第一章 勾股定理（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学勾股定理复习讲义通过知识框架图系统梳理定理及逆定理、勾股数、面积证法等核心内容，用表格对比教学重难点，明确公式变形、实际应用建模为重点，立体图形展开、折叠问题等量关系为难点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，从勾股数判断（例1）到折叠问题设元列方程（例8），再到长方体展开三种方案求最短路径（例12），培养几何直观与空间观念。实际应用强调数学建模六步法，帮助学生用数学眼光观察现实世界，例题配变式题支持分层复习，助力教师精准教学。

第一章 勾股定理复习讲义 教学目标 1.熟记勾股定理及变形公式，掌握三种经典面积证法，会识别基础勾股数并灵活拓展。 2.熟练运用逆定理通过边长判断三角形类型，掌握数转形的数形结合解题思想。 3.能建立直角三角形模型解决高度、折叠、航海等实际应用题，规范列方程计算。 4.掌握立体图形展开求最短路径的步骤，分情况讨论长方体三种展开方案并比较大小。 教学重难点 重点： 1.勾股定理公式与变形，逆定理判定三角形形状，勾股数定义与同倍放大拓展规律。 2.折叠、高度、方位三类实际应用题建模，设未知数列方程求解线段长度的方法。 3.圆柱、阶梯、长方体表面展开，利用两点之间线段最短结合勾股算最短路径。 难点： 1.立体图形多方式展开容易漏情况，长方体三种展开直角边组合计算易算错最小值。 2.折叠题型等量关系难找，无法借助折叠边长相等完成设元，方程构建存在障碍。 3.逆定理使用忽略先找最长边，混淆锐角、直角、钝角三角形边长平方的大小关系。 知识点01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 即在中，直角边长为，斜边长为，则： 重要说明： 1.勾股定理只适用于直角三角形，刻画直角三角形三边的数量关系。 2.数形结合思想：已知直角三角形边长，可设未知边列方程求解线段长度。 3.常用变形公式 ，， 定理三大应用 1.已知直角三角形任意两条边长，求出第三条边长； 2.证明含有平方关系的线段等式； 3.在数轴上作出长度为（为正整数）的无理数线段。 知识点02 勾股定理经典三种证明方法 1.邹元治证法（内弦图） 用四个全等直角三角形拼接成大正方形，通过大正方形面积=小正方形面积+4个直角三角形面积，即，化简推出。 2.赵爽弦图（外弦图） 四个全等直角三角形围成大正方形，中间形成小正方形，利用面积相等，化简推出。 3.梯形证法 两个全等直角三角形与一个等腰直角三角形拼成直角梯形，梯形面积等于三个三角形面积之和，即，化简推出。 知识点03 勾股数 1.定义：能作为直角三角形三边的三个正整数叫做勾股数。 2.满足条件：1.三个数都是正整数；2.两小数平方和等于最大数平方。 3.拓展：一组勾股数同乘正整数，结果仍是勾股数。 知识点04 勾股定理的逆定理 1.定义：三角形三边满足，该三角形为直角三角形。 2.作用：依靠边长数值判断三角形形状，实现由数判形。 判定步骤：①找出三边里最长边；②计算短边平方和与最长边平方并对比； ③为直角三角形；小于则钝角；大于则锐角。 知识点05 勾股定理实际应用 1.核心解题思想：数学建模 核心逻辑是将生活中的实际问题转化为直角三角形几何模型，借助勾股定理求出未知线段长度。 完整解题步骤分为六步，依次为阅读题目、绘制对应示意图、找到图形中的直角、标注已知线段长度、列出勾股定理关系式、计算数值并规范作答。 题目中出现垂直、水平、最短、折叠、高度、距离这类词语时，一般代表图形内存在直角，可直接构建直角三角形。 2.几个经典应用模型 这类题型依托墙面、地面、树木等垂直物体，天然形成直角三角形，是考试常考内容。 第一类高度距离模型： 常见考题有求旗杆高度、树木高度、楼台之间距离、斜坡总长。 解题思路：竖直线段和水平线段互相垂直，直接组成直角三角形，将已知边长代入勾股定理计算即可。 图中包含旗杆高度、地面水平长度、测绳三条线段，三条线段构成直角三角形。 第二类图形折叠模型： 核心规律：折叠前后重合的对应边长度相等，对应角度大小相等。 解题技巧：设所求线段长度为未知数，根据折叠的等量关系用未知数表示其余边长，结合勾股定理列出方程求解。 第三类方位航海行走模型： 包含行人行走路线、船只航海路线、方位角相关计算。地理中东西走向与南北走向互相垂直，能直接形成直角三角形，以此建立模型，计算两点之间的直线距离。 以港口为坐标原点，区分正北、正东两个垂直方向，标注两段航行路程，两条路程作为直角边，直线距离为斜边。 知识点06 立体图形平面展开图——最短路径问题 解题核心思路 立体图形无法直接求两点间最短距离，步骤统一： 1.把立体侧面/表面展开为完整平面图形； 2.根据“两点之间，线段最短”连接两点，这条线段就是最短路径； 3.线段、立体边长构成直角三角形，使用勾股定理计算线段长度。 常见三类模型说明： 模型①圆柱侧面最短路径 1.图形构成：圆柱，底面圆周一点A，上底面边缘一点B； 2.展开方式：沿圆柱母线剪开侧面，得到长方形； 3.直角三角形两条直角边：圆柱高、底面圆周长的一半； 模型②阶梯型最短路径 1.图形构成：多层阶梯，起点在阶梯左下角，终点在阶梯右上角； 2.展开方式：将阶梯横向、纵向线段平移拉直，拼成大长方形； 3.直角三角形两条直角边：所有台阶高度之和、所有台阶宽度之和； 模型③长方体表面最短路径 1.图形构成：长方体，顶点A、对角顶点F； 2.展开方式：分三种不同展开方式，得到三组不同直角边，分别算长度再取最小值； 三组直角边组合：①长+宽、高；②长+高、宽；③宽+高、长； 题型01 判断勾股数 【例1】在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】解：A．，不是勾股数； B、C、D组分别满足，，，均为勾股数． 【例2】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 根据勾股定理可得正方形的面积等于正方形的面积， 正方形的面积等于正方形的面积， 正方形的面积等于正方形的面积， ∴大正方形的面积． 【变式1-1】下列各组数中，不是勾股数的一组是（    ） A．7，24，25 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，15，17 【答案】B 【详解】解：A、，是勾股数，不符合要求； B、，，，不满足条件，不是勾股数，符合要求； C、，是勾股数，不符合要求； D、，是勾股数，不符合要求． 【变式1-2】下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．7，8，10 B．8，24，25 C．5，12，13 D．5，10，13 【答案】C 【详解】解：选项A中， ， ，，故A不符合题意． 选项B中， ，，，故B不符合题意． 选项C中，，，即，且三个数均为正整数，故C符合题意． 选项D中， ，，，故D不符合题意． 【变式1-3】勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五．”有一组勾股数，已知其中的两个数分别是5和13，则第三个数是__________． 【答案】12 【详解】解：设第三个数为， 分两种情况讨论： 当为斜边时，为直角边，由勾股定理得：， 变形得， 因为是正整数，所以，符合勾股数的定义； 当为直角边时，为斜边，由勾股定理得：， 因为不是完全平方数，不是正整数，不符合题意，舍去； 综上，第三个数是． 题型02 勾股定理解三角形 【例3】如图，在中，，于，，，则为___． 【答案】6 【详解】解：∵，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）． 【例4】如图，在中，于点，，，高，求的长． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，． 【变式2-1】如图，四边形的面积为26，，，，，则______． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，设边上的高为， 则， 即，解得； ∵， ∴， 根据垂线段最短可知，当且仅当时，为边上的高， ∴， 在中，由勾股定理得. 【变式2-2】已知：如图，在中，，，垂足为D，，，求的面积和线段的长． 【答案】，． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴, 解得． 【变式2-3】如图，在四边形中，，，，，求的长． 【答案】24 【详解】解：∵在中，，，， ∴． ∵在中，，， ∴． 题型03 定理与网格问题 【例5】如图，网格中小正方形的边长为，点都在格点（网格线的交点）上，以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，， ∵， ∴． 【例6】如图，在由的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)的边_______，_______； (2)在所给的网格图中作出线段，其中点D在格点上，且． 【答案】(1)7；5 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：由图形可知，、； （2）解：如图，线段即为所求， 由勾股定理得：． 【变式3-1】如图，在正方形网格图中，每个网格小正方形的边长都为1，的三个顶点均在网格点上，则的周长等于__________． 【答案】 【详解】解：根据勾股定理可得，， ， ， 则的周长， 故答案为：． 【变式3-2】如图，在中，，，三边的长分别为，求这个三角形的面积. 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需要的高，借用网格就能计算出它的面积.．    (1)的面积为___________； (2)如果三边的长分别为，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点，并直接写出的面积为___________，边的高___________． 【答案】(1)的面积是； (2)7，． 【分析】 【详解】（1）解：的面积是，理由是：      ， 故答案为：； （2）解：如图2的，    ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出格点三角形，难度不是很大． 【变式3-3】在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），根据，再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法． (1)的面积为_____； (2)若三边的长分别为，请在图2的正方形网格中画出相应的，并利用构图法求出它的面积． 【答案】(1) (2) 解：如图所示： 它的面积为3 【分析】 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， ． 题型04 勾股定理与折叠问题 【例7】宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调，匀称的美感．世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果都采用了黄金矩形设计，如图希腊的帕特农神庙等．我们可以通过折叠得到一个黄金矩形．正确的折叠顺序是（） A．①②③④ B．④③①② C．①④③② D．④①③② 【答案】C 【分析】 【详解】解：由图可知，正确的折叠顺序是①④③②． 根据题意，设． ∵四边形正方形， ∴． 根据折叠易得，点A是的中点，则． ∴． 根据折叠可知，则， ∴， ∴矩形是黄金矩形． 故选C． 【例8】如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 【答案】 【详解】解：∵将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，， ∴，， ∴， ∵再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式4-1】如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：设， 由折叠可知，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴， 由折叠可知：， ∵矩形中， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：B． 【变式4-2】如图的实线部分是由 经过两次折叠得到的，首先将 沿 BD 折叠，使点 落在斜边上的点 处，再沿DE折叠，使点A落在的延长线上的点 处．若图中，，，求 的长．    【答案】的长为cm 【详解】解：由题意可得：是直角三角形，， 由折叠的性质得：，，， ∵ ∴，， ∴， ∵的面积， ∴（cm）； 故答案为：cm． 【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等面积法求高，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 【变式4-3】如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是__________． 【答案】/ 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 题型05 勾股定理的实际应用问题 【例9】如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】米 【详解】解：在中，米，米，米， ， 是直角三角形， ， ， 在中，米，米， （米）， （米）． 【例10】国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的智能新时代．如图是一块四边形的空地，现在计划对这块空地进行改造，工作人员利用机器人对空地进行测量．通过测量得知，这块空地的，求这块空地的面积． 【答案】这块空地的面积为 【详解】解：在中，， ∴， ； 在中，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； ∴， 答：这块空地的面积为． 【变式5-1】如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当吸管垂直于底面时，在罐内部分长度最短，此时 ． 当吸管底端接触底面边缘时，在罐内部分长度最长，此时吸管、圆柱高、底面半径构成直角三角形． 由勾股定理得 ． 则 的取值范围是 ． 【变式5-2】如图，两个小滑块A、B由一根连杆连接，A、B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．开始时滑块A距O点，滑块B距O点．那么滑块A向下滑动时，求滑块B向外滑动了多少？（结果精确到，其中，） 【答案】 【详解】解：由题意得：， 设滑动后点A、B的对应位置是， 由勾股定理得，（）， 当滑块A向下滑6厘米时，（）， ∴（）， ∴滑块B滑动的距离为：（）． 【变式5-3】如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 【答案】(1) (2)未超速，理由如下， 如图，，过点作于点， 在中，， ∴ ∵卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为， ∴卡车在该路段行驶过程中的速度为， ∴卡车未超速 【分析】 【详解】（1）解：∵、，， ∴是直角三角形，且 设楼到的距离为， ∴ ∴ （2）略 题型06 利用勾股定理求最短路径问题 【例11】如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点B在顶点A正上方处．用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B开始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（     ） A．38 B．28 C． D． 【答案】A 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 【例12】如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 【答案】 【详解】解：情况一：米，米， 米； 情况二：米，米， 米； 情况三：米，米， 米； ， 这根软管的最短长度是米． 【变式6-1】如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为4，是上底的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到，则爬行的最短距离是________． 【答案】5 【详解】解：如图，圆柱体的侧面展开图如下，蚂蚁从点出发，沿着线段爬行时，距离最短； 由题意知，，为圆柱体底面周长的一半，即， ∴， 即爬行的最短距离是． 【变式6-2】如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将蚂蚁经过的表面展开如下： 由题意可知，，， 由勾股定理可得，． 【变式6-3】如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 【答案】13 【分析】 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点B最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得，， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是； 故答案为：13 题型07 勾股定理及逆定理的综合问题 【例13】如图，四边形，，，，．    (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：如图：连接，   ， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴ （2）四边形的面积为：． 【例14】如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)的长为5； (2)四边形的面积为36 【分析】 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：在中，由于，即， ∴是直角三角形， ∴． 【变式7-1】如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】C 【详解】 解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积为 ． 【变式7-2】如图，四边形中，，，，．求四边形的面积． 【答案】33 【详解】解：连接， 在中，，， 根据勾股定理得：，， ，， ， 为直角三角形，即， ． 【变式7-3】如图，在四边形中，，，，．如果，判断与是否也垂直，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【详解】解：．理由如下： ∵，即， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 题型08 勾股定理验证及应用问题 【例15】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：， 且， ， ． （2）解：由题意设， ， ． ， ． 在中， 在中， ， 解得， ， ． ． 【例16】【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， 观察图形可知：， ∴， ∴； （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，设， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即的值为． 【变式8-1】【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，点与点重合，点，，在一条直线上，连接， 的三边长分别为，，，利用四边形的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理． (1)①根据梯形面积公式得到：；根据面积求和得到：________（用含a，b，c的式子表示）； ②利用面积的等量关系，整理得出：________； (2)【探究】童童将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止，如图2所示，与交于点．童童在图2中也尝试利用四边形的面积对勾股定理进行证明．请你帮助她完成证明过程； (3)【应用】在图2的基础上，若四边形的面积为112.5，的长为9，求的长． 【答案】(1)； (2) 证明：连接，， ， 如图1所示：，则由平移的性质可得在图2中， ∴ ， ∴， 整理可得：； (3) 【分析】 【详解】（1）解：①； ②： ； （2）略； （3）解：∵， ∴ ∴， 解得：或（舍去）， ∴在中，． 【变式8-2】回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】 【详解】（1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积大正方形面积， 故答案为：； （3）根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （4）如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 【变式8-3】如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为和，斜边长为，图2是以为直角边的等腰直角三角形，用图1和图2可拼成图3的图形． (1)请指出图3是什么图形，并用它证明勾股定理； (2)请用若干个图1中的直角三角形拼成一个能证明勾股定理的图形（画出图形，不用证明）． 【答案】(1) 解：是直角梯形； 由图可知梯形的面积公式可知，梯形的面积 从图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积和，即， ∴ 整理得：． (2) 解：将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示： 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 1．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 梯子的顶端距地面为． 2．下列各组数分别是一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（     ） A．6，7，8 B．7，15，16 C．13，5，12 D．10，15，20 【答案】C 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故此选项错误； B、，不能构成直角三角形，故此选项错误； C、，能构成直角三角形，故此选项正确； D、，不能构成直角三角形，故此选项错误． 3．如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（     ） A．4 B．3 C．22 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：∵以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．在中，，垂直交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 5．如图，在直角三角形中，，，，折叠的一角，使点B与点A重合，展开后得折痕，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接， 设，则， 由折叠知，， 在中，，， ，则， ， 则的长是． 6．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 【答案】 【详解】解：，，， ∴在点、、中，到点的距离为的是点． 7．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：根据折叠的性质得到，， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 8．如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 【答案】5 【详解】解：设，由翻折的性质可知，则， 是的中点， ． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 即． 9．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 【答案】15 【详解】解：如图，作于点， 则，， 在中，由勾股定理可得． 10．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？ 【答案】E应建在距A处 【详解】解：设，则， ∵于A，于B， ∴，， ∵C、D两村到E站的距离相等，即， ∴， ∴， 解得， ∴E应建在距A处． 11．如图，，，，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【详解】略 12．某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．求供水点M到喷泉A的距离； 【答案】 【详解】解：的长是点到的距离， ， ， 在中，， ； ， ， 在中，， ， 答：供水点到喷泉的距离为． 1．如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则_____；的长为_____． 【答案】 【详解】解：在中，， ， 由折叠可知，， ； 在中，，，， ， 由折叠可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：； 2．如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 【答案】(1) (2)第个勾股数组为 ． 证明：由题意可知：第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是， 令， ， ， 则 ， 即， 所以 是满足上述规律的第个勾股数组． (3)的值为 【分析】 【详解】（1）由，，的规律可知：下一个等式是， 则对应的勾股数组是； （2）略 （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组， 故令，则， ∴，， ∴，， 解得：(负值舍去)，， ∴，， 此时，符合题意， 所以，的值为 3．如图，教室地面放着一个课桌，桌面与地面平行，点到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．图1中，一扫帚的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． (1)求课桌的高度； (2)在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点重合，另一端挂在墙上的点处．若，彩带比桌宽长，求桌宽的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点， 由题意可知，， ∵桌面与地面平行， ∴， 在中，由勾股定理得， 答：课桌的高度为； （2）解：如图②，延长交墙面于点，则， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， 答：桌宽的长度为． 4．《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数： 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 … 4，3，5 n，15，17 12，p，37 16，63，65 … 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 … m，8，10 10，24，26 14，48，50 18，80，82 … (1)请补全上表中的勾股数：________，________，________． (2)我们把顶点均在正方形网格格点上的多边形叫做格点多边形． ①已知格点三边长度为、、，计算的面积． ②请在下面的网格中画出三边长度为、、的格点三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)6，8，35 (2)①24；② 【分析】 【详解】（1）解：∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； ∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； ∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； （2）解：①的面积； ②略 5．我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 【答案】(1)证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴， ∴， ∴． (2)48 (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，， ∴，，， ∴ ． （3）解：如图，延长交于点， ∵正方形的边长为10， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴在中，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理复习讲义 教学目标 1.熟记勾股定理及变形公式，掌握三种经典面积证法，会识别基础勾股数并灵活拓展。 2.熟练运用逆定理通过边长判断三角形类型，掌握数转形的数形结合解题思想。 3.能建立直角三角形模型解决高度、折叠、航海等实际应用题，规范列方程计算。 4.掌握立体图形展开求最短路径的步骤，分情况讨论长方体三种展开方案并比较大小。 教学重难点 重点： 1.勾股定理公式与变形，逆定理判定三角形形状，勾股数定义与同倍放大拓展规律。 2.折叠、高度、方位三类实际应用题建模，设未知数列方程求解线段长度的方法。 3.圆柱、阶梯、长方体表面展开，利用两点之间线段最短结合勾股算最短路径。 难点： 1.立体图形多方式展开容易漏情况，长方体三种展开直角边组合计算易算错最小值。 2.折叠题型等量关系难找，无法借助折叠边长相等完成设元，方程构建存在障碍。 3.逆定理使用忽略先找最长边，混淆锐角、直角、钝角三角形边长平方的大小关系。 知识点01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 即在中，直角边长为，斜边长为，则： 重要说明： 1.勾股定理只适用于直角三角形，刻画直角三角形三边的数量关系。 2.数形结合思想：已知直角三角形边长，可设未知边列方程求解线段长度。 3.常用变形公式 ，， 定理三大应用 1.已知直角三角形任意两条边长，求出第三条边长； 2.证明含有平方关系的线段等式； 3.在数轴上作出长度为（为正整数）的无理数线段。 知识点02 勾股定理经典三种证明方法 1.邹元治证法（内弦图） 用四个全等直角三角形拼接成大正方形，通过大正方形面积=小正方形面积+4个直角三角形面积，即，化简推出。 2.赵爽弦图（外弦图） 四个全等直角三角形围成大正方形，中间形成小正方形，利用面积相等，化简推出。 3.梯形证法 两个全等直角三角形与一个等腰直角三角形拼成直角梯形，梯形面积等于三个三角形面积之和，即，化简推出。 知识点03 勾股数 1.定义：能作为直角三角形三边的三个正整数叫做勾股数。 2.满足条件：1.三个数都是正整数；2.两小数平方和等于最大数平方。 3.拓展：一组勾股数同乘正整数，结果仍是勾股数。 知识点04 勾股定理的逆定理 1.定义：三角形三边满足，该三角形为直角三角形。 2.作用：依靠边长数值判断三角形形状，实现由数判形。 判定步骤：①找出三边里最长边；②计算短边平方和与最长边平方并对比； ③为直角三角形；小于则钝角；大于则锐角。 知识点05 勾股定理实际应用 1.核心解题思想：数学建模 核心逻辑是将生活中的实际问题转化为直角三角形几何模型，借助勾股定理求出未知线段长度。 完整解题步骤分为六步，依次为阅读题目、绘制对应示意图、找到图形中的直角、标注已知线段长度、列出勾股定理关系式、计算数值并规范作答。 题目中出现垂直、水平、最短、折叠、高度、距离这类词语时，一般代表图形内存在直角，可直接构建直角三角形。 2.几个经典应用模型 这类题型依托墙面、地面、树木等垂直物体，天然形成直角三角形，是考试常考内容。 第一类高度距离模型： 常见考题有求旗杆高度、树木高度、楼台之间距离、斜坡总长。 解题思路：竖直线段和水平线段互相垂直，直接组成直角三角形，将已知边长代入勾股定理计算即可。 图中包含旗杆高度、地面水平长度、测绳三条线段，三条线段构成直角三角形。 第二类图形折叠模型： 核心规律：折叠前后重合的对应边长度相等，对应角度大小相等。 解题技巧：设所求线段长度为未知数，根据折叠的等量关系用未知数表示其余边长，结合勾股定理列出方程求解。 第三类方位航海行走模型： 包含行人行走路线、船只航海路线、方位角相关计算。地理中东西走向与南北走向互相垂直，能直接形成直角三角形，以此建立模型，计算两点之间的直线距离。 以港口为坐标原点，区分正北、正东两个垂直方向，标注两段航行路程，两条路程作为直角边，直线距离为斜边。 知识点06 立体图形平面展开图——最短路径问题 解题核心思路 立体图形无法直接求两点间最短距离，步骤统一： 1.把立体侧面/表面展开为完整平面图形； 2.根据“两点之间，线段最短”连接两点，这条线段就是最短路径； 3.线段、立体边长构成直角三角形，使用勾股定理计算线段长度。 常见三类模型说明： 模型①圆柱侧面最短路径 1.图形构成：圆柱，底面圆周一点A，上底面边缘一点B； 2.展开方式：沿圆柱母线剪开侧面，得到长方形； 3.直角三角形两条直角边：圆柱高、底面圆周长的一半； 模型②阶梯型最短路径 1.图形构成：多层阶梯，起点在阶梯左下角，终点在阶梯右上角； 2.展开方式：将阶梯横向、纵向线段平移拉直，拼成大长方形； 3.直角三角形两条直角边：所有台阶高度之和、所有台阶宽度之和； 模型③长方体表面最短路径 1.图形构成：长方体，顶点A、对角顶点F； 2.展开方式：分三种不同展开方式，得到三组不同直角边，分别算长度再取最小值； 三组直角边组合：①长+宽、高；②长+高、宽；③宽+高、长； 题型01 判断勾股数 【例1】在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各组数中，不是勾股数的一组是（    ） A．7，24，25 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，15，17 【变式1-2】下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．7，8，10 B．8，24，25 C．5，12，13 D．5，10，13 【变式1-3】勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五．”有一组勾股数，已知其中的两个数分别是5和13，则第三个数是__________． 题型02 勾股定理解三角形 【例3】如图，在中，，于，，，则为___． 【例4】如图，在中，于点，，，高，求的长． 【变式2-1】如图，四边形的面积为26，，，，，则______． 【变式2-2】已知：如图，在中，，，垂足为D，，，求的面积和线段的长． 【变式2-3】如图，在四边形中，，，，，求的长． 题型03 定理与网格问题 【例5】如图，网格中小正方形的边长为，点都在格点（网格线的交点）上，以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【例6】如图，在由的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)的边_______，_______； (2)在所给的网格图中作出线段，其中点D在格点上，且． 【变式3-1】如图，在正方形网格图中，每个网格小正方形的边长都为1，的三个顶点均在网格点上，则的周长等于__________． 【变式3-2】如图，在中，，，三边的长分别为，求这个三角形的面积. 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需要的高，借用网格就能计算出它的面积.．    (1)的面积为___________； (2)如果三边的长分别为，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点，并直接写出的面积为___________，边的高___________． 【变式3-3】在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），根据，再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法． (1)的面积为_____； (2)若三边的长分别为，请在图2的正方形网格中画出相应的，并利用构图法求出它的面积． 题型04 勾股定理与折叠问题 【例7】宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调，匀称的美感．世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果都采用了黄金矩形设计，如图希腊的帕特农神庙等．我们可以通过折叠得到一个黄金矩形．正确的折叠顺序是（） A．①②③④ B．④③①② C．①④③② D．④①③② 【例8】如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 【变式4-1】如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图的实线部分是由 经过两次折叠得到的，首先将 沿 BD 折叠，使点 落在斜边上的点 处，再沿DE折叠，使点A落在的延长线上的点 处．若图中，，，求 的长．    【变式4-3】如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是__________． 题型05 勾股定理的实际应用问题 【例9】如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【例10】国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的智能新时代．如图是一块四边形的空地，现在计划对这块空地进行改造，工作人员利用机器人对空地进行测量．通过测量得知，这块空地的，求这块空地的面积． 【变式5-1】如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，两个小滑块A、B由一根连杆连接，A、B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．开始时滑块A距O点，滑块B距O点．那么滑块A向下滑动时，求滑块B向外滑动了多少？（结果精确到，其中，） 【变式5-3】如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 题型06 利用勾股定理求最短路径问题 【例11】如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点B在顶点A正上方处．用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B开始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（     ） A．38 B．28 C． D． 【例12】如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 【变式6-1】如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为4，是上底的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到，则爬行的最短距离是________． 【变式6-2】如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 题型07 勾股定理及逆定理的综合问题 【例13】如图，四边形，，，，．    (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【例14】如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【变式7-1】如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 【变式7-2】如图，四边形中，，，，．求四边形的面积． 【变式7-3】如图，在四边形中，，，，．如果，判断与是否也垂直，并说明理由． 题型08 勾股定理验证及应用问题 【例15】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 【例16】【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【变式8-1】【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，点与点重合，点，，在一条直线上，连接， 的三边长分别为，，，利用四边形的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理． (1)①根据梯形面积公式得到：；根据面积求和得到：________（用含a，b，c的式子表示）； ②利用面积的等量关系，整理得出：________； (2)【探究】童童将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止，如图2所示，与交于点．童童在图2中也尝试利用四边形的面积对勾股定理进行证明．请你帮助她完成证明过程； (3)【应用】在图2的基础上，若四边形的面积为112.5，的长为9，求的长． 【变式8-2】回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【变式8-3】如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为和，斜边长为，图2是以为直角边的等腰直角三角形，用图1和图2可拼成图3的图形． (1)请指出图3是什么图形，并用它证明勾股定理； (2)请用若干个图1中的直角三角形拼成一个能证明勾股定理的图形（画出图形，不用证明）． 1．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 2．下列各组数分别是一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（     ） A．6，7，8 B．7，15，16 C．13，5，12 D．10，15，20 3．如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（     ） A．4 B．3 C．22 D．不能确定 4．在中，，垂直交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在直角三角形中，，，，折叠的一角，使点B与点A重合，展开后得折痕，则的长是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 7．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 8．如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 9．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 10．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？ 11．如图，，，，，试判断的形状，并说明理由． 12．某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．求供水点M到喷泉A的距离； 1．如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则_____；的长为_____． 2．如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 3．如图，教室地面放着一个课桌，桌面与地面平行，点到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．图1中，一扫帚的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． (1)求课桌的高度； (2)在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点重合，另一端挂在墙上的点处．若，彩带比桌宽长，求桌宽的长度． 4．《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数： 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 … 4，3，5 n，15，17 12，p，37 16，63，65 … 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 … m，8，10 10，24，26 14，48，50 18，80，82 … (1)请补全上表中的勾股数：________，________，________． (2)我们把顶点均在正方形网格格点上的多边形叫做格点多边形． ①已知格点三边长度为、、，计算的面积． ②请在下面的网格中画出三边长度为、、的格点三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 5．我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $