第一章 勾股定理（3核心+6题型+5难点+复习讲义）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学勾股定理单元复习讲义通过表格系统梳理复习要点与重难点，以“定理-逆定理-勾股数”为脉络构建知识框架，用要点诠释强调数形结合思想，清晰呈现定理条件结论及应用前提。 讲义亮点在于分层题型设计与难点突破，如“立体图形展开求最短路径”培养空间观念，“赵爽弦图验证定理”发展推理意识，基础达标与能力进阶练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生解决综合问题的能力。

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章勾股定理 复习目标 1.理解勾股定理的内容，掌握其符号语言与几何语言的表达，能区分定理与逆定理的条 件与结论。 2.掌握勾股定理的多种验证方法（如赵爽弦图、面积法等），理解其中蕴含的数形结合 复习要点 思想。 3.掌握勾股定理的逆定理，能利用它判断一个三角形是否为直角三角形，能区分勾股数 与满足定理的普通数组。 4.掌握利用勾股定理及其逆定理解决实际问题的方法，如折叠问题、最短路径（立体图 形展开)及测量等问题。 重点 勾股定理及其逆定理的应用，包括求边长、判定直角三角形和解决实际问题。 复习重难点 难点 灵活运用勾股定理解决综合问题（如折叠、最短路径），熟练运用分类讨论、方程、转 化等数学思想，避免因斜边不明、忽视定理前提而出现错误。 理脉络 知识体系构建 1/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·内容一直角三角形两直角边平方和等于斜边平方 勾股定理 公式一a2+hb2=c2 一适用范围一直角三角形 内容 三角形两边平方和等于第三边平方则为直角三角 形 勾股定理逆定理 判定直角三角形 应用 判定垂直关系 知识梳理 定义一满足a2+h2=c的正整数数组 勾股数 -3,4,5 常见勾股数 5.12.13 8.15,17 求线段长度 勾股定理 勾股定理应用 解决实际距离问题 最短路径问题 忽视直角边与斜边区分 勾股数判断遗漏 易错点 逆定理与定理混淆 应用时单位不统一 学法指导 勾股定理直接计算 逆定理判定直角三角形 高频考点 勾股定理与面积结合 折叠与最短路径问题 过主千 核心内容整合 知识点 勾股定理 1.勾股定理 如图，直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2, 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，· 注意： ①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系，· ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边.尤其在记忆Q2+b=c时，此关系只有当c是斜边时才成立. 2/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若b是斜边，则关系式是a2+c2=b:若a是斜边，则关系式是b+c2=a2. 2.直角三角形斜边上的高 ①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边.· 1 -ab= -ch ②根据直角三角形的面积不变，即2”2，求出h. b 要点诠释：(1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系 (2)利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样 就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的， (3)理解勾股定理的-些变式：口=c2-b2,b2=c2-d2,c2=(a+b}-2ab 一要点速测 1.(25-26八年级下河北张家口期末)在△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边， 若c=4,则a2+b2的值为() A.4 B.8 C.16 D.32 2.(25-26八年级下陕西西安期末)《九章算术》“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”的问题，对这 个问题稍作改编如下：如图，有竹子垂直于地面生长（即AB⊥BC),折断后竹梢触地，触地点C到根部 B的距离BC=6尺，断点A到触地点C的距离AC=10尺，则AB=一尺， B 3/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级下广东广州期末)如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，已知AB=5,AC=8, BD=3,求AD,CD的长 知识点 勾股数 满足不定方程X十少=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数)，显然，以 八二为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： ①3、4、5；②5、12、13：③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41… 如果(4bC)是勾股数，当t为正整数时，以it bis ct为三角形的三 边长，此三角形必为直角三角形 要点速测 4.(25-26八年级下·重庆秀山期末)在下列各组数中，是勾股数的是() A.1,2,3 B.2,3,5 C.3,4,5 D.4,6,8 5.(25-26八年级下河北廊坊期末)下列各组数为勾股数的是() A.8,15,17B.1.5,2,2.5 C.0.3,0.4,0.5D.7,11,13 6.(25-26八年级下~陕西榆林期末)《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数. 观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25：…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股 相差为1，若某个此类勾股数的勾为9，则其弦是 4/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点 勾股定理的逆定理 1.勾股定理逆定理 如果三角形的三边长分别为a,b,C,且a+b=C2,那么这个三角形是直角三角形. 注意： ①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边.· ②当满足a2+b=c2时，c是斜边，∠C是直角. ③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方 及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形. 要点速测 7.(25-26八年级下·陕西榆林期末)如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则△ABC的形状是 A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 8.(25-26八年级下·吉林期末)如图，在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10,则△ABC的面积为 5/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(25-26八年级下·陕西西安期末)如图，△ABC是王奶奶家的一块菜地，中间用小路AD隔开，分别种 植不同的蔬菜，经测量，AB=25m,AC=17m,AD=15m,CD=8m.求△ABD区域的面积.（小路 AD的宽度忽略不计) 研题型 高频题型突破 题型1用勾股定理理解三角形 】例1(25-26八年级下·广东阳江·期末)一架无人机从地面点0起飞，先垂直上升40米到达A点，再水 平飞行30米到达B点，则点O到点B的距离为() A.50米 B.60米 C.65米 D.70米 6/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 ● 勾股定理仅适用于直角三角形，分清斜边与直角边，准确写出三边关系式，避免斜边、 直角边混淆。 遇到线段求值，先寻找或构造直角三角形；已知两边求第三边，留意分类讨论斜边不 确定的情况。 迁移练1-1(25-26八年级下河北唐山期末)如图，在△ABC中，AB=20,BC=11,AC=13,过点A 作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,则AD的长为() A B.6 C.12 D.16 ■迁移练1-2(25-26八年级下·云南曲靖期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12,AB= I迁移练1-3(25-26七年级下河北张家口期末)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=1,BC=2,则正 方形ADEC的面积是 D B 题型2利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ■例2(25-26八年级下·安徽淮南期中)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O,那么下列结论正 确的是() 7/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C B A.OA2+OC2=OB2+OD2 B.AD2+CD2=AB2+BC2 C.AD2+BC2=AB2+CD2 D.AB2+OC2=CD2+042 解题要点 依托直角三角形建立平方关系式，找准直角边与斜边，灵活变形勾股公式，实现线段 平方和、平方差相互转化。 ● 遇到斜边上线段、动点问题，善于构造直角三角形，把所求线段放入直角模型中进行 代换计算。 I迁移练21(25-26八年级上：上海普陀期末)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD,那么下列结论正确 的是() A.AB2-CD2=BC2-AD2 B.AB2-CD2=AD2-BC2 C.AB2-BC2 CD2-AD2 D.AB2-BC2=AD2-CD2 ■迁移练2-2(22-23八年级上陕西西安期中)如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC,BD,且 8/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1c1BD于点0，若4D=2.BC-6,则4B+CD ,则 B y ■迁移练2-3(23-24八年级上：陕西西安·期中)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图 所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=1,BC=4,则AB2+CD= B 题型3勾股定理的证明方法 ■例3(25-26八年级下·湖南长沙期末)下列选项中，不能用来证明勾股定理的是() b b B b b a b 9/32 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 ● 弄清证明核心思路：利用图形面积相等，通过割补法列出面积等式，再化简推导出三 边平方关系。 准确找出图形中大正方形、小正方形与直角三角形边长联系，规范写出面积表达式， 避免边长对应出错。 ■迁移练3-1(25-26八年级下·福建福州期末)中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一.下列图形的 面积关系中，不能用来证明勾股定理的是() b 6 b B 0 6 a b e 6 c b D c b b ■迁移练3-2(2425八年级上·甘肃天水期末)根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法.简称为 “无字证明”·例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等 式是 (任选1图作答.回答时请注明图形序号，如图1、图2) a b Q b 图1 图2 ■迁移练3-3(2425八年级上·福建三明·期末)我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾 10/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 股定理，如图，设直角三角形的边长分别是“，66> ,斜边的长为C,作三个边长分别为，b,C的 正方形，把它们拼成如图所示形状，使A,C,E三点在一条直线上.若AB+AC=10,四边形ABHW与 △CFK面积之和为37，则正方形BCIH的面积为一· B 题型4 用勾股定理构造图形解决问题 例4(25-26八年级下浙江温州期中)《九章算术》中卷九“勾股”有一个问题：“今有户不知高广， 竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何？”意思是有一扇门，不 知道它的高度和宽度；有一根竹竿，不知道它的长度.将竹竿横着放，比门宽长出4尺；竖着放，比门高 长出2尺；斜着放，恰好能与门的对角线重合，求门的高度、宽度和对角线的长度？设门的对角线长度为 x尺，下列方程正确的是() A.(x+2+x2=(x+4)2 B.(x-4)+(x-2}=x2 c.(x-4+x2=(x-2}2 D.(x+2}+(x-4)2=x 解题要点 ● 分析已知线段长度，根据数值特征构造直角三角形，合理确定直角边，将待求线段转 化为直角三角形的斜边。 ● 借助网格、垂线搭建图形，理清各线段位置关系，准确运用勾股定理列式，注意多种 构造情况分类讨论。 11/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练41(24-25八年级下·山东济宁·阶段检测)如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m 的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A,如图①所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，即AC≤5m 门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如图②所示，一个身高1.5m的学生走到D处，即CD=1.5m,门铃 恰好自动响起，则BD的长为() 4.5m 4.5m D B ① ② A.2米 B.3米 C.4米 D.5米 ■迁移练42(25-26八年级上四川成都期末)如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题： “今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”意思是：一根竹与地面垂直，原高一丈（一丈 =十尺)，折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为一尺. ■迁移练43(2024江西吉安·一模)我国古代数学名著《九章算术》卷九记载了一个有关“勾股”的问题： 今有户不知高广，杆不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户高几何.其大意是：今有 门，不知其高宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺，斜放，竿与 门对角线恰好相等，问门高是多少？若设门高为x尺，则可列关于x的方程为 题型5判断三边能否构成直角三角形 ■例5(25-26八年级下·贵州安顺期末)在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形.下列 长度（单位：cm)的各组线段中，能构成直角三角形的是(） 12/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1,2,3 B.2,3,4 C.6,7,8 D.5,12,13 解题要点 ● 先找出三条边中最长线段，把它当作潜在斜边，再验证两条较短边的平方和是否等于 最长边的平方。 。注意边长数据顺序，不要随意套用公式；遇到含字母的边长，准确区分最长边，必要 时分类讨论。 ■迁移练5-1(25-26八年级下·辽宁沈阳·期末)下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是() A.2、3、4B.3、4、5 C.8、15、16 D.11、12、13 】迁移练5-2(25-26八年级下·山东济宁·阶段检测)三边长分别为2、3、4的三角形不是直角三角形，这 个论断的依据是 ■迁移练5-3(25-26八年级上·山西临汾期末)小明同学用长度是7cm,l5cm,20cm,24cm,25cm的木棒拼三 角形，一共能拼出一个直角三角形. 题型6利用勾股定理的逆定理求解 I例6(25-26八年级上福建漳州期末)在△ABC中，若AB2+BC2=AC2,则(） A.∠A=90° B.∠B=90° C.∠C=90° D.无法确定 解题要点 先确定三边里最长边，计算三边平方，检验较短两边平方和是否等于最长边平方，以 此判定直角三角形， 。判定后找准直角位置，再结合勾股定理、面积公式进一步计算边长与面积。 13/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练6-1(25-26七年级上山东威海期末)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°， AB=3,BC=4,CD=13,AD=12,四边形ABCD的面积为() D A.144 B.72 C.48 D.24 ■迁移练6-2(25-26八年级下·内蒙古通辽期中)如图，点E在边长为13的正方形ABCD内，AE=5, BE=12，求出图中阴影部分的面积是一· D ■迁移练6-3(25-26八年级下天津期中)己知∠BAD=90°，AB=4,AD=3,BC=13,CD=12,连 接BD,则∠BDC的度数为° 破难点方法聚焦透析 难点一勾股定理与网格问题 14/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·难以在网格中准确构造直角三角形，不会利用横向、纵向格距求线段平方，容易直接目测 线段长度，忽略运用勾股定理进行计算。 。判断网格内三角形形状时，不能快速算出三边平方；处理最短路径、角度问题时，缺少数 形结合思维，难以建立线段间的数量关系。 口口难点精练 1.(25-26八年级下广西钦州期末)如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A,B均在格点 上，则线段AB的长度为() A.4 B.5 C.6 D.10 2.(25-26八年级下河北唐山期末)如图，△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上， CD⊥AB于点D,则CD的长为 3.(25-26八年级上·河南周口·期末)如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，每个小正方形的边长 为1 (I)求四边形ABCD的面积： (2)求∠BCD的度数. 15/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 难点二勾股定理与折叠问题 。不能抓住折叠核心性质：折叠前后对应边、对应角相等，难以准确设未知数，常找不对等 量线段，无法建立直角三角形的边长关系。 ·不易识别图中隐藏的直角三角形，容易选错直角边与斜边：列式时等量关系梳理混乱，计 算方程时容易出错，复杂图形更容易遗漏条件。 难点精练 4.(25-26八年级下·云南昭通期末)把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D点重合， 折痕为EF.若AB=15,BC=25,则AE的长度是() B A.6 B.8 C.10 D.12 5.(25-26八年级下·云南曲靖期末)如图，已知在长方形ABCD中，AB=3,BC=5,若把长方形 ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，则CF=一· G D B 6.(25-26八年级下·福建福州：期中)如图，一张三角形纸片ABC,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm 将纸片沿直线DE折叠，使点A与B重合，求CD的长. 16/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 难点三勾股定理的应用 难以从实际情境中抽象出直角三角形模型，无法区分水平、竖直、倾斜线段，常常找不准 直角，不能快速确定直角边与斜边。 。 部分题目存在多种情况，容易忽略分类讨论：建立方程求解时，等量关系梳理不清，审题 遗漏关键条件，导致列式错误，最终计算出现偏差。 难点精练 7.(25-26七年级下·山东泰安期末)如图，某社区要在三角形健身区AB边上安装一个饮水点P,经测量 AC=8米，BC=6米，AB=10米，则饮水点P到三角形顶点C的最小距离为() A B A.6米 B.4.8米 C.4米 D.9.6米 8.(25-26八年级下·福建厦门期末)如图，一根竹竿紧贴竖直墙面放置，若竹竿底部沿地面向外移动5 分米，测得项端从点A沿墙下滑1分米到点B,那么竹竿长度为 分米 17/32 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.(25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯期末)如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄M,从村庄M到公 路原有两个出口A、B,其中AB=1.4km,MB=1.3km,由于暴雨导致M到A的小路路面塌陷，现已不 通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路MC(A,C,B在同一条直线上)，测得 MC=1.2km.BC=0.5km 公 路 B M村庄 (I)从村庄M到公路，请通过计算说明MC是否为距离最近的路： (2)求新修的路MC比原来的路MA短多少？ 难点四立体图形中的最短路径问题 不会将立体图形侧面展开为平面图形，空间转化能力薄弱，容易直接在立体图上连线求解， 不理解“两点之间线段最短”适用平面。 展开方式不唯一时，容易遗漏多种展开情况，缺少对比计算意识：难以准确确定展开图中 直角三角形两条直角边长，造成勾股定理列式出错。 口口难点精练 10.(25-26八年级下·广西玉林·期末)如图，圆柱形玻璃杯高为11cm,底面周长为30cm,在杯内壁离杯 底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从 外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）() 18/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 蚂蚁 B蜂蜜 A.12cm B.15cm C.17cm D.25cm 11.(2026山东潍坊一模)如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于5dm、3dm、ldm, A和B是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从A点沿着台阶面爬到B点，其爬行的最短距离是 dm 12.(25-26八年级上·河南郑州期中)综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm,3dm,2dm,A和B是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少？ (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB,经过计算得到 AB长度即为最短路程，则AB=dm. 【变式探究】 (2)如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发 沿着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 (3)如图4，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此 时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3Cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程 是多少厘米？（杯壁厚度不计） 19/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20 20 蚂蚁 蜂蜜 B 单位：dm 图1 图2 图3 图4 难点五以弦图为背景的计算 ·难以理清弦图中大正方形、小正方形与直角三角形边长之间的联系，不能灵活结合勾股定 理建立等式，容易混淆斜边、直角边与正方形边长。 。不会利用整体思想进行代换计算，遇到面积相关条件时，难以转化出两直角边的和、差关 系：字母型综合题不会设未知数，找不到有效的解题突破口。 难点精练 13.(25-26八年级下·福建厦门期末)第14届数学教育大会(ICME-14)会标如图1所示，会标中心图案 来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”·如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方 形拼宽的大正方形，若=4，化=6，贴=4(a>6e>0,则正方形rG的面积为() G 图1 图2 A.c2 B.a2-c2 C.b2-c2 D.a2-2bc 14.(25-26八年级下·重庆永川期末)如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形 拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”.若图1中大正方形ABCD的面积为40，小正方形EFGH的 面积为8.现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形PQRS的面积为 20/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R 图1 图2 15.(25-26八年级下·河北廊坊期末)如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分 也是正方形.已知直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为C.课堂上，老师结合图形，用不同的 方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理2+b2=c2 Q 6 图1 图2 图3 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程， (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2.若a=4,b=6,求空白部分的面积. (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3， 己知外围轮廓（实线）的周长为24,0C=3,求该风车状图案的面积 验成果 综合达标检测 基础达标 一、单选题 1.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著 21/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股数”的是() A.2,3,4B.4,5,6 C.2,2,4 D.9,12,15 2.(25-26八年级下·重庆荣昌·期末)下列各组数不能作为直角三角形三边长的是() A.3,4,5 B.4,7,9 C.5,12,13 D.6,8,10 3.(25-26八年级下浙江台州期末)《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅 相去适一丈.问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是 多少？(1丈=10尺)如果我们假设门的宽为x尺，根据题意，可列方程为() A.x+(10-x)2=6 B.x+(x+6)}=102 C.x+102=(x+6) D.x+6=(10-x S1 S2 4.(25-26八年级下云南昆明期未)如图，以Rt△MBC的两边往外作的正方形，其面积分别为氵， 若=100，=36，则8C边长为（) A.64 B.16 C.8 D.4 5.(25-26八年级下·四川凉山期末)如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角 走“捷径”，在花圃内走出一条“路”，这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了() 万达广场草地 5m 12m A.4m B.2m C.5m D.3m 22/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 6.(25-26八年级下·湖北恩施期末)如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的 三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、3、6，则最大正方形E的面积 是 B E 7.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)如图，在三角形支架中，AD1BC,垂足为D,AB=2m, AC=1.5m,DC=0.9m,则BD的长为_m. B 8.(25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔期末)《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着 的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行， 在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为 9.(25-26八年级下·广东广州期末)如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高AB为4，BC是上底的直径， 一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到C,则爬行的最短距离是 10.(25-26八年级下·北京期末)如图，在△ABC中，∠A=25°，∠C=20°，AC=5.将△ABC分别沿 DE,FG折叠，使点A,C都与点B重合，若AD=1,则DF= 23/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .C A. 三、解答题 11.(25-26七年级上山东威海期末)在长方形ABCD中（长方形四个角是直角，对边平行且相等）， AB=10,AD=6.点E在边AD上，沿CE折叠，点D落在边AB的F处.求△AEF的面积. D 12. (25-26八年级下·陕西榆林·期末)如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中∠ABC的度数 应为90°.连接AC,现测得AB=4cm,BC=3cm,CD=12cm,AD=13cm,∠ACD=90°.在不考虑 其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即∠ABC的度数是否为90°）. 13.(25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末)寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶.现用搪瓷茶缸制作 咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为l2cm,高为l6cm,老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度 太短了，不能搅拌到底部. 图① 图② (I)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口2Cm才合适.请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至 少需要_cm: 24/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图②，老师新买的一根长为25cm的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为hcm,你能求出h的取值 范围吗？ 14.(25-26八年级下·陕西榆林·期末)如图，四边形ABCD是某农场一块试验田的示意图，对角线AC是 一条小路（宽度忽略不计），己知∠B=90°，AB=40m,BC=30m,CD=120m,AD=130m,求这 块试验田的面积（即四边形ABCD的面积）· 15.(25-26八年级下·吉林松原·期末)综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，A,B两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A,B间的 距离.综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任 测量池塘两端A,B间的距离 务 测量工 皮尺 具 如图所示，图中各点均在同一水平地面内.第一步：沿线段AB延长线的方向，在池塘边的空 地上选点C,使BC=9m;第二步：在AC的一侧选点D,使点D能直接到达A,B,C三 测量方 案及测 点，测得BD=12m,CD=15m,AD=20m 量数据 B 问题解决： (I)试判断△BCD的形状，并说明理由； 25/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求池塘两端A,B之间的距离. 能力进阶 一、单选题 1.(25-26八年级下·重庆巴南期末)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,沿DE折叠，使 点A与点B重合，则DE的长为() D 11 c. 24 15 A. 3 B.4 D.4 2.(25-26八年级下·天津西青期末)如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶 端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0,7m.如果将梯子底端沿OB向 外移动0.8m,那么梯子顶端沿墙A0下滑() B D 0 A.0.8m B.0.7m c.0.5m D.0.4m 3.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学 文明中的一枚璀璨瑰宝.下面四幅图中不能证明勾股定理的是() 26/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 4.(25-26八年级下·贵州安顺期末)为打造以“21℃的城市”P为核心引领，紧紧聚焦“资源、客源、 服务”三大关键要素的城市环境，经开区立足民生需求，对城区某干道进行亮化改造。如图，这是吊车安 装路灯的示意图.已知AB为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离BC为16米，点B到地面 的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为() A.12米 B.14米 C.16米 D.18米 5.(24-25八年级上陕西榆林期末)直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为5，高AB为9.在其侧 面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止，则彩条的最短长度为() A.41 B.50 c.9 D.29 27/32 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 6.(25-26八年级下·贵州黔南期末)如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所 S=2 S8=4 Sc=1 Sp=2 有的四边形都是正方形，若 ,则正方形E的面积为 B D 7.(25-26八年级下·重庆潼南期末)如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A,河边有两个入口 B,C,通过道路BA,CA可前往观景点A.因景区改造，需要关闭通道CA,为方便游客观景，分散人流， 决定新修道路AD(点D在BC上).经测量：AB=l.5km,AD=1.2km,BD=0.9km.则AD是否为从 A到河边的最近道路 (请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空)· B D 8.（25-,26七年级下陕西西安期末)如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径B- 元，高BC=10,P为 BC的中点.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为 B 9.(25-26八年级下·安徽阜阳期中)如图，在R1aABC中，∠B=90°，AB=3cm,AC=5cm,将△ABC 折叠，使点C与点A重合，得折痕DE,则△ABE的周长等于Cm, 28/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 10.(25-26八年级下·陕西延安·期末)如图，某景区内有一个露营区C，湖边AB上原有两个观景台A和 B,为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台P(点A、P、B在同一直线上)，连接AC、BC、 CP,测得AC=130m,BC=150m,AP=50m,CP=120m,求观景台P与观景台B之间的距离BP. (露营区和观景台的大小均忽略不计) y B 11.(25-26八年级下河北张家口·期末)图1是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆AB作为 支控，在点A处用绳子向地面国定，地面上的固定点为C,如图2所示，其中B- 5米，BC=9 5米 AC=3米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）· B C 图1 图2 (I)通过计算判断此时AB是否与BC垂直： (2)由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D(点D在 BC的延长线上)，若AD=4米，求CD的长度. 12.(25-26八年级下·广东珠海期末)如图，教室地面放着一个课桌，桌面AB与地面平行，点A到墙面 29/32 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (墙面与地面垂直)的距离为60cm.图1中，一扫帚的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处， O4=100cm 图1 图2 (1)求课桌的高度： (2)在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点B重合，另一端挂在墙上的点C处.若 OC=240cm,彩带BC比桌宽AB长140cm,求桌宽AB的长度. 13.(25-26八年级下·辽宁大连期末)如果把d2+b2=c2看作关于a,b,c的方程，那么满足这个方程 的正整数解，b,C通常叫作勾股数组，可以记作(a6c) 毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的 (3,4,5)(5,12,13)(7,24,25) 公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组： 分析这些勾股数组可以发现， 4=1×3+1)）12=2x5+1).24=3x(7+0,… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (②小红将+=c移项并因式分解得 2=e2-b2=(c+b)(c-b) 请写出满足上述规律的第”个勾股数 组（用含n的式子表示），并尝试用小红的方法证明： )若x+7,x+m 是满足上述规律的一组勾股数组，求x的值， 14.(25-26八年级下·广东珠海·期末)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股 数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a,b,c都是正整数，则a,b,c 为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数： 3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,113 30/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4,3,5 ,15,17 12,p,37 16,63,65 5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 m,8,10 10,24,26 14,48,50 18,80,82 (1)请补全上表中的勾股数：m= n= D= (2)我们把顶点均在正方形网格格点上的多边形叫做格点多边形. ①已知格点△ABC三边长度为4、13、15，计算△ABC的面积. ②请在下面的网格中画出三边长度为13、14、15的格点三角形.（保留作图痕迹，不写作法） 2 15.(25-26八年级下广东期末)综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的π取3） 测量路径 调节圆柱高 的细线 度的橡皮筋 圆柱底面 底面圆直径为6cm 直径 高为10cm的圆柱 图1 图2 图3 素材1如图1，圆柱形纸盒的高AC为12厘米，底面直径BC为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只 蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物 素材2如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线 (借助细线来反映爬行的路线)、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，(1)中两 种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 31/32 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 11 10.3 x>y 4 10 9.85 x>y 3 a 9.49 b (①)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是12+6=18厘米.将 圆柱沿着AC将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时 最短路程是 厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线 (用“一”或“二”填空) (2)填空：表格中a的值是 一；表格中b表示的大小关系是 (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为”，圆柱的高为h.在r不变的情况下，当圆柱半径为r与 圆柱的高度存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 32/32 第一章 勾股定理 复习要点 1. 理解勾股定理的内容，掌握其符号语言与几何语言的表达，能区分定理与逆定理的条件与结论。 2. 掌握勾股定理的多种验证方法（如赵爽弦图、面积法等），理解其中蕴含的数形结合思想。 3. 掌握勾股定理的逆定理，能利用它判断一个三角形是否为直角三角形，能区分勾股数与满足定理的普通数组。 4. 掌握利用勾股定理及其逆定理解决实际问题的方法，如折叠问题、最短路径（立体图形展开）及测量等问题。 复习重难点 重点 勾股定理及其逆定理的应用，包括求边长、判定直角三角形和解决实际问题。 难点 灵活运用勾股定理解决综合问题（如折叠、最短路径），熟练运用分类讨论、方程、转化等数学思想，避免因斜边不明、忽视定理前提而出现错误。 知识点 勾股定理 1．勾股定理 如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 注意： ①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是． 2．直角三角形斜边上的高 ①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边． ②根据直角三角形的面积不变，即，求出h． 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 要点速测 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】解：∵如图，在中，，，，分别是，，的对边，且， ∴． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）《九章算术》“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”的问题，对这个问题稍作改编如下：如图，有竹子垂直于地面生长（即），折断后竹梢触地，触地点到根部的距离尺，断点到触地点的距离尺，则_____尺．    【答案】 【详解】解：∵，尺，尺， ∴尺． 3．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，为边上的高，已知，，，求，的长． 【答案】， 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵为边上的高， ∴， 在中，， 在中，． 知识点 勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 1 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形 要点速测 4．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 【答案】C 【分析】四个选项中的数均为正整数，只需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方. 【详解】解：A. ，不是勾股数. B. ，不是勾股数. C. ，是勾股数. D. ，不是勾股数. 5．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）下列各组数为勾股数的是（     ） A．8，15，17 B．1.5，2，2.5 C．0.3，0.4，0.5 D．7，11，13 【答案】A 【详解】解：勾股数定义为：三个正整数，，（为最大数），满足． 选项A，，，均为正整数，且，，∴，因此，，是勾股数； 选项B，，，不是正整数，不是勾股数； 选项C，，，不是正整数，不是勾股数； 选项D，，，均为正整数，但，，，因此，，不是勾股数． 6．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 【答案】 【分析】已知勾为，弦与股相差，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设该勾股数的股为，则弦为， 根据勾股定理可得， 展开等式右边得， 消去后整理得， 解得， 因此弦为． 知识点 勾股定理的逆定理 1．勾股定理逆定理 如果三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 注意： ①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边． ②当满足时，是斜边，是直角． ③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形． 要点速测 7．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可判断求解． 【详解】解：由网格得，，，， ∵， ∴是直角三角形． 8．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，则的面积为______． 【答案】24 【详解】已知在中，，，， ，， ， 是直角三角形，且， 的面积为． 9．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，是王奶奶家的一块菜地，中间用小路隔开，分别种植不同的蔬菜，经测量，，，，．求区域的面积．（小路的宽度忽略不计） 【答案】区域的面积为． 【分析】先判定是直角三角形，根据勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴． 题型1 用勾股定理理解三角形 ▌例1 （25-26八年级下·广东阳江·期末）一架无人机从地面点起飞，先垂直上升40米到达点，再水平飞行30米到达点，则点到点的距离为（     ） A．50米 B．60米 C．65米 D．70米 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，根据题意得到直角三角形，利用勾股定理计算O到B的距离即可 【详解】由题意得 ， 米， 米， 为直角三角形，， 米， 即点到点的距离为50米． 解题要点 · 勾股定理仅适用于直角三角形，分清斜边与直角边，准确写出三边关系式，避免斜边、直角边混淆。 · 遇到线段求值，先寻找或构造直角三角形；已知两边求第三边，留意分类讨论斜边不确定的情况。 ▌迁移练1-1（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，然后利用勾股定理构建方程求出，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：设，则， ∵于点， ∴， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴． ▌迁移练1-2（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在中，，，， __________． 【答案】13 【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接用勾股定理计算斜边的长度即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ，， ． ▌迁移练1-3（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，，，则正方形的面积是________． 【答案】5 【分析】利用勾股定理求出的值，再根据正方形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∴正方形的面积． 题型2 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ▌例2 （25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 解题要点 · 依托直角三角形建立平方关系式，找准直角边与斜边，灵活变形勾股公式，实现线段平方和、平方差相互转化。 · 遇到斜边上线段、动点问题，善于构造直角三角形，把所求线段放入直角模型中进行代换计算。 ▌迁移练2-1（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． ▌迁移练2-2（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 _______． 【答案】 【分析】、分别是两个直角三角形的斜边。 在中，， 在中，， 进而求解． 【详解】在中和中，，， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． ▌迁移练2-3（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 题型3 勾股定理的证明方法 ▌例3 （25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形面积的不同表示方法建立等式，看能否推导出，若不能则符合题意． 【详解】解：A、大正方形的面积边长为的正方形面积边长为的正方形面积个长宽分别为、的长方形面积， ，该式属于完全平方公式， 图中不涉及斜边，不能用来证明勾股定理，符合题意； B、梯形面积3个三角形面积之和， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意； C、大正方形面积中间小正方形面积个直角三角形面积， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意； D、大正方形面积中间小正方形面积个直角三角形面积， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意． 故选A． 解题要点 · 弄清证明核心思路：利用图形面积相等，通过割补法列出面积等式，再化简推导出三边平方关系。 · 准确找出图形中大正方形、小正方形与直角三角形边长联系，规范写出面积表达式，避免边长对应出错。 ▌迁移练3-1（25-26八年级下·福建福州·期末）中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】通过计算同一图形的面积，建立等量关系，推导勾股定理． 【详解】解：选项：图形为直角梯形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，无法证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可以证明勾股定理． ▌迁移练3-2（24-25八年级上·甘肃天水·期末）根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是________________．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2） 【答案】(图1) ；(图2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明、完全平方公式等知识点，熟练掌握等面积法是解题的关键． 直接利用等面积法列出等式并整理即可解答． 【详解】解：如图1，根据矩形的面积公式得； 故答案为：(图1)； 如图2，，整理得： 故答案为：(图2)． ▌迁移练3-3（24-25八年级上·福建三明·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，，斜边的长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使，，三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为_____． 【答案】58 【分析】作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，，证明，由题意得，，证明，再证明，得出，根据，，通过计算可得，． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ，，， ， ， ，， ，，， ， ，， ，     ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ①， ， ②， 由①②得， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查勾股定理的证明、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、乘法公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 题型4 用勾股定理构造图形解决问题 ▌例4 （25-26八年级下·浙江温州·期中）《九章算术》中卷九“勾股”有一个问题：“今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”意思是有一扇门，不知道它的高度和宽度；有一根竹竿，不知道它的长度．将竹竿横着放，比门宽长出尺；竖着放，比门高长出尺；斜着放，恰好能与门的对角线重合，求门的高度、宽度和对角线的长度？设门的对角线长度为尺，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设门的对角线长度为尺，则竹竿的长度为尺，表示出门宽、门高后，由勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门的对角线长度为尺，则竹竿的长度为尺， 将竹竿横着放，比门宽长出尺；竖着放，比门高长出尺， 门宽尺；竖着放，门高尺， 则由勾股定理可得． 解题要点 · 分析已知线段长度，根据数值特征构造直角三角形，合理确定直角边，将待求线段转化为直角三角形的斜边。 · 借助网格、垂线搭建图形，理清各线段位置关系，准确运用勾股定理列式，注意多种构造情况分类讨论。 ▌迁移练4-1（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ∴米， 即门铃恰好自动响起，则的长为4米， 故选：C． ▌迁移练4-2（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”意思是：一根竹与地面垂直，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为________尺． 【答案】3.2 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，知道竹子折断后刚好构成一个直角三角形是解题的关键． 设折断处离地面的高度为x尺，则折断处离竹梢的距离为尺，根据题意结合勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，则折断处离竹梢的距离为尺， 则由勾股定理可得，， 解得， 即折断处离地面的高度为3.2尺， 故答案为：3.2． ▌迁移练4-3（2024·江西吉安·一模）我国古代数学名著《九章算术》卷九记载了一个有关“勾股”的问题：今有户不知高广，杆不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户高几何．其大意是：今有门，不知其高宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等，问门高是多少？若设门高为x尺，则可列关于x的方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 题型5 判断三边能否构成直角三角形 ▌例5 （25-26八年级下·贵州安顺·期末）在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形．下列长度（单位：cm）的各组线段中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用勾股定理的逆定理，验证每组中两短边的平方和与最长边平方是否相等． 【详解】解： A、，不满足三边关系，不能构成三角形，不符合题意； B、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，，，能构成直角三角形，符合题意． 解题要点 · 先找出三条边中最长线段，把它当作潜在斜边，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。 · 注意边长数据顺序，不要随意套用公式；遇到含字母的边长，准确区分最长边，必要时分类讨论。 ▌迁移练5-1（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（     ） A．2、3、4 B．3、4、5 C．8、15、16 D．11、12、13 【答案】B 【分析】找出每组数的最大数，验证其平方是否等于另两个数的平方和即可． 【详解】解：A、，三条线段不能组成直角三角形，故选项不符合题意； B、，三条线段能组成直角三角形，故选项符合题意； C、，三条线段不能组成直角三角形，故选项不符合题意； D、，三条线段不能组成直角三角形，故选项不符合题意； ▌迁移练5-2（25-26八年级下·山东济宁·阶段检测）三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是____________． 【答案】勾股定理的逆定理 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理的逆定理，三边长分别为、、的三角形不是直角三角形， ∴判断该三角形不是直角三角形，依据是勾股定理的逆定理． ▌迁移练5-3（25-26八年级上·山西临汾·期末）小明同学用长度是的木棒拼三角形，一共能拼出____个直角三角形． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，据此可求出能构成三角形的组合，三角形中，若两较小的边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么该三角形是直角三角形，据此可确定能构成直角三角形的组合． 【详解】解：，，，， ，，，， ，， ∴能构成三角形的组合为，，， ，，，， ， ∵，， ，， ，， ，， ∴能构成直角三角形的组合为，， ∴一共能拼出2个直角三角形， 故答案为：2． 题型6 利用勾股定理的逆定理求解 ▌例6 （25-26八年级上·福建漳州·期末）在中，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】勾股定理逆定理：若一个三角形三边长为，且满足，则该三角形是直角三角形，边长为的边所对的角为直角．根据勾股定理逆定理即可求解． 【详解】解：∵在中，满足， 根据勾股定理逆定理，两条较短边的平方和等于最长边的平方，最长边所对的角是直角， ∴是斜边，斜边所对的角是， 因此． 解题要点 · 先确定三边里最长边，计算三边平方，检验较短两边平方和是否等于最长边平方，以此判定直角三角形。 · 判定后找准直角位置，再结合勾股定理、面积公式进一步计算边长与面积。 ▌迁移练6-1（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，在四边形中，，，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 连接，根据，用勾股定理求出的长度，再用勾股定理的逆定理，证是直角三角形，根据四边形的面积等于和面积之差，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 又， ， 是直角三角形， 四边形的面积为． 故选：D． ▌迁移练6-2（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据题意证明，得到，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴． ▌迁移练6-3（25-26八年级下·天津·期中）已知，，，，，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】先使用勾股定理计算出，再根据勾股定理的逆定理判断出． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 难点一 勾股定理与网格问题 · 难以在网格中准确构造直角三角形，不会利用横向、纵向格距求线段平方，容易直接目测线段长度，忽略运用勾股定理进行计算。 · 判断网格内三角形形状时，不能快速算出三边平方；处理最短路径、角度问题时，缺少数形结合思维，难以建立线段间的数量关系。 难点精练 1．（25-26八年级下·广西钦州·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A，B均在格点上，则线段的长度为（     ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【详解】解：由图，可得 ． 2．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理，得，边上的高为4，利用三角形面积相同，计算即可； 【详解】解：根据题意，得，边上的高为4， ， 故， 故； 3．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，四边形的四个顶点都在网格上，每个小正方形的边长为1． (1)求四边形的面积； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，图形面积计算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据计算即可； （2）连接，由勾股定理得 ， ，可得 ，即求得的度数． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：连接， 由勾股定理得，， ， ． 难点二 勾股定理与折叠问题 · 不能抓住折叠核心性质：折叠前后对应边、对应角相等，难以准确设未知数，常找不对等量线段，无法建立直角三角形的边长关系。 · 不易识别图中隐藏的直角三角形，容易选错直角边与斜边；列式时等量关系梳理混乱，计算方程时容易出错，复杂图形更容易遗漏条件。 难点精练 4．（25-26八年级下·云南昭通·期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】由折叠可知，，，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：四边形为长方形，，， ，， 根据折叠的性质可得，，，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 5．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）如图，已知在长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则_______． 【答案】 【分析】利用折叠的性质，设，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：，即． 6．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与B重合，求的长． 【答案】 【分析】设，先利用勾股定理逆定理证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 解得，即． 难点三 勾股定理的应用 · 难以从实际情境中抽象出直角三角形模型，无法区分水平、竖直、倾斜线段，常常找不准直角，不能快速确定直角边与斜边。 · 部分题目存在多种情况，容易忽略分类讨论；建立方程求解时，等量关系梳理不清，审题遗漏关键条件，导致列式错误，最终计算出现偏差。 难点精练 7．（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，某社区要在三角形健身区边上安装一个饮水点P，经测量米，米，米，则饮水点到三角形顶点C的最小距离为（     ） A．6米 B．4.8米 C．4米 D．9.6米 【答案】B 【分析】首先根据勾股定理的逆定理证明，当时，的值最小，然后利用等面积法求解． 【详解】解：∵米，米，米， ∴， ∴， ∵点P在上， ∴当时，的值最小， ∴此时， ∴， ∴， ∴饮水点到三角形顶点C的最小距离为4.8米． 8．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，一根竹竿紧贴竖直墙面放置，若竹竿底部沿地面向外移动分米，测得顶端从点沿墙下滑分米到点，那么竹竿长度为________分米． 【答案】 【分析】设竹竿的长度为分米，利用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：设竹竿的长度为分米， 由勾股定理可得，， 解得， ∴竹竿的长度为分米． 9．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口、，其中，，由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少？ 【答案】(1)解：∵，，， ∴，， ∵ ∴ ∴是直角三角形， ∴ ∴从村庄到公路，是距离最近的路； (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，得到，即可说明； （2）利用勾股定理运算出的长，再作比较即可． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴在中，， ∴． 难点四 立体图形中的最短路径问题 · 不会将立体图形侧面展开为平面图形，空间转化能力薄弱，容易直接在立体图上连线求解，不理解 “两点之间线段最短” 适用平面。 · 展开方式不唯一时，容易遗漏多种展开情况，缺少对比计算意识；难以准确确定展开图中直角三角形两条直角边长，造成勾股定理列式出错。 难点精练 10．（25-26八年级下·广西玉林·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点，可得即为最短距离，在直角中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点， 则， 连接，则即为最短距离， 在直角中，由勾股定理得：． 11．（2026·山东潍坊·一模）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于、、，和是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从点沿着台阶面爬到点，其爬行的最短距离是________dm． 【答案】 【分析】将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从点到点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， ，， ， 即蚂蚁爬行的最短线路为． 12．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 难点五 以弦图为背景的计算 · 难以理清弦图中大正方形、小正方形与直角三角形边长之间的联系，不能灵活结合勾股定理建立等式，容易混淆斜边、直角边与正方形边长。 · 不会利用整体思想进行代换计算，遇到面积相关条件时，难以转化出两直角边的和、差关系；字母型综合题不会设未知数，找不到有效的解题突破口。 难点精练 13．（25-26八年级下·福建厦门·期末）第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知：正方形的面积为． 14．（25-26八年级下·重庆永川·期末）如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为40，小正方形的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 【答案】72 【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为、（），先根据图1大正方形面积求出直角三角形的斜边长，根据小正方形面积得到两直角边的差值的平方，利用勾股定理得到的值，进而求出的值．分析图2中大正方形的边长与直角三角形两直角边的关系，可知其边长为，所以面积为，展开后代入已得的和的值即可计算． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为、（）， 图1中大正方形的边长为直角三角形的斜边，因此大正方形面积满足：； 图1中小正方形的边长为，因此小正方形面积满足：， 展开得： ， 将代入上式，得， 解得． 图2中大正方形的边长为， 因此大正方形面积为： ． 15．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 基础达标 一、单选题 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义，三个正整数中若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数是勾股数，据此逐一验证选项即可． 【详解】解： A选项：，，，不符合勾股数定义，A错误； B选项：，，，不符合勾股数定义，B错误； C选项：，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不是勾股数，C错误； D选项：，，三个数均为正整数，且满足平方和关系，符合勾股数定义． 2．（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（     ） A．3，4，5 B．4，7，9 C．5，12，13 D．6，8，10 【答案】B 【分析】计算每组数中两较短边的平方和与最长边的平方，判断二者是否相等． 【详解】解：A、∵，∴，，能作为直角三角形三边长，不符合题意； B、∵，，，∴，，不能作为直角三角形三边长，符合题意； C、∵，∴，，能作为直角三角形三边长，不符合题意； D、∵，∴，，能作为直角三角形三边长，不符合题意． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是多少？（1丈尺）如果我们假设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用表示出门的高，由于门为矩形，宽、高、对角线构成直角三角形，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门的宽为尺，高比宽多尺，则门的高为尺， 根据勾股定理可得． 4．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，以的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（     ） A．64 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中，， ∴． 5．（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再用两直角边的和减去斜边的长度即可得出少走的距离． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为． 这是一个直角三角形， 由勾股定理得：． 原路程为， 少走的距离为． 二、填空题 6．（25-26八年级下·湖北恩施·期末）如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是_________． 【答案】 25 【分析】先根据勾股定理求出，同理可得正方形H的面积是9，则此题可解． 【详解】解：如图所示，令正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形G的边长为c， 根据勾股定理，得， 即， ∴正方形G的面积是16，同理可得正方形H的面积是9， 所以正方形E的面积是． 7．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在三角形支架中，，垂足为，，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】先推导出，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】先根据题意确定直角三角形各边的长度，再利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设木柱长为尺，由题意可知绳索长度为尺， 根据题意可得：． 9．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为4，是上底的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到，则爬行的最短距离是________． 【答案】5 【分析】根据圆柱的性质、两点之间线段最短以及勾股定理解题． 【详解】解：如图，圆柱体的侧面展开图如下，蚂蚁从点出发，沿着线段爬行时，距离最短； 由题意知，，为圆柱体底面周长的一半，即， ∴， 即爬行的最短距离是． 10．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在中，，，．将分别沿，折叠，使点A，C都与点B重合，若，则________． 【答案】 【分析】根据折叠计算可得，设，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：， ， 由折叠得，，，，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 三、解答题 11．（25-26七年级上·山东威海·期末）在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），，．点E在边上，沿折叠，点D落在边的F处．求的面积． 【答案】． 【分析】根据折叠的性质可得，接着在中，利用勾股定理求得，设，在中利用勾股定理列式计算求得，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由折叠可得， ∴，， ∵四边形是长方形，，， ∴，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，得， 解得，， ∴的面积为． 12．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 【答案】符合标准，理由如下： ，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 该零件符合标准． 【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明，即可得出结论． 【详解】略 13．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 14．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，四边形是某农场一块试验田的示意图，对角线是一条小路（宽度忽略不计），已知，，，，，求这块试验田的面积（即四边形的面积）． 【答案】这块试验田的面积是 【分析】在中由勾股定理求出，再证明是直角三角形，再根据解答即可． 【详解】解：，，， ． 在中，，，， ∴，，， ， 是直角三角形，， ， 这块试验田的面积是． 15．（25-26八年级下·吉林松原·期末）综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量，间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，．    问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： 在中，，，， ，， ， 是直角三角形； (2)池塘两端，之间的距离为 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断即可； （2）根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：是直角三角形，点，，在同一直线上， ， ， 即池塘两端，之间的距离为． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26八年级下·重庆巴南·期末）如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知，根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵沿折叠，使点与点重合， ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·天津西青·期末）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】梯子顶端沿墙下滑的距离为．利用勾股定理求出，．即可得到答案． 【详解】解：在中，根据勾股定理得， 在中，根据勾股定理得， 所以，． 因此，当梯子底端向外移动时，梯子顶端下滑． 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过面积法分别对四幅图列出面积等式并化简，验证是否能推导出，以此判断各图能否证明勾股定理，最终选出符合要求的选项． 【详解】A、梯形的面积为， 三个直角三角形的面积之和为， 令二者相等，两边乘化简得， 即，故A选项可以证明勾股定理． B、大正方形的面积为， 四个三角形与中间小正方形的面积之和为 令二者相等，展开化简得， 即，故选项B可以证明勾股定理． C、大正方形的面积为， 四个三角形与中间小正方形的面积之和为， 令二者相等，得，故选项C可以证明勾股定理． D、大正方形的面积为， 其余各部分面积之和为， 令二者相等，得，故选项D不能证明勾股定理． 4．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）为打造以“的城市”为核心引领，紧紧聚焦“资源、客源、服务”三大关键要素的城市环境，经开区立足民生需求，对城区某干道进行亮化改造．如图，这是吊车安装路灯的示意图．已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为（   ） A．12米 B．14米 C．16米 D．18米 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出，再计算起重臂顶端离地面的高度即可． 【详解】解：∵米，米，， 米， ∵点到地面的竖直距离为2米， 米， ∴起重臂顶端离地面的高度为14米． 5．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的勾股定理的实际应用，平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 【详解】解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求最短彩条长， 由题意得，，， 由勾股定理得， 同理可得， ∴， 即：所用彩条最短长度是41． 二、填空题 6．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 【答案】9 【详解】解：∵所有的四边形都是正方形， ∴图中所有三角形都为直角三角形， 由勾股定理得：正方形E的面积． 【点睛】 7．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． 8．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径，高，为的中点．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为_________． 【答案】13 【分析】将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵为的中点，高， ∴， 将圆柱侧面展开，如图所示： ∵这个圆柱的底面圆的直径为， ∴在侧面展开图中，，， ∴在中，， 即一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为13． 9．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，将折叠，使点C 与点A重合，得折痕，则的周长等于_______． 【答案】7 【分析】根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 的周长． 三、解答题 10．（25-26八年级下·陕西延安·期末）如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（点、、在同一直线上），连接、、，测得，，，，求观景台与观景台之间的距离．（露营区和观景台的大小均忽略不计）    【答案】观景台与观景台之间的距离为 【分析】先根据勾股定理的逆定理证明，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在中，，，， ， ，                             ， ∴在中，由勾股定理，得． 答：观景台与观景台之间的距离为． 11．（25-26八年级下·河北张家口·期末）图1是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆作为支撑，在点A处用绳子向地面固定，地面上的固定点为C，如图2所示，其中米，米，米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）． (1)通过计算判断此时是否与垂直； (2)由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D（点D在的延长线上）．若米，求的长度． 【答案】(1)解：在中，，， ，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理解答即可； （2）在中，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， 根据勾股定理得， ∴（米）， 即的长度为米． 12．（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图，教室地面放着一个课桌，桌面与地面平行，点到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．图1中，一扫帚的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． (1)求课桌的高度； (2)在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点重合，另一端挂在墙上的点处．若，彩带比桌宽长，求桌宽的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图①，过作垂直于墙面，垂足为点，然后利用勾股定理求解即可； （2）如图②，延长交墙面于点，则，设，则，，求出，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点， 由题意可知，， ∵桌面与地面平行， ∴， 在中，由勾股定理得， 答：课桌的高度为； （2）解：如图②，延长交墙面于点，则， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， 答：桌宽的长度为． 13．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 【答案】(1) (2)第个勾股数组为 ． 证明：由题意可知：第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是， 令， ， ， 则 ， 即， 所以 是满足上述规律的第个勾股数组． (3)的值为 【分析】（1）根据算式规律写出下一个等式，从而得出对应的勾股数组； （2）先根据最小数字(勾股数组第一个数字)总结规律可知第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是，再利用题干中等式规律可知第个勾股数组的第二个数字是即，则第个勾股数组的第三个数字，从而总结出第个勾股数组为．验证是否成立即可证明． （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组，故令，则，利用作差法消元求出n和m，继而求出x． 【详解】（1）由，，的规律可知：下一个等式是， 则对应的勾股数组是； （2）略 （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组， 故令，则， ∴，， ∴，， 解得：(负值舍去)，， ∴，， 此时，符合题意， 所以，的值为 14．（25-26八年级下·广东珠海·期末）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数： 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 … 4，3，5 n，15，17 12，p，37 16，63，65 … 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 … m，8，10 10，24，26 14，48，50 18，80，82 … (1)请补全上表中的勾股数：________，________，________． (2)我们把顶点均在正方形网格格点上的多边形叫做格点多边形． ①已知格点三边长度为、、，计算的面积． ②请在下面的网格中画出三边长度为、、的格点三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)6，8，35 (2)①24；② 【分析】（1）根据勾股定理列方程可分别求出的值； （2）①根据三角形面积公式进行计算即可； ②在线段所在网格线上，且在点的右侧取格点，使，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； ∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； ∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； （2）解：①的面积； ②略 15．（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】(1)画出蚂蚁爬行的最短路径,如图 15；二； (2)， (3) 【分析】（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （2）利用圆柱形木块的高为，底面半径为6，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （3）构造方程即可得到结论． 【详解】（1）解：展开后，半圆长为， 此时最短路程是厘米， ∵ 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， （2）解：， ∵， ∴表格中b表示的大小关系是； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $