第七章证明单元质量检测题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 2026-2027八年级上学期数学第七章《证明》单元卷，A卷100分+B卷20分，覆盖命题概念、平行线判定等核心知识，通过木工工具、纸带折叠等情境设计，体现数学眼光与推理思维，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|命题定义、平行线判定条件|结合三角板画平行线情境，考查推理意识| |填空题|8/20|折叠角度计算、回文数命题判断|融入木工画平行线原理，体现几何直观| |解答题|5/48|证明过程补全、几何综合推理|设计分层证明题，培养逻辑推理能力| |B卷题|5/20|光的反射、北斗七星几何应用|联系科技与生活情境，发展创新意识|

2026-22027八年级上学期数学 第七章《证明》单元练习题 A卷（100分） 1、 选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下面关于“证明”的说法正确的是（　　） A．“证明”是一种命题 B．“证明”是一种定理 C．“证明”是一种推理过程 D．“证明”就是举例说明 2．下列句子中，属于命题的是（   ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 3．在判断“对于任意实数，一定有”这一命题的真假时，同学们给出如下分析，其中正确的是（    ） A．因为当时，，所以该命题是真命题 B．因为当时，，所以该命题是真命题 C．如果取某一实数时，或，那么该命题是假命题 D．如果取某一实数时，，那么该命题是真命题 4．如右图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 5．如右图，给出下列条件：①；②；③；④，且．其中能推出的条件为（   ） A． ①② B．①②④ C．①②③ D．②③④ 6．在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，诗诗、麦麦、皓皓三位同学的做法如图所示： 上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（   ） A．仅皓皓同学 B．诗诗和皓皓 C．麦麦和皓皓 D．诗诗和麦麦 7．如右图，在一次数学实践活动课上，某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．两面镜子按如右图所示的位置摆放，入射光线经过镜子两次反射后的反射光线平行于，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，共20分） 9．如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这个工具画平行线的道理： ． 10． 若，，则与的位置关系是 ． 11．将一副三角板按如图所示摆放，过点E作直线，过点F作直线，且．若，则 ． 12．如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，是折痕，若，则 ． 13．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等下列几个命题：是“回文数”；所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；任意六位数的“回文数”是的倍数，其中，真命题有 （填序号）． 三、解答题(本题共5小题，共48分) 14.分指出下列命题的题设和结论： (1)若，则； (2)如果，垂足为O，那么； (3)如果，那么； (4)两直线平行，同位角相等． 15.分如图，点P在上，已知，，请说明的理由． 16.分阅读理解，补全证明过程及推理依据． 已知：如图，点在直线上，点在直线上，， 求证：． 证明：∵（____________________）， （____________________）， ∴（____________________）， ∴__________∥__________（____________________）， ∴__________（____________________）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴__________∥__________（____________________）， ∴（____________________） 17.分如图，点分别是三角形的边上的点，，， (1)求证：． (2)若平分，求的度数． 18.分如图，已知点E，F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)求证：； (2)判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求的度数． B卷 (20分） 19．分如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知，则 20．分如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A，B，G，C，D，E，F，且顺次首尾连接．若B，G，C三点在一条直线上，恰好经过点G，且，，，则 ． 21．分如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论是 （填序号）． 22.分如图，直线，直角三角板的角顶点A在直线上，直角顶点C和另一顶点B在两条平行线之间．的平分线交直线于点D，设的度数为． (1)如图1，若，求的值； (2)过点C的直线分别交，于点E，F（点E不与点A重合）． ①若，如图2，请判断与的位置关系，并说明理由； ②若的角平分线交直线于点G，求的度数（用含的代数式表示）． 23.分如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，这就是光的反射定律． (1)如图2，入射光线经镜面反射后的光线与墙相交于点，若，求的度数； (2)如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束射到镜面上，经反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所夹的锐角为30°，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②若，请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（可用含的式子表示） 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027八年级上学期数学 第七章《证明》单元练习题 答案和解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C A B D A D 1．C 【分析】公认的真命题称为公理，除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实， 这种推理的过程称为证明． 本题考查了证明的概念，根据证明的概念求解即可． 【详解】“证明”是一种推理过程． 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了命题的定义，熟记能够判断一件事情的语句叫做命题是解题关键．根据命题的定义，逐一分析各选项是否为陈述句且可判断真假即可． 【详解】解：A.画一条线段等于已知线段，不是命题； B.垂线段最短，是命题； C. 利用三角板画出的角，不是命题； D. 直角都相等吗？不是命题； 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查了举例判断命题真假，要判断，那么所举的例子要覆盖所有实数时，成立，才能证明原命题是真命题，据此可判断A、B、D；所举例子只要存在实数满足或，那么该命题是假命题，据此可判断C． 【详解】解：A、仅举的例子成立，但未覆盖所有实数，无法证明命题为真，不符合题意． B、列举时成立，但未考虑的情况，无法证明命题为真，不符合题意． C、若存在使或，则原命题不成立，符合题意． D、存在使不能说明命题对所有成立，无法证明命题为真，不符合题意． 故选；C． 4．A 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是正确答题的关键． 利用平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；逐项判断即可． 【详解】解：A、因为，所以 (内错角相等，两直线平行)，故A选项符合题意． B、因为，所以 (内错角相等，两直线平行)，故B选项不符合题意． C、因为，所以 (同位角相等，两直线平行)，故C选项不符合题意． D、因为，所以 (同旁内角互补，两直线平行)，故D选项不符合题意． 故选：A． 5．B 【分析】题目主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． 根据平行线的判定定理依次判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴正确，选项符合题意； ②∵，， ∴，由同位角相等，两直线平行可得， ∴正确，选项符合题意； ③∵， ∴，(内错角相等，两直线平行)， ∴选项不符合题意； ④∵，， ∴， ∴， ∴正确，选项符合题意； 故能推出的条件为①②④． 故选B． 6．D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判断，即可得到答案，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：诗诗：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； 麦麦：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； 皓皓：如图， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，根据平行线的性质得出，再根据折叠性质得出，进而解答即可． 【详解】解：由折叠性质可得，， ，， ， ， ， ， ， 由折叠性质可得，， ， ， ， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查平行线的性质，根据已知条件，得到，，由平行线的性质得到，推出，再根据，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得到，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 9．同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定方法是解答此题的关键．根据平行线的判定解答即可． 【详解】解：依据的数学道理是：同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 10．平行 【分析】本题主要考查了平行公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行．根据平行公理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴则与的位置关系是是平行， 故答案为：平行． 11．45 【分析】本题主要考查平等线的判定与性质，根据题意得，再证明，由平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图， 由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 12．/度 【分析】本题考查了折叠的性质和平行线的性质等知识点，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键． 根据折叠得出，根据平行线的性质求出． 【详解】解：∵ ∴ ∵长方形折叠 ∴ ∴ 故答案为：. 13． 【分析】本题考查了命题与定理，整式的加减，根据“回文数”的定义进行分析即可求解，解题的关键是熟练掌握“回文数”的定义． 【详解】解：根据定义正读倒读都一样，故是“回文数”；是真命题； 两位数的“回文数”为：，，，，，，，，，合计个；是真命题； 三位数的“回文数”中，百位和个位是的为：，，，，，，，，，，合计个，同理百位和个位是的有个，依次类推，则三位数的“回文数”合计个；是真命题； 设任意六位数的“回文数”十万位，万位，千位，百位，十位，个位上的数字分别为，，，，，，则， 根据定义，，，， ∴， ∴是的倍数；是真命题； 故答案为：． 14．(1)条件：，结论： (2)条件：，垂足为O，条件： (3)条件：，结论： (4)条件：两直线平行，结论：同位角相等 【分析】本题主要考查了命题的组成，命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 按照“若p，则q”形式的命题中p叫做命题的题设，q叫做命题的结论，找出下列命题中的“p”和“q”即可． 【详解】（1）解：题设：， 结论：； （2）解：题设：，垂足为O， 结论：； （3）解：题设：， 结论：； （4）解：题设：两直线平行， 结论：同位角相等． 15．见详解 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据两直线平行，内错角相等得，则，即，运用内错角相等，两直线平行得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 16．见解析 【分析】根据平行线的判定和性质解答即可． 本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：已知；对顶角相等；等量代换；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；，；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 17．(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据平行线的性质和判定证明即可； （2）根据角平分线得出，再由平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴； （2）解：平分 ∵， ． 18．(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）由题意，易得，则有，结合已知条件，得到，证得结论； （2）由（1）结论，可得到； （3）由题意，分别求出，的度数，得到的度数，利用对顶角相等，得到结果． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ； （3）解：， ， 又， ， ， 19．58 【分析】根据平行线的性质得到，由折叠的性质知，，则，进一步得到，即可得到的度数． 本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，本题的解题关键是找出纸条对折后的角度关系，据此即可得出答案． 【详解】解：如图，延长AB得到射线AG， ， ， 由折叠的性质知，， ， ， ， ， ， 故答案为： 20．/度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．过点作，则，得到，，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 21．③ 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算．由已知条件可得出，过点H作，由平行线的性质可得出②，设，则，，可判断③④． 【详解】解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴②正确． 设，则，， 由②知， 作， ， ， ∴，无法判断是否为， ∴③错误； ∴， ∴④正确． 综上所述，错误答案为③． 故答案为：③． 22．(1)60； (2)①平行，见解析；②E在A的左侧，；E在A的右侧，． 【分析】本题主要考查平行线的性质及角平分线的应用，解题关键是利用平行线性质（内错角、同旁内角等关系）和角平分线定义，结合三角板角度，通过角度转化推导结论． （1）利用直角三角板性质得，由得．因平分，故．依据，内错角相等，，即． （2）①由得．结合三角板角度和角的和，算出．利用三角形外角性质，求得，因，根据内错角相等，判定结论．②由得，结合角平分线得，算出（在左侧）或（在右侧）．因平分，分别算出（在左侧）或（在右侧）．再依据，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直角三角板的角顶点A在直线上， ∴，，， ∵， ∴， ∵的平分线AD交直线PQ于点D， ∴， ∵， ∴， ∵的度数为， 的值为60； （2）解：①与的位置关系是平行 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是的外角， ∴ ∴ ∴； ②∵， ∴， ∵∵的平分线AD交直线PQ于点D， ∴， ， 当E在A的左侧，如图： ∵的角平分线交直线于点G， ∴ ∵， ∴； 当E在A的右侧，如图 ∵的角平分线交直线于点G， ∴ ∵， ∴； 23．(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，，解题的关键是∶ （1）如图，过B作，根据平行线的性质求出，根据光的反射定律并结合已知求出，根据平行线的性质求出，然后根据角的和差关系求解即可； （2）①过E作，根据平行线的传递性可得出，根据平行线的性质得出，，根据光的反射定律求出，进而求出，，然后根据平行线的性质求解即可； ②由①可求当和重合时，，然后分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解∶由题意得， ， 如图，过B作，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①根据题意，得，， 过E作， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过E作， ∴， ∴，， 当和重合时，则， ∴， 当时，如图， 由①可知：， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图，过E作， 同理可求出， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $