6.8 余角和补角 课件 2025-2026学年浙教版七年级上册数学

该初中数学课件聚焦“余角和补角”，系统讲解概念及性质。通过复习角的定义、周角平角度数、度分秒换算等旧知，以图形观察为支架引出新知，构建前后知识脉络。 其亮点在于以图形观察和几何语言为载体，结合“做一做”“练一练”活动，培养几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维）。如表格发现补角与余角关系，例题用方程解决角度问题，助学生形成符号意识（数学语言），教师可借清晰结构提升教学效率。

第六章 图形的初步认识 6.8 余角和补角 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质. 并能利用余角、补角的知识解决相关问题. 学习目标 复习导入 ①角是由两条有公共 　端点　的 　射线　所组成的图形.这个 公共 　端点　叫作这个角的 　顶点　.角也可以看成是由一 条 　射线　绕着它的 　端点　旋转而成的图形.起始位置的 射线叫作角的 　始边　，终止位置的射线叫作角的 　终边　. ②一个周角等于 　360°　，一个平角等于 　180°　. ③1°＝ 　60　'，1'＝ 　60　″；1″＝ 　 　'，1'＝ 　 　°. 端点 射线 端点 顶点 射线 端点 始边 终 边 360° 180° 60 60 　 　 观察图，∠1+∠2与Rt∠AOB相等，∠3+∠4与Rt∠AOB相等吗？ 你是怎样判断的？ 因为∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°， 所以∠1+∠2与Rt∠AOB相等，∠3+∠4与Rt∠AOB相等. 新知讲解 1 2 互为余角 如果两个锐角的和是一个直角，那么就说这两个角互为余角（简称互余），也可以说其中一个角是另一个角的余角. 几何语言： ∵∠1与∠2互余 ∴∠1+∠2=90° 几何语言： ∵∠1+∠2=90° ∴∠1与∠2互余 结论 对概念的三点说明： 1. 两个锐角 2. 和为90° 3. 与位置无关 新知探究 如图 6-43，在 Rt∠AOB 的内部画射线 OC，则有∠1＋∠2＝Rt∠AOB。 ∠3＋∠4与Rt∠AOB相等吗？怎样判断？ 图6-43 ∠3＋∠4=Rt∠AOB 新知探究 如图6-44，类似地，在平角∠AOB的内部画射线OC，则有 ∠AOC＋ ∠BOC＝∠AOB。∠α＋∠β与平角∠AOB相等吗？怎样判断？ 图6-44 ∠α＋∠β=平角∠AOB 观察图，∠α+∠β与∠AOB相等吗？ 你是怎样判断的？ 因为∠α+∠β=180°， 所以∠α+∠β与∠AOB相等. 新知讲解 3 4 互为补角 如果两个角的和是一个平角，那么就说这两个角互为补角（简称互补），也说其中一个角是另一个角的补角. 几何语言 ∵∠3+∠4=180°(已知) ∴∠3与∠4互为补角 (补角定义) 做一做 1. 如图，已知∠1＝42°，∠2＝138°，∠3＝48°。图中有没有互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由。 互余的角：∠1和∠3 ∠1+∠3= 42°+48°=90° 互补的角：∠1和∠2 ∠1+∠2= 42°+138°=180° 2. 如图，O为直线 AB上一点，∠AOC＝Rt∠，OD是∠BOC内的一条射线。图中有哪些角互补？有哪些角互余？请说明理由。 互补的角：∠AOC 和 ∠BOC； ∠AOD 和 ∠BOD 互余的角：∠COD 和 ∠BOD. ∠AOC +∠BOC= 180° ∠AOD +∠BOD= 180° ∠COD +∠BOD= 90° 三点说明： 1.两个角，其中一个角大于或等于直角，另一个角小于或等于直角. 2. 和为180°. 3. 与位置无关. 思考 1、定义中的“互为”一词如何理解？ 2、互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边？ 如果1与2互补，那么1的补角是2 ，而2的补角是1 ； 如果1与2互余，那么1的余角是2 ， 2的余角是1. 互补或互余的两角度数之间的数量关系，与两角位置无关！ 新知探究 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。例如， 图6-43中，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角。∠3 与∠4呢？ 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补， 也可以说其中一个角是另一个角的补角。例如，图6-44中，∠AOC与∠BOC互为补角，∠AOC是∠BOC的补角，∠BOC也是 ∠AOC的补角。∠α与∠β呢？ ∠3 与∠4互余 ∠α与∠β互补 3. 填空： （1）∠α 的余角＝90°－ ； （2）∠β 的余角＝ －∠β。 90° ∠α ∠α ∠α的余角 ∠α的补角 5° 30° 42° 55° 63°15′ 85° 175° 60° 150° 48° 138° 35° 125° 26°45′ 116°45′ 你还发现了什么？ ∠α的补角 = ∠α的余角＋90° 练一练 （1）如图（a），∠1与∠2互补，∠1与∠3互补， 那么∠2与∠3的大小有什么关系？ 相等 （a） 思考 课本例题 例1 如图，已知∠AOC＝∠BOD＝Rt∠。指出图中还有哪些角相等，并说明理由。 解：在图中，∠AOB＝∠COD。理由如下： 因为∠AOC＝∠BOD＝Rt∠， 所以∠AOB＋∠BOC＝Rt∠， ∠COD＋∠BOC＝Rt∠， 即∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角， 所以∠AOB＝∠COD（同角的余角相等） 课本例题 例2 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。 解：设这个角为 x 度，则这个角的余角是 (90－x) 度， 补角是 (180－x) 度。 由题意，得 180－x＝4(90－x)， 解方程，得 x＝60。 所以这个角的度数为 60°。 新知讲解 由于 ∠1 +∠2 = 180°，∠1 +∠3 = 180°， 所以 ∠2 = 180°-∠1，∠3 = 180°-∠1. 因此 ∠2 =∠3（等量代换）. 等量代换是指“如果 a=b且c=b，那么a=c ”. （2）如图(b),∠4与∠5互余，∠4与∠6互余,那么∠5与∠6的大小有什么关系？ 相等 （b） 由于 ∠5 +∠4 = 90°，∠4 +∠6 = 90°， 所以 ∠5 = 90°-∠4，∠6 = 90°-∠4. 因此 ∠5 =∠6（等量代换）. 课本练习 1. 已知∠α＝60°32′，∠α的余角是多少度？∠α的补角是多少度？ 解： ∠α的余角为29°28'， ∠α的补角为119°28' 。 2. 如图，吊桥桥面与铅垂方向所成的角∠α＝30°。 若要把吊桥放平，则吊桥需沿什么方向转动？转动多少度？ 解：按顺时针方向转动， 转动60°的角。 归纳 ∠α的余角 = ；∠α的补角 = . ∠β的余角 = ；∠β的补角 = . ∠α＝∠β ∠α的余角 = ∠β的余角 ∠α的补角 = ∠β的补角 余角与补角性质：同角或等角的余角相等. 同角或等角的补角相等. 90°－∠α 90°－∠β 180°－∠α 180°－∠β 通过这节课，你了解到哪些数学知识？ 课堂小结 余角与补角 补角 余角 性质 如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称互余，即其中的一个角是另外一个角的余角。 如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称互补，即其中的一个角是另外一个角的补角 同角（等角）的补角相等 同角（等角）的余角相等 谢谢大家聆听 $