25.1 一元二次方程的概念 教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的概念，通过黄金比例雕像、铁皮折盒、排球邀请赛三个现实情境导入，引导学生列方程并对比一元一次方程，归纳定义，搭建整式运算、等式性质等旧知与新知的学习支架。 资料以“具体实例—共性归纳—概念定义”为主线，通过探究活动培养数学眼光（发现数量关系）、数学思维（抽象归纳），如排球邀请赛问题理解单循环计数模型，特色作业提升数学语言表达与建模能力，助力教师高效教学，学生夯实概念与应用能力。

第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念   一、教材分析 《一元二次方程的概念》是人教版九年级上册第二十五章开篇第一课，是继一元一次方程、分式方程之后整式方程体系的延伸，既是初中方程知识体系的收尾拓展，也是后续学习配方法、公式法、因式分解法解方程，一元二次方程实际应用、二次函数的核心基础. 一元二次方程在几何面积、比赛场次、增长率等实际问题中应用广泛，承接整式运算、等式性质、列方程解应用题旧知，搭建代数方程与函数的桥梁，在整个初中代数知识链中承上启下，是中考必考核心内容. 本节课以雕塑黄金比例、铁皮折盒、排球邀请赛三个现实情境切入，通过设未知数、找等量关系列出三个整式方程；引导学生对比一元一次方程，归纳三个方程共同特征，提炼出一元二次方程定义；接着给出一元二次方程一般形式ax2 + bx + c = 0 (a≠0)，辨析二次项、一次项、常数项与对应系数，解释a≠0的必要性；再通过例题示范方程化为一般形式的步骤；最后配套基础练习，巩固概念辨析、形式化简、根据实际问题列方程三类基础技能，由具体实例——共性归纳——概念定义——形式规范——例题演练——巩固应用，遵循“从具体到抽象，从感性到理性”的数学概念生成逻辑.   二、教学目标 1. 掌握一元二次方程的定义，能准确判断一个式子是否为一元二次方程. 2. 能熟练把一个一元二次方程化为一般式，并能从复杂实际情境中提取等量关系，列出一元二次方程. 3. 通过构建、观察方程，归纳一元二次方程特征，培养学生观察发现与归纳总结能力. 4. 感受一元二次方程来源于生活、服务于实际问题，体会方程的实用价值.   三、教学重难点 重点：掌握一元二次方程的定义，能准确判断一个式子是否为一元二次方程； 难点：能熟练把一个一元二次方程化为一般式，并能从复杂实际情境中提取等量关系，列出一元二次方程   四、教学过程 · 本章导入 方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达. 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可 以增加视觉美感.如果某人体雕像全身长为5m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长? 等量关系：AC∶BC = BC∶5 → BC2 =5AC 设雕像腰部以下长度为 x m，则 AC=(5-x) m. 列方程得　x2 =5(5-x) 整理得 x2 + 5x - 25 = 0 追问：未知数的最高次数是2，如何求解？ 研究一元二次方程的一般思路与方法：建模、类比、分类讨论、数形结合 设计意图：借助雕像黄金比例实际情境列式，引出未知数次数为2的新式方程，制造认知冲突激发探究欲；通过知识结构图梳理前后知识脉络，明确本章学习内容与研究方法，帮助学生建立整体认知，自然开启一元二次方程概念新课学习. · 情境导入 章引言中的方程 x2 + 5x - 25 = 0 只含有一个未知数x，x的最高次数是2.像这样的方程有丰富的背景、广泛的应用，可以帮助我们解决很多实际问题.看如下一些问题. 师生活动：教师出示所得方程，展示三类应用场景图片；学生观察方程特点，结合生活实例感知方程用途，师生共同引出后续实际问题探究任务. 设计意图：承接本章导入的方程，直观展现一元二次方程应用广泛性，对比旧知制造认知衔接，激发探究兴趣，自然过渡到新知探究环节. · 探究新知 活动一：探究一元二次方程的概念 问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒. 如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 师生活动：教师出示铁皮折盒问题与示意图，引导学生分析边长变化；学生独立设未知数、找面积等量关系列方程并整理化简，集体观察方程未知数个数与最高次数，交流作答. 设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm．根据方盒的底面积为3 600 cm2，可列得方程 (100－2x)(50－2x)＝3 600． 　　整理并化简，得 x2－75x＋350＝0． 由方程可以得出各角所切正方形铁皮的边长. 问题2：方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 答：未知数的个数：1 最高次数：2 设计意图：借助几何动手模型情境列新方程，巩固列方程建模思路，直观感知新式方程特征，为归纳一元二次方程定义铺垫素材. 问题3：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛? 师生活动：教师出示球赛问题，引导学生分析单循环赛制；学生自主计算总场次、设未知数列方程并化简，小组交流场次列式原理，集体回答方程未知数个数与次数. 提示：全部比赛共 4×7=28场 思路：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场，则此次邀请赛共需进行x(x-1)场，所以可列得方程 x(x-1)=28 整理并化简，得 x2-x-56=0. 由方程可以得出应邀请的球队数. 问题4：为什么需进行x(x-1)场? 答：邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共x(x-1)场. 问题5：方程x2-x-56=0中未知数的个数和最高次数各是多少? 答：未知数的个数：1 最高次数：2 设计意图：借助赛事实例再生成一个同类方程，丰富探究素材，理解单循环计数模型，再次感知方程特征，为归纳一元二次方程定义做好铺垫. 问题6：方程x2 ＋ 5x － 25 = 0、x2－75x＋350＝0、x2－x－56=0有什么共同点? 师生活动：教师出示三个方程引导学生观察共同点，归纳一元二次方程定义；再出示辨析习题，带领学生逐一分析判断，总结判定步骤. 答：①都是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 一元二次方程：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 注意：①“整式”应理解为未化简时，方程两边均是整式； ②“只含有一个未知数，未知数的最高次数为 2”是对方程整理合并后而言的． 问题7：练一练：下列方程中，哪些是一元二次方程？ ①3x2+x＝20； ②2x2﹣3xy+4＝0； ③； ④x2＝1； ⑤ 分析：②含有两个未知数；③不是整式方程；⑤化简为4x2-1=4x2+12x+9 答：①④ 总结：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是则进一步化简整理再做判断. 设计意图：让学生自主归纳概念，理解一元二次方程三要素，通过辨析易错题型，夯实判定方法，培养观察归纳能力. 活动二：探究一元二次方程的一般形式 师生活动：教师出示一元二次方程一般形式，标注各项及系数，抛出a≠0的探究问题，引导学生分组讨论分析，梳理a、b、c不同取值情况，归纳系数取值规律. 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下一般形式： 注意：①a≠0；②系数和项均包含前面的符号. 问题8：为什么一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a≠0？b，c 可以为 0 吗？ 答：当 a = 0 时， → bx＋c = 0 → 不是一元二次方程 当 a≠0，b = 0 时， → ax2＋c = 0 当 a≠0，c = 0 时， → ax2＋bx = 0 当 a≠0，b = c = 0 时，→ ax2 = 0 总结：只要满足 a≠0 即可，b，c 可以为任意实数. 设计意图：帮助学生认清一般形式结构，理解a≠0的必要性，明晰各项符号要点，夯实概念认知，提升辨析理解能力. 活动三：探究一元二次方程的解(根) 师生活动：教师给出一元二次方程根的定义，出示验根练习题，示范代入求值验证步骤，引导学生逐一代入数值验算，集体订正得出方程的两根. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 问题9：练一练：下列哪些数是方程 x²+x－12=0 的根？ －4 ，－3 ，－2 ，－1 ，0 ，1 ，2 ，3 ，4 分析：当x＝－4时，左边＝16+(－4)－12＝0，则左边=右边， 所以－4是方程 x²+x－12=0 的根. 同理可证其他结论. 答：-4；3. 设计意图：明确方程的解(根)的概念，通过代入求值练习掌握验根方法，巩固一元二次方程相关基础知识，为后续解方程做好铺垫. · 应用新知 【教材例题】 师生活动：教师出示例题，板书示范去括号、移项、整理为一般形式的完整步骤；学生同步动笔练习，对照总结梳理确定各项系数的易错要点，交流符号处理等注意事项. 例1 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2–3x=5x+10 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2–8x–10=0. 它的二次项系数为 3，一次项系数为 –8，常数项为 –10． 注意：系数和项均包含前面的符号. 总结：确定一元二次方程的各项及其系数的注意事项： (1)先把方程化为一般形式．如果二次项系数小于 0，一般把方程两边同乘－1，将其二次项系数转化为大于0的数． (2)指出一元二次方程各项的系数时，注意带上前面的符号，不要漏掉． (3)特例：若没有出现一次项 bx，则 b＝0；若没有出现常数项，则 c＝0． 设计意图：借助例题规范方程变形步骤，明晰一般形式转化方法，点明系数带符号等易错细节，夯实概念应用，提升式子整理运算能力. 【经典例题】 师生活动：教师出示两道典型例题，分步讲解整体代入求值、根据定义求参数的解题思路；学生跟随思考解题步骤，小组交流易错点，归纳两类题型的解题方法与限定条件. 例2 已知 a 是方程 x2 + 2x - 2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值. 解：由题意得a2+2a-2=0， 即a2+2a=2 ∴2a2+4a+2022=2(a2+2a)+2022 =2×2+2022 =2026. 总结：求代数式的值，先把已知解代入方程，然后注意观察，有时需用到整体思想——将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体的值代入求解. 例3 a为何值时，方程(a－1)－2x－7=0为一元二次方程？ 解：依题意，(a－1)2x－7=0为一元二次方程时 应满足：|a|+1=2，且a－1≠0 ∵|a|+1=2 ∴|a|=1 即a=±1 又∵a≠1 ，∴a=－1 即当a等于－1时，(a－1)－2x－7=0为一元二次方程. 设计意图：依托方程的根渗透整体代换思想，强化一元二次方程定义细节辨析，突破参数类题型难点，提升学生灵活运用概念解题的能力. · 课堂练习 【教材练习】 1.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 5x2－1=4x； (2) 4x2=81； (3) 4x (x+2)=25； (4) (3x－2)(x+1)=5x－2. 解： 2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 解：(1)设正方形的边长为x，根据题意，可列得方程4x2=25，化成一般形式为4x2－25=0； (2)设矩形的长为x，根据题意，可列得方程x(x－2)=100，化成一般形式为x2－2x－100=0； (3)设较短一段的长为xm，根据题意，可列得方程 x×1=(1－x)2，化成一般形式为 x2－3x+1=0. 师生活动：学生独立完成教材练习题，整理方程一般形式并确定各项系数，根据实际情境列方程；教师巡视批改纠错，集中点评共性错误，梳理方程变形与建模解题步骤. 设计意图：当堂巩固一元二次方程一般形式转化方法，训练实际问题建模能力，查漏补缺夯实新知，检验课堂概念掌握情况. 【限时训练】 1.若是方程的一个解，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：把代入 可得出：， 解得：， 故选：． 2.将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，一次项系数和常数项分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D  3.下列方程是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：中，当时，不是一元二次方程，故本选项错误； B.不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项错误； C.有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误； D.是一元二次方程，故本选项正确． 4.若一元二次方程的一个根为，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：把代入， 得， ， ， ， ． 故选：． 5. 设是关于的一元二次方程的二次项系数，是一次项系数，是常数项，且满足，求满足条件的一元二次方程． 【答案】； 解：∵，，，， ∴，，， 解得，，， ∴满足条件的一元二次方程为． 师生活动：学生独立完成课堂小测，自主作答后核对答案；教师逐题精讲，梳理方程根代入求值、概念辨析、非负数综合应用的解题思路，针对性纠正易错漏洞. 设计意图：全面检测一元二次方程概念、方程的根等核心知识掌握情况，查漏补缺，强化易错题型解题规范，夯实本节课所学内容. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.一元二次方程的定义是什么？一元二次方程的一般形式是什么？ 3.什么是一元二次方程的根？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：一元二次方程生活建模小探究 任务：1.自主寻找两个身边可以用一元二次方程描述的生活情境，针对每个情境，写出完整等量关系式，设未知数列出对应方程； 2.将所列方程整理成一元二次方程一般形式，标注每个方程的二次项系数、一次项系数、常数项； 3.简要写下自己辨析该方程是一元二次方程的三条判断依据. 要求：1.情境贴近日常，如桌面裁剪、绿植种植、商品调价等场景； 2.书写步骤完整，列式规范，移项化简过程清晰； 3.区分一元一次与一元二次方程差异，写明判断逻辑. 学科网（北京）股份有限公司 $