2. 简谐运动的回复力及能量（同步讲义）物理教科版选择性必修第一册

本讲义聚焦简谐运动的回复力及其能量核心知识点，系统梳理回复力的定义、方向、表达式F=-kx及简谐运动的动力学特征，进而从能量角度分析动能与势能的转化规律、机械能守恒及振幅对能量的影响，构建完整知识体系。 该资料以课标为导向，设置随学随练、题型分类及基础通关、素养提升、迁移创新等分层练习，通过弹簧振子实例培养物理观念（运动与相互作用、能量）和科学思维（模型建构、科学推理），课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第二章 机械振动 2. 简谐运动的回复力及其能量 课标要点 1.会分析简谐运动的位移、速度、受力情况、加速度的变化规律及相互联系，能说出回复力的基本特征和来源，并能够从动力学的角度来证明物体做简谐运动，体会力与运动的关系。 2.能够从简谐运动的角度来分析生活中的物理现象，提升物理模型建构能力;能够从动力学角度和能量守恒和转化的角度来解决有关简谐运动的问题，提高分析能力和解决问题的能力。 3.能够从动力学和能量的角度来探究简谐运动中位移、速度、加速度、回复力以及弹簧振子系统的动能、势能、总能量的变化规律，体会科学探究方法。 学习重难点 重点：1.理解回复力的概念，知道回复力在机械振动中的特征。 2.会用动力学方法分析简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律。 难点：会用能量守恒的观点分析弹簧振子在振动过程中动能、势能、总能量的变化规律 写 知识点1 简谐运动的回复力 1．回复力 (1)定义：使振动物体回到平衡位置的力。 (2)方向：总是指向平衡位置。 (3)表达式：F＝－kx。式中“－”号表示F与x方向相反。 2．简谐运动 理论上可以证明，如果物体所受的力具有F＝－kx的形式，物体就做简谐运动。也就是说：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。 3．回复力的性质 回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。 随学随练 在光滑水平面上自由振动的弹簧振子，振子受力情况叙述正确的是（　　） A．振子受到的回复力是恒力 B．振子受重力、支持力、弹簧弹力和回复力 C．振子受到的回复力的大小与物体离开平衡位置的位移大小成正比 D．振子受到的回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同 【答案】C 【详解】AB．回复力是效果力，振子不受回复力，振子只受重力、支持力、弹簧弹力，故AB错误； CD．根据 可知，振子受到的回复力的大小与物体离开平衡位置的位移大小成正比，方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相反，故C正确，D错误。 故选C。 　知识点2 简谐运动的能量 1．能量转化 弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。 (1)在最大位移处，势能最大，动能为零。 (2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。 2．能量特点 在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 3．对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。 4．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 5．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 简谐运动的能量 1．能量转化 弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。 (1)在最大位移处，势能最大，动能为零。 (2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。 2．能量特点 在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 3．对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。 4．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 5．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 随学随练 （多选）如图所示，把一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向A、B之间做简谐运动，平衡位置为O，下列结论正确的是（　　） A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小 B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大 C．小球从A经O到B的过程中，弹簧的弹力先做正功，后做负功 D．小球从A经O到B的过程中，小球的动能先减小后增加 【答案】AC 【详解】A．小球在平衡位置O时，速度最大，动能最大，位移为零，加速度为零，故A正确； B．小球在A、B位置时，速度为零，动能为零，位移最大，加速度最大，故B错误； C．小球从A经O到B的过程中，弹簧的弹力先做正功，后做负功，故C正确； D．小球从A经O到B的过程中，小球的动能一直增加，故D错误。 故选AC。 题型1 简谐运动的回复力 如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是 （　　） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 B．时，弹簧振子的位移为 C．从到的时间内，弹簧振子的动能持续地增加 D．在与两个时刻，弹簧振子的回复力不相同 【答案】D 【详解】A．回复力是效果力，由弹簧弹力充当，A错误； B．弹簧振子位移随时间不是均匀变化，B错误； C．到的时间内，弹簧振子远离平衡位置，速度减小，动能减小，C错误； D．与两个时刻，位移大小相等，方向相反，所以回复力的大小相等，方向相反，即回复力不相同，D正确。 故选D。 活学活用 1.如图所示，弹簧振子在光滑的水平杆上做简谐运动，、是最大位移处，是平衡位置。下列说法中正确的是（　　） A．振子在、两点处加速度相同 B．振子由向运动时，加速度方向与速度方向相同 C．振子由向运动时，速度和加速度越来越大 D．振子由向运动时，回复力与加速度方向相反 【答案】B 【详解】A．振子在、两点处回复力大小相同，加速度大小相同，方向相反，故A错误； B．振子由向运动时，加速度方向与速度方向相同，方向均向右，故B正确； C．振子由向运动时，速度越来越小，加速度越来越大，故C错误； D．振子由向运动时，回复力与加速度方向相同，方向均向右，故D错误。 故选B。 2．如图所示，一质量为M的木质框架放在水平桌面上，框架上悬挂一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端拴接两个质量均为m的铁球（铁球离框架下端足够远，两球间用轻杆相连）系统处于静止状态。用手向下拉一小段距离后释放铁球，两铁球便上下做简谐运动，框架保持静止，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．铁球在振动的过程中，速度相同时，弹簧的弹性势能也相同 B．若两铁球在最低点时，AB之间断开，则A球继续做简谐振动，振幅不变 C．铁球从最低点向平衡位置运动的过程中，回复力的功率一直增大 D．在框架不会离开桌面的前提下，则两铁球的振幅最大是 【答案】D 【详解】A．在关于平衡位置对称的两侧，振子的速度相同时，弹簧的弹性势能不同，故A错误； B．若两铁球在最低点时，AB之间断开，则A球继续做简谐振动，由于在最低点时弹簧的弹性势能一定，则总能量不变，则小球的振幅要改变，选项B错误； C．铁球从最低点向平衡位置运动的过程中，回复力减小直到为零，速度从零开始增加，由；可得回复力的功率先增加后减小，故C错误； D．若要保证木质框架不会离开桌面，则框架对桌面的最小压力恰好等于0，以框架为研究对象，弹簧对框架向上的作用力等于框架重力Mg，则轻弹簧处于压缩状态，弹簧的弹力；压缩量为 小铁球处于平衡位置时，弹簧处于伸长状态，伸长量为；所以铁球的振幅为；故D正确。 故选D。 题型 简谐运动的能量 如图所示,两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上,已知甲的质量大于乙的质量。当细线突然断开后,两物块都开始做简谐运动,在运动过程中(　　) A.甲的振幅大于乙的振幅 B.甲的振幅小于乙的振幅 C.甲的最大速度小于乙的最大速度 D.甲的最大速度大于乙的最大速度 【答案】C 【详解】当细线突然断开时,甲、乙两物块的速度为零,均位于简谐运动的最大位移处,此时两弹簧的弹力相等,由F=-kx可知,两物体离平衡位置的位移相等,即振幅相等,两弹簧振子的弹性势能相等,由此可知它们到平衡位置的动能相等。由Ek=mv2,m甲>m乙可知,v甲<v乙,故A、B、D错误,C正确。 活学活用 1.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中（　　） A．振子的位移逐渐增大 B．振子所受的弹力逐渐减小 C．振子的动能转化为弹性势能 D．振子的加速度逐渐增大 【答案】B 【详解】A．振子的位移是由平衡位置指向振子所在位置的有向线段，因而振子向平衡位置运动时位移逐渐减小，A项错误； B．而弹力与位移成正比，故弹簧的弹力减小，B项正确； C．振子向着平衡位置运动时，弹力与速度方向一致，故振子的速度逐渐增大，弹性势能转化为动能，C项错误； D．由胡克定律和牛顿第二定律知，振子的加速度也减小，D项错误； 故选B。 2.如图甲所示，劲度系数为k的轻弹簧下端挂一质量为的物体， 物体在竖直方向上做简谐运动，弹簧对物体的拉力F随时间变化如图乙所示，重力加速度为g。由此可以判定运动过程中（ ） A．弹簧的弹性势能和物体动能总和不变 B．物体的最大动能等于 C．物体的最大加速度为2倍的重力加速度 D．振幅为 【答案】B 【详解】A．由于弹簧与物体组成的系统机械能守恒，所以弹簧的弹性势能和物体的机械能（动能和重力势能之和）总和不变，故A错误； B．由题图乙可知，当弹簧处于原长时，物体位于最高点；当物体位于平衡位置时，动能达到最大值Ekm，此时弹簧的伸长量为 ① 由于弹力F与伸长量x的图像与x轴所围的面积表示弹力的功，所以物体从最高点运动到平衡位置的过程中，弹力对物体做的功为 ② 根据动能定理可得 ③；联立①②③解得 ；故B正确； C．当物体位于最低点时，所受合外力大小均达到最大，此时物体的加速度大小最大，为 故C错误； D．振幅为；故D错误。；故选B。 。 基础通关 1.关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是(　　) A.k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 B.k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移 C.根据k＝－，可以认为k与F成正比 D.表达式中的“－”号表示F始终阻碍物体的运动 答案　B 解析　对弹簧振子来说，k为劲度系数，x为质点离开平衡位置的位移，对于其他简谐运动，k不是劲度系数，而是一个比例系数，该系数由振动系统本身结构决定，与回复力F和位移x无关，故A、C错误，B正确；“－”只表示回复力与位移方向相反，回复力有时是动力，有时是阻力，故D错误。 2.如图为某个弹簧振子做简谐运动的图像，由图像可知(　　) A.由于在0.1 s末振幅为零，所以振子的振动能量为零 B.在0.2 s末振子具有最大势能 C.在0.4 s末振子具有的能量尚未达到最大值 D.在0.4 s末振子的动能最大 答案　B 解析　简谐运动振幅保持不变，且运动过程中能量是守恒的，故A、C错误； 0.2 s末、0.4 s末位移最大，速度为零，动能为零，势能最大，B正确，D错误。 3.质量为0.5 kg的小球静止在O点，现用手竖直向上托起小球至A点，使弹簧处于原长状态，如图甲所示。t＝0时放手，小球在竖直方向上A、B之间运动，其位移x随时间t的变化如图乙所示，g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A.小球在t＝0.6 s时速度方向向上 B.小球在t＝1.2 s时加速度方向向下 C.小球从A运动到B的过程中，弹簧的弹性势能一直增大 D.该弹簧的劲度系数为100 N/cm 答案　C 解析　小球在0～1 s时间内向下运动，所以t＝0.6 s时速度方向向下，A错误；小球在1～1.5 s 时间内从静止开始向上做加速运动，所以t＝1.2 s时加速度方向向上，B错误；小球从A运动到B的过程中，弹簧的形变量一直增大，弹簧的弹性势能一直增大，C正确；因为质量为0.5 kg 的小球静止在O点，根据平衡条件得mg＝kA，解得k＝100 N/m ，D错误。 4.(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做简谐运动，下列说法正确的是(　　) A.小球运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B.小球运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C.小球由A向O运动过程中，回复力逐渐增大 D.小球由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置 答案　AD 解析　回复力是根据力的作用效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移在减小，故此过程中回复力逐渐减小，C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确。 5.如图所示，由轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个沿竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板上，当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后弹簧振子在平衡位置附近上下做简谐运动，不计空气阻力，则(　　) A.弹簧振子速度最大时，振动系统的势能为零 B.弹簧振子速度最大时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等 C.弹簧振子经平衡位置时，振动系统的势能最小 D.弹簧振子在振动过程中，振动系统的机械能不守恒 答案　C 解析　当弹簧振子在平衡位置时，速度最大，此时的重力势能为零，但是弹簧的弹性势能不为零，故振动系统的势能不为零，A、B错误；因为只有重力和弹簧弹力做功，所以弹簧振子的动能、重力势能及弹簧的弹性势能总和保持不变，弹簧振子在平衡位置时动能最大，故振动系统的势能最小，C正确，D错误。 6. (多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法正确的是(　　) A.物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供 B.滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供 C.物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k D.若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为 答案　ACD 解析　物体A做简谐运动时，在水平方向受到滑块B对它的静摩擦力，所以物体A做简谐运动的回复力是由滑块B对物体A的静摩擦力提供，A正确；滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供，B错误；物体A与滑块B(看成一个振子)的回复力大小满足F＝－kx，则回复力大小跟位移大小之比为k，C正确； A、B间的静摩擦力最大时，其振幅最大，设为A，以整体为研究对象有kA＝(M＋m)a，以A为研究对象，由牛顿第二定律得μmg＝ma，联立解得A、B间无相对滑动的最大振幅为A＝，D正确。 7.如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定(　　) A.t1到t2时间内，系统的动能不断增大，势能不断减小 B.0到t2时间内，振子的位移增大，速度增大 C.t2到t3时间内，振子的回复力先减小再增大，加速度的方向一直沿x轴正方向 D.t1、t4时刻振子的动能、速度都相同 答案　A 解析　t1到t2时间内，x减小，系统的动能不断增大，势能不断减小，A正确；0到t2时间内，振子的位移减小，速度增大，B错误；t2到t3时间内，振子的位移先增大再减小，所以回复力先增大再减小，C错误；t1和t4时刻振子的位移相同，即位于同一位置，其速度等大反向，但动能相同，D错误。 8.如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m、带电荷量为＋q(q>0)的小球相连，静止在光滑、绝缘的水平面上。在施加一个电场强度为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动。那么(　　) A.小球到达最右端时，弹簧的形变量为 B.小球做简谐运动的振幅为 C.运动过程中小球的机械能守恒 D.运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变 答案　A 解析　小球做简谐运动的平衡位置是弹簧拉力和电场力平衡的位置，此时弹簧形变量为，小球到达最右端时，弹簧形变量为，振幅为，A正确，B错误；由于电场力做功，故小球的机械能不守恒，C错误；运动过程中，小球的动能、电势能和弹簧的弹性势能的总量不变，D错误。 9.如图甲所示，金属小球用轻弹簧连接在固定的光滑斜面顶端，小球在斜面上做简谐运动，到达最高点时弹簧处于原长。取沿斜面向上为正方向，小球的振动图像如图乙所示。则(　　) A.弹簧的最大伸长量为4 m B.t＝0.2 s时，弹簧的弹性势能最大 C.在t＝0.2 s到t＝0.6 s时间内，小球的重力势能逐渐减小 D.在t＝0到t＝0.4 s时间内，回复力的冲量为零 答案　C 解析　小球的振幅等于振子位移的最大值，由图乙知，振幅为A＝2 cm，由于当振子到达最高点时，弹簧处于原长，所以弹簧的最大伸长量为2A＝4 cm，故A错误；t＝0.2 s时，弹簧处于原长，弹簧的弹性势能最小，为零，故B错误；t＝0.2 s到t＝0.6 s内，小球沿斜面向下运动，小球的重力势能逐渐减小，故C正确；t＝0时小球经过平衡位置沿斜面向上运动，t＝0.4 s时小球经过平衡位置沿斜面向下运动，根据动量定理可知回复力的冲量不为零，故D错误。 10.如图所示，盛水(密度为ρ1)容器的水面上漂浮着一块质量分布均匀的高为h、底面积为S的长方体木块(密度为ρ2)，浸入水中的深度为a，O为木块质心，现在将木块相对于原来静止的位置轻轻按下距离A(木块没有完全浸没)，木块就在水面上下振动(木块始终没有离开水面)，不考虑任何阻力，重力加速度为g，试证明木块做简谐运动。 答案　见解析 解析　木块的平衡位置就在原来静止的位置，木块漂浮(静止)时，由平衡条件可得 G＝F浮，即ρ2ghS＝ρ1gSa 现在以木块振动到平衡位置下方情形为例来证明，设木块振动到平衡位置下方x时(x≤A)，其偏离平衡位置的位移大小为x，所受到的浮力变为 F浮′＝ρ1gS 回复力大小为 F回＝F浮′－G＝ρ1gS－ρ2ghS 解得F回＝ρ1gSx 显然回复力大小与偏离平衡位置的位移大小成正比，同理可证，木块振动到平衡位置上方时回复力大小与偏离平衡位置的位移大小也成正比，分析木块在平衡位置上方和下方时的回复力方向可知，回复力恒指向平衡位置，与位移的方向相反，所以木块做简0 cm 素养提升 1．如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是 （　　） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 B．时，弹簧振子的位移为 C．从到的时间内，弹簧振子的动能持续地增加 D．在与两个时刻，弹簧振子的回复力不相同 【答案】D 【详解】A．回复力是效果力，由弹簧弹力充当，A错误； B．弹簧振子位移随时间不是均匀变化，B错误； C．到的时间内，弹簧振子远离平衡位置，速度减小，动能减小，C错误； D．与两个时刻，位移大小相等，方向相反，所以回复力的大小相等，方向相反，即回复力不相同，D正确。 故选D。 2．劲度系数为20N/cm的水平方向弹簧振子的振动图象如图所示，在图中A点对应的时刻（　　） A．振子的速度方向为x轴正方向 B．在0～4s内振子通过的路程为0.35cm，位移为0 C．在0～4s内振子做了1.75次全振动 D．振子所受的弹力大小为0.5N，方向指向x轴负方向 【答案】A 【详解】A．在A点的后一个时刻，位置坐标变大，故振子的速度方向为x轴正方向，故A正确； B．由图可知，周期为2s，振幅为0.5cm，所以在0～4s内振子通过的路程为4cm，位移为0，故B错误； C．因为周期为2s，所以完成了2次全振动，故C错误； D．根据胡克定律；所以；方向指向x轴负方向，故D错误； 故选A。 3．如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动。以平衡位置O为坐标原点，建立Ox轴，规定向右为正方向，其简谐运动的周期T=0.8s，OM=ON=10cm。当t=0时刻，将小球由N点静止释放。关于小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动的表达式为x=0.1sin（2.5πt）m B．每次通过同一位置时，速度一定相同 C．从M经O到N的过程中，弹簧振子系统的机械能先增加再减小 D．从N到O的过程中，弹簧的弹性势能转化为小球的动能 【答案】D 【详解】A．由题目可知A=0.1m，T=0.8s，则；因为当t=0时刻，将小球由N点静止释放，所以简谐运动的表达式为；故A错误； B．每次通过同一位置时，速度大小相同，但是方向不一定相同，故B错误； C．从M经O到N的过程中，弹簧振子系统的机械能不变，故C错误； D．从N到O的过程中，弹簧的弹性势能减小，转化为小球的动能，故D正确。 故选D。 4．如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图像。已知甲、乙两个振子质量相等。则（　　） A．甲、乙两振子的振幅之比为1:2 B．甲、乙两振子的频率之比为1:2 C．前2s内甲、乙两振子的加速度均为正值 D．0~8s时间内甲、乙两振子通过的路程之比为4:1 【答案】D 【详解】A．根据甲、乙两个振子做简谐运动的图像可知，两振子的振幅，，甲、乙两振子的振幅之比为，A错误； B．甲振子的周期为4s，频率为，乙振子的周期为8s，频率为，甲、乙两振子的频率之比为，B错误； C．前2s内，根据简谐运动的特征；甲的位移为正，加速度为负值，乙的位移为负，加速度为正值，C错误； D．这段时间内，甲振子运动了两个周期，通过的路程为；乙振子运动了一个周期，通过的路程为；所以路程之比为，故D正确。 故选D。 5．理论表明：弹簧振子的振动周期，总机械能与振幅A的平方成正比，即，k为弹簧的劲度系数，m为振子的质量。如图，一劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端连接着质量为m的物块，物块在光滑水平面上往复运动。当物块运动到最大位移为A的时刻，把另一质量也为m的物块轻放在其上，两个物块始终一起振动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。放上质量也为m的物块后，下列说法正确的是（　　） A．物块振动周期变为原来的2倍 B．两物块之间的动摩擦因数至少为 C．物块经过平衡位置时速度为 D．系统的振幅减小 【答案】B 【详解】A．根据周期公式；可知，当把另一质量也为m的物块轻放在其上后，质量为原来2倍，周期为原来倍，A错误； B．两物块一起振动，加速度相同，系统的最大加速度为；而放在上面的物块的最大加速度由两者间的最大静摩擦力提供，可得；立可得；B正确； C．经过平衡位置时，机械能全部为动能，即解得物块经过平衡位置时速度为；C错误； D．弹簧振子的总机械能在放上另一物块后并未发生变化，振动过程中系统机械能守恒，而弹簧振子的总机械能与振幅的平方成正比，故振幅不变，D错误。 故选B。 迁移创新 1．（2025·江苏·高考真题）如图所示，弹簧一端固定，另一端与光滑水平面上的木箱相连，箱内放置一小物块，物块与木箱之间有摩擦。压缩弹簧并由静止释放，释放后物块在木箱上有滑动，滑动过程中不与木箱前后壁发生碰撞，不计空气阻力，则（    ） A．释放瞬间，物块加速度为零 B．物块和木箱最终仍有相对运动 C．木箱第一次到达最右端时，物块速度为零 D．物块和木箱的速度第一次相同前，物块受到的摩擦力不变 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，释放时，物块与木箱发生相对滑动，且有摩擦力，根据牛顿第二定律可知释放时物块加速度不为0，故A错误； B．由于物块与木箱间有摩擦力且发生相对滑动，所以弹簧的弹性势能会减少，直到弹簧的最大弹力满足以下分析的：设物块与木箱之间的最大静摩擦力为，物块质量为，对物块根据牛顿第二定律 设木箱质量为，对物块与木箱整体，根据牛顿第二定律 可得 即弹簧的最大弹力减小到后，二者一起做简谐运动，故B错误； C．根据AB选项分析可知只有当二者一起做简谐运动前，有相对滑动，木箱第一次到达最右端时，物块速度不为零，故C错误； D．开始滑块的加速度向右，物块与滑块第一次共速前，物块相对滑块向左运动，受到向右的摩擦力，共速前二者有相对滑动，摩擦力恒为二者之间的滑动摩擦力，保持不变，故D正确。 故选D。 2．（2024·辽宁·高考真题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体半径的n倍。的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设地球表面的重力加速度为，某球体天体表面的重力加速度为，弹簧的劲度系数为，根据简谐运动的对称性有 可得 可得 设某球体天体的半径为，在星球表面，有 联立可得 故选C。 3．（2024·贵州·高考真题）（多选）如图，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则小球在时刻（　　）    A．位移最大，方向为正 B．速度最大，方向为正 C．加速度最大，方向为负 D．受到的回复力大小为零 【答案】AC 【详解】对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在时由静止释放，可知此时小球位于最低点，且小球的运动可视为简谐运动，周期为T。则小球在时刻处于最高点位置，此时位移最大，方向向上（正方向）；小球受到的回复力最大，方向向下，则小球的加速度最大，方向向下（负方向）；此时小球的速度为0。 故选AC。 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 机械振动 2. 简谐运动的回复力及其能量 课标要点 1.会分析简谐运动的位移、速度、受力情况、加速度的变化规律及相互联系，能说出回复力的基本特征和来源，并能够从动力学的角度来证明物体做简谐运动，体会力与运动的关系。 2.能够从简谐运动的角度来分析生活中的物理现象，提升物理模型建构能力;能够从动力学角度和能量守恒和转化的角度来解决有关简谐运动的问题，提高分析能力和解决问题的能力。 3.能够从动力学和能量的角度来探究简谐运动中位移、速度、加速度、回复力以及弹簧振子系统的动能、势能、总能量的变化规律，体会科学探究方法。 学习重难点 重点：1.理解回复力的概念，知道回复力在机械振动中的特征。 2.会用动力学方法分析简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律。 难点：会用能量守恒的观点分析弹簧振子在振动过程中动能、势能、总能量的变化规律 写 知识点1 简谐运动的回复力 1．回复力 (1)定义：使振动物体回到平衡位置的力。 (2)方向：总是指向平衡位置。 (3)表达式：F＝－kx。式中“－”号表示F与x方向相反。 2．简谐运动 理论上可以证明，如果物体所受的力具有F＝－kx的形式，物体就做简谐运动。也就是说：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。 3．回复力的性质 回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。 随学随练 在光滑水平面上自由振动的弹簧振子，振子受力情况叙述正确的是（　　） A．振子受到的回复力是恒力 B．振子受重力、支持力、弹簧弹力和回复力 C．振子受到的回复力的大小与物体离开平衡位置的位移大小成正比 D．振子受到的回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同 　知识点2 简谐运动的能量 1．能量转化 弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。 (1)在最大位移处，势能最大，动能为零。 (2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。 2．能量特点 在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 3．对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。 4．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 5．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 简谐运动的能量 1．能量转化 弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。 (1)在最大位移处，势能最大，动能为零。 (2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。 2．能量特点 在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 3．对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。 4．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 5．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 随学随练 （多选）如图所示，把一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向A、B之间做简谐运动，平衡位置为O，下列结论正确的是（　　） A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小 B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大 C．小球从A经O到B的过程中，弹簧的弹力先做正功，后做负功 D．小球从A经O到B的过程中，小球的动能先减小后增加 题型1 简谐运动的回复力 如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是 （　　） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 B．时，弹簧振子的位移为 C．从到的时间内，弹簧振子的动能持续地增加 D．在与两个时刻，弹簧振子的回复力不相同 活学活用 1.如图所示，弹簧振子在光滑的水平杆上做简谐运动，、是最大位移处，是平衡位置。下列说法中正确的是（　　） A．振子在、两点处加速度相同 B．振子由向运动时，加速度方向与速度方向相同 C．振子由向运动时，速度和加速度越来越大 D．振子由向运动时，回复力与加速度方向相反 2．如图所示，一质量为M的木质框架放在水平桌面上，框架上悬挂一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端拴接两个质量均为m的铁球（铁球离框架下端足够远，两球间用轻杆相连）系统处于静止状态。用手向下拉一小段距离后释放铁球，两铁球便上下做简谐运动，框架保持静止，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．铁球在振动的过程中，速度相同时，弹簧的弹性势能也相同 B．若两铁球在最低点时，AB之间断开，则A球继续做简谐振动，振幅不变 C．铁球从最低点向平衡位置运动的过程中，回复力的功率一直增大 D．在框架不会离开桌面的前提下，则两铁球的振幅最大是 题型 简谐运动的能量 如图所示,两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上,已知甲的质量大于乙的质量。当细线突然断开后,两物块都开始做简谐运动,在运动过程中(　　) A.甲的振幅大于乙的振幅 B.甲的振幅小于乙的振幅 C.甲的最大速度小于乙的最大速度 D.甲的最大速度大于乙的最大速度 活学活用 1.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中（　　） A．振子的位移逐渐增大 B．振子所受的弹力逐渐减小 C．振子的动能转化为弹性势能 D．振子的加速度逐渐增大 2.如图甲所示，劲度系数为k的轻弹簧下端挂一质量为的物体， 物体在竖直方向上做简谐运动，弹簧对物体的拉力F随时间变化如图乙所示，重力加速度为g。由此可以判定运动过程中（ ） A．弹簧的弹性势能和物体动能总和不变 B．物体的最大动能等于 C．物体的最大加速度为2倍的重力加速度 D．振幅为 。 基础通关 1.关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是(　　) A.k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 B.k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移 C.根据k＝－，可以认为k与F成正比 D.表达式中的“－”号表示F始终阻碍物体的运动 2.如图为某个弹簧振子做简谐运动的图像，由图像可知(　　) A.由于在0.1 s末振幅为零，所以振子的振动能量为零 B.在0.2 s末振子具有最大势能 C.在0.4 s末振子具有的能量尚未达到最大值 D.在0.4 s末振子的动能最大 3.质量为0.5 kg的小球静止在O点，现用手竖直向上托起小球至A点，使弹簧处于原长状态，如图甲所示。t＝0时放手，小球在竖直方向上A、B之间运动，其位移x随时间t的变化如图乙所示，g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A.小球在t＝0.6 s时速度方向向上 B.小球在t＝1.2 s时加速度方向向下 C.小球从A运动到B的过程中，弹簧的弹性势能一直增大 D.该弹簧的劲度系数为100 N/cm 4.(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做简谐运动，下列说法正确的是(　　) A.小球运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B.小球运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C.小球由A向O运动过程中，回复力逐渐增大 D.小球由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置 5.如图所示，由轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个沿竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板上，当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后弹簧振子在平衡位置附近上下做简谐运动，不计空气阻力，则(　　) A.弹簧振子速度最大时，振动系统的势能为零 B.弹簧振子速度最大时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等 C.弹簧振子经平衡位置时，振动系统的势能最小 D.弹簧振子在振动过程中，振动系统的机械能不守恒 6. (多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法正确的是(　　) A.物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供 B.滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供 C.物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k D.若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为 7.如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定(　　) A.t1到t2时间内，系统的动能不断增大，势能不断减小 B.0到t2时间内，振子的位移增大，速度增大 C.t2到t3时间内，振子的回复力先减小再增大，加速度的方向一直沿x轴正方向 D.t1、t4时刻振子的动能、速度都相同 8.如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m、带电荷量为＋q(q>0)的小球相连，静止在光滑、绝缘的水平面上。在施加一个电场强度为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动。那么(　　) A.小球到达最右端时，弹簧的形变量为 B.小球做简谐运动的振幅为 C.运动过程中小球的机械能守恒 D.运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变 答案　A 9.如图甲所示，金属小球用轻弹簧连接在固定的光滑斜面顶端，小球在斜面上做简谐运动，到达最高点时弹簧处于原长。取沿斜面向上为正方向，小球的振动图像如图乙所示。则(　　) A.弹簧的最大伸长量为4 m B.t＝0.2 s时，弹簧的弹性势能最大 C.在t＝0.2 s到t＝0.6 s时间内，小球的重力势能逐渐减小 D.在t＝0到t＝0.4 s时间内，回复力的冲量为零 10.如图所示，盛水(密度为ρ1)容器的水面上漂浮着一块质量分布均匀的高为h、底面积为S的长方体木块(密度为ρ2)，浸入水中的深度为a，O为木块质心，现在将木块相对于原来静止的位置轻轻按下距离A(木块没有完全浸没)，木块就在水面上下振动(木块始终没有离开水面)，不考虑任何阻力，重力加速度为g，试证明木块做简谐运动。 素养提升 1．如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是 （　　） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 B．时，弹簧振子的位移为 C．从到的时间内，弹簧振子的动能持续地增加 D．在与两个时刻，弹簧振子的回复力不相同 2．劲度系数为20N/cm的水平方向弹簧振子的振动图象如图所示，在图中A点对应的时刻（　　） A．振子的速度方向为x轴正方向 B．在0～4s内振子通过的路程为0.35cm，位移为0 C．在0～4s内振子做了1.75次全振动 D．振子所受的弹力大小为0.5N，方向指向x轴负方向 3．如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动。以平衡位置O为坐标原点，建立Ox轴，规定向右为正方向，其简谐运动的周期T=0.8s，OM=ON=10cm。当t=0时刻，将小球由N点静止释放。关于小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动的表达式为x=0.1sin（2.5πt）m B．每次通过同一位置时，速度一定相同 C．从M经O到N的过程中，弹簧振子系统的机械能先增加再减小 D．从N到O的过程中，弹簧的弹性势能转化为小球的动能 4．如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图像。已知甲、乙两个振子质量相等。则（　　） A．甲、乙两振子的振幅之比为1:2 B．甲、乙两振子的频率之比为1:2 C．前2s内甲、乙两振子的加速度均为正值 D．0~8s时间内甲、乙两振子通过的路程之比为4:1 5．理论表明：弹簧振子的振动周期，总机械能与振幅A的平方成正比，即，k为弹簧的劲度系数，m为振子的质量。如图，一劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端连接着质量为m的物块，物块在光滑水平面上往复运动。当物块运动到最大位移为A的时刻，把另一质量也为m的物块轻放在其上，两个物块始终一起振动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。放上质量也为m的物块后，下列说法正确的是（　　） A．物块振动周期变为原来的2倍 B．两物块之间的动摩擦因数至少为 C．物块经过平衡位置时速度为 D．系统的振幅减小 迁移创新 1．（2025·江苏·高考真题）如图所示，弹簧一端固定，另一端与光滑水平面上的木箱相连，箱内放置一小物块，物块与木箱之间有摩擦。压缩弹簧并由静止释放，释放后物块在木箱上有滑动，滑动过程中不与木箱前后壁发生碰撞，不计空气阻力，则（    ） A．释放瞬间，物块加速度为零 B．物块和木箱最终仍有相对运动 C．木箱第一次到达最右端时，物块速度为零 D．物块和木箱的速度第一次相同前，物块受到的摩擦力不变 2．（2024·辽宁·高考真题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体半径的n倍。的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 3．（2024·贵州·高考真题）（多选）如图，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则小球在时刻（　　）    A．位移最大，方向为正 B．速度最大，方向为正 C．加速度最大，方向为负 D．受到的回复力大小为零 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $