专题11 填空压轴（5年汇编）（北京专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦北京中考填空压轴题，汇编2022-2026年真题及模拟题，以生活生产、校园实践等真实情境为载体，考查统筹规划、最优方案等综合能力，每题2小问（2分），遵循基础计算到最优统筹的设问逻辑。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空压轴题|约25题（每题2分）|统筹规划（如校车通勤站点选择）、最优方案（如设备分配利润最大化）、数据读取与不等式约束（如包裹装运I/II号产品）|情境真实（滑雪场作业、校园活动等），设问分层（基础计算→综合统筹），契合北京中考命题规律（固定2问结构，核心能力考查）|

专题11 填空压轴 5年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2022-2026） 命题规律 考点01填空压轴 2026北京卷 2025北京卷 填空压轴为试卷最后一道填空题，固定 2 小问、总分 2 分，全卷文字阅读、统筹规划类区分题型；统一以生活生产、校园实践、商业分配、交通通勤等现实情境为核心载体，遵循基础数值计算→最优方案统筹两层设问逻辑，综合数据读取、分类枚举、不等式约束、时间 / 总量最值四大核心能力，是北京中考特色应用题压轴。 考点01 填空压轴 1．（2026·北京·中考）如图所示，公路旁自西向东依次有，，…，共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校． 已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为，校车从处至学校的行驶时间为．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）． （1）若车站设在处，则住在处的学生的理想通勤时间为________； （2）若当车站设在处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则________． 2．（2025·北京·中考）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元． 3．（2024·北京·中考）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为____________min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按___________的先后顺序彩排 4．（2023·北京·中考）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟． 5．（2022·北京·中考）甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下： 包裹编号 I号产品重量/吨 II号产品重量/吨 包裹的重量/吨 A 5 1 6 B 3 2 5 C 2 3 5 D 4 3 7 E 3 5 8 甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂． （1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）； （2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）． 1．（2026·北京门头沟·综合练）某滑雪场为迎接周末的“冰雪杯”滑雪赛事，需要使用1台造雪机和1台压雪机对A，B，C三条不同的雪道进行造雪和压雪作业．作业规则如下： ①每条雪道必须先造雪、造雪结束后再进行压雪，确保雪道安全； ②造雪机一旦对某一雪道开始造雪作业，直到该雪道造雪作业结束才能更换另一条雪道； ③压雪机一旦对某一雪道开始压雪作业，直到该雪道压雪作业结束才能更换另一条雪道： ④造雪机与压雪机可同时工作． 各雪道进行造雪和压雪作业所需时间（单位：小时）如下表： 雪道 造雪时间 压雪时间 A 10 5 B 8 7 C 6 10 在忽略造雪与压雪间隔的时间等其他因素的情况下： （1）如果雪道按“A-B-C”的先后顺序进行造雪和压雪作业，那么完成全部的造雪和压雪作业需要________小时； （2）如果合理安排雪道作业顺序，使完成全部的造雪和压雪作业的总时间最短，那么最短时间为________小时． 2．（2026·北京东城·一模）某新能源电池厂有40台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类： 类别 正极片（片/台） 负极片（片/台） 设备数量（台） 甲类 20 200 15 乙类 12 100 15 丙类 8 70 10 每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池． （1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产______个电池； （2）若40台专用设备都在工作，则一天最多可生产______个电池． 3．（2026·北京朝阳·一模）某学校大力普及校园足球运动，在各年级分别举行了足球比赛，要求每两支参赛球队均要比赛一场，根据积分进行排名，比赛的积分规则为每胜一场得3分，每负一场得0分，每平一场各得1分．该校九年级共有5支球队参赛，最终各支球队的积分均不相同，积分最低的球队积1分． （1）积分最低的球队负________场； （2）积分排名第三的球队最低积________分， 4．（2026·北京大兴·一模）某科技运维公司调配6台新一代智能巡检机器人，分配给甲、乙、丙、丁四个运维站，每个运维站最多可投放3台机器人，各运维站产生的单日运维增效利润（单位：元）与投放台数（单位：台）的对应关系如下表： 运维站 增效利润 投放台数 甲 乙 丙 丁 1 50 36 23 24 2 74 67 42 46 3 96 91 60 71 （1）若规定每个运维站至少投放1台机器人，剩余机器人追加投放到同一运维站，则应优先追加投放给_____运维站，才能使单日总增效利润最大； （2）若将6台机器人自由分配投放，则当日可获得的最大总增效利润为______元． 5．（2026·北京丰台·一模）某校游泳馆有三条用来练习的泳道，其中两条是浅水泳道，一条是深水泳道．游泳社团对社团学员练习游泳的每次用时和泳道进行了调研，信息如下： 学员 A B C D E F G H 每次用时 2 2.5 1.5 3 4 2.5 3.5 5 学员E，G，H只能在浅水泳道练习，其他学员三条泳道都可以练习．每条泳道同一时段内只能供一位学员练习．一位学员的等待时间是指从其所在泳道第一位学员开始练习到这位学员开始练习的时间间隔（不考虑其他因素）． （1）若只开放一条浅水泳道供学员E，G，H各完成一次练习，且他们等待时间之和最少，则这三位学员练习的先后顺序依次是_________； （2）若三条泳道同时开放练习，八位学员各完成一次练习，则他们等待时间之和最少为______． 6．（2026·北京顺义·一模）某工厂生产一种新产品，计划分配给甲、乙、丙三条生产线生产．每条生产线生产n（n为正整数）批产品后产生的材料费（单位：万元）与n的对应关系如下： … 甲 15 35 60 90 125 … 乙 16 37 63 94 130 … 丙 17 39 66 93 120 … （1）如果工厂生产4批产品，且每条生产线至少生产1批产品，那么为使材料费最小，应向生产线______分配2批产品（填“甲”“乙”或“丙”）； （2）如果工厂将5批产品分配给这三条生产线中的一条或多条生产，那么5批产品都完成生产后，材料费的最小值为______万元． 7．（2026·北京石景山·一模）某校科学实验小组需完成编号为A，B，C，D，E，F，G，H的八项工作，要求如下： ①A，B，C完成后才能开始G； ②C，D，E完成后才能开始H； ③一项工作只能由一名学生完成，此工作完成后该生才能进行其他工作． 各项工作所需时间（单位：分钟）如表所示： 工作编号 A B C D E F G H 时间 7 15 9 10 5 1 7 2 （1）若这些工作由多名学生合作完成，则至少需要______分钟； （2）若这些工作由甲、乙两名学生合作完成，且甲同学先从A工作开始，为使完成全部工作所用的时间最短，则甲同学还需完成的工作的编号为______． 8．（2026·北京昌平·一模）某校开展了“校园小管家资产配置养成计划”实践活动，初始总资产为20，参与活动的同学可将资产配置到储蓄、基金、股票、保险四类项目中．活动通过三次随机掷骰子（六面分别标有1－6的数字）得到三次点数，分别对应三年项目的收益乘数，最终计算出每类项目的总收益． 游戏规则如下： 1.储蓄的收益乘数：无论点数为何值，每年固定为 2.基金的收益乘数：1或2点为0；3或4点为；5或6点为 3.股票的收益乘数：1点为；2点为；3或4点为0；5点为；6点为 4.保险的收益乘数：1或2或3点为；4或5或6点为 5.单类项目总收益初始配置金额三年收益乘数之和 储蓄 基金 股票 保险 初始配置金额 第1年收益乘数 +1   0 +1   第2年收益乘数 +1   0 +1   第3年收益乘数 三年收益总乘数 单类项目总收益 四类项目配置金额均为非负整数，三次掷骰子点数分别是2点，1点，点． （1）若，保险初始配置金额不得超过基金与储蓄初始配置金额之和，则该方案下四类项目总收益最大值为_____； （2）若保险初始配置金额为0，且基金和股票初始配置金额之和不低于11，则股票初始配置金额最多为_____时，无论为何值，都存在一种配置方案使得总收益不低于初始总资产的． 9．（2026·北京西城·一模）某体育馆有三块场地，分别记为场地1，2，3．三块场地每次用完后，需安排甲、乙、丙三名员工进行维护，每个场地都要完成A，B，C三个项目才算维护完成．要求：甲只负责A，乙只负责B，丙只负责C；同一场地同一时间只进行一个项目的维护，一个人维护完一个场地后才能进行下一个场地的维护，C必须最后完成．下表是这三名员工在维护这三个场地时每个项目所需时间（单位：分钟）：         项目场地 A B C 1 6 8 2 2 5 4 1 3 7 6 3 （1）若只维护场地1和场地2，则最少需要________分钟； （2）若三块场地都要维护，则最少需要________分钟． 10．（2026·北京海淀·一模）陈老师计划带父母一起去理发店理发，并提前预约了一位理发师为他们服务．根据三人的不同需求，理发师需按相应流程完成A，B，C，D，R五种工序，其中A，B，C，D为人工工序，R为静置工序．他们一家三口所需的理发工序流程如下表： 顾客 爸爸 妈妈 陈老师 所需工序流程 D C→R→D A→R→B→R→D 各工序完成的要求如下： ①人工工序，必须由理发师操作才能完成，且这位理发师同一时间只能服务一位顾客，各工序所需时间如下表： 工序 A B C D 所需时间/min 10 20 25 20 ②静置工序，不需要理发师操作，顾客只需静置等待，时长不少于即可．在此期间这位理发师可去服务其他顾客， （1）若只有爸爸和妈妈理发，则这位理发师最短需要______min可以完成为他们俩的服务； （2）若他们一家三口都理发，则这位理发师最短需要______min可以完成为他们三人的服务． 11．（2026·北京通州·一模）某科技公司对四款AI软件（甲、乙、丙、丁）进行效率测试．每款软件处理不同数量的任务所获得的“效率分”如下表所示（分数越高代表效率越高）．在分配任务时，每款软件只能被分配一次任务． 1个任务 2个任务 3个任务 4个任务 5个任务 6个任务 甲 7 13 19 24 28 31 乙 5 10 15 20 25 29 丙 6 11 18 23 27 30 丁 8 15 20 26 30 33 （1）现需将5个任务分配给这四款软件处理，且每款软件至少处理1个任务．为了使总效率分最大，应向______（填“甲”、“乙”、“丙”或“丁”）软件分配2个任务； （2）如果共有6个任务，可以分配给其中一款或多款软件处理，那么这6个任务全部处理后，可获得的最大总效率分是______分． 12．（2026·北京平谷·一模）根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的要求，考生除了素质项目I必选外，还需要从运动能力、运动能力、素质项目中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下表所示： 运动能力I 人数 运动能力Ⅱ 人数 素质项目Ⅱ 人数 篮球 19 健身长拳 29 立定跳远 21 足球 12 游泳 4 实心球 m 排球 2 表中的____；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和立定跳远的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、立定跳远组合最多有____人． 13．（2026·北京东城·二模）某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米/小时，师生步行的平均速度为4千米/小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”． （1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时________分钟（不考虑上、下车时间）； （2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为________分钟（不考虑上、下车时间）． 14．（2026·北京朝阳·二模）某校举办的创新能力大赛共有5个环节．九年级代表队有A，B，C，D，E五名选手，每个人完成一个环节后获得的积分如下表所示： 选手 积分（单位：分） 环节1 环节2 环节3 环节4 环节5 A 16 17 17 19 19 B 23 24 22 25 22 C 16 11 12 15 14 D 13 9 13 11 11 E 16 15 13 17 17 现要求每个人只完成一个环节． （1）若A，B，C，D，E五名选手分别完成环节1，环节2，环节3，环节4，环节5，则九年级代表队共获得________分； （2）若九年级代表队要获得最多积分，则选手B应完成环节________． 15．（2026·北京顺义·二模）两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定； ④取走最后一颗棋子的同学获胜． 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子． （1）如果一共有6颗棋子，两名同学约定每次最多取走3颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子； （2）如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子． 16．（2026·北京石景山·二模）某校运动会上，名运动员参加米跑、立定跳远、实心球、跳高四项全能比赛．每个单项计分规则：第一名分，第二名分，第三名分，第四名分．四项比赛全部结束后，统计比赛结果，发现每个单项无并列名次，总分第一名得分，且该运动员实心球得分低于另外三个单项得分；总分第三名得分，且该运动员实心球得分高于另外三个单项得分． （1）总分第一名的运动员，获得________个单项第一名； （2）总分第二名的运动员，在实心球项目中的得分为________分． 17．（2026·北京丰台·二模）某工厂生产一种产品，每个产品由甲、乙各一个零件组成．该工厂有四条流水线A，B，C，D生产这两种零件，每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换零件类型．每条流水线每天生产零件的数量如下表： 流水线 A B C D 甲零件/个 32 42 34 45 乙零件/个 35 50 56 60 若四条流水线都开通，1天最多生产该产品________个，5天最多生产该产品________个． 18．（2026·北京丰台·二模）某日小王将一辆小型车停到路边收费停车区域内，第二天离开时缴费24元．该区域停车收费标准如图： 根据以上信息，判断他离开的时刻可能是________（写出一个即可）． 19．（2026·北京房山·二模）某校举办“机器人武术动作编程”比赛，要求选手按固定顺序对组武术动作进行编程．每组动作按完成情况分为良好和优秀两个等级，可获得对应得分；若连续组及以上动作被评为优秀，则从该段连续优秀的第组动作开始（包含第二组动作），每一组动作还可获得表格中对应的额外加分．如：动作、、均评为优秀，则总得分为． 动作顺序及对应得分如下： 动作序号 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作名称 抱拳礼起势 开步双劈 按掌前推 搂手勾踢 缠腕斩拳 闪身冲拳 弹踢穿顶 掼拳戳脚 闪身砍推收势 良好 优秀 额外加分 —— 小宇参加了此次比赛，若他在动作中未获得额外加分，在动作中被评为优秀但未获得额外加分，全程最多连续组动作评为优秀，且连续组动作评为优秀的情况仅出现次．则小宇在前组动作中的得分之和最高为________分，他参加此次比赛的总得分最高为________分． 20．（2026·北京大兴·二模）某兴趣小组有3件打印模型需要制作，每个模型都要按四道工序的顺序完成．现安排甲、乙、丙3名同学来做，甲只负责A、D工序，乙只负责B工序，丙只负责C工序．同一模型同一时间只能进行一道工序，完成一道工序后才能开始下一道工序．一个人只有完成一个模型的一道工序后，才能进行下一个模型的工序．各工序耗时（单位：分钟）如下表： 模型1 模型2 模型3 A 3 6 4 B 5 3 4 C 4 7 5 D 2 9 3 （1）只完成模型1和模型3的制作，最少需要________分钟； （2）要完成这3件模型的制作，最少需要________分钟． 21．（2026·北京平谷·二模）某工厂需要加工4种零部件，每个零部件必须先经过加工工序，再经过组装工序．两道工序分别在两条独立的生产线上并行完成，各零部件在两道工序上的所需时间（单位：分钟）如下表所示： 零部件 甲 乙 丙 丁 加工时间 9 4 8 6 组装时间 7 5 3 10 （1）若按零部件顺序甲→乙→丙→丁依次进行加工（即零部件在加工工序上的处理顺序为甲、乙、丙、丁，组装工序在不违反“先加工后组装”的前提下，可按实际完成顺序安排），则全部零部件完成两道工序至少需要__________分钟； （2）若要使全部零部件完成两道工序的总时间最短，则加工工序上的处理顺序应为__________（写出一种即可）． 22．（2026·北京海淀·二模）某地推出4种特色农产品，每种农产品货源充足，均为独立包装且不可拆分．各农产品每包的重量与价值如下表： 农产品 A B C D 重量（kg） 7 12 8 5 价值（元） 60 100 58 45 在某批农产品的销售中，根据客户需求，助农志愿者使用纸箱装运农产品，且每箱所装农产品的总重量不超过28kg． （1）若每箱只装同一种农产品，则一箱农产品的总价值最大是________元； （2）若每箱中每种农产品最多装包，则一箱农产品的总价值最大是________元． 23．（2026·北京燕山教育集团·二模）小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现40盏小灯中，已知有15盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将40盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功． （1）若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍________盏，挑战成功． （2）小云的做法是：从40盏灯中任意选出n盏作为一组，然后将这n盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么________． 24．（2026·北京市西城区·二模）某商店共有种不同型号的口罩，每种型号的口罩都有红、白、蓝三种颜色，每种型号的红色口罩价格均为每包50元，白色口罩价格均为每包元，蓝色口罩价格均为每包元（，且，均为整数）．甲、乙、丙三家公司各买一包每种型号的口罩，且对于同种型号的口罩，三家公司选择的颜色各不相同．结账时，甲、乙各自花费了1200元，丙花费了1400元． （1）若，，则的值为________； （2）若丙购买的口罩包含三种颜色，则丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费________元． 25．（2026·北京密云·一模）某烘焙小组为制作一款庆典蛋糕，需完成（胚体烘烤）、（奶油打发）、（水果处理）、（糖霜制作）、（胚体抹面）、（裱花装饰）、（料胚组装）七道工序，工序完成需满足以下流程要求： （1）只能在均完成后才能开始； （2）只能在完成后才能开始； （3）只能在和均完成后才能开始； （4）可与并行进行，无先后干扰； （5）一项工序同一时间只能由一名学生完成，完成后可接续其他工序，各工序所需时间如下表： 工序 胚体烘烤 奶油打发 水果处理 糖霜制作 胚体抹面 裱花装饰 料胚组装 时间/分钟 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成，至少需要________分钟才能全部完成；若要在最短时间内完成，最少需要________名学生参与． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题11填空压轴 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 北京考情(2022-2026) 命题规律 填空压轴为试卷最后一道填空题，固定2小 问、总分2分，全卷文字阅读、统筹规划类区 分题型：统一以生活生产、校园实践、商业分 2026北京卷 配、交通通勤等现实情境为核心载体，遵循基 考点01填空压轴 2025北京卷 础数值计算→最优方案统筹两层设问逻辑，综 合数据读取、分类枚举、不等式约束、时间/ 总量最值四大核心能力，是北京中考特色应用 题压轴。 五年真题分类园 考点01填空压轴 【答案】 34 5 114 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2. 【答案】 B 157 3. 【答案】 60 C-A-B-D 4. 【答案】 53 28 5. 【答案】 ABC(或ABE或AD或ACE或ACD或BCD) ACE 一年模拟练测园 1. 【答案】 35 29 2. 【答案】 200 400 3. 【答案】 3 4. 【答案】 乙 189 5. 【答案】 G,E,H 15.5 6. 【答案】 甲 89 【答案】 22 C,E,G 8 【答案】 70 4 9. 【答案】 16 21 10. 214 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 75 120 11. 【答案】 丁 40 12. 【答案】 12 17 13 【答案】 41 83 14 【答案】 80 2 15. 【答案】 2 3 16 【答案】 3 7 17. 【答案】 87 460 18 【答案】7：30（答案不唯一） 19 【答案】 9 70 20 【答案】 19 30 21 【答案】 37 乙，丁，甲，丙 22 【答案】 240 223 23 【答案】 15 24 【答案】 20 1350 25 314 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 33 3 4/4 专题11 填空压轴 5年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2022-2026） 命题规律 考点01填空压轴 2026北京卷 2025北京卷 填空压轴为试卷最后一道填空题，固定 2 小问、总分 2 分，全卷文字阅读、统筹规划类区分题型；统一以生活生产、校园实践、商业分配、交通通勤等现实情境为核心载体，遵循基础数值计算→最优方案统筹两层设问逻辑，综合数据读取、分类枚举、不等式约束、时间 / 总量最值四大核心能力，是北京中考特色应用题压轴。 考点01 填空压轴 1．（2026·北京·中考）如图所示，公路旁自西向东依次有，，…，共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校． 已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为，校车从处至学校的行驶时间为．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）． （1）若车站设在处，则住在处的学生的理想通勤时间为________； （2）若当车站设在处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则________． 【答案】 34 5 【分析】（1）求出​到之间有4个相邻住宅间隔，即可求解； （2）求出学生从处总步行时间和以及6名学生的校车行驶时间和，可得总时间和为，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：​到之间有个相邻住宅间隔， 所以住在处的学生的理想通勤时间为； （2）车站设在处， 学生从处总步行时间和为． 校车从​处到学校的行驶时间为， 所以6名学生的校车行驶时间和为， 总时间和为， 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 因为， 所以时，总时间和最小， 2．（2025·北京·中考）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元． 【答案】 【分析】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键． （1）分别计算各经销商销售完第2台比第1台的利润的增长量，比较即可得答案； （2）分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即可得答案． 【详解】解：（1）当时， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， ∵， ∴应向经销商分配2台设备． （2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为经销商的万元， 当分配给多家销售时： 当分配四家时，最大利润为（万元）， 当分配给三家时，最大利润为（万元）， 当分配给两家时，最大利润为（万元）或（万元）， 综上所述：企业可获得的总利润的最大值为万元． 故答案为：， 3．（2024·北京·中考）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为____________min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按___________的先后顺序彩排 【答案】 60 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． ①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 4．（2023·北京·中考）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟． 【答案】 53 28 【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案． 【详解】解：由题意得：（分钟）， 即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟； 假设这两名学生为甲、乙， ∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成， ∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟， 然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟， 最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟， ∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟）， 故答案为：53，28； 【点睛】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键． 5．（2022·北京·中考）甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下： 包裹编号 I号产品重量/吨 II号产品重量/吨 包裹的重量/吨 A 5 1 6 B 3 2 5 C 2 3 5 D 4 3 7 E 3 5 8 甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂． （1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）； （2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）． 【答案】 ABC（或ABE或AD或ACE或ACD或BCD） ACE 【分析】（1）从A，B，C，D，E中选出2个或3个，同时满足I号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过19.5吨即可； （2）从（1）中符合条件的方案中选出装运II号产品最多的方案即可． 【详解】解：（1）根据题意， 选择ABC时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求； 选择ABE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求； 选择AD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求； 选择ACD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求； 选择BCD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求； 选择DCE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），不符合要求； 选择BDE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），不符合要求； 选择ACE时，装运的I号产品重量为： （吨），总重 （吨），符合要求； 综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或ACE或AD或ACD或BCD． 故答案为：ABC（或ABE或ACE或AD或ACD或BCD）． （2）选择ABC时，装运的II号产品重量为：（吨）； 选择ABE时，装运的II号产品重量为：（吨）； 选择AD时，装运的II号产品重量为：（吨）； 选择ACD时，装运的II号产品重量为：（吨）； 选择BCD时，装运的II号产品重量为：（吨）； 选择ACE时，装运的II号产品重量为： （吨）. 故答案为：ACE． 【点睛】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键． 1．（2026·北京门头沟·综合练）某滑雪场为迎接周末的“冰雪杯”滑雪赛事，需要使用1台造雪机和1台压雪机对A，B，C三条不同的雪道进行造雪和压雪作业．作业规则如下： ①每条雪道必须先造雪、造雪结束后再进行压雪，确保雪道安全； ②造雪机一旦对某一雪道开始造雪作业，直到该雪道造雪作业结束才能更换另一条雪道； ③压雪机一旦对某一雪道开始压雪作业，直到该雪道压雪作业结束才能更换另一条雪道： ④造雪机与压雪机可同时工作． 各雪道进行造雪和压雪作业所需时间（单位：小时）如下表： 雪道 造雪时间 压雪时间 A 10 5 B 8 7 C 6 10 在忽略造雪与压雪间隔的时间等其他因素的情况下： （1）如果雪道按“A-B-C”的先后顺序进行造雪和压雪作业，那么完成全部的造雪和压雪作业需要________小时； （2）如果合理安排雪道作业顺序，使完成全部的造雪和压雪作业的总时间最短，那么最短时间为________小时． 【答案】 35 29 【分析】第一问按照给定作业顺序，根据规则依次确定每个雪道压雪的开始与结束时间，即可得到总时间；第二问列举所有不同作业的顺序，分别计算每种顺序的总时间，比较得到最短总时间即可． 【详解】解：(1) 按“”顺序作业，造雪完成时间依次为 ：， ：， ： 根据规则，压雪需满足压雪机空闲，且对应雪道已完成造雪，因此 压雪开始时间为，结束时间为， 压雪开始时间为，结束时间为， 压雪开始时间为，结束时间为， 即完成全部作业需要小时； (2) 三条雪道共种不同作业顺序，除顺序外，其余5种顺序的总时间分别为： ①顺序，总时间为， ②顺序，总时间为， ③顺序，总时间为， ④顺序，总时间为 ⑤顺序， 造雪完成时间依次为，，， 压雪结束：， 压雪结束：， 压雪结束：， 即该顺序总时间为． 综上可知，最短总时间为． 2．（2026·北京东城·一模）某新能源电池厂有40台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类： 类别 正极片（片/台） 负极片（片/台） 设备数量（台） 甲类 20 200 15 乙类 12 100 15 丙类 8 70 10 每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池． （1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产______个电池； （2）若40台专用设备都在工作，则一天最多可生产______个电池． 【答案】 200 400 【分析】（1）根据题意，设甲设备有x台生产正极片，则有台生产负极片，分别算出正极片、负极片的数量结合题意列式求解即可； （2）根据题意，甲类生产负极片效率最大，其次是丙类，最后是乙类，尽量优先考虑甲类生产负极片，根据题意得到甲类的15台设备要分出一部分生产负极片，所以设甲类生产正极片的有台，则生产负极片的有台，让乙类、丙类生产正极片，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：甲设备有15台， ∴设甲设备有x台生产正极片，则有台生产负极片， ∴正极片的数量为，负极片的数量为， ∵每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池 ∴， 解得，， 当时，正极片的数量为，负极片的数量为， ∴200个正极片与800个负极片可以组装成200个电池，此时负极片剩余200； 当时，正极片的数量为，负极片的数量为， ∴200个正极片与800个负极片可以组装成200个电池，此时正极片剩余20； ∴若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产200个电池； （2）若40台专用设备都在工作， 甲类、乙类、丙类生产正极片与负极片的比例分别为：，，， ∴甲类生产负极片效率最大，其次是丙类，最后是乙类， ∴生产时，尽量优先考虑甲类生产负极片， 情况一：若甲类15台生产负极片，乙类、丙类生产正极片， ∴正极片的数量，负极片的数量， ∵， ∴此时，能组装成一个完整电池的数量是260个，而负极片剩余个， ∴甲类的15台设备应该要分出一部分生产负极片， ∴设甲类生产正极片的有台，则生产负极片的有台，让乙类、丙类生产正极片， ∴生产正极片的有（台），生产负极片的有台， ∴正极片的数量为，负极片的数量为， ∴， 解得，， ∴生产正极片的有台，则甲类生产负极片的有台， ∴正极片的数量为，负极片的数量为， 此时，400个正极片与1600个负极片可以组装成400个电池． 故答案为：①200；② 400． 3．（2026·北京朝阳·一模）某学校大力普及校园足球运动，在各年级分别举行了足球比赛，要求每两支参赛球队均要比赛一场，根据积分进行排名，比赛的积分规则为每胜一场得3分，每负一场得0分，每平一场各得1分．该校九年级共有5支球队参赛，最终各支球队的积分均不相同，积分最低的球队积1分． （1）积分最低的球队负________场； （2）积分排名第三的球队最低积________分， 【答案】 3 4 【分析】（1）先确定每支球队共比赛4场，结合积分规则分析最低积分1分的组成，即可得到负场数； （2）要使排名第三的球队积分最低，需让前两名积分尽可能高，再结合各队积分均不同的条件，构造验证得到第三的最低积分． 【详解】解：每两支参赛球队均要比赛一场，每支球队共比赛场． （1）已知积分最低的球队积1分，根据积分规则，1分只能是 ，即该队0胜1平3负，因此负场数为3． （2）设五支球队按积分从高到低为，其中积1分，要使积分最低，需让积分尽可能高． 安排四战全胜，积分；负于，战胜，积分，满足积分不同． 再安排比赛结果：负于，平，得1分，符合要求；负于，平，得分；负于，平，胜，得分． 此时积分排序为 ，所有积分均不同，符合题意． 若积3分，则第四位只能是2分，无论如何安排，都会出现积分重复或第三名为更高积分的球队，因此最低积4分． 4．（2026·北京大兴·一模）某科技运维公司调配6台新一代智能巡检机器人，分配给甲、乙、丙、丁四个运维站，每个运维站最多可投放3台机器人，各运维站产生的单日运维增效利润（单位：元）与投放台数（单位：台）的对应关系如下表： 运维站 增效利润 投放台数 甲 乙 丙 丁 1 50 36 23 24 2 74 67 42 46 3 96 91 60 71 （1）若规定每个运维站至少投放1台机器人，剩余机器人追加投放到同一运维站，则应优先追加投放给_____运维站，才能使单日总增效利润最大； （2）若将6台机器人自由分配投放，则当日可获得的最大总增效利润为______元． 【答案】 乙 【分析】（1）根据题意，每个运维站至少1台，先确定已分配4台，剩余2台需全部投放到同一运维站，分别计算不同投放的总利润，比较得到最大值对应的运维站即可； （2）根据题意，自由分配6台机器人，每个运维站最多3台，列举所有可能使总利润较大的分配方案，计算总利润后比较得到最大值即可. 【详解】解：（1）由题意，每个运维站至少投放1台，共分配台，剩余台追加到同一运维站，因此该运维站共投放台，其余运维站各投放台，分别计算总利润： 若追加给甲：总利润为； 若追加给乙：总利润为； 若追加给丙：总利润为； 若追加给丁：总利润为； 因为，因此应优先追加投放给乙； （2）由题意，6台机器人自由分配，考虑到甲、乙两个运维站的增效利润较高，我们优先测试将机器人集中分配给这两个站的组合，每个运维站最多投放3台，列举所有总利润较大的情况： ①投放甲台，乙台，总利润； ②投放甲台，乙台，丁台，总利润； ③投放甲台，乙台，丁台，总利润； ④投放甲台，乙台，丁台，总利润； ⑤投放甲台，乙台，丙台，丁台，总利润； 故最大总利润为元. 5．（2026·北京丰台·一模）某校游泳馆有三条用来练习的泳道，其中两条是浅水泳道，一条是深水泳道．游泳社团对社团学员练习游泳的每次用时和泳道进行了调研，信息如下： 学员 A B C D E F G H 每次用时 2 2.5 1.5 3 4 2.5 3.5 5 学员E，G，H只能在浅水泳道练习，其他学员三条泳道都可以练习．每条泳道同一时段内只能供一位学员练习．一位学员的等待时间是指从其所在泳道第一位学员开始练习到这位学员开始练习的时间间隔（不考虑其他因素）． （1）若只开放一条浅水泳道供学员E，G，H各完成一次练习，且他们等待时间之和最少，则这三位学员练习的先后顺序依次是_________； （2）若三条泳道同时开放练习，八位学员各完成一次练习，则他们等待时间之和最少为______． 【答案】 G，E，H 15.5 【分析】根据等待时间定义，要使总和最小，需按用时从小到大排列，即可得到顺序． 【详解】解：（1）∵等待时间之和最少， ∴越小的用时排在越靠前的位置， ∴顺序为； （2）∵等待时间之和最少， ∴越小的用时排在越靠前的位置， 规定前两条泳道为浅水泳道， ∵， ∴8名学员可分为三排， ∵E，H用时最长， ∴E，H在前两条泳道第三排， ∵E，G，H只能分配在两条浅水泳道， ∴G在前两条泳道第二排其中一排， ∵越小的用时排在越靠前的位置， 剩余5名非受限学员用时从小到大排列为：， ∴浅水泳道1依次安排学员C、G、H； 浅水泳道2依次安排学员A、B、E； 深水泳道依次安排学员F、D； 总等待时间为后位学员等待时间的总和，即：． 6．（2026·北京顺义·一模）某工厂生产一种新产品，计划分配给甲、乙、丙三条生产线生产．每条生产线生产n（n为正整数）批产品后产生的材料费（单位：万元）与n的对应关系如下： … 甲 15 35 60 90 125 … 乙 16 37 63 94 130 … 丙 17 39 66 93 120 … （1）如果工厂生产4批产品，且每条生产线至少生产1批产品，那么为使材料费最小，应向生产线______分配2批产品（填“甲”“乙”或“丙”）； （2）如果工厂将5批产品分配给这三条生产线中的一条或多条生产，那么5批产品都完成生产后，材料费的最小值为______万元． 【答案】 甲 89 【分析】先整理表格数据，分别计算出甲、乙、丙生产线生产n批产品的材料费；（1）总批数为，每条至少批，然后分三种情况计算总材料费S，然后比较即可解答；（2）总批数为，然后分别计算每种情况的总材料费，然后比较即可． 【详解】解：记分别为甲、乙、丙生产线生产n批产品的材料费，由表可得： ； ； ； (1)总批数为，每条至少批，分三种情况计算总材料费S： ①甲生产批：； ②乙生产批：； ③丙生产批：； 比较得，因此材料费最小时，应向甲分配批． (2)总批数为，分情况讨论： ①单条生产线生产5批： 甲：125万元； 乙：130万元； 丙：120万元； ②两条生产线分配： 甲3，乙2：； 甲3，丙2：； 乙3，甲2：； 乙3，丙2：； 丙3，甲2：； 丙3，乙2：； ③两条生产线分配： 甲4，乙1：； 甲4，丙1：； 乙4，甲1：； 乙4，丙1：； 丙4，甲1：； 丙4，乙1：； ④三条生产线分配： 甲3，乙1，丙1：； 乙3，甲1，丙1：； 丙3，甲1，乙1：； ⑤三条生产线分配： 甲2，乙2，丙1：； 甲2，丙2，乙1：； 乙2，丙2，甲1：； 对比所有方案，材料费的最小值为89万元． 7．（2026·北京石景山·一模）某校科学实验小组需完成编号为A，B，C，D，E，F，G，H的八项工作，要求如下： ①A，B，C完成后才能开始G； ②C，D，E完成后才能开始H； ③一项工作只能由一名学生完成，此工作完成后该生才能进行其他工作． 各项工作所需时间（单位：分钟）如表所示： 工作编号 A B C D E F G H 时间 7 15 9 10 5 1 7 2 （1）若这些工作由多名学生合作完成，则至少需要______分钟； （2）若这些工作由甲、乙两名学生合作完成，且甲同学先从A工作开始，为使完成全部工作所用的时间最短，则甲同学还需完成的工作的编号为______． 【答案】 22 C，E，G 【分析】本题考查统筹优化问题，解题思路是根据题目给出的前置限制，分别对多人合作和两人合作的情况安排工作顺序，计算最短总时间，确定甲需要完成的工作。 【详解】（1）多名学生合作时，满足前置工作要求，前置工作可并行完成，因此： 当做的前置工作，三个都要完成，最长的时间为B：分钟，G还要7分钟，则G这路需要（分钟）， 当做的前置工作，三个都要完成，最长的时间为D：分钟，H还要2分钟，则H这路需要（分钟）， 且工作的时间为1分钟，可以任意安排， 则至少需要分钟； （2）所有工作总时间为（分钟），甲乙两名学生，最短总时间不低于（分钟），可尝试分配得到刚好总时间为的方案： 甲先做（分钟），接着做（分钟），再做（分钟），最后做（分钟），总时长分钟，满足要求， 乙做（分钟），接着做（分钟），再做（分钟），最后做（分钟），总时长，满足所有前置限制， 因此甲除以外，还需完成C，E，G． 8．（2026·北京昌平·一模）某校开展了“校园小管家资产配置养成计划”实践活动，初始总资产为20，参与活动的同学可将资产配置到储蓄、基金、股票、保险四类项目中．活动通过三次随机掷骰子（六面分别标有1－6的数字）得到三次点数，分别对应三年项目的收益乘数，最终计算出每类项目的总收益． 游戏规则如下： 1.储蓄的收益乘数：无论点数为何值，每年固定为 2.基金的收益乘数：1或2点为0；3或4点为；5或6点为 3.股票的收益乘数：1点为；2点为；3或4点为0；5点为；6点为 4.保险的收益乘数：1或2或3点为；4或5或6点为 5.单类项目总收益初始配置金额三年收益乘数之和 储蓄 基金 股票 保险 初始配置金额 第1年收益乘数 +1   0 +1   第2年收益乘数 +1   0 +1   第3年收益乘数 三年收益总乘数 单类项目总收益 四类项目配置金额均为非负整数，三次掷骰子点数分别是2点，1点，点． （1）若，保险初始配置金额不得超过基金与储蓄初始配置金额之和，则该方案下四类项目总收益最大值为_____； （2）若保险初始配置金额为0，且基金和股票初始配置金额之和不低于11，则股票初始配置金额最多为_____时，无论为何值，都存在一种配置方案使得总收益不低于初始总资产的． 【答案】 70 4 【分析】设储蓄、基金、股票、保险的初始配置金额分别为、、、，可得，且均为非负整数，再根据点数计算各项目三年收益乘数总和，结合约束条件求总收益最大值，再根据对任意都存在满足条件的配置，求解股票初始配置金额的最大值． 【详解】解：设储蓄、基金、股票、保险初始配置金额分别为，，，，由题意得，为非负整数， (1)当，计算各项目三年收益乘数总和： 储蓄每年固定，故； 基金：第一年点对应，第二年点对应，第三年点对应，故； 股票：第一年点对应，第二年点对应，第三年点对应，故； 保险：第一年点对应，第二年点对应，第三年点对应，故； 总收益，其表达式与c的取值无关，约束条件为， 但a，b，c，d的总和固定为20，为使Y可能取得最大值， 应将资本金尽量分配给收益乘数和为正的a，b，d，故应取c的最小值，即， 可得，，代入约束得，即， 整理得，，因为， 故越大越大，最大取，此时，最大取，，得； (2)由题意，故，约束，即， 要求总收益 ，对任意 成立，求最大的， 恒成立，对任意，为关于的一次函数，系数均为负，故最大在取最小值时取得， 当时，，，，若，，代入得最大，解得；若，得，，矛盾， 验证其余： ，，，，若，，最大，得，满足； ，，，，若，，最大，得，满足； ，，，，若，，最大，得，满足； ，，，，若，，最大，得，满足， 为非负整数，故最大． 9．（2026·北京西城·一模）某体育馆有三块场地，分别记为场地1，2，3．三块场地每次用完后，需安排甲、乙、丙三名员工进行维护，每个场地都要完成A，B，C三个项目才算维护完成．要求：甲只负责A，乙只负责B，丙只负责C；同一场地同一时间只进行一个项目的维护，一个人维护完一个场地后才能进行下一个场地的维护，C必须最后完成．下表是这三名员工在维护这三个场地时每个项目所需时间（单位：分钟）：         项目场地 A B C 1 6 8 2 2 5 4 1 3 7 6 3 （1）若只维护场地1和场地2，则最少需要________分钟； （2）若三块场地都要维护，则最少需要________分钟． 【答案】 16 21 【分析】本题考查了逻辑推理，理解题意，结合题干“每个场地都要完成A，B，C三个项目才算维护完成．要求：甲只负责A，乙只负责B，丙只负责C；同一场地同一时间只进行一个项目的维护，一个人维护完一个场地后才能进行下一个场地的维护，C必须最后完成”进行分析，再算出对应的时间，即可作答． 【详解】解：（1）理解题意，假设早上点开始进行维护， 当早上开始计时，乙去场地1进行场地的维护，同时甲去场地2进行场地的维护， 即在，乙维护场地1； 即在，甲维护场地3； ∵同一场地同一时间只进行一个项目的维护，一个人维护完一个场地后才能进行下一个场地的维护， ∴早上甲去场地1进行场地的维护，乙去场地2进行场地的维护， 则 ∴乙已结束场地2的维护，丙再去场地2进行场地的维护， 故丙已结束场地2的维护， ∵， ∴在，甲进行场地1的维护 ∴甲已结束场地1的维护，丙再去场地1进行场地的维护， 则， 故丙已结束场地1的维护， ∴只维护场地1和场地2，则最少需要16分钟； （2）理解题意，假设早上点开始进行维护， 当早上开始计时，乙去场地1进行场地的维护，同时甲去场地3进行场地的维护， 即在，乙维护场地1； 即在，甲维护场地3； 在，甲维护场地2； ∴在，乙维护场地3； 此时在，乙维护场地3结束后，丙再去场地3进行场地的维护， ∴在，丙结束场地3的维护， ∴在，甲维护场地1； 此时在，甲维护场地1结束后，丙再去场地1进行场地的维护， 即在，丙维护场地1； 当丙维护场地1结束后，马上去场地2进行场地的维护， ∴在，丙结束场地2的维护， 若三块场地都要维护，则最少需要21分钟． 10．（2026·北京海淀·一模）陈老师计划带父母一起去理发店理发，并提前预约了一位理发师为他们服务．根据三人的不同需求，理发师需按相应流程完成A，B，C，D，R五种工序，其中A，B，C，D为人工工序，R为静置工序．他们一家三口所需的理发工序流程如下表： 顾客 爸爸 妈妈 陈老师 所需工序流程 D C→R→D A→R→B→R→D 各工序完成的要求如下： ①人工工序，必须由理发师操作才能完成，且这位理发师同一时间只能服务一位顾客，各工序所需时间如下表： 工序 A B C D 所需时间/min 10 20 25 20 ②静置工序，不需要理发师操作，顾客只需静置等待，时长不少于即可．在此期间这位理发师可去服务其他顾客， （1）若只有爸爸和妈妈理发，则这位理发师最短需要______min可以完成为他们俩的服务； （2）若他们一家三口都理发，则这位理发师最短需要______min可以完成为他们三人的服务． 【答案】 75 【分析】（1）（2）工序同一时间只能进行一项，静置工序，不需要理发师操作，合理安排工序顺序，利用静置等待时间完成其他人工工序，计算不同顺序的总时间，选取最短总时间即可． 【详解】解：（1）仅爸爸和妈妈理发，分两种情况讨论： 情况1：先完成妈妈的工序，耗时，结束后妈妈开始静置工序，结束最早为； 在妈妈静置期间，理发师完成爸爸的人工工序，耗时，结束时间为； 理发师等待至，完成妈妈的工序，耗时，总时间为． 情况2：先完成爸爸的工序，耗时，再完成妈妈的工序，耗时，结束后妈妈开始静置，结束最早为，再完成妈妈的工序，总时间为． 因为，所以最短时间为． （2）一家三口理发，最优工序安排如下（按理发师操作顺序）： ①：完成陈老师的工序，耗时，结束后陈老师开始第一次静置，第一次结束最早为． ②：完成妈妈的工序，耗时，结束后妈妈开始静置，妈妈结束最早为． ③：完成陈老师的工序，耗时，结束后陈老师开始第二次静置，第二次结束最早为． ④：完成爸爸的工序，耗时，爸爸理发完成． 此时，妈妈静置已满足要求，可以进行下一步工序． ⑤：完成妈妈的工序，耗时，妈妈理发完成． 此时，陈老师静置已满足要求，可以进行下一步工序． ⑥：完成陈老师的工序，耗时，陈老师理发完成． 总时间为，该安排为最优安排，故最短时间为． 11．（2026·北京通州·一模）某科技公司对四款AI软件（甲、乙、丙、丁）进行效率测试．每款软件处理不同数量的任务所获得的“效率分”如下表所示（分数越高代表效率越高）．在分配任务时，每款软件只能被分配一次任务． 1个任务 2个任务 3个任务 4个任务 5个任务 6个任务 甲 7 13 19 24 28 31 乙 5 10 15 20 25 29 丙 6 11 18 23 27 30 丁 8 15 20 26 30 33 （1）现需将5个任务分配给这四款软件处理，且每款软件至少处理1个任务．为了使总效率分最大，应向______（填“甲”、“乙”、“丙”或“丁”）软件分配2个任务； （2）如果共有6个任务，可以分配给其中一款或多款软件处理，那么这6个任务全部处理后，可获得的最大总效率分是______分． 【答案】 丁 40 【分析】（1）5个任务分给四款软件，每款至少1个任务，因此仅1款软件分配2个任务，其余各分配1个任务，分别计算四种情况的总效率分，比较得最大值对应的软件； （2）将6个任务按不同分拆方式分配给软件，计算每种分拆的总效率分，比较得到最大值． 【详解】解：（1）根据题意，个任务分配给四款软件，每款软件至少处理1个任务， 只有一款软件分配个任务，其余三款各分配个任务， 若甲分配个任务，总效率分为：； 若乙分配个任务，总效率分为：； 若丙分配个任务，总效率分为：； 若丁分配个任务，总效率分为：； ， 为了使总效率分最大，应向丁分配个任务； （2）分配个任务给其中一款软件或多款软件，枚举所有可能： 个任务均分配给其中一款软件：全部分配给丁，总效率分最大，最大总效率分是分； 个任务分配给其中两款软件：甲丁或甲丁或甲丁最大，最大总效率分为均为分； 个任务分配给其中三款软件：甲丙丁最大，最大总效率分为分； 个任务分配给四款软件：甲乙丙丁最大，最大总效率分为分； 综上，甲分配1个任务，丙分配个任务，丁分配个任务，可获得的总效率分最大，最大总效率分为分． 12．（2026·北京平谷·一模）根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的要求，考生除了素质项目I必选外，还需要从运动能力、运动能力、素质项目中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下表所示： 运动能力I 人数 运动能力Ⅱ 人数 素质项目Ⅱ 人数 篮球 19 健身长拳 29 立定跳远 21 足球 12 游泳 4 实心球 m 排球 2 表中的____；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和立定跳远的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、立定跳远组合最多有____人． 【答案】 12 17 【分析】先根据总人数相等计算的值，再结合已知限定条件，根据求最大值的要求推理求解 【详解】解：由题意，该班男生总人数为运动能力I各项目的人数之和， 即， 因为素质项目II人数之和等于总人数，因此 已知选择排球的2位同学均选择健身长拳和立定跳远组合， 选择游泳的4位同学的运动能力I和素质项目II组合各不相同， 所有可能的不同组合共4种， 为（篮球，立定跳远），（篮球，实心球），（足球，立定跳远），（足球，实心球）， 因此4位游泳同学中，有2人选择立定跳远，2人选择运动能力I的篮球， 要使目标组合人数最多，应将剩余立定跳远名额尽可能分配给目标组合， 立定跳远总人数为21，已被排球占用2个名额，被游泳占用2个名额， 因此剩余立定跳远名额为， 运动能力I的篮球总人数为19，其中2人选择游泳， 因此最多有名篮球考生选择健身长拳， 健身长拳总人数为29，已被排球占用2个名额，剩余名额为， 足球总人数12，其中2人选择游泳，剩余10名足球考生均可选择健身长拳，，刚好满足健身长拳的名额限制， 因此选择篮球、健身长拳、立定跳远组合最多有17人． 13．（2026·北京东城·二模）某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米/小时，师生步行的平均速度为4千米/小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”． （1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时________分钟（不考虑上、下车时间）； （2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为________分钟（不考虑上、下车时间）． 【答案】 【分析】（1）分别计算步行和乘车的时间，求和后换算单位即可得到结果； （2）总耗时最少时所有组同时到达，每组乘车路程和步行路程分别相等，结合巴士行驶总时间等于全体到达终点的总时间列方程求解，即可得到最少总耗时． 【详解】解：（1）（小时），（分钟）； （2）设每组乘车千米，则步行千米，全体到达终点的总时间为小时， 将人分为组，巴士送完一组需要空车返回接下一组，共空车返回次， ∵车速和步行速度比为， ∴每次空车返回路程为， 巴士行驶总路程为，行驶总时间也为， 因此， 联立等式得， 解得， 将代入得总时间（小时），（分钟）． 14．（2026·北京朝阳·二模）某校举办的创新能力大赛共有5个环节．九年级代表队有A，B，C，D，E五名选手，每个人完成一个环节后获得的积分如下表所示： 选手 积分（单位：分） 环节1 环节2 环节3 环节4 环节5 A 16 17 17 19 19 B 23 24 22 25 22 C 16 11 12 15 14 D 13 9 13 11 11 E 16 15 13 17 17 现要求每个人只完成一个环节． （1）若A，B，C，D，E五名选手分别完成环节1，环节2，环节3，环节4，环节5，则九年级代表队共获得________分； （2）若九年级代表队要获得最多积分，则选手B应完成环节________． 【答案】 2 【分析】①根据对应分配关系提取对应积分，利用有理数加法计算即可； ②计算B分配到每个环节时的最大总积分，比较得到结果． 【详解】解：①根据题意，提取对应选手对应环节的积分计算得： ； ②由题意，五名选手各对应一个不同环节，总积分为各选手积分之和， 依次计算B分配到各环节时的最大总积分： B分配到环节1（积分23分）：剩余环节为2、3、4、5，最优分配为A(环节5)分、E(环节2)分、C(环节4)分、D(环节3)分，剩余选手最大积分和为分，总积分为（分）； B分配到环节2（积分24分）：剩余环节为1、3、4、5，最优分配为A(环节4)分、E(环节5)分、C(环节1)分、D(环节3)分，剩余选手最大积分和为分，总积分为（分）； B分配到环节3（积分22分）：剩余环节为1、2、4、5，最优分配为A(环节5)分、E(环节2)分、C(环节4)分、D(环节1)分，剩余选手最大积分和为分，总积分为（分）； B分配到环节4（积分25分）：剩余环节为1、2、3、5，最优分配为A(环节5)分、E(环节2)分、C(环节1)分、D(环节3)分，剩余选手最大积分和为分，总积分为（分）； B分配到环节5（积分22分）：剩余环节为1、2、3、4，最优分配为A(环节4)分、E(环节2)分、C(环节1)分、D(环节3)分，剩余选手最大积分和为分，总积分为（分）； 比较得最大总积分为分，此时选手B应完成环节． 15．（2026·北京顺义·二模）两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定； ④取走最后一颗棋子的同学获胜． 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子． （1）如果一共有6颗棋子，两名同学约定每次最多取走3颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子； （2）如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子． 【答案】 【分析】要确保先手获胜，先手取完第一次后，接下来需保证每一轮两人取棋子的总和为每次最多取棋子数，计算总棋子数除以每次最多取棋子数的余数，余数就是先手首次应该取走的棋子数，之后每轮对手取颗，先手取“每次最多取棋子数”颗，即可保证先手取走最后一颗棋子． 【详解】（1）已知总棋子数为，每次最多取颗， 由， ，余数为， ∴先手首次应该取走颗棋子． 剩余颗棋子，之后无论对手取颗，先手取颗，一轮共取走颗，先手可取走最后一颗获胜． （2）已知总棋子数为，每次最多取颗， 由 ， ，余数为， 因此先手首次应该取走颗棋子． 剩余颗棋子，之后无论对手取颗，先手取颗，每轮共取走颗，经过轮后，先手可取走最后一颗获胜． 16．（2026·北京石景山·二模）某校运动会上，名运动员参加米跑、立定跳远、实心球、跳高四项全能比赛．每个单项计分规则：第一名分，第二名分，第三名分，第四名分．四项比赛全部结束后，统计比赛结果，发现每个单项无并列名次，总分第一名得分，且该运动员实心球得分低于另外三个单项得分；总分第三名得分，且该运动员实心球得分高于另外三个单项得分． （1）总分第一名的运动员，获得________个单项第一名； （2）总分第二名的运动员，在实心球项目中的得分为________分． 【答案】 【分析】先根据第一名的总分结合计分规则计算获得单项第一名的数量，再计算所有项目的总得分，结合第三名的得分条件和排名要求，推出剩余唯一的7分只能由第二名获得，即可得到结果． 【详解】解: （1）设总分第一名获得个单项第一名，若，总分为，不符合题意， 若，总分为，剩余一项得分为，满足总分，且符合实心球得分低于另外三个单项的条件，符合题意， 若，最高总分为，不可能，因此第一问结果为； （2）所有选手总分为，已知第一名得分，第三名得分，因此第二名和第四名总分为， 由排名可知，第二名总分，第四名总分， 因此，得， 由（1）可知，总分第一名拿了个分，剩余个分，且该分只能在实心球项目， 若该分由第三名获得，则第三名剩余三个项目总分为，三个项目每个至少得分，总分至少为，不可能， 若该分由第四名获得，则第四名总分至少为，超过第三名总分，不符合排名要求， 因此该分只能由第二名获得， 即第二名实心球得分为． 17．（2026·北京丰台·二模）某工厂生产一种产品，每个产品由甲、乙各一个零件组成．该工厂有四条流水线A，B，C，D生产这两种零件，每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换零件类型．每条流水线每天生产零件的数量如下表： 流水线 A B C D 甲零件/个 32 42 34 45 乙零件/个 35 50 56 60 若四条流水线都开通，1天最多生产该产品________个，5天最多生产该产品________个． 【答案】 87 460 【分析】本题为方案最值问题，每个产品需要甲、乙零件各1个，因此生产产品数等于甲零件总数与乙零件总数的较小值，解题思路为：1天生产枚举所有分工方案，取最小数的最大值；多天生产按各流水线生产甲的相对效率排序，优先安排相对效率高的流水线生产甲，使甲、乙总数尽可能接近，得到最大产量． 【详解】解：若A，B流水线生产甲零件，有个，C，D流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品74个； 若A，C流水线生产甲零件，有个，B，D流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品66个； 若A，D流水线生产甲零件，有个，B，C流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品77个； 若B，C流水线生产甲零件，有个，A，D流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品76个； 若B，D流水线生产甲零件，有个，A，C流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品87个； 若C，D流水线生产甲零件，有个，A，B流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品79个； ∵， ∴四条流水线都开通，1天最多生产该产品87个； 四条流水线生产甲零件与生产乙零件的个数比分别为， ∴优先安排相对效率高的流水线生产甲零件， 设A流水线5天全生产甲，B流水线5天全生产甲，C流水线5天全生产乙，D流水线 x天生产甲零件，天生产乙零件，则生产甲零件共有个， 生产乙零件共有个， 当生产甲零件的个数等于生产乙零件的个数时， ， 解得：，符合实际要求， 所以生产零件的个数为个， 即5天最大产量为460个． 18．（2026·北京丰台·二模）某日小王将一辆小型车停到路边收费停车区域内，第二天离开时缴费24元．该区域停车收费标准如图： 根据以上信息，判断他离开的时刻可能是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分段计费问题的实际应用，先计算白天停车产生的费用，再计算夜间停车的费用，最后根据剩余费用推算第二天白天停车的时长． 【详解】解：小王停小型车， 处于白天停车， 此时白天的停车时长为：， 根据小型车的收费标准，分为首小时和首小时后， ， 首小时费用：（元），首小时后的费用：（元）， 第一天白天的费用：（元）， 则剩余费用为：（元）， 夜间时段为：次日， 共小时， ， 夜间费用为：（元）， 则扣除夜间费用还剩（元）， 此时的3元为第二天白天收费阶段， （个）， ， 离开时间为：（答案不唯一）． 19．（2026·北京房山·二模）某校举办“机器人武术动作编程”比赛，要求选手按固定顺序对组武术动作进行编程．每组动作按完成情况分为良好和优秀两个等级，可获得对应得分；若连续组及以上动作被评为优秀，则从该段连续优秀的第组动作开始（包含第二组动作），每一组动作还可获得表格中对应的额外加分．如：动作、、均评为优秀，则总得分为． 动作顺序及对应得分如下： 动作序号 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作名称 抱拳礼起势 开步双劈 按掌前推 搂手勾踢 缠腕斩拳 闪身冲拳 弹踢穿顶 掼拳戳脚 闪身砍推收势 良好 优秀 额外加分 —— 小宇参加了此次比赛，若他在动作中未获得额外加分，在动作中被评为优秀但未获得额外加分，全程最多连续组动作评为优秀，且连续组动作评为优秀的情况仅出现次．则小宇在前组动作中的得分之和最高为________分，他参加此次比赛的总得分最高为________分． 【答案】 【分析】需根据题干给出的得分规则和限制条件，先分析前两组动作的最高得分，再通过合理安排优秀动作的顺序，满足限制条件，计算得到最高总得分． 【详解】小宇在动作中未获得额外加分， 排除动作同时优秀的情况， 所有可能的得分： 优秀，良好：分； 良好，优秀：分； 均为良好：分； 小宇在前组动作得分之和最高为分； 动作中被评为优秀但未获得额外加分， 动作一定不是优秀，为良好； 全程最多连续组动作评为优秀，且连续组优秀仅出现次， 要使总得分最高，存在可能的得分情况如下： 动作序号 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 总得分 情况1 优秀6 良好3 优秀6 优秀7 优秀8 良好3 优秀8 优秀8 良好6 情况2 良好3 优秀5 优秀6 优秀7 良好5 良好3 优秀8 优秀8 良好6 情况3 优秀6 良好3 良好3 优秀7 优秀8 良好3 优秀8 优秀8 优秀8 情况4 优秀6 良好3 优秀6 优秀7 良好5 良好3 优秀8 优秀8 优秀8 他参加此次比赛的总得分最高为分． 20．（2026·北京大兴·二模）某兴趣小组有3件打印模型需要制作，每个模型都要按四道工序的顺序完成．现安排甲、乙、丙3名同学来做，甲只负责A、D工序，乙只负责B工序，丙只负责C工序．同一模型同一时间只能进行一道工序，完成一道工序后才能开始下一道工序．一个人只有完成一个模型的一道工序后，才能进行下一个模型的工序．各工序耗时（单位：分钟）如下表： 模型1 模型2 模型3 A 3 6 4 B 5 3 4 C 4 7 5 D 2 9 3 （1）只完成模型1和模型3的制作，最少需要________分钟； （2）要完成这3件模型的制作，最少需要________分钟． 【答案】 19 30 【分析】（1）分别计算先制作模型1后制作模型3，以及先制作模型3后制作模型1的总耗时，比较得出最小值； （2）根据工序先后顺序及人员分工，依次分析关键路径，计算各工序完成时刻得出总耗时，通过比较即可得出结果． 【详解】解：（1）由题意知， 若先制作模型1，后制作模型3： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型1为，模型3为， 丙完成C工序时间：模型1为，模型3为， 甲完成D工序时间：模型1为，模型3为， ∴总耗时20分钟； 若先制作模型3，后制作模型1： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型3为，模型1为， 丙完成C工序时间：模型3为，模型1为， 甲完成D工序时间：模型3为，模型1为， ∴总耗时19分钟， ∵， ∴最少需要19分钟； （2）要完成3件模型的制作，则有“模型1-模型2-模型3”、“模型1-模型3-模型2”、“模型2-模型1-模型3”、“模型2-模型3-模型1”、“模型3-模型1-模型2”“模型3-模型2-模型1”共六种顺序制作： ①模型1-模型2-模型3： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型1为，模型2为，模型3为， 丙完成C工序时间：模型1为，模型2为，模型3为， 甲完成D工序时间：模型1为，模型2为，模型3为， ∴总耗时31分钟； ②模型1-模型3-模型2： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型1为，模型3为，模型2为， 丙完成C工序时间：模型1为，模型3为，模型2为， 甲完成D工序时间：模型1为，模型3为，模型2为， ∴总耗时33分钟； ③模型2-模型1-模型3： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型2为，模型1为，模型3为， 丙完成C工序时间：模型2为，模型1为，模型3为， 甲完成D工序时间：模型2为，模型1为，模型3为， ∴总耗时30分钟； ④模型2-模型3-模型1： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型2为，模型3为，模型1为， 丙完成C工序时间：模型2为，模型3为，模型1为， 甲完成D工序时间：模型2为，模型3为，模型1为， ∴总耗时30分钟； ⑤模型3-模型1-模型2： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时刻：模型3为，模型1为，模型2为， 丙完成C工序时间：模型3为，模型1为，模型2为， 甲完成D工序时间：模型3为，模型1为，模型2为， ∴总耗时33分钟； ⑥模型3-模型2-模型1： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型3为，模型2为，模型1为， 丙完成C工序时间：模型3为，模型2为，模型1为， 甲完成D工序时间：模型3为，模型2为，模型1为， ∴总耗时31分钟， 综上所述，要完成这3件模型的制作，最少需要30分钟． 21．（2026·北京平谷·二模）某工厂需要加工4种零部件，每个零部件必须先经过加工工序，再经过组装工序．两道工序分别在两条独立的生产线上并行完成，各零部件在两道工序上的所需时间（单位：分钟）如下表所示： 零部件 甲 乙 丙 丁 加工时间 9 4 8 6 组装时间 7 5 3 10 （1）若按零部件顺序甲→乙→丙→丁依次进行加工（即零部件在加工工序上的处理顺序为甲、乙、丙、丁，组装工序在不违反“先加工后组装”的前提下，可按实际完成顺序安排），则全部零部件完成两道工序至少需要__________分钟； （2）若要使全部零部件完成两道工序的总时间最短，则加工工序上的处理顺序应为__________（写出一种即可）． 【答案】 37 乙，丁，甲，丙 【分析】（1）加工顺序固定，根据先加工后组装，组装线同一时间只能加工一个零部件的规则，依次计算各零部件组装完成时间，即可得到总时间． （2）根据两道工序的最短时间调度规则，将加工时间小于组装时间的零部件按加工时间从小到大排前，加工时间大于组装时间的零部件按组装时间从大到小排后，即可得到总时间最短的加工顺序． 【详解】（1）解:加工顺序为甲→乙→丙→丁，先计算各零部件加工完成时间： 甲加工完成时间：分钟， 乙加工完成时间：分钟， 丙加工完成时间：分钟， 丁加工完成时间：分钟. 组装开始时间取当前零部件加工完成时间与上一零部件组装完成时间的最大值，依次计算组装完成时间： 甲组装完成时间：分钟， 乙组装完成时间的最大值： 分钟， 丙组装完成时间的最大值： 分钟， 丁组装完成时间的最大值： 分钟， 因此第一问总时间为分钟. （2）列出各零部件的加工时间和组装时间： 甲：，，满足， 乙：，，满足， 丙：，，满足， 丁：，，满足， 将满足的零部件按从小到大排序，得到顺序：乙，丁， 将满足的零部件按从大到小排序，得到顺序：甲，丙， 拼接后得到加工组装顺序：乙→丁→甲→丙，该顺序总时间最短，验证得总时间为分钟，符合要求． 22．（2026·北京海淀·二模）某地推出4种特色农产品，每种农产品货源充足，均为独立包装且不可拆分．各农产品每包的重量与价值如下表： 农产品 A B C D 重量（kg） 7 12 8 5 价值（元） 60 100 58 45 在某批农产品的销售中，根据客户需求，助农志愿者使用纸箱装运农产品，且每箱所装农产品的总重量不超过28kg． （1）若每箱只装同一种农产品，则一箱农产品的总价值最大是________元； （2）若每箱中每种农产品最多装包，则一箱农产品的总价值最大是________元． 【答案】 【分析】第一问，分别计算只装同一种农产品时，每箱最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值；第二问，根据每种农产品最多装2包的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【详解】解：（1）对于每箱只装同一种农产品的情况： 农产品A：总价值元； 农产品B：总价值元； 农产品C：总价值元； 农产品D：总价值元； 比较可知，一箱农产品的总价值最大为240元； （2）设装A，B，C，D的包数分别为a，b，c，d，满足，，，，a，b，c，d为非负整数， 且， 总价值，计算得： 当，，，时，，； 当，，，时，，； 当，，，时，，； 当，，，时，，； 其余符合重量限制的组合，总价值均小于223，因此第二问最大总价值为223元． 23．（2026·北京燕山教育集团·二模）小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现40盏小灯中，已知有15盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将40盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功． （1）若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍________盏，挑战成功． （2）小云的做法是：从40盏灯中任意选出n盏作为一组，然后将这n盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么________． 【答案】 5 15 【分析】（1）先求出第二组初始亮灯数和第一组的暗灯数，要使拍灯盏数最少，那么所拍的灯都是暗的灯，据此可得答案； （2）设选出的盏灯中原有盏亮灯，表示出拍灯前选出的组和另一组中亮灯的数量，进而表示出拍灯后选出的组和另一组中亮灯的数量，根据拍灯规则得到拍完后两组的亮灯数，根据相等条件列等式，消去变量得到的值． 【详解】解：（1）∵一共有40盏小灯， ∴每组有盏小灯 ∵一共有15盏灯亮，第一组有盏灯亮， ∴第一组有盏灯暗，第二组有盏灯亮， ∵只拍第一组灯，第二组亮灯数不变，且要使两组中亮着的小灯数一样多， ∴拍完灯后第一组有10盏灯亮， ∵要使拍灯盏数最少， ∴所拍的灯都是暗的灯，使它们都变亮后满足第一组有10盏灯亮， ∴最少需拍盏灯； （2）设选出的盏灯中原有盏亮灯，则剩余一组的原有亮灯数为， 将选出的盏灯每一盏都拍一下后，原有盏亮灯变为暗，原有盏暗灯变为亮， 因此拍完后选出组的亮灯数为， ∵拍完后两组中亮着的小灯数一样多 ∴ 解得． 24．（2026·北京市西城区·二模）某商店共有种不同型号的口罩，每种型号的口罩都有红、白、蓝三种颜色，每种型号的红色口罩价格均为每包50元，白色口罩价格均为每包元，蓝色口罩价格均为每包元（，且，均为整数）．甲、乙、丙三家公司各买一包每种型号的口罩，且对于同种型号的口罩，三家公司选择的颜色各不相同．结账时，甲、乙各自花费了1200元，丙花费了1400元． （1）若，，则的值为________； （2）若丙购买的口罩包含三种颜色，则丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费________元． 【答案】 【分析】根据题意，三家总花费等于所有口罩的总价，可得核心等式 ，结合的取值范围分析求解，第一问直接代入计算即可，第二问根据丙包含三种颜色的条件，将所求目标转化为找最小的正整数，结合整数性质验证得到最大值． 【详解】解：由题意，每个型号的三种颜色被甲、乙、丙各购买一包，因此所有口罩总售价等于三家总花费，即． （1）将，代入等式得：， 解得． （2）由，且为整数，可得：， ∵是正整数， ∴，即，， 设丙购买红色口罩包，白色口罩包，蓝色口罩包， 由题意得：，且，均为正整数， ∴， ∴要使最大，需取最小的，即， 当时，，即， 将，代入得， 将代入得， ∴， ∵为正整数， ∴须为偶数， ∴须是奇数， ∴，或， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时，则，均为正整数，满足条件，此时（元）； ∴丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费1350元． 25．（2026·北京密云·一模）某烘焙小组为制作一款庆典蛋糕，需完成（胚体烘烤）、（奶油打发）、（水果处理）、（糖霜制作）、（胚体抹面）、（裱花装饰）、（料胚组装）七道工序，工序完成需满足以下流程要求： （1）只能在均完成后才能开始； （2）只能在完成后才能开始； （3）只能在和均完成后才能开始； （4）可与并行进行，无先后干扰； （5）一项工序同一时间只能由一名学生完成，完成后可接续其他工序，各工序所需时间如下表： 工序 胚体烘烤 奶油打发 水果处理 糖霜制作 胚体抹面 裱花装饰 料胚组装 时间/分钟 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成，至少需要________分钟才能全部完成；若要在最短时间内完成，最少需要________名学生参与． 【答案】 【分析】本题为工序统筹优化问题，首先根据工序先后约束，计算学生数量足够时的最短总时间，再在最短总时间要求下，通过合理安排工序得到最少学生数量． 【详解】解：首先梳理所有工序：工序可并行进行，其中耗时最长的是，需要分钟， 工序：只能在都完成后开始，需要分钟，因此结束的最早时间为分钟, 工序：只能在完成后开始，需要分钟，因此结束的最早时间为分钟， 工序：需要和都完成后开始，分钟就可以完成并不受其他工序约束，因此的开始时间取决于的结束时间（第分钟），需要分钟，因此结束的最早时间为分钟， ∴最短总时间即为结束的最早时间，即分钟， ∵工序可并行进行， ∴工序需由至少两名同学来完成才能保证在分钟内完成， ∴学生负责完成工序需要的时间为分钟，后续三道工序可由最初完成工序的学生接续完成，无需其他人手， ∵如果工序均由一人完成，工序完成后还要保证后续工序的顺利进行，不影响总时长为分钟， ∴工序的时长：分钟，无法保证完成工序的同时，工序也同时完成， ∴工序至少需要由两人完成，即由学生负责完成工序，共计分钟，由学生负责完成工序，为分钟， ∴可以保证在学生完成工序用了分钟的同时，工序也同时完成，不影响后续工序的顺利进行，并保证总时长为分钟， ∴至少需要人完成． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $