6.2 用频率估计概率 同步讲义 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

本讲义聚焦“用频率估计概率”核心知识点，系统梳理频率稳定性定理（大量重复试验中频率趋近概率），明确用频率估计概率的条件（结果无限或可能性不等），并介绍模拟试验（替代实物实验省时省力），构建从理论到应用的学习支架。 该资料特色在于结合生活实例（如二维码阴影面积、摸球试验），通过典例与变式题设计，培养抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和数据观念（数学语言）。课中助力教师引导学生建立知识联系，课后通过过关验收帮助学生巩固应用，查漏补缺。

6.2 用频率估计概率 内 容 导 航 题型1 利用频率估计概率 题型2 模拟试验 考 点 演 练 题型1 利用频率估计概率 解｜题｜知｜识 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【典例1】如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为2cm的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据． 由此可估计不规则图案的面积大约为（　　） A．1.36cm2 B．1.08cm2 C．1.2cm2 D．2cm2 【答案】C 【解答】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.3，于是把0.3作为概率． 设不规则图案的面积为xcm2，则有， 解得：x＝1.2， 即不规则图案的面积为1.2cm2． 故选：C． 【变式1】二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为10cm×10cm的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A．60cm2 B．120cm2 C．0.6cm2 D．36cm2 【答案】A 【解答】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右， ∴点落在黑色阴影的概率为0.6， ∴黑色阴影的面积占整个面积的0.6， ∴黑色阴影的面积为10×10×0.6＝60（cm2）． 故选：A． 【变式2】一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.6，则绿球的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解答】解：设绿球的个数为x， 根据题意，得：0.6， 解得x＝6， 经检验：x＝6是分式方程的解， ∴袋中绿球的个数为6， 故选：C． 【变式3】某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（　　） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】B 【解答】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小小明随机出的是“石头”的概率为，不符合题意； D、袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率，不符合题意； 故选：B． 题型2 模拟试验 解｜题｜知｜识 （1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验． （2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果． （3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可． 【典例1】在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．30个 【答案】A 【解答】解：∵共摸了40次，其中10次摸到黑球， ∴有30次摸到白球， ∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3， ∴盒子中黑球和白球个数之比为1：3， 故盒子中大约有白球：412（个）． 故选：A． 【变式1】某人在做抛掷硬币试验中，抛掷n次，正面朝上有m次，若正面朝上的频率是P，则下列说法正确的是（　　） A．P一定等于0.5 B．多投一次，P更接近0.5 C．P一定不等于0.5 D．投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近 【答案】D 【解答】解：根据频率和概率的关系可知，投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近正确， 故选：D． 【变式2】为验证“掷一枚质地均匀的骰子，标有数字1的面朝上的概率是．”某同学做了下面两个模拟实验：①取一枚崭新的质地均匀的骰子，在平滑的地面上做反复掷投实验，计算标有数字1的面朝上次数与总掷投次数的比值； ②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成六份，并依次标上数字1，2，3，4，5，6，转动转盘，计算指针落在标有数字1区域的次数与总次数的比值（指针落在分界线不计）．你认为下面说法正确的是（　　） A．实验①科学 B．实验②科学 C．两个实验都不科学 D．两个实验都科学 【答案】D 【解答】解：①取一枚崭新的质地均匀的骰子，在平滑的地面上做反复掷投实验，标有数字1的面朝上的概率是； ②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成六份，并依次标上数字1，2，3，4，5，6，转动转盘，指针落在标有数字1区域的概率是； 两个实验都科学． 故选：D． 【变式3】在作图钉落地的试验中，正确的是（　　） A．甲做了4000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4001次时，针尖肯定不会触地 B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度 C．老师安排每位同学回家做试验，图钉自由选取 D．老师安排同学回家做试验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要 【答案】B 【解答】解：A、在做第4001次时，针尖可能触地，也可能不触地，故错误，不符合题意； B、符合模拟试验的条件，正确，符合题意； C、应选择相同的图钉，在类似的条件下试验，故错误，不符合题意； D、所有的试验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意； 故选：B． 过 关 验 收 1．在2025年秋季《国家学生体质健康标准》测试数据上报中，太谷区为从中了解我区初中生体质健康水平，便在全区的测试数据中随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对我区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（　　） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.90 0.93 0.90 0.89 0.90 0.91 0.91 0.92 0.92 A．0.92 B．0.93 C．0.903 D．0.90 【答案】A 【解答】解：根据抽测结果，对该市初中生体质健康合格的概率的估计最合理的是0.92， 故选：A． 2．数学小组做“用频率估计概率”的试验时，为了统计试验结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，符合这一结果的试验最有可能的是（　　） A．掷一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是偶数 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小丽随机出的是“剪刀” C．袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外完全相同，从中任取一球是黄球 D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃 【答案】A 【解答】解：A、掷一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是偶数概率为，符合这一结果，故此选项符合题意； B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小丽随机出的是“剪刀”的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意； C、袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外完全相同，从中任取一球是黄球的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意； D、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．用频率估计概率，可以发现抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5，那么掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（　　） A．每两次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上 C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面 【答案】B 【解答】解：抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5， 那么掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上， 故选：B． 4．一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在25%，那么估计盒子中“元旦”主题贺卡有（　　） A．3张 B．15张 C．5张 D．10张 【答案】C 【解答】解：∵一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在25%， ∴25%×20＝5（张）， 故选：C． 5．在一个不透明的袋子里，装有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同．将袋子里的球摇匀，随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，统计发现，摸到白球的概率为0.2，由此估计袋子里黑球的个数是（　　） A．24个 B．30个 C．20个 D．14个 【答案】A 【解答】解：设黑球有x个， 根据题意得：0.2， 解得：x＝24， 经检验：x＝24是分式方程的解， 所以估计袋子里黑球的个数是24个． 故选：A． 6．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是0.618 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是0.620 【答案】C 【解答】解：A、当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，“钉尖向上”的频率是0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故该选项不符合题意； B、由图可知，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．但不代表投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是0.618，故该选项不符合题意； C、随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故该选项符合题意； D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故该选项不符合题意．． 故选：C． 7．在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黄球可能有（　　） A．16个 B．24个 C．28个 D．32个 【答案】B 【解答】解：∵小红通过多次摸球试验后发现，估计摸到白球的概率为0.4， ∴白球的个数为40×0.4＝16， 即布袋中黄球可能有40﹣16＝24（个）． 故选：B． 8．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区200名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下： 组别（cm） x＜160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180 人数 10 m n 42 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（　　） A．0.42 B．0.21 C．0.79 D．与m，n的取值有关 【答案】B 【解答】解：样本中身高不低于180cm的频率0.21， 所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于180cm的概率是0.21． 故选：B． 9．在一个不透明的盒子里装有6个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.2左右，则估计盒子中大约有　　 个白色乒乓球． 【答案】24． 【解答】解：设白色乒乓球有x个， ， 0.2（6+x）＝6， 解得x＝24， 经检验x＝24是原方程的解， ∴估计盒子中大约有24个白色乒乓球， 故答案为：24． 10．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 50 100 200 500 1000 “射中9环以上”的次数 15 41 78 158 405 801 “射中9环以上”的频率 0.75 0.82 0.78 0.79 0.81 0.80 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“命中9环以上”的概率为 　　 ． 【答案】0.8． 【解答】解：根据表格数据可知：根据频率稳定在0.8， 所以估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为0.8． 故答案为：0.8． 11．一个不透明的袋子中装有除颜色外都相同的9枚白球和若干黑球，进行有放回的随机摸取，每次摸取一球并记录结果．如图是某小组做“用频率估计概率”的摸球试验时，绘制的白球出现的频率分布折线图，由此可估计袋子中有 　　 枚黑球． 【答案】21 【解答】解：由折线统计图可得出白球的频率在0.3左右波动， ∴小球的总数＝9÷0.3＝30（枚）， ∴黑球的个数＝30﹣9＝21（枚）， 故答案为：21． 12．如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为10cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积的为　　 cm2． 【答案】75． 【解答】解：可以估计黑色部分的总面积为10×10×0.75＝75（cm2）， 故答案为：75． 13．一个盒子中装有a个白球和6个红球，这些球除颜色外完全相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在60%，估计a的值为 　　 ． 【答案】9． 【解答】解：由题意可得，60%， 解得，a＝9． 经检验，a＝9是分式方程的解且符合题意， 故答案为：9． 14．小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为9m2的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如表（石子不会落在矩形外和各区域边缘）： 投石子的总次数 50次 150次 300次 600次 石子落在空白区域内的次数 14次 85次 199次 400次 石子落在空白区域内的频率 依此估计空白部分的面积可能是　　 m2． 【答案】6． 【解答】解：根据统计表，可得石子落在空白部分的概率为， ∴空白部分的面积＝96（m2）， 故答案为：6． 15．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 a 0.6013 （1）表中a＝　　 ； （2）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 　　 （精确到0.1）； （3）估计袋子中有白球 　　 个； （4）若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 　　 个． 【答案】（1）0.6025； （2）0.6； （3）30（个）； （4）10（个）． 【解答】解：（1）a＝4820÷8000＝0.6025； 故答案为：0.6025； （2）当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6； 故答案为：0.6； （3）估计袋子中有白球50×（1﹣0.6）＝20（个）； 故答案为：20； （4）由每次摸到黑球的可能性大小为，即黑球个数等于白球个数， 得可在袋子中增加相同的白球＝30﹣20＝10（个）． 故答案为：10． 16．在掷硬币的试验中，正确的是（　　） A．老师安排每位同学回家做试验，硬币自由选取 B．老师安排同学回家做试验，硬币统一发（完全一样的）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要 C．甲做了2000次，得出正面向上的机率是46%，于是他断定在做第2001次时，正面不会向上 D．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大量完全一样的硬币，随意朝上轻轻抛出，然后统计正面向上的次数，这样大大提高了速度 【答案】D 【解答】解：A、应选择相同的硬币，在类似的条件下试验，故错误，不符合题意； B、所有的试验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意； C、在做第2001次时，正面由可能向上，也有可能向下，故错误，不符合题意； D、符合模拟试验的条件，正确，符合题意． 故选：D． 17．下列模拟掷硬币的实验不正确的是（　　） A．用计算器随机地取数，取奇数相当于下面朝上，取偶数相当于硬币正面朝下 B．袋中装两个小球，分别标上1和2，随机地摸，摸出1表示硬币正面朝上 C．在没有大小王的扑克中随机地抽一张牌，抽到红色牌表示硬币正面朝上 D．将1、2、3、4、5分别写在5张纸上，并搓成团，每次随机地取一张，取到奇数号表示硬币正面朝上 【答案】D 【解答】解：A、用计算器随机地取数，取奇数相当于下面朝上，取偶数相当于硬币正面朝下，正确，不合题意； B、袋中装两个小球，分别标上1和2，随机地摸，摸出1表示硬币正面朝上，正确，不合题意； C、在没有大小王的扑克中随机地抽一张牌，抽到红色牌表示硬币正面朝上，正确，不合题意； D、将1、2、3、4、5分别写在5张纸上，并搓成团，每次随机地取一张，取到奇数号表示硬币正面朝上， 由于奇数与偶数个数不相同，故不能模拟掷硬币的实验，故符合题意． 故选：D． 18．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取两球，取到两个白球的概率 B．任意写一个正整数，它能被2整除的概率 C．抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率 D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 【答案】A 【解答】解：A、画树形图得： 所以从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取两球，取到两个白球的概率；故此选项正确； B、任意写一个整数，它能2被整除的概率为；故此选项错误； C、列表如下： 正 反 正 （正，正） （反，正） 反 （正，反） （反，反） 所以抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率，故此选项错误； D、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项错误； 故选：A． 19．如图，阴影部分是分别以正方形ABCD的顶点和中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．在正方形ABCD上做随机投针试验，针头落在阴影部分区域内的概率是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，令正方形的边长为2a， 则阴影部分的面积为2π•a2+2（a2π•a2）πa2+2a2πa2＝2a2， 所以针头落在阴影部分区域内的概率是． 故答案为：． 20．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.5左右，那么可以估算出m的值为　　 ． 【答案】12． 【解答】解：∵大量重复试验后，摸到红球的频率在0.5左右， ∴估计摸到红球的概率为0.5， 根据概率公式可得，m＝6÷0.5， 解得：m＝12． 故答案为：12． 21．正方形ABCD的边长为2，分别以四个顶点为圆心，以1为半径作弧形成如图所示的封闭图形（阴影部分）．在正方形ABCD上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是 　 　 （用含π的式子表示）． 【答案】． 【解答】解：∵正方形的面积为2×2＝4，阴影部分的面积为4﹣π， ∴在正方形ABCD上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 22．农科所通过大量重复实验，发现某农作物种子发芽的频率在0.8附近波动，则2000kg该种子发芽的大约有 　　 kg． 【答案】1600． 【解答】解：根据题意知，该种子未发芽的概率是0.8， ∴2000kg该种子发芽的大约有2000×0.8＝1600（kg）． 故答案为：1600． 23．社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是 　　 ．（填“黑球”或“白球”） 【答案】白球． 【解答】解：由图可知，摸出黑球的概率约为0.2， ∴摸出白球的概率约为0.8， ∴白球的个数比较多， 故答案为：白球． 24．如图，大圆半径为6，小圆半径为2，在如图所示的圆形区域中，随机撒一把豆子，多次重复这个实验，若把“豆子落在小圆区域A中”记作事件W，请估计事件W的概率P（W）的值　 ． 【答案】 【解答】解：∵大圆半径为6，小圆半径为2， ∴S大圆＝36π，S小圆＝4π， ∴P（W）， 故答案为：． 25．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出黑球次数 46 487 2506 5008 24996 50007 根据列表，可以估计出n的值是　 ． 【答案】n＝10 【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于0.5， ∴0.5， 解得：n＝10． 故答案为：10． 26．冬季移栽兰花苗对成活率有影响，苗木基地相同条件下实验数据如下：移栽10株有9株成活，移栽1000株有950株成活，则估计该兰花移栽成活的概率是　　 ． 【答案】0.95 【解答】解：估计该兰花移栽成活的概率是0.95， 故答案为：0.95． 27．已知，投掷一枚均匀的硬币，落地时正面或反面向上的可能性相同．有甲、乙两人做投硬币实验，他们分别投硬币100次，结果“正面向上”的次数为：甲60次、乙40次． （1）求甲、乙做投硬币实验“正面向上”的频率各是多少？ （2）若甲、乙同时做第101次投硬币实验，求“正面都向上”的概率． 【答案】（1），； （2）． 【解答】解：（1）甲的频率， 乙的频率； （2）两人同时投硬币实验一次，结果向上的有正正，正反，反正，反反4种， 其中正面都向上的1种， ∴P（正面都向上）． 28．在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，下表是试验得到的一组数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 摸到黑球的次数m 26 37 49 124 200 摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 a （1）表中a的值等于　　 ； （2）估算口袋中白球的个数； （3）用画树状图或列表的方法计算连续两名同学都摸出白球的概率． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可得：a＝200÷800＝0.25； 故答案为：0.25； （2）又表格中数据可得出，摸到黑球的频率稳定在0.25， 故1÷0.25﹣1＝3（个）， 答：口袋中白球的个数为3个； （3）画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况， ∴两次都摸到白球的概率为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2 用频率估计概率 内 容 导 航 题型1 利用频率估计概率 题型2 模拟试验 考 点 演 练 题型1 利用频率估计概率 解｜题｜知｜识 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【典例1】如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为2cm的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据． 由此可估计不规则图案的面积大约为（　　） A．1.36cm2 B．1.08cm2 C．1.2cm2 D．2cm2 【变式1】二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为10cm×10cm的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A．60cm2 B．120cm2 C．0.6cm2 D．36cm2 【变式2】一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.6，则绿球的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3】某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（　　） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 题型2 模拟试验 解｜题｜知｜识 （1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验． （2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果． （3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可． 【典例1】在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．30个 【变式1】某人在做抛掷硬币试验中，抛掷n次，正面朝上有m次，若正面朝上的频率是P，则下列说法正确的是（　　） A．P一定等于0.5 B．多投一次，P更接近0.5 C．P一定不等于0.5 D．投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近 【变式2】为验证“掷一枚质地均匀的骰子，标有数字1的面朝上的概率是．”某同学做了下面两个模拟实验：①取一枚崭新的质地均匀的骰子，在平滑的地面上做反复掷投实验，计算标有数字1的面朝上次数与总掷投次数的比值； ②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成六份，并依次标上数字1，2，3，4，5，6，转动转盘，计算指针落在标有数字1区域的次数与总次数的比值（指针落在分界线不计）．你认为下面说法正确的是（　　） A．实验①科学 B．实验②科学 C．两个实验都不科学 D．两个实验都科学 【变式3】在作图钉落地的试验中，正确的是（　　） A．甲做了4000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4001次时，针尖肯定不会触地 B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度 C．老师安排每位同学回家做试验，图钉自由选取 D．老师安排同学回家做试验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要 过 关 验 收 1．在2025年秋季《国家学生体质健康标准》测试数据上报中，太谷区为从中了解我区初中生体质健康水平，便在全区的测试数据中随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对我区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（　　） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.90 0.93 0.90 0.89 0.90 0.91 0.91 0.92 0.92 A．0.92 B．0.93 C．0.903 D．0.90 2．数学小组做“用频率估计概率”的试验时，为了统计试验结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，符合这一结果的试验最有可能的是（　　） A．掷一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是偶数 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小丽随机出的是“剪刀” C．袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外完全相同，从中任取一球是黄球 D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃 3．用频率估计概率，可以发现抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5，那么掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（　　） A．每两次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上 C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面 4．一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在25%，那么估计盒子中“元旦”主题贺卡有（　　） A．3张 B．15张 C．5张 D．10张 5．在一个不透明的袋子里，装有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同．将袋子里的球摇匀，随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，统计发现，摸到白球的概率为0.2，由此估计袋子里黑球的个数是（　　） A．24个 B．30个 C．20个 D．14个 6．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是0.618 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是0.620 7．在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黄球可能有（　　） A．16个 B．24个 C．28个 D．32个 8．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区200名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下： 组别（cm） x＜160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180 人数 10 m n 42 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（　　） A．0.42 B．0.21 C．0.79 D．与m，n的取值有关 9．在一个不透明的盒子里装有6个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.2左右，则估计盒子中大约有　　 个白色乒乓球． 10．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 50 100 200 500 1000 “射中9环以上”的次数 15 41 78 158 405 801 “射中9环以上”的频率 0.75 0.82 0.78 0.79 0.81 0.80 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“命中9环以上”的概率为 　　 ． 11．一个不透明的袋子中装有除颜色外都相同的9枚白球和若干黑球，进行有放回的随机摸取，每次摸取一球并记录结果．如图是某小组做“用频率估计概率”的摸球试验时，绘制的白球出现的频率分布折线图，由此可估计袋子中有 　　 枚黑球． 12．如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为10cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积的为　　 cm2． 13．一个盒子中装有a个白球和6个红球，这些球除颜色外完全相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在60%，估计a的值为 　　 ． 14．小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为9m2的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如表（石子不会落在矩形外和各区域边缘）： 投石子的总次数 50次 150次 300次 600次 石子落在空白区域内的次数 14次 85次 199次 400次 石子落在空白区域内的频率 依此估计空白部分的面积可能是　　 m2． 15．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 a 0.6013 （1）表中a＝　　 ； （2）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 　　 （精确到0.1）； （3）估计袋子中有白球 　　 个； （4）若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 　　 个． 16．在掷硬币的试验中，正确的是（　　） A．老师安排每位同学回家做试验，硬币自由选取 B．老师安排同学回家做试验，硬币统一发（完全一样的）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要 C．甲做了2000次，得出正面向上的机率是46%，于是他断定在做第2001次时，正面不会向上 D．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大量完全一样的硬币，随意朝上轻轻抛出，然后统计正面向上的次数，这样大大提高了速度 17．下列模拟掷硬币的实验不正确的是（　　） A．用计算器随机地取数，取奇数相当于下面朝上，取偶数相当于硬币正面朝下 B．袋中装两个小球，分别标上1和2，随机地摸，摸出1表示硬币正面朝上 C．在没有大小王的扑克中随机地抽一张牌，抽到红色牌表示硬币正面朝上 D．将1、2、3、4、5分别写在5张纸上，并搓成团，每次随机地取一张，取到奇数号表示硬币正面朝上 18．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取两球，取到两个白球的概率 B．任意写一个正整数，它能被2整除的概率 C．抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率 D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 19．如图，阴影部分是分别以正方形ABCD的顶点和中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．在正方形ABCD上做随机投针试验，针头落在阴影部分区域内的概率是 　　 ． 20．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.5左右，那么可以估算出m的值为　　 ． 21．正方形ABCD的边长为2，分别以四个顶点为圆心，以1为半径作弧形成如图所示的封闭图形（阴影部分）．在正方形ABCD上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是 　 　 （用含π的式子表示）． 22．农科所通过大量重复实验，发现某农作物种子发芽的频率在0.8附近波动，则2000kg该种子发芽的大约有 　　 kg． 23．社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是 　　 ．（填“黑球”或“白球”） 24．如图，大圆半径为6，小圆半径为2，在如图所示的圆形区域中，随机撒一把豆子，多次重复这个实验，若把“豆子落在小圆区域A中”记作事件W，请估计事件W的概率P（W）的值　 ． 25．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出黑球次数 46 487 2506 5008 24996 50007 根据列表，可以估计出n的值是　 ． 26．冬季移栽兰花苗对成活率有影响，苗木基地相同条件下实验数据如下：移栽10株有9株成活，移栽1000株有950株成活，则估计该兰花移栽成活的概率是　　 ． 27．已知，投掷一枚均匀的硬币，落地时正面或反面向上的可能性相同．有甲、乙两人做投硬币实验，他们分别投硬币100次，结果“正面向上”的次数为：甲60次、乙40次． （1）求甲、乙做投硬币实验“正面向上”的频率各是多少？ （2）若甲、乙同时做第101次投硬币实验，求“正面都向上”的概率． 28．在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，下表是试验得到的一组数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 摸到黑球的次数m 26 37 49 124 200 摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 a （1）表中a的值等于　　 ； （2）估算口袋中白球的个数； （3）用画树状图或列表的方法计算连续两名同学都摸出白球的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $