹣1 ＝﹣256﹣1 ＝﹣257； （2）原式＝18﹣6×（）×（） ＝18 ＝17． 6. 下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程． 计算：（﹣4）2×5﹣（﹣2）3÷4 嘉嘉： 解：原式＝﹣16×5﹣（﹣8）÷4第一步 ＝﹣80﹣（﹣2）第二步 ＝﹣80+2第三步 ＝﹣78第四步 琪琪： 解：原式＝16×5﹣（﹣8）÷4第一步 ＝80﹣（﹣8）÷4第二步 ＝88÷4第三步 ＝22第四步 （1）请指出两名同学的错误分别在第几步； （2）请你写出正确的解答过程． 解:（1）根据有理数的混合运算法则可知：嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步． （2）（﹣4）2×5﹣（﹣2）3÷4 ＝16×5﹣（﹣8）÷4 ＝80﹣（﹣2） ＝80+2 ＝82． 7. 一个不透明的袋子里装有4个小球，小球上分别标有数字：﹣8，0，2，5．现从袋子中随机摸出3个小球，对小球上的数字进行运算． （1）①若摸出的3个小球上分别标有2，﹣8，5，计算：2×5﹣|﹣8|； ②若摸出的3个小球上所标数字的积不为0，求这3个数字的和； （2）将随机摸出的3个小球上的数字按一定顺序填入“□﹣□﹣□”中的“□”内，直接写出计算结果的最大值． 解:（1）①原式＝10﹣8＝2；②根据题意可知，摸出的3个数字为﹣8，2，5． ∴这3个数字的和为：﹣8+2+5＝﹣1； （2）当摸出的3个小球上的数字为5，0，﹣8时，计算结果最大， 即5﹣0﹣（﹣8）＝13，即计算结果的最大值为13． 8. 已知算式“（﹣2）×4﹣8”． （1）请你计算上式结果； （2）嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为﹣11，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； （3）淇淇把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 解:（1）（﹣2）×4﹣8 ＝﹣8﹣8 ＝﹣16； （2）设嘉嘉把“8”错写成了x，根据题意得：（﹣2）×4﹣x＝﹣11， 解得：x＝3， ∴嘉嘉把“8”错写成了3； （3）淇淇的结果为 （﹣2）+4﹣8 ＝2﹣8 ＝﹣6， ﹣6﹣（﹣16）＝10，∴淇淇的计算结果比原题的正确结果大10． 【强化训练】 1. （2026•莘县校级模拟）在人工智能的众多算法和数据处理中，经常涉及不同进制数之间的转换操作．二进制数（101）2可用十进制表示为1×22+0×21+1×20＝5，同样地，三进制数（201）3可用十进制表示为2×32+0×31+1×30＝19．现有二进制数a＝（10101）2，三进制数b＝（1011）3，那么a，b的大小关系是（　　） A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定 B【解析】a＝（10101）2 ＝1×24+0×23+1×22+0×21+1×20 ＝1×16+0×8+1×4+0×2+1×1 ＝16+0+4+0+1 ＝21， b＝（1011）3＝1×33+0×32+1×31+1×30 ＝1×27+0×9+1×3+1×1 ＝27+0+3+1 ＝31，∵21＜31，∴a＜b，故选：B． 2. （2025秋•中山市期末）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例如：212＝2×102+1×101+2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，孩子已经出生的天数为（　　） A．34 B．194 C．1234 D．6154 B【解析】4+3×5+2×52+1×53＝4+15+50+125＝194，即孩子已经出生的天数为194．故选：B． 3. （2026春•镇海区校级月考）计算的值是（　　） A． B． C． D． C【解析】 ＝（1）×（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1）×（1）×（1）×（1） ，故选：C． 4. （2026春•文山州期末）把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列．这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为　　 ． 16【解析】∵，∴＝﹣2×（﹣9）4＝18﹣2＝16，故答案为：16． 5. （2026•海港区校级模拟）如图，现有4张写着不同运算的卡片A，B，C，D．乙同学随机想一个有理数，让甲同学选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算．例如，乙同学想的有理数为﹣2，随后，甲同学将﹣2按A→C→B→D的顺序进行运算，列式为[（﹣2+3﹣2）×（﹣3）]2． （1）计算：[（﹣2+3﹣2）×（﹣3）]2； （2）当乙同学想的有理数为2时，甲同学按D→C→B →A ——的顺序进行运算，列式运算的结果为﹣3，请通过计算说明甲同学选择的运算顺序． 解:（1）原式＝[（﹣1）×（﹣3）]2＝32＝9； （2）若选择D→C→A→B的顺序可得：（22﹣2+3）×（﹣3） ＝（4﹣2+3）×（﹣3） ＝5×（﹣3） ＝﹣15； 若选择D→C→B→A的顺序可得：（22﹣2）×（﹣3）+3 ＝（4﹣2）×（﹣3）+3 ＝2×（﹣3）+3 ＝﹣6+3 ＝﹣3； 故甲同学选择的运算顺序为D→C→B→A，故答案为：B，A． 6. （2026•临漳县一模）数学兴趣小组的同学们在玩一个“变数魔盒”的数学游戏，如图，对“变数魔盒”输入任意有理数对（a，b）时，会输出一个新数为a2﹣ab﹣1．如输入有理数对（3，﹣2）时，输出的新数为32﹣3×（﹣2）﹣1＝9+6﹣1＝14． （1）若对“变数魔盒”输入有理数对，求输出的新数； （2）若对“变数魔盒”输入有理数对（﹣2，b），输出的新数为﹣11，求b． 解:（1）∵“变数魔盒”输入有理数对， ∴输出的新数为； （2）由题意得，（﹣2）2﹣（﹣2）×b﹣1＝﹣11， 即4+2b﹣1＝﹣11， 解得：b＝﹣7． 7. （2026•肥东县校级一模）观察算式： ， ， ； … （1）按规律填空：①　　 ； ②　　 ； ③如果n为正整数，那么　　 ； （2）计算（由此拓展写出具体过程）：①； ②1． 解:∵观察算式：，， ； … ∴（1）①11； ②1； ③如果n为正整数，那么1． 故答案为：，；． （2）①∵； ； 12； 12，∴（1）； ②∵1，1， 11﹣（1）﹣（），11， ∴11． 8. （2026•郑州校级开学）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：，，，，… （1）根据以上的运算规律，f（5）＝　　 ； （2）计算f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）的值． 解:（1）∵下：，，，，…， ∴， ∴，故答案为：； （2）由题意得，f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100） ＝5151． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 06 有理数混合运算 1. 牢记有理数运算优先级，规范完成含乘方、多层括号综合计算； 2. 灵活使用五大运算律进行简便计算； 3．依托转化统一算式形式、整体分组简算，突破乘方符号易错、多层括号计算难点； 4. 综合解决含乘方实际统计压轴计算题。 （一）基础核心知识点 运算优先级：先乘方→再乘除→最后加减；同级从左向右；括号由小到大依次计算。 乘方定义：表示个相乘；底数为，底数仅为，二者意义不同。 乘方符号规律：正数任意次幂为正；负数偶次幂正、奇次幂负；0正整数次幂为0。 运算律：加法交换/结合律、乘法交换/结合律、乘法分配律（可正向、逆向使用）。 （二）混合运算化简要点 统一形式：小数、分数互化，减法转加法，除法转乘法；分配律去括号时，括号外数字、符号需乘括号内每一项； 计算顺序：先定整体符号，再计算数值，分步验算减少错误。 （三）核心数学思想 转化思想：减法、除法、小数分数互相转化，统一算式结构，方便使用运算律简算。 题型 01 新定义运算 【典例1】用“☆“定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝a2b﹣ab+1，则（﹣2）☆3的值为（　　） A．﹣17 B．19 C．﹣13 D．13 【变式】定义一种新运算：m⊕n＝m2﹣mn，则（﹣3）⊕2的结果为（　　） A．﹣3 B．3 C．15 D．﹣15 题型 02 二进制与十进制运算的变换 【典例2】已知20＝1，计算机使用的是二进制计算法，是逢2进1，如二进制数字10011可以写为十进制数字19，因为1×24+0×23+0×22+1×21+1×20＝19，则二进制数字101101可以写为十进制数字的是（　　） A．34 B．44 C．45 D．53 【变式】我们常用的十进制，如；2025＝2×103+0×102+2×101+5，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中111＝1×22+1×21+1．相当于十进制中的7，又如：11011＝1×24+1×23+0×22+1×21+1．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的（　　） A．10011 B．11001 C．11010 D．11101 题型 03 与基本概念相关的运算 【典例3】若m是最大的负整数，a，b互为相反数，c，d互为倒数，则m﹣3a﹣3b﹣cd的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．0 D．0或2 【变式】a、b互为倒数，m、n互为相反数，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 题型 04 “二十四点”游戏运算 【典例4】有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是﹣1，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24：　　 ． 【变式】有一种游戏叫24点游戏，规则是：2位小朋友从分得的26张扑克牌（不含大小王，J算11点、Q算12点、K算13点、A算1点）各抽出2张，共4个点数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24．如：两人抽出的点数为2、3、4、5，可以由（5+3﹣2）×4＝24或42+3+5＝24．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌的点数分别是3、4、1、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请你写出一个成功的算式：　 　 ＝24． 【巩固训练】 1. 下列计算正确的是（　　） A．（﹣2）3＝﹣6 B． C． D．﹣32﹣（﹣2）3＝1 2. 如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4﹣q）＝4，则4m+3n+2p+q的最大值为（　　） A．47 B．48 C．49 D．50 3. 在代数式“（﹣2﹣3）□4”的“□”中填入运算符号“+”“﹣”“×”“÷”，要使运算的结果最小，则“□”中填入的运算符号是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 4. 计算：　　 ． 5. 计算或简化： （1）﹣44﹣（）×[4﹣（﹣2）2]﹣1； （2）18﹣6÷（﹣2）3×（）． 6. 下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程． 计算：（﹣4）2×5﹣（﹣2）3÷4 嘉嘉： 解：原式＝﹣16×5﹣（﹣8）÷4第一步 ＝﹣80﹣（﹣2）第二步 ＝﹣80+2第三步 ＝﹣78第四步 琪琪： 解：原式＝16×5﹣（﹣8）÷4第一步 ＝80﹣（﹣8）÷4第二步 ＝88÷4第三步 ＝22第四步 （1）请指出两名同学的错误分别在第几步； （2）请你写出正确的解答过程． 7. 一个不透明的袋子里装有4个小球，小球上分别标有数字：﹣8，0，2，5．现从袋子中随机摸出3个小球，对小球上的数字进行运算． （1）①若摸出的3个小球上分别标有2，﹣8，5，计算：2×5﹣|﹣8|； ②若摸出的3个小球上所标数字的积不为0，求这3个数字的和； （2）将随机摸出的3个小球上的数字按一定顺序填入“□﹣□﹣□”中的“□”内，直接写出计算结果的最大值． 8. 已知算式“（﹣2）×4﹣8”． （1）请你计算上式结果； （2）嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为﹣11，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； （3）淇淇把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 【强化训练】 1. （2026•莘县校级模拟）在人工智能的众多算法和数据处理中，经常涉及不同进制数之间的转换操作．二进制数（101）2可用十进制表示为1×22+0×21+1×20＝5，同样地，三进制数（201）3可用十进制表示为2×32+0×31+1×30＝19．现有二进制数a＝（10101）2，三进制数b＝（1011）3，那么a，b的大小关系是（　　） A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定 2. （2025秋•中山市期末）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例如：212＝2×102+1×101+2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，孩子已经出生的天数为（　　） A．34 B．194 C．1234 D．6154 3. （2026春•镇海区校级月考）计算的值是（　　） A． B． C． D． 4. （2026春•文山州期末）把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列．这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为　　 ． 5. （2026•海港区校级模拟）如图，现有4张写着不同运算的卡片A，B，C，D．乙同学随机想一个有理数，让甲同学选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算．例如，乙同学想的有理数为﹣2，随后，甲同学将﹣2按A→C→B→D的顺序进行运算，列式为[（﹣2+3﹣2）×（﹣3）]2． （1）计算：[（﹣2+3﹣2）×（﹣3）]2； （2）当乙同学想的有理数为2时，甲同学按D→C→B →A ——的顺序进行运算，列式运算的结果为﹣3，请通过计算说明甲同学选择的运算顺序． 6. （2026•临漳县一模）数学兴趣小组的同学们在玩一个“变数魔盒”的数学游戏，如图，对“变数魔盒”输入任意有理数对（a，b）时，会输出一个新数为a2﹣ab﹣1．如输入有理数对（3，﹣2）时，输出的新数为32﹣3×（﹣2）﹣1＝9+6﹣1＝14． （1）若对“变数魔盒”输入有理数对，求输出的新数； （2）若对“变数魔盒”输入有理数对（﹣2，b），输出的新数为﹣11，求b． 7. （2026•肥东县校级一模）观察算式： ， ， ； … （1）按规律填空：①　　 ； ②　　 ； ③如果n为正整数，那么　　 ； （2）计算（由此拓展写出具体过程）：①； ②1． 8. （2026•郑州校级开学）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：，，，，… （1）根据以上的运算规律，f（5）＝　　 ； （2）计算f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $