专题2 一元二次方程的解法归类 专项训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 系统整合一元二次方程6类解法，从基础方法到转化思想，构建“解法-题型-思想”三层训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|4小题|平方形式转化，直接开方|基础解法，体现降次思想| |配方法|5小题|二次项系数化1，配方成完全平方式|承接开平方法，为公式法铺垫| |公式法|4小题|求判别式，代入求根公式|通法总结，培养代数推理能力| |因式分解法|5小题|提公因式、十字相乘等分解降次|体现转化思想，简化运算| |含绝对值方程|2小题|分类讨论去绝对值，转化为常规方程|渗透分类思想，拓展应用| |换元法|2小题|整体代换降次，转化为可解方程|培养模型意识，提升复杂问题解决能力|

专题2一元二次方程的解法归类2026-2027学年人教版九年 级数学上册 类型1运用直接开平方法解一元二次方程 1.用直接开平方法解方程： (12x-3-4=0: 2)x2+6x+9=7; (3)9x2+5=2; (4)(y+22=(3y 类型2运用配方法解一元二次方程 2.用配方法解下列方程： (1)x2+4x-7=0 (2)xx-7=5x-36 第1页，共1页 (3)3x2-4x-2=0: (4)5x-4x+12=0, (5)x-32x+1=-5 类型3运用公式法解一元二次方程 3.用公式法解方程： (1)x-7x-18=0 (2)2x2-7x+7=0 (3)4x2+4x-1=-10-8x (4)2x(x+3)=x2+2 类型4运用因式分解法解一元二次方程 第2页，共1页 4.用因式分解法解下列方程. (1)xx-3)=2x-6; (2)3x(x-2)=2(2-x (3)1-x2=4(x-1): (4)4(x-12-25x2= (5)(2x+12-6(2x+1)+9=01 类型5解含绝对值的一元二次方程 5.阅读下面的例题与解答过程： 例解方程：x2-x-2=0 解：当x≥0时，原方程可化为x2-x-2=0,解得x1=2,x2=-1(不合题意，舍去： 当x<0时，原方程可化为x+x-2=0,解得x1=1,x2=-2(不合题意，舍去： :.原方程的解是x,=2:X,=-2 第3页，共1页 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值这是解决数学问题的一种重要思 想--分类讨论请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： (1)x2-2x=0 (2)x2-2x-4x-1-4=0 第4页，共1页 类型6用换元法解一元二次方程 阅读材料，解答问题： 解方程：(4x-12-10(4x-1)+24=0, 解：把4x-1视为一个整体，设4x-1=y, 则原方程化为y-10y+24=0, 解得y1=6,y2=4. 4x-1=6或4x-1=4: 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想 请仿照材料解下列方程： (1)x4-x2-6=0 (2)(x2-2x2-5x2+10x-6=0 第5页，共1页 答案和解析 1.【答案】【小题1】 整理，科2x-3- 1 2x-3= 子 4 【小题2】 写成平方的形式，得x+3P=7. ∴.x+3=±V7 第6页，共1页 ∴.x1=-3+V7’x,=-3-7 【小题3】 整理，得9x=-31 x2-1 方程无实数解。 【小题4】 开方，得y+2=±(3y-1). y+2=3y-1或y+2=-(3y-1 2.【答案】【小题1】 解：X,=-2+?x,=-2- 【小题2】 解：X1=x2=6; 【小题3】 解：x=2+0 3 【小题4】 解：该方程无实数根； 第7页，共1页 【小题5】 解：=2名号 3.【答案】【小题1】 .a=1’b=-7’c=-18' ∴.△=（-72-4×1×(-18)=121>0' :X=b±b-4ac=-(-7)±127±11， 2a 2×1 即x1=9,X2=-2. 【小题2】 .a=2'b=-7’c=7' ∴.△=(-72-4×2×7=-7<0' :方程没有实数根 【小题3】 方程整理得4x2+12x+9=0, ∴.a=4'b=12'c=9' .∴.△=122-4×4×9=0' -2=-3 X1=x,=2a22×4-2 【小题4】 第8页，共1页 方程整理得x+6x-2=0, ∴.a=1’b=6’c=-2' ∴.△=62-4×1×(-2)=44>0” :x=-btb-4ac-6t4-3±m 2a 2 ∴.x1=-3+V11’X2=-3-V11 4.【答案】【小题1】 移项，得x(x-3)-2x+6=0, 因式分解，得x(x-3)-2(x-3)=0, 即(x-3)(x-2=0, x-3=0或x-2=0' ∴.X1=3’X2=2 【小题2】 移项，得3x(x-2)-2(2-x)=0, 因式分解，得（x-2(3x+2)=0, x-2=0或3x+2=0: =2,西= 【小题3】 第9页，共1页 移项，得1-x-4(x-1)=0, 因式分解，得1+x(1-x)+4(1-x)=0, 即(1-x)(1+x+4)=0, .1-x=0或5+x=0 .X1=1’X2=-5 【小题4】 因式分解，得[2(x-1)+5x][2(x-1)-5x]=0, 即(7x-2)(-3x-2=0, .7x-2=0或-3x-2=0' 2 【小题5】 因式分解，得2x+1-3=0, 即(2x-22=0, ∴2x-2=0 ∴.X1=X2=1 5.【答案】(1)x1=0,x2=2,x3=-2: (2)x2=6’x3=-4. 第10页，共1页 【解析】 (1)当x<0时，x2+2x=0, 解得x3=-2,x4=0(舍去： 当x≥0时，x2-2x=0, 解得X1=0,X2=2: :.原方程的解为x,=0:X2=2?x3=-2: (2)当x≥1时，X2-2X-4x+4-4=0: 即x2-6x=0, 解得x=0(舍去)，x2=6, 当x<1时，x2-2x+4x-4-4=0, 即x2+2x-8=0, 解得x3=-4,x4=2(舍去， 原方程组的解为x,=6?X=-4· 6.【答案】【小题1】 解：设x=y,则原方程化为y-y-6=0, 解得y1=3,y2=-2. 第11页，共1页 ①当y=3时，x=3, ∴.x=±V3 ②当y=-2时，x=-2,方程无实数解. :原方程的解为x,=V3?X,=-V3 【小题2】 设x2-2x=y,则原方程化为y2-5y-6=0, 解得y1=6,y2=-1. ①当y=6时，x-2x=6, 解得x,=1+V7'x=1-V7: ②当y=-1时，x2-2x=-1, 解得x3=x4=1. 综上所述，原方程的解为x,=1+7,X,=1-V7'X=x4=1: 第12页，共1顶