第25讲 双曲线（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦双曲线高考核心考点，涵盖定义、标准方程、几何性质及离心率、焦点三角形、直线位置关系、定点定值等题型，按知识解构-题型破译-真题溯源-分层训练逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题演练突破难点，体现复习系统性与针对性。 资料以分层目标驱动，基础层夯实公式与基础题型，中高层强化几何思维与综合应用，如离心率求值转化为e的方程、焦点三角形用余弦定理速解，培养数学思维与表达能力。设置易错埋点警示与分层训练，助力学生高效突破，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第25讲 双曲线 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 双曲线的定义 知识点2 双曲线的标准方程和简单几何性质 题型破译 (含超链接） 题型1 求双曲线标准方程（解答题第1问必考） 题型2 离心率求值&取值范围（填空压轴高频） 题型3 焦点三角形综合计算（小题常考） 题型4 直线与双曲线位置关系（解答题第2问核心） 题型5 压轴第三问：定点/定值/范围/存在性探究 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 双曲线焦点、离心率 / 春考第10题 春考第8题 直线与双曲线的位置关系 秋考第20题 春考第20题 / 秋考第20题 考情分析 1. 重几何、轻运算：区别于全国卷繁琐的代数运算，上海卷偏爱利用双曲线渐近线对称性、焦点三角形几何结论、定点定值性质简化运算，不刻意设置复杂大数计算，侧重几何思维考查。 2. 梯度分层清晰：所有双曲线相关题目均分层设问，第一问基础送分、全员可得分；第二问中档运算，侧重公式应用与基础联立；第三问综合探究，区分尖子生层级，选拔性极强。 3. 高频易错埋点密集：命题常设经典陷阱，包括直线与渐近线平行的交点误区、双曲线与椭圆公式混淆、焦半径左右支符号差异、判别式遗漏等，是考生主要失分点。 4. 知识点融合度高：常与平面向量、三角形面积、最值问题、定点定值、存在性论证、参数范围等知识点结合命题，综合考查逻辑推理与代数运算能力。 复习目标 基础目标（全体学生必达成） 1. 熟练熟记双曲线核心定义、两类标准方程、a、b、c、e四大参数关系、渐近线、焦半径等全部公式，彻底厘清双曲线与椭圆的公式差异，杜绝混淆出错； 2. 独立解决所有双曲线基础小题，涵盖离心率求值、渐近线方程求解、焦点坐标、顶点坐标、焦点三角形面积、点到渐近线距离等常规题型，实现基础小题零失分； 3. 熟练掌握待定系数法，100%拿下双曲线解答题第一问（求标准方程）基础分值。 中档目标（105~125分学员核心突破） 1. 熟练掌握直线与双曲线联立的标准化解题流程，规范完成设线、联立、判别式判断、韦达定理代换全步骤，解题步骤贴合上海阅卷踩分标准； 2. 精准攻克弦长、焦点弦、向量数量积、三角形面积计算等中档第二问题型，熟练整体代换思想，规避繁琐求根运算； 3. 精准规避高频易错点，熟练区分直线平行渐近线与相切的差异、掌握双曲线左右支约束条件、解题必写判别式，杜绝步骤扣分。 培优压轴目标（125分以上尖子生） 专攻双曲线压轴第三问难点题型，包括参数取值范围、斜率存在性探究、定点定值证明、外接圆定值、最值与临界问题；熟练运用点差法、齐次式、几何模型简化复杂代数运算，具备严谨的分类讨论逻辑，突破解析几何压轴分层壁垒。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在. (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支. (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 自主检测 1．在直角坐标系中，已知点A，B分别是定直线和上的动点，若的面积为定值S，则线段的中点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【详解】设， 则. 由于的面积为定值且为定值，从而为定值，设. 设线段的中点为M，则，， 故为定值， 从而线段的中点的轨迹为双曲线. 故选：C. 知识点2 双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. 自主检测 2．已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的方程． 【答案】 【详解】根据题意知，，解得，， 从而． 因为双曲线的中心在原点，焦点在y轴上， 所以所求双曲线方程为． 题●型●破●译 题型1 求双曲线标准方程（解答题第1问必考） 例1-1求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，，经过点； (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程． 【详解】（1）因为，且双曲线的焦点在x轴上， 可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为； （2）在椭圆中，， 所以椭圆的焦点坐标为，， 设双曲线标准方程为，， 因为双曲线与椭圆有相同焦点， 所以， 点代入双曲线方程，可得， 联立，解得，， 所以双曲线标准方程为． 例1-2已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求双曲线的方程； (2)过点且倾斜角为的直线交于两点，求线段的长． 【详解】（1）因为点在上，所以， 又为的右焦点，轴，则，故， 所以，因此的方程为． （2）由题意，直线的方程为， 联立，整理得， 设，此时， 由韦达定理得， 所以． 方法技巧 常见出题条件&最优解法 1. 已知渐近线+定点：采用渐近线齐次设方程法，设方程，直接代入定点坐标求解λ，无需分步求a、b，简化步骤； 2. 已知焦距、离心率、顶点：先由焦距得c、离心率得a，再通过核心公式快速求b²，直接写出标准方程； 3. 定义法求方程：根据双曲线定义，直接求出2a、a，结合焦距2c确定方程。 易错分析 解题第一步优先判断焦点在x轴或y轴，避免方程形式写反，杜绝基础性失分。 【变式训练1-1】已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值． 【详解】（1）由题意可得，解得，， 故双曲线的方程为； （2）联立，则， 设, 则，， 故弦长为， 解得. 【变式训练1-2】已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 【详解】（1）由题得:，解得， 所以双曲线的方程为：. （2）设， 如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：，整理得：， 所以， 所以 所以. 【变式训练1-3】已知双曲线方程（，），渐近线方程为，并且经过点. (1)求双曲线方程； (2)设A，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程. 【详解】（1）因为渐近线方程为，设双曲线方程为， 又因为双曲线经过点，可得，即， 所以双曲线方程为，即. （2）设， 因为线段的中点为，则， 又因为A，是双曲线上的两点，则， 两式相减可得， 整理得， 可得，即直线的斜率， 所以直线的方程，即， 联立方程，消去x得， 可得， 即直线与双曲线相交，直线符合题意， 综上所述：直线的方程为.    题型2 离心率求值&取值范围（填空压轴高频） 例2-1已知双曲线的标准方程为（其中，.若过两点、的直线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为___________． 【答案】2 【知识点】已知两点求斜率、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据直线的斜率公式、双曲线的离心率的定义计算即可. 【详解】由题意，得，即， 所以双曲线的离心率为. 例2-2（2025·上海·模拟预测）已知两定点和，双曲线以，为焦点且经过动点，若在直线上运动，则双曲线的离心率的取值范围为_______． 【答案】 【详解】设双曲线的方程为，， 联立，消去可得， 则， 化简得，又，解得， 故. 例2-3已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，是与在第一象限的交点，当时，则与的离心率之比为______________. 【答案】 【详解】设椭圆：半长轴，半焦距，离心率， 双曲线：半实轴，半焦距，离心率， 由题意：离心率互为倒数：， 椭圆定义：，双曲线定义： 解得焦半径：，故. 在中，由余弦定理： ，代入 ，又 ，代入得：, 整理：，即, 因为 ，故 ， . 方法技巧 1. 离心率求值：梳理题干条件，找到a、c的等量关系，等式两边同时除以a²，转化为关于e的一元方程，结合求解； 2. 离心率范围：利用几何约束构造不等式，常见约束包括：点在双曲线内外、直线与双曲线有交点、焦点三角形角度限制、线段长度范围等，最终求解的有效区间。 秒杀结论 已知渐近线斜率，可直接快速求离心率：。 【变式训练2-1】设双曲线的左右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于，两点，若，，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【详解】过 平行于轴的直线，代入双曲线方程得，，因此弦长， 而，所以， 不妨取,，则， 所以，故，即， 而，所以，而，所以， 所以. 【变式训练2-2】（2026·上海浦东新·三模）小申同学在尝试用数学方法分析足球比赛的技术问题时发现了下面的有趣现象．如图，对垂直于球门底线的射线，当与底线的交点在线段的延长线上时，可以证明总能在上找到唯一的最佳射门点，即使最大的点．而当小申同学考察沿着直线在点右侧平行移动的情况时，发现相应的点都落在某条圆锥曲线上．则该曲线的离心率为______________． 【答案】 【详解】如图建立坐标系：设球门底线为轴，，则。设与垂直的直线为，其上点。 使最大的点，等价于过且与直线相切的圆的切点。由对称性，圆心在轴上，记为，则。圆与相切得，即，故（取上方）。于是。 消去参数得，即，这是实轴、虚轴长相等的双曲线，离心率。 【变式训练2-3】（2026·上海浦东新·三模）如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． 【答案】 【详解】设椭圆的方程为，双曲线的方程为， 因为椭圆与双曲线的公共焦点，所以， 如图所示，连接，根据椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 因为，可得，设， 在中，由余弦定理得， 由椭圆的定义，可得， 可得， 所以，所以， 又由双曲线的定义，可得， 可得， 所以，所以， 所以，可得，即， 可得，所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，所以， 所以与的离心率之积的最小值为. 题型3 焦点三角形综合计算（小题常考） 例3-1已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线左支于，两点，若，则的周长为________． 【答案】12 【详解】由双曲线的方程可知， 则，， 则 ，   即， 则的周长为， 故答案为：12 例3-2若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是_______． 【答案】1 【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为， 椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为， 由它们有相同的焦点，得到，即． 不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，① 由椭圆的定义，② 得， 即有， 又， 可得， ，即， 则的形状是直角三角形 即有的面积为. 故答案为：1. 方法技巧 第一步：套用双曲线定义； 第二步：对焦点三角形套用余弦定理，结合顶角建立边长关系； 第三步：联立面积公式快速求解。 全程优先使用二级结论，规避复杂代数运算，实现小题速解。 【变式训练3-1】已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别为为该双曲线上第一象限内的点，且，则的内切圆圆心坐标为________. 【答案】 【详解】如图所示，设，则， 设的内切圆与三边的切点分别为，内切圆半径为，圆心为， 则，，， 由勾股定理有，即， ， 其中， 解得 ， 故，， 故所求坐标为, 故答案为：.    【变式训练3-2】设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，若在的右支上存在点，使得和均为等腰三角形，则__________． 【答案】或或 【详解】设双曲线方程为，焦点为、， ，，且因为P在右支上，所以，设点（）， 因为为等腰三角形，即或， 因为为等腰三角形，即或或， 如图所示，    先对如下情况一一讨论， 若，，，解得； 若，，所以， 所以，即，解得， 所以，解得； 若，，根据可得， 又因为，所以，也即，矛盾，故该情况舍去； 若，，可得，矛盾，该情况舍去； 若，，则在中，，， 故可得，代入双曲线方程可得，解得或，由于，所以； 若，，则在中，，矛盾，故该情况舍去； 综上所述，或或． 故答案为：或或． 【变式训练3-3】点、是双曲线：的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若、、组成一个直角三角形，且其中两条直角边的长度分别为3和4，则满足条件的双曲线的离心率有________种情况. 【答案】5 【详解】 因为两条直角边的长度分别为3和4，所以斜边为5， 由双曲线的定义得：， 所以，解得， ①时，，若 又，， ， 所以此时离心率； 若 又，， ， 所以此时离心率； ②时，，若， ，， ， 所以此时离心率； 若， ，， ， 所以此时离心率； ③，若，， ，， 所以此时离心率； 若，， ，， 所以此时离心率； 综上，满足条件的双曲线的离心率有5种情况. 故答案为：5. 题型4 直线与双曲线位置关系（解答题第2问核心） 例4-1已知双曲线. (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 【详解】（1）由题意可得，因为，解得. (2)证明如下： 因为直线与圆相切，所以，可得， 联立得，即， 则，所以方程有两个不等的实根， 设这两个实根分别为、，则， 因此，直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 例4-2（2025·上海浦东新·三模）已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，. (1)若，求点的坐标； (2)若点的坐标为，求证； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2)证明：由题意得，，故， ， ， 则，即； (3). 【知识点】求直线与双曲线的交点坐标、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线中的最值问题、双曲线向量共线比例问题 【分析】（1）设，，，与联立求出和韦达定理，根据求出即可求解； （2）求出即可证明； （3）由（1）求出，考虑和两种情况，根据求出，求出，根据（2）求出，根据结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）设，，， 与联立可得，， ，，， 因为，所以， 由可得，故 因为在第一象限，所以，解得， 由得； （2）略 （3）由（1）得，，故， 因为，所以， 当时，，，，故，， ，故，所以⊥，， 则， 由对称性可知， 则， 当时，，， 由得， 将其代入中得， 显然，当时，，当时，， 解得，，， 因为， 其中， 由（2）知， 又，故， 故， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时， 由于， 故. 方法技巧 1. 设直线：优先选用形式，完美规避斜率不存在的分类讨论，简化解题流程； 2. 联立方程：将直线方程代入双曲线标准方程，整理为一元二次方程标准形式； 3. 特殊判断：验算二次项系数，若系数为0，说明直线平行于渐近线，仅有1个交点（非相切，无判别式）； 4. 常规判定：二次项系数不为0时，必须书写（直线与双曲线相交核心条件，范围类题目必写，直接关联步骤分）； 5. 韦达定理：整体保留、，不单独求解根，坚持整体代换思想； 6. 弦长计算：固定公式； 7. 面积计算：（d为定点到直线的距离）。 【变式训练4-1】在平面直角坐标系中，已知，双曲线的焦距为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)设直线的斜率为交于两点，且与圆相切，切点位于轴上方，求的值； (3)如图，设过双曲线的左焦点的直线交的左支于点、，过的右焦点的直线交的右支于点，若直线，且四边形的面积为，求直线的方程． 【详解】（1）由题意得， 所以双曲线的方程为. （2）设直线为，即. 因为直线与圆相切，切点位于轴上方，所以， 且. 联立，消去得，整理得. 设，，则，. 所以. 所以. （3）根据双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形. 所以，所以. 因为直线的斜率不为0，所以设直线的方程为：. 代入得， 整理得. 设，，则，. 因为，均在双曲线的左支上，所以. 所以. 由. 整理得. 两边平方得： 解得或（由，故舍去），所以. 所以直线的方程为或. 【变式训练4-2】已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)若M是双曲线上在第一象限的点，，求的面积； (3)已知直线l过点，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段上，若，求点P的坐标． 【详解】（1）对于双曲线，， 故双曲线C的渐近线方程为，即； （2）设，由题意可知， 则， 由，得， 即， 又M在双曲线上，故，则， 结合，得，则， 由于，故， 又，故的面积. （3）设，由知 若直线斜率不存在，则，此时，不符合题意，舍去； 设直线方程为：， 与双曲线联立化简得， 显然成立，设交点， 由韦达定理： 由得， 从而，即，即， 将韦达定理代入 化简得（※）， 因为，即， 由已知在双曲线上，得， 从而得代入（※）式， 得， 化简得，即， 解得，结合，解得， 则点的坐标为. 题型5 压轴第三问：定点/定值/范围/存在性探究 例5-1已知双曲线的标准方程，如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.    (1)求双曲线的离心率和渐近线方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则弧所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【详解】（1）由知，，，，则离心率，渐近线为； (2)由，的斜率存在且不为0，设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 所以，且， 所以 ，得证. （3）由（2）知恒成立，， 所以圆心到的距离， 半径， 设所对圆心角为，则， 因为为劣弧，所以，则， 所以，即所对圆心角的大小为定值. 例5-2（2026·上海长宁·二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的离心率； (2)设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； (3)若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 【详解】（1）将代入双曲线方程可得：， 因为双曲线中 ，所以， 即离心率： ； （2） 设 ，直线 方程为， 令 ，得，即可知， 令，得，即可知， 由，可得：， 则由纵坐标对应相等可得 ， 由（1）知双曲线化简为，代入得， 解得或 （因为此时与点 重合故舍去），即； (3)设，由 关于原点对称得， 计算得直线 的斜率可得 所以有， 设直线，联立， 可得：， 设， 由韦达定理得， 由可得：， 整理得：， 所以， 所以， 代入韦达定理可得：， 所以， 所以， 所以， 所以，则或， 当时，直线恒过点，不符合题意， 故，此时直线恒过点. 例5-3（2026·上海·三模）已经双曲线：的渐近线方程为，焦距为4，直线：与双曲线交于不同的两点，（异于双曲线的顶点）． (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线的右顶点，若以为直径的圆过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (3)若，在双曲线的右支上，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得，解得， 则双曲线：； （2）设，，联立， 消去得：， 由题意，，且，即， ， 已知，以为直径的圆过，则， ，即， ， ， 展开并整理得：，即， 当时，直线，过定点，但此时直线过双曲线右顶点，不符合题意； 当时，直线，过定点，符合题意； 所以直线过定点． （3）因为在右支， 所以， 可得，， 设中点为，则， 的垂直平分线方程为：， 已知过，代入得： 化简得：，此时，， ，， ， ， ， ，则． 例5-4已知曲线的标准方程为，直线过点，，，直线倾斜角为 ，，设直线与交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，其中、在第一象限，在第四象限，是双曲线的右焦点. (1)求点的坐标和渐近线方程； (2)以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切，同时又与直线相切于点，求直线的方程； (3)对任意一条直线，双曲线上是否存在点，使得与均以为顶点的等腰三角形，请说明理由. 【详解】（1）将双曲线化成标准形式为：， 所以， 所以， 所以； 渐近线方程为：； （2）因此，渐近线方程为：， 设以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切的圆的半径为， 点到直线的距离为， 则， 所以此圆的方程为， 又因为此圆与直线切于点， 所以，又因为， 解得， 所以， 因为直线倾斜角为 ，且， 当时，直线的斜率存在，且， 设直线的方程为， 即， 所以， 即，无解； 当时，直线的方程为； 综上，直线的方程为；    (3)存在两个不同的点，使得与均以为顶点的等腰三角形，理由如下： 假设存在满足题意的点， 则有, 所以的中点重合，且的中垂线重合， 当时， 设直线的方程为，， 由，可得， 设, 则, , 所以中点为； 由，得，即； 由，得，即； 所以中点为； 由此可得的中点重合， 所以直线两直线的中垂线方程为：， 即， 由，得， 则， 所以原方程始终有两个不同实数根， 即直线与双曲线始终有两个不同交点， 所以此时存在两个不同的点，满足题意； 当时，直线的方程为， 此时当为双曲线的左、右顶点时，满足题意； 综上，存在两个满足题意的点.    方法技巧 1. 参数取值范围模型：依托、直线与双曲线单/双支相交、几何长度约束构造不等式，结合函数值域、不等式性质求解参数范围； 2. 存在性判断模型：采用“假设存在—列式推导—验证定义域”三步法，若推导结果符合题干约束则存在，反之不存在； 3. 定点定值模型：通过代数化简消去变量参数，最终结果与斜率、截距等变量无关，即为定点/定值。压轴提速技巧 优先用特殊值（特殊斜率、特殊点）猜测答案，再进行严谨代数证明，大幅降低压轴题运算难度，节省考场时间。 【变式训练5-1】（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 【详解】（1）双曲线：，其中，，右顶点. 渐近线方程为：，取， 所以右顶点到一条渐近线的距离为. （2）设，则，即 因为、、为一个等腰三角形的三个顶点，所以或或. 若，则，即， 整理得，解得或（舍去）. 若，点应在中垂线上，此时无实根. 若，，即， 整理得，解得或（舍去）. 综上，或，即点的横坐标为或. （3）由题意易知，直线的斜率存在，设方程为. 联立，整理得， 则，所以且. 设，，则，. 所以， 则. 当时，所以，，故； 当时，所以，，故. 综上，实数的取值范围为. 【变式训练5-2】（2025·上海黄浦·一模）已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． (1)求的方程； (2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； (3)设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的方程为. （2）联立，消去并化简得， 由题意可得，解得，因为， 所以，代入上式，解得， 所以，设， 因为为直角， 所以， 解得或， 所以或. （3），设，， 联立，消去并化简得， ， ， 联立，解得， 所以， ， 代入点坐标及韦达定理得 ， ， 所以，使得. 【变式训练5-3】（2026·上海·三模）已知双曲线：的下焦点为，上焦点为，点D为的上顶点. (1)设O为坐标原点，M为上任意一点，求的取值范围； (2)设点，过点C任意作一条不垂直x轴的直线l，l交于两个不同点A、B，求证：是定值，并给出这个定值； (3)过作直线n交于两个不同点P、Q，若直线交x轴于点S，直线交x轴于点T，是否存在直线n，使得、面积相等？若存在，求出直线n的方程；若不存在，说明理由. 【详解】（1）双曲线的焦点，设点，则， ，因此， 而或，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以的取值范围是. (2)设直线的方程为，设， 由消去，得，， 解得，，， 因此 ， 所以是定值，该定值为0. （3）设直线的方程为，点， 由消去，得，， 解得，，直线的方程为， 令，得点的横坐标，同理得的横坐标， 则 ，而，， 由、面积相等，得，则， 解得，即，所以直线的方程为. 【变式训练5-4】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知双曲线过点，点为其渐近线上一点．过点的直线与双曲线交于，两点． (1)求双曲线的方程； (2)若与的面积相等，求出M的坐标； (3)直线AM，AN分别与y轴交于P，Q两点，记PQ的中点为E，判断的外接圆面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【详解】（1）双曲线过点，则有， 双曲线的渐近线方程为，点为渐近线上一点，得，解得， 因此双曲线C的方程为. （2）由三点共线，和共顶点A，有公共边，底边都在直线l上， 两个三角形的高(点A到直线l的距离)相等，由面积相等可得底边长， 即M是BN的中点， 设，若M是BN中点，则N的坐标为， 将代入双曲线方程：，解得， 代入双曲线方程得，，即. （3）设过点的直线l方程为，设, 联立直线与双曲线方程得， 整理得， 由韦达定理得，， 直线AM的方程为，令得，同理得， 因为，， ， 所以PQ中点E的纵坐标恒为，即E为定点， 已知均为定点， 设外接圆方程为，代入三点坐标， 解得，所以外接圆方程为，即， 外接圆半径的平方，因此外接圆面积，为定值. 【变式训练5-5】已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【详解】（1）因为当直线与轴垂直时，， 且点位于第一象限内，所以设， 代入方程中得到，而， 解得，，则双曲线的方程为. （2）由上问得双曲线的方程为， 如图，则点，的坐标分别为， 又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零， 故设其方程为，， 联立双曲线方程可得：， 设点的坐标分别为，且恒成立 则， ， ； 又直线方程为：，令，则， 故点的坐标为；直线方程为：， 令，则，故点的坐标为； 若右焦点恒位于以线段为直径的圆上，则， 则 ，令，解得， 故存在，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上. （3）当直线斜率不存在时， 对曲线，令，解得， 故点的坐标为，此时， 在三角形中，，故可得， 则存在常数，使得成立； 当直线斜率存在时，不妨设点的坐标为，， 此时直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，， 假设存在常数，使得成立，即， 则一定有：，也即； 又；； 又点的坐标满足，则， 故 ； 故假设成立，存在实数常数，使得成立； 综上所述，存在常数，使得恒成立. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2023·上海·高考真题）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点，都有使得．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（    ） ①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线． A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】B 【详解】对于①，不妨设椭圆方程为，， 则椭圆上一点到距离为， 当时，对称轴，可得， 总存在使得，此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确， 对于②，对于给定的双曲线和点，显然存在最小值，而横坐标趋近于无穷大时，趋近于无穷大，，故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”故②错误， 故选：B 二、填空题 2．（2024·上海·高考真题）三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 【答案】3 【详解】由双曲线的定义， 则. 故答案为：3 3．（2025·上海·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得．若的面积为，则a的值为__________． 【答案】 【详解】由题意可作图如下： 由，则，解得，且， 则，， 设，则，解得， 由题意可得直线的斜率，则方程为， 将代入上式，则，解得， 由题意可得， 易知. 故答案为：. 三、解答题 4．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 【详解】（1）对于双曲线，，， ， 所以双曲线离心率. （2）因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以， 所以直线的斜率为. （3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 5．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 【详解】（1）由双曲线的方程知，， 因为离心率为2，所以，得. （2）当时，双曲线，且. 因为点在第一象限，所以为钝角. 又为等腰三角形，所以. 设点，且，则 得，所以. （3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称. 设，则. 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程得 消去，得， 且，即，得. ， 由，得， 所以，即， 整理得， 所以， 整理得，所以. 又，所以，解得， 所以，又， 故的取值范围是，故的最大值为. 6．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求点到双曲线渐近线的距离； (2)若，求； (3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由题意可知：，， 则，，渐近线方程为，即， 所以点到双曲线渐近线的距离为. （2）解法一：因为， 由余弦定理可得， 整理得：， 因点是双曲线上一点，则，可得， 代入可得，，则， 所以的面积为； 解法二：设，则，即， 可得，， 因为，即，解得， 所以的面积为； 解法三：因为，即， 由中线长定理可知：， 因为，可得， 代入可得，，可得， 解得，则，， 所以的面积为. （3）不妨取，，则直线的斜率， 依题意，设直线：，则，设直线：，则，，， 联立方程，消去x可得， 则，， 可得， 可知函数在内单调递增，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故， 因，所以； 同理可得： 可知在内单调递减，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故； 由题意可知：，可得，解得， 所以存在实数符合题意，此时的取值范围为. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．设a为实数，若椭圆与双曲线有相同的焦点，求a的值． 【答案】 【详解】由题设知：，则双曲线焦点在x轴上， 又椭圆与双曲线焦点相同，即，可得. 2．如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．    【答案】48 【详解】如图，    由可得，， ， ， ， 过点作边上的高，则， ， 所以的面积为. 3．双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图）.它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）. 【答案】 【详解】根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系， 使小圆的直径在x轴上，圆心与原点重合. 这时，上、下口的直径，都平行于x轴，且，. 设双曲线的方程为，若C为，则点B为. 因为直径是实轴，所以，又B，C两点都在双曲线上， 由得：（负值舍去）. 代入得：. 化简得，解得（负值舍去）. 因此所求双曲线的方程为. 4．分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8； (2)双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点． 【详解】（1）由已知得5，．因此，且． 又因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求的双曲线的标准方程是． （2）由已知得双曲线的焦点在y轴上，且，所以另一个焦点坐标为. 因为点在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为 ， 因此，从而． 因此，所求双曲线的标准方程是． 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两焦点坐标为，，且； (2)两焦点坐标为，，且经过点； (3)焦点在y上，且经过点和． 【详解】（1）由题意，，所以， 又焦点在轴上， 所以所求双曲线方程为. （2）由题意，焦点在轴上，， 又经过点， 所以， 所以，又， 所以所求双曲线方程为. （3）因为焦点在y上，所以设， 因为经过点和， 所以，解得， 所以所求双曲线方程为. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2026·上海·二模）双曲线的渐近线是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的标准形式为， 显然该双曲线焦点在轴上，其中，，即，， 因为焦点在轴上的双曲线的渐近线公式是，且， 所以双曲线的渐近线是． 2．（25-26高三上·上海杨浦·期末）设，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当表示双曲线时，， 当时，可将方程转化为，方程表示焦点在轴上的双曲线， 当时，可将方程转化为，方程表示焦点在轴上的双曲线， 故， 故选：. 3．（25-26高三上·上海浦东新·期末）如图，椭圆、的离心率分别为、，双曲线、的离心率分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线离心率：，椭圆离心率， 如图可知椭圆中，，所以， 双曲线、中，，所以， 综上：. 故选：D. 4．（2026·上海奉贤·二模）已知双曲线的方程为，则（   ） A．渐近线与无关 B．实轴长与无关 C．焦距与无关 D．焦点与无关 【答案】A 【详解】已知双曲线的方程为，则， 当时，，焦点在轴，， 当时，，焦点在轴，， 当时，渐近线方程为，实轴长为， 焦距为，焦点为； 当时，渐近线方程为，实轴长为， 焦距为，焦点为； 渐近线与无关，实轴长、焦距、焦点均与有关． 5．（25-26高三上·上海宝山·期末）双曲线型自然冷却通风塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面，如图所示．已知它的下口直径为米，上口直径为米，最小直径为20米，高为80米，则此双曲线的焦距为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为， 因为通风塔的外形最小直径为20米，可得，所以，即， 又因为通风塔的外形的下口直径为米，上口直径为米，且高为米， 设，其中，则， 将的坐标代入双曲线的方程，可得， 整理得，即，所以，解得， 所以，则， 所以此双曲线的焦距为. 故选：D.    6．（25-26高三上·上海·期中）双曲线的实轴长为___________． 【答案】6 【详解】对于双曲线，，解得， 故实轴长为. 故答案为：. 7．已知双曲线方程为：，则离心率为______． 【答案】 【详解】由题意得双曲线的方程为，其中，，，， 则， 故离心率. 故答案为：. 8．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，则__________. 【答案】 【详解】由方程表示双曲线，可知， 则方程即为方程，即得， 方程表示焦点在x轴上的双曲线，由已知其渐近线方程为， 则. 9．（2026·上海·三模）已知双曲线：，则双曲线的渐近线夹角是______．（用反余弦表示） 【答案】 【详解】由题意可得双曲线的两条渐近线方程为， 设渐近线的倾斜角为，则， 则， 故双曲线的渐近线夹角为，有， 故双曲线的渐近线夹角是. 10．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知点是双曲线的左焦点，经过原点的直线与双曲线交于、两点，若且，则双曲线的离心率为 ______. 【答案】 【详解】 设是右焦点，由双曲线的对称性得是平行四边形，， 所以， 又，即，，则， 因为，所以， 由余弦定理得， 即， 得，即 所以离心率. 11．（2025·上海崇明·二模）已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则__________． 【答案】 【详解】由题意可知，， 如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，    则，得， 在中由余弦定理可得， ，即， 则由双曲线的定义可得，得， 则 故答案为： 12．已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． (2)如图，设，，联立， 得，则，，， 所以，，因为以线段为直径的圆经过点，所以，所以，即， 所以，化简得， 即，因为，，所以， 所以直线的方程为，所以直线过定点. 13.已知双曲线的焦距为是的两个焦点. (1)若双曲线的离心率为，求的方程； (2)若双曲线的实轴长为，是上一点， 使得，求三角形的面积. 【详解】（1）由双曲线的焦距为，则，故， 由双曲线的离心率为，则，故， 则，故的方程为； （2）由双曲线的实轴长为，则，故， 由双曲线的焦距为，则， 由双曲线定义可知，又， 则， 即，则， 则三角形的面积. 14．已知双曲线的实轴长为8，焦距为10，两个焦点分别为，为双曲线上一点. (1)求双曲线的标准方程，以及双曲线的渐近线方程； (2)设，求的面积. 【详解】（1）由题意知，，即， 所以，， 所以双曲线的标准方程为， 双曲线的渐近线方程为，即和. （2）如图， 设，， 由双曲线的定义可得：，则有，① 又由，则有，② 联立①②解可得， 则△的面积. 重难·创新演练 1．（2026·上海金山·二模）已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（   ）个 A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】双曲线的渐近线方程为， 设渐近线的倾斜角为，则， ，，，， 两条渐近线的夹角为，， ， ，，，， 椭圆，， 点、为椭圆的两个焦点，， 当时，以为直径的圆的方程为， 双曲线，将代入， 得到，解得， 联立，将代入， 得到，解得， 将代入，解得， 则有个点满足； 当时， 过的直线为，将代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 当时， 过的直线为，将代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 综上可知，使得为直角三角形的点有个，故选项C正确. 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，离心率为e，P是上一点，满足：，则以下结论（    ） （1）成等差数列的充要条件为； （2）若成等比数列，则函数的定义域不可能为R； A．结论（1）（2）都成立 B．结论（1）（2）都不成立 C．结论（1）成立，结论（2）不成立 D．结论（1）不成立，结论（2）成立 【答案】A 【详解】因为，则，，. 结论（1）：若成等差数列，等价于， 即，整理可得， 即成等差数列等价于， 所以成等差数列的充要条件为，故结论（1）正确； 结论（2）：若成等比数列，显然均不为0， 则，即， 整理可得，解得或（舍去）， 可知为无理数， 根据指数幂的定义可知当为负数时无定义， 所以函数的定义域不可能为R，故结论（2）正确. 3．（2026·上海黄浦·三模）双曲线的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则该双曲线两条渐近线夹角的余弦值为________． 【答案】 【详解】由双曲线方程，焦点， 以为直径的圆，取渐近线， 联立，解得或， 所以交点，右顶点， 则向量， 所以， 已知，因此，解得，即， 即,由知, 因为 ，所以，所以, 设圆与轴交点为，所以, 设两渐近线夹角为，则， 所以. 4．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）已知双曲线，点为右顶点，直线与相交于两个不同的点和（均异于点）． (1)求两条渐近线夹角的余弦值； (2)若在上，且，求点坐标； (3)若点在上，直线与与轴的交点分别为、，求证：为定值． 【详解】（1）由题意两条渐近线的方程为，故其法向量分别为，， 设两条渐近线夹角为，故， 故两条渐近线夹角的余弦值为； （2）由，，设，则， 因为，故，即， 由在双曲线上，则，即， 所以，则， 其中，则，故，所以． (3)证明：设，，由题可得，直线的斜率存在， 设，联立， 整理得， 即，， 由，，则，， 取的中点，，且， 由于，， 故， 所以，故． 5．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左顶点为，过点的直线交双曲线于、两点，点在第一象限． (1)若双曲线的焦距为，求该双曲线的离心率； (2)若，为直角三角形，求点的坐标； (3)若双曲线的一条渐近线方程为，且直线上存在一点，过点可以作双曲线的两条互相垂直的切线，求直线斜率的取值范围． 【详解】（1）由双曲线，则， 双曲线的焦距为，即，得， 所以． （2）由，则有双曲线，且， 又为直角三角形，且点M在第一象限， 则不可能为直角； 若，则点的横坐标为， 将代入中，得，所以符合题意； 若，设点， 则，， 所以， 又因为点M满足， 解得(不符合题意)，或， 则，可得，所以， 又双曲线的渐近线为， 则DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，即不符合题意， 综上，点M的坐标． （3）由双曲线的一条渐近线方程为，即， 则，得双曲线 ， 又双曲线的切线不平行于坐标轴，不妨设切线方程为， 联立，整理得， 则，得， 设直线，， 将代入切线方程得， 则， 整理得， 又双曲线的两条切线互相垂直， 则， 所以， 又点存在，则，解得， 又点在第一象限，则 所以直线斜率的取值范围为． 6．已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为. (1)求双曲线E的标准方程： (2)过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N. （ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值： （ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围. 【详解】（1）已知双曲线的虚轴长为，则，解得. 又因为离心率，且，把代入可得. 由可得，将其代入中，得到. 解得，所以双曲线的标准方程为. (2)（ⅰ）证明：当斜率为0时，已知，BC方程. 令，则，解得，所以. . 当斜率不为0时：设AB方程，与联立： 把代入得. 由韦达定理得，. 因为直线交左右两支，有，解得. BC方程，令，得，即. 则，经化简得， 把，代入. 先看分子： 再看分母：    此时. 因为，，约分后可得. （ⅱ）当斜率为0时，因为，两三角形相似，. 当斜率不为0时，不妨设，，，所以. . ，代入与的值得. 因为，所以，结合，解得. 所以. 综上，取值范围是. 7．（2025·上海金山·三模）已知双曲线过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； (3)若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 【详解】（1）由，得， 则双曲线的方程为，将点代入的方程中，得． 解得，故，所以双曲线的方程为． （2）设直线的方程为，因为点到直线的距离为1， 作出简图如下所示， 所以，即． 设，，由于直线与交于点，所以， 联立整理得． 则，， 且， 故， 所以， 则．故． (3)法一：当直线的斜率为0时，可设其方程为，则，， 则即， 又在双曲线上，所以，联立可得，所以或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 故此时直线的方程为． 当直线的斜率不为0时， 设的方程为，设，， 联立得，其 则，且 而 ， 化简得． 代入（※）式，得， 即，所以或． （ⅰ）当时， 的方程为，此时直线过定点． （ⅱ）当时，的方程为， 此时直线过定点，与是双曲线上异于的两点矛盾，故舍去． 综上，直线过定点． 法二：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点， 可得双曲线方程：，化简得． 设平移后的直线的方程为：，，， 所以， 整理得， 即， 所以， 即，对比可得平移后的直线过定点． 所以直线过定点． 8．（2025·上海闵行·一模）已知双曲线，直线过点，，且与的右支交于P、Q两点，与的两条渐近线分别交于A、B两点，其中A、P在第一象限，B、Q在第四象限． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)若为的右焦点，求的面积的最小值； (3)若，求的取值范围． 【详解】（1）由双曲线方程可得渐近线方程为， 两条渐近线的倾斜角分别为， 所以两条渐近线的夹角为； （2）由题意直线斜率不为0，故设方程为：， 联立解得：即 联立解得：即， 所以， 所以当时，取最大值，此时面积最小， 即； （3） 由题意直线斜率不为0，故设方程为：， 联立解得：即 联立解得：即， 联立，消去得：， 所以， 因为， 所以 所以， 即， 即， 即，因为，所以， 又P、Q两点在的右支上，所以，， 所以. 9．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合. (1)当时，求的值； (2)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 【详解】（1） 如图，已知当时，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点. 将代入椭圆方程得，即，解得. 把代入双曲线方程，整理得， 设，则， 即， 解得或（舍去），所以， 即. （2） 当时，椭圆，双曲线. 联立， 解方程组求交点的坐标. 由得， 由得， 两式相减消去得， 代入双曲线方程得， 因为点在第一象限，所以. 设. ， 由得，即.故， 当直线l斜率不存在时，直线l方程为， 此时，则， 成立. 当直线斜率存在时，由题知交点必定在直线两侧，即左侧为与椭圆的交点，右侧为直与双曲线的交点，易知当交点在位于第一象限椭圆上曲线段之间时，，此时，故不可能，舍去； 因为双曲线的渐近线方程为, 故直线与双曲线没有横坐标大于2的交点， 即当交点位于椭圆第二象限时，不可能，舍去； 同理：当直线与椭圆交于轴下方时，也舍去， 综上：直线l方程为， （3） 如图,已知，由（1）知椭圆，双曲线. 直线过点且斜率为，则直线的方程为. 设，由， 根据三角形面积公式， 则， 即. ， 因为双曲线的渐近线方程为，而， 故直线与双曲线右支无交点， 故均为直线与椭圆的交点， 联立， 则， 则， ， 令， 则， 在时成立，故单调递增且，所以递减， 所以当时取得最大值， 又 所以的最大值为. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25讲 双曲线 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 双曲线的定义 知识点2 双曲线的标准方程和简单几何性质 题型破译 (含超链接） 题型1 求双曲线标准方程（解答题第1问必考） 题型2 离心率求值&取值范围（填空压轴高频） 题型3 焦点三角形综合计算（小题常考） 题型4 直线与双曲线位置关系（解答题第2问核心） 题型5 压轴第三问：定点/定值/范围/存在性探究 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 双曲线焦点、离心率 / 春考第10题 春考第8题 直线与双曲线的位置关系 秋考第20题 春考第20题 / 秋考第20题 考情分析 1. 重几何、轻运算：区别于全国卷繁琐的代数运算，上海卷偏爱利用双曲线渐近线对称性、焦点三角形几何结论、定点定值性质简化运算，不刻意设置复杂大数计算，侧重几何思维考查。 2. 梯度分层清晰：所有双曲线相关题目均分层设问，第一问基础送分、全员可得分；第二问中档运算，侧重公式应用与基础联立；第三问综合探究，区分尖子生层级，选拔性极强。 3. 高频易错埋点密集：命题常设经典陷阱，包括直线与渐近线平行的交点误区、双曲线与椭圆公式混淆、焦半径左右支符号差异、判别式遗漏等，是考生主要失分点。 4. 知识点融合度高：常与平面向量、三角形面积、最值问题、定点定值、存在性论证、参数范围等知识点结合命题，综合考查逻辑推理与代数运算能力。 复习目标 基础目标（全体学生必达成） 1. 熟练熟记双曲线核心定义、两类标准方程、a、b、c、e四大参数关系、渐近线、焦半径等全部公式，彻底厘清双曲线与椭圆的公式差异，杜绝混淆出错； 2. 独立解决所有双曲线基础小题，涵盖离心率求值、渐近线方程求解、焦点坐标、顶点坐标、焦点三角形面积、点到渐近线距离等常规题型，实现基础小题零失分； 3. 熟练掌握待定系数法，100%拿下双曲线解答题第一问（求标准方程）基础分值。 中档目标（105~125分学员核心突破） 1. 熟练掌握直线与双曲线联立的标准化解题流程，规范完成设线、联立、判别式判断、韦达定理代换全步骤，解题步骤贴合上海阅卷踩分标准； 2. 精准攻克弦长、焦点弦、向量数量积、三角形面积计算等中档第二问题型，熟练整体代换思想，规避繁琐求根运算； 3. 精准规避高频易错点，熟练区分直线平行渐近线与相切的差异、掌握双曲线左右支约束条件、解题必写判别式，杜绝步骤扣分。 培优压轴目标（125分以上尖子生） 专攻双曲线压轴第三问难点题型，包括参数取值范围、斜率存在性探究、定点定值证明、外接圆定值、最值与临界问题；熟练运用点差法、齐次式、几何模型简化复杂代数运算，具备严谨的分类讨论逻辑，突破解析几何压轴分层壁垒。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在. (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支. (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 自主检测 1．在直角坐标系中，已知点A，B分别是定直线和上的动点，若的面积为定值S，则线段的中点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 知识点2 双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. 自主检测 2． 已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的方程． 题●型●破●译 题型1 求双曲线标准方程（解答题第1问必考） 例1-1求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，，经过点； (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程． 例1-2已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求双曲线的方程； (2)过点且倾斜角为的直线交于两点，求线段的长． 方法技巧 常见出题条件&最优解法 1. 已知渐近线+定点：采用渐近线齐次设方程法，设方程，直接代入定点坐标求解λ，无需分步求a、b，简化步骤； 2. 已知焦距、离心率、顶点：先由焦距得c、离心率得a，再通过核心公式快速求b²，直接写出标准方程； 3. 定义法求方程：根据双曲线定义，直接求出2a、a，结合焦距2c确定方程。 易错分析 解题第一步优先判断焦点在x轴或y轴，避免方程形式写反，杜绝基础性失分。 【变式训练1-1】已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值． 【变式训练1-2】已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 【变式训练1-3】已知双曲线方程（，），渐近线方程为，并且经过点. (1)求双曲线方程； (2)设A，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程. 题型2 离心率求值&取值范围（填空压轴高频） 例2-1已知双曲线的标准方程为（其中，.若过两点、的直线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为___________． 例2-2（2025·上海·模拟预测）已知两定点和，双曲线以，为焦点且经过动点，若在直线上运动，则双曲线的离心率的取值范围为_______． 例2-3已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，是与在第一象限的交点，当时，则与的离心率之比为______________. 方法技巧 1. 离心率求值：梳理题干条件，找到a、c的等量关系，等式两边同时除以a²，转化为关于e的一元方程，结合求解； 2. 离心率范围：利用几何约束构造不等式，常见约束包括：点在双曲线内外、直线与双曲线有交点、焦点三角形角度限制、线段长度范围等，最终求解的有效区间。 秒杀结论 已知渐近线斜率，可直接快速求离心率：。 【变式训练2-1】设双曲线的左右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于，两点，若，，则双曲线的离心率为________. 【变式训练2-2】（2026·上海浦东新·三模）小申同学在尝试用数学方法分析足球比赛的技术问题时发现了下面的有趣现象．如图，对垂直于球门底线的射线，当与底线的交点在线段的延长线上时，可以证明总能在上找到唯一的最佳射门点，即使最大的点．而当小申同学考察沿着直线在点右侧平行移动的情况时，发现相应的点都落在某条圆锥曲线上．则该曲线的离心率为______________． 【变式训练2-3】（2026·上海浦东新·三模）如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． 题型3 焦点三角形综合计算（小题常考） 例3-1已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线左支于，两点，若，则的周长为________． 例3-2若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是_______． 方法技巧 第一步：套用双曲线定义； 第二步：对焦点三角形套用余弦定理，结合顶角建立边长关系； 第三步：联立面积公式快速求解。 全程优先使用二级结论，规避复杂代数运算，实现小题速解。 【变式训练3-1】已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别为为该双曲线上第一象限内的点，且，则的内切圆圆心坐标为________. 【变式训练3-2】设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，若在的右支上存在点，使得和均为等腰三角形，则__________． 【变式训练3-3】点、是双曲线：的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若、、组成一个直角三角形，且其中两条直角边的长度分别为3和4，则满足条件的双曲线的离心率有________种情况. 题型4 直线与双曲线位置关系（解答题第2问核心） 例4-1已知双曲线. (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 例4-2（2025·上海浦东新·三模）已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，. (1)若，求点的坐标； (2)若点的坐标为，求证； (3)求的最小值. 方法技巧 1. 设直线：优先选用形式，完美规避斜率不存在的分类讨论，简化解题流程； 2. 联立方程：将直线方程代入双曲线标准方程，整理为一元二次方程标准形式； 3. 特殊判断：验算二次项系数，若系数为0，说明直线平行于渐近线，仅有1个交点（非相切，无判别式）； 4. 常规判定：二次项系数不为0时，必须书写（直线与双曲线相交核心条件，范围类题目必写，直接关联步骤分）； 5. 韦达定理：整体保留、，不单独求解根，坚持整体代换思想； 6. 弦长计算：固定公式； 7. 面积计算：（d为定点到直线的距离）。 【变式训练4-1】在平面直角坐标系中，已知，双曲线的焦距为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)设直线的斜率为交于两点，且与圆相切，切点位于轴上方，求的值； (3)如图，设过双曲线的左焦点的直线交的左支于点、，过的右焦点的直线交的右支于点，若直线，且四边形的面积为，求直线的方程． 【变式训练4-2】已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)若M是双曲线上在第一象限的点，，求的面积； (3)已知直线l过点，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段上，若，求点P的坐标． 题型5 压轴第三问：定点/定值/范围/存在性探究 例5-1已知双曲线的标准方程，如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.    (1)求双曲线的离心率和渐近线方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则弧所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 例5-2（2026·上海长宁·二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的离心率； (2)设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； (3)若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 例5-3（2026·上海·三模）已经双曲线：的渐近线方程为，焦距为4，直线：与双曲线交于不同的两点，（异于双曲线的顶点）． (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线的右顶点，若以为直径的圆过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (3)若，在双曲线的右支上，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围． 例5-4已知曲线的标准方程为，直线过点，，，直线倾斜角为 ，，设直线与交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，其中、在第一象限，在第四象限，是双曲线的右焦点. (1)求点的坐标和渐近线方程； (2)以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切，同时又与直线相切于点，求直线的方程； (3)对任意一条直线，双曲线上是否存在点，使得与均以为顶点的等腰三角形，请说明理由. 方法技巧 1. 参数取值范围模型：依托、直线与双曲线单/双支相交、几何长度约束构造不等式，结合函数值域、不等式性质求解参数范围； 2. 存在性判断模型：采用“假设存在—列式推导—验证定义域”三步法，若推导结果符合题干约束则存在，反之不存在； 3. 定点定值模型：通过代数化简消去变量参数，最终结果与斜率、截距等变量无关，即为定点/定值。压轴提速技巧 优先用特殊值（特殊斜率、特殊点）猜测答案，再进行严谨代数证明，大幅降低压轴题运算难度，节省考场时间。 【变式训练5-1】（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 【变式训练5-2】（2025·上海黄浦·一模）已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． (1)求的方程； (2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； (3)设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练5-3】（2026·上海·三模）已知双曲线：的下焦点为，上焦点为，点D为的上顶点. (1)设O为坐标原点，M为上任意一点，求的取值范围； (2)设点，过点C任意作一条不垂直x轴的直线l，l交于两个不同点A、B，求证：是定值，并给出这个定值； (3)过作直线n交于两个不同点P、Q，若直线交x轴于点S，直线交x轴于点T，是否存在直线n，使得、面积相等？若存在，求出直线n的方程；若不存在，说明理由. 【变式训练5-4】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知双曲线过点，点为其渐近线上一点．过点的直线与双曲线交于，两点． (1)求双曲线的方程； (2)若与的面积相等，求出M的坐标； (3)直线AM，AN分别与y轴交于P，Q两点，记PQ的中点为E，判断的外接圆面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【变式训练5-5】已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2023·上海·高考真题）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点，都有使得．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（    ） ①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线． A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 二、填空题 2．（2024·上海·高考真题）三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 3．（2025·上海·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得．若的面积为，则a的值为__________． 三、解答题 4．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 5．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 6．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求点到双曲线渐近线的距离； (2)若，求； (3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．设a为实数，若椭圆与双曲线有相同的焦点，求a的值． 2．如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．    3．双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图）.它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）. 4．分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8； (2)双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点． 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两焦点坐标为，，且； (2)两焦点坐标为，，且经过点； (3)焦点在y上，且经过点和． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2026·上海·二模）双曲线的渐近线是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海杨浦·期末）设，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则（   ）. A． B． C． D． 3．（25-26高三上·上海浦东新·期末）如图，椭圆、的离心率分别为、，双曲线、的离心率分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·上海奉贤·二模）已知双曲线的方程为，则（   ） A．渐近线与无关 B．实轴长与无关 C．焦距与无关 D．焦点与无关 5．（25-26高三上·上海宝山·期末）双曲线型自然冷却通风塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面，如图所示．已知它的下口直径为米，上口直径为米，最小直径为20米，高为80米，则此双曲线的焦距为（   ）    A． B． C． D． 6．（25-26高三上·上海·期中）双曲线的实轴长为___________． 7．已知双曲线方程为：，则离心率为______． 8．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，则__________. 9．（2026·上海·三模）已知双曲线：，则双曲线的渐近线夹角是______．（用反余弦表示） 10．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知点是双曲线的左焦点，经过原点的直线与双曲线交于、两点，若且，则双曲线的离心率为 ______. 11．（2025·上海崇明·二模）已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则__________． 12．已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 13.已知双曲线的焦距为是的两个焦点. (1)若双曲线的离心率为，求的方程； (2)若双曲线的实轴长为，是上一点， 使得，求三角形的面积. 14．已知双曲线的实轴长为8，焦距为10，两个焦点分别为，为双曲线上一点. (1)求双曲线的标准方程，以及双曲线的渐近线方程； (2)设，求的面积. 重难·创新演练 1．（2026·上海金山·二模）已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（   ）个 A．3 B．4 C．6 D．8 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，离心率为e，P是上一点，满足：，则以下结论（    ） （1）成等差数列的充要条件为； （2）若成等比数列，则函数的定义域不可能为R； A．结论（1）（2）都成立 B．结论（1）（2）都不成立 C．结论（1）成立，结论（2）不成立 D．结论（1）不成立，结论（2）成立 3．（2026·上海黄浦·三模）双曲线的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则该双曲线两条渐近线夹角的余弦值为________． 4．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）已知双曲线，点为右顶点，直线与相交于两个不同的点和（均异于点）． (1)求两条渐近线夹角的余弦值； (2)若在上，且，求点坐标； (3)若点在上，直线与与轴的交点分别为、，求证：为定值． 5．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左顶点为，过点的直线交双曲线于、两点，点在第一象限． (1)若双曲线的焦距为，求该双曲线的离心率； (2)若，为直角三角形，求点的坐标； (3)若双曲线的一条渐近线方程为，且直线上存在一点，过点可以作双曲线的两条互相垂直的切线，求直线斜率的取值范围． 6．已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为. (1)求双曲线E的标准方程： (2)过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N. （ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值： （ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围. 7．（2025·上海金山·三模）已知双曲线过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； (3)若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 8．（2025·上海闵行·一模）已知双曲线，直线过点，，且与的右支交于P、Q两点，与的两条渐近线分别交于A、B两点，其中A、P在第一象限，B、Q在第四象限． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)若为的右焦点，求的面积的最小值； (3)若，求的取值范围． 9．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合. (1)当时，求的值； (2)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $