5.2 二次函数的图象 初中数学九年级上册同步讲义 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

本讲义聚焦初中数学二次函数的图象这一核心知识点，系统梳理从图象画法、性质（顶点、对称轴、增减性）到与系数关系、点坐标特征、三种形式、最值及待定系数法的完整脉络，构建从基础到应用的递进学习支架。 资料以分题型设计为亮点，每个题型配套“解题知识”模块助力知识内化，典例与变式题结合培养推理意识和模型意识，如分析系数关系提升抽象能力，课中辅助教学高效，课后验收练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

5.2 二次函数的图象 内 容 导 航 题型1 二次函数的图象 题型2 二次函数的性质 题型3 二次函数图象与系数的关系 题型4 二次函数图象上点的坐标特征 题型5 二次函数的三种形式 题型6 二次函数的最值 题型7 待定系数法求二次函数解析式 考 点 演 练 题型1 二次函数的图象 解｜题｜知｜识 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【典例1】一次函数y＝ax+c（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交点都为（0，c），故选项A不合题意； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，a的取值矛盾，故本选项不合题意； C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝﹣ax2﹣c的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵一次函数经过y轴上的（0，c），二次函数经过y轴上的（0，﹣c）， ∴两个函数图象交于y轴上的两点分布在原点两侧，故B、C、D选项错误； 故选：A． 【变式2】二次函数y＝2ax2+3bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax﹣b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为抛物线开口向下， 所以2a＜0， 即a＜0． 又因为抛物线的对称轴在y轴左侧， 所以， 所以b＜0， 则一次函数y＝ax﹣b的图象与y轴交于正半轴，且y随x的增大而减小， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 【变式3】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝4，则点M到直线l的距离为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【解答】解：由题意，令y＝0时， ∴x2+bx+c＝0． 又结合图象，方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4c＝0， 又设点M到直线l的距离为m， ∴A（xA，m），B（xB，m）． 令y＝m时， ∴x2+bx+c＝m． 又∵xA、xB是该方程的两个根， ∴xA+xB＝﹣b，xAxB＝c﹣m， ∵AB＝4， ∴，即， ∴b2﹣4（c﹣m）＝16． ∴4m＝16，即m＝4， ∴点M到直线l的距离为4， 故选：D． 题型2 二次函数的性质 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【典例1】抛物线y＝﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，1） 【答案】A 【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2﹣1为二次函数的顶点式， ∴由顶点式可知该抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）， 故选：A． 【变式1】关于二次函数y＝2（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线x＝﹣3 C．图象顶点坐标为（3，﹣1） D．当x＜3时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解答】解：关于二次函数y＝2（x﹣3）2+1， a＝2＞0，开口向上，A不符合题意； 对称轴为直线x＝3，B不符合题意； 顶点坐标为（3，1），C不符合题意； 当x＜3时，y随x的增大而减小，D符合题意； 故选：D． 【变式2】抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1） 【答案】D 【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1）， 故选：D． 【变式3】关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．与y轴交于点（0，3） C．对称轴是直线x＝1 D．x＞1时，y随x增大而增大 【答案】C 【解答】解：A、∵二次项系数为﹣2， ∴抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； B、当x＝0时，y＝﹣2（0﹣1）2+3＝1， ∴抛物线与y轴交于点（0，1），故B错误，不符合题意； C、∵y＝﹣2（x﹣1）2+3， ∴抛物线对称轴为直线x＝1，故C正确，符合题意； D、∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴x＞1时，y随x增大而减小，故D错误，不符合题意． 故选：C． 题型3 二次函数图象与系数的关系 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 【典例1】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＞0；④am2+bm＞a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示， 由抛物线开口向上，得a＞0；对称轴，得b＝﹣2a＜0；抛物线与y轴交于负半轴，得c＜0． ①abc＞0（a＞0，b＜0，c＜0，三数相乘为正），此结论正确； ②2a+b＝2a﹣2a＝0，此结论正确； ③当x＝3时，y＞0， ∴9a+3b+c＞0， 又∵ab， ∴a+3b+c＞0， 3b﹣2c＜0，此结论正确； ④顶点x＝1时函数取最小值，m＝1时am2+bm＝a+b，此结论错误． 故选：C． 【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③（a+c）2＞b2；④，其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1， ①∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线x＝1， ∴，b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴正半轴相交， ∴c＞0， ∴abc＜0．故①正确． ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，故②正确． ③∵当x＝1，有a+b+c＞0，当x＝﹣1，有a﹣b+c＜0， ∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0， ∴（a+c）2﹣b2＜0， ∴（a+c）2＜b2，故③不正确． ④∵对称轴为直线x＝1， ∴2a+b＝0， ∵c＞0， ∴2a+b＜c， ∴，故④正确． 故选：C． 【变式2】如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（　　） ①abc＞0； ②2a+b＝0； ③b2﹣4ac＞0； ④a﹣b+c＞0． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：①根据抛物线的对称轴位于y轴右侧知：a、b异号，则ab＜0． 由抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0． 所以abc＜0． 故该结论错误； ②由该抛物线的对称轴是直线x＝1知，x1，则2a+b＝0． 故该结论正确； ③由该抛物线与x轴有两个交点知：Δ＝b2﹣4ac＞0． 故该结论正确； ④根据图示知：当x＝﹣1时，y＞0，则a﹣b+c＞0． 故该结论正确； 综上所述，正确的结论有3个． 故选：B． 【变式3】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．abc＞0 B．（a+c）2＞b2 C．b＞﹣2a D．4a+2b+c＞0 【答案】D 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴x0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，故选项A错误； ∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， x＝1时，y＝a+b+c＞0， ∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0， ∴（a+c）2﹣b2＜0， ∴（a+c）2＜b2，故选项B错误； ∵抛物线的对称轴为x1， ∴b＝﹣2a，故选项C错误． ∵抛物线与x轴的一个交点在（0，0）与（﹣1，0）之间， 而抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在（2，0）与（3，0）之间， ∴x＝2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0，故选项D正确； 故选：D． 题型4 二次函数图象上点的坐标特征 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 【典例1】若点，，C（﹣1，y3）三点在抛物线y＝﹣x2﹣2x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 【答案】A 【解答】解：若点，，C（﹣1，y3）三点在抛物线y＝﹣x2﹣2x的图象上， ∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x， ∴抛物线的对称轴为，且开口向下， ∵，，C（﹣1，y3）， ∴点A到对称轴的距离为：，点B到对称轴的距离为：，点C到对称轴的距离为：|﹣1﹣（﹣1）|＝0， ∴顶点为C，则y3最大， ∴除顶点C外，到对称轴距离最近的是点B，其次是A， ∴y3＞y2＞y1， 故选：A． 【变式1】已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（6，y3）都在二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 【答案】C 【解答】解：方法一：∵二次函数的解析式为y＝﹣2（x﹣3）2+1， ∴对称轴为直线x＝3，抛物线开口向下， ∴离对称轴越远的点，其y值越小， ∵点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（6，y3）， ∴3﹣（﹣2）＝5，3﹣1＝2，6﹣3＝3，即5＞3＞2， ∴y2＞y3＞y1； 方法二：分别讲A、B、C三点代入得， y1＝﹣49，y2＝﹣7，y3＝17， ∴y2＞y3＞y1； 故选：C． 【变式2】已知抛物线y＝ax2﹣5ax﹣1（a＞0）经过点A（3t，y1），B（t，y2），若A，B两点均在直线y＝﹣4a﹣1的下方，且y1＜y2，则t的取值范围是（　　） A．1＜t＜4 B． C．0＜t＜1 D． 【答案】D 【解答】解：由条件可知a（9t2﹣15t）﹣1＜﹣4a﹣1， 解得． ∵点B（t，y2）在直线下方， ∴a（t2﹣5t）﹣1＜﹣4a﹣1， 解得1＜t＜4． ∵y1＜y2： ∴a（9t2﹣15t）﹣1＜a（t2﹣5t）﹣1， 解得． ∴． 故选：D． 【变式3】如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．1 【答案】B 【解答】解：分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为M和N， 将A，C两点的横坐标代入函数解析式得， 点A坐标为（m，﹣m2+4），点C坐标为（n，﹣n2+4）， 所以AM＝m，MO＝﹣m2+4，CN＝n，NO＝﹣n2+4． 因为四边形ABCD是正方形， 所以AD＝CD，∠ADC＝90°， 所以∠CDN+∠ADM＝∠ADM+∠DAM＝90°， 所以∠CDN＝∠DAM． 在△CDN和△DAM中， ， 所以△CDN≌△DAM（AAS）， 所以DM＝CN＝n，DN＝AM＝m， 所以MN＝DM+DN＝m+n， 又因为MN＝NO﹣MO＝m2﹣n2， 所以m2﹣n2＝m+n， 即（m+n）（m﹣n）＝m+n， 因为m＞n＞0， 所以m+n≠0， 所以m﹣n＝1． 故选：B． 题型5 二次函数的三种形式 解｜题｜知｜识 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【典例1】把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 【答案】B 【解答】解：y＝x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2． 故选：B． 【变式1】将二次函数y＝x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x﹣3）2﹣7 C．y＝（x+3）2﹣7 D．y＝（x﹣6）2+2 【答案】B 【解答】解：y＝x2﹣6x+2 ＝x2﹣6x+9﹣9+2 ＝（x﹣3）2﹣7， 故选：B． 【变式2】将二次函数y＝2x2﹣12x+3转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为 　 ． 【答案】y＝2（x﹣3）2﹣15． 【解答】解：y＝2x2﹣12x+3 ＝2（x2﹣6x+9）+3﹣18 ＝2（x﹣3）2﹣15， 故答案为：y＝2（x﹣3）2﹣15． 【变式3】将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝　 　 ． 【答案】（x﹣2）2+1 【解答】解：y＝x2﹣4x+5， y＝x2﹣4x+4﹣4+5， y＝x2﹣4x+4+1， y＝（x﹣2）2+1． 故答案为：y＝（x﹣2）2+1． 题型6 二次函数的最值 解｜题｜知｜识 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 【典例1】二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（　　） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 【答案】A 【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3）， ∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值， ∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5， 解得c＝3或c＝﹣1， 故选：A． 【变式1】对于二次函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象，下列说法中正确的是（　　） A．有最低点，坐标是（2，﹣1） B．有最高点，坐标是（2，1） C．有最高点，坐标是（﹣2，﹣1） D．有最低点，坐标是（﹣2，﹣1） 【答案】C 【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x+2）2﹣1， ∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1），有最高点， 故选项C中的说法正确，选项A、B、D中的说法错误； 故选：C． 【变式2】在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如（1，1），（2025，2025）都是“平衡点”．已知二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象上有且只有一个“平衡点”，且当0≤x≤m时，函数的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（　　） A．﹣1≤m≤0 B． C．2≤m≤4 D． 【答案】C 【解答】解：设点P（x，x）为函数的“平衡点”， 代入得x＝﹣x2+4x+c， 整理得x2﹣3x﹣c＝0， ∵有且只有一个“平衡点”， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣c）＝9+4c＝0， 解得， ∴函数y＝﹣x2+4x+c（x﹣2）2+1， ∴顶点坐标为（2，1），开口向下， 当y＝﹣3时，﹣（x﹣2）2+1＝﹣3， 解得x＝0或x＝4， ∵当0≤x≤m时，函数最小值为﹣3，最大值为1， ∴最大值1在x＝2处取得，故m≥2； 最小值﹣3在x＝0或x＝4处取得， ∴m的取值范围是2≤m≤4． 故选：C． 【变式3】函数y＝x2+2x﹣3（﹣3≤x≤2）的最大值是（　　） A．﹣5 B．﹣4 C．0 D．5 【答案】D 【解答】解：由题意得，y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝﹣1， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵﹣3≤x≤2，且2﹣（﹣1）＝3＞﹣1﹣（﹣3）＝2， ∴当x＝2时，函数有最大值，最大值为22+2×2﹣3＝5， 故选：D． 题型7 待定系数法求二次函数解析式 解｜题｜知｜识 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【典例1】已知抛物线C1的顶点坐标为（2，3），且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线C1的解析式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2+3 【答案】D 【解答】解：∵抛物线C1的顶点坐标为（2，3）， ∴抛物线C1的解析式可设为y＝a（x﹣2）2+3， ∴抛物线C1与抛物线的开口方向、形状大小完全相同， ∴a＝1， ∴抛物线C1的解析式为y＝（x﹣2）2+3． 故选：D． 【变式1】请你构造一个函数，写出一个开口向下，对称轴是直线x＝1的抛物线的表达式： 　 ． 【答案】y＝﹣x2+2x（答案不唯一）． 【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴y＝﹣（x﹣1）2+1，即y＝﹣x2+2x． 故答案为：y＝﹣x2+2x（答案不唯一）． 【变式2】请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，3）的抛物线的表达式：　 ． 【答案】y＝﹣x2+3（答案不唯一）． 【解答】解：抛物线解析式为y＝﹣x2+3（答案不唯一）． 故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）． 【变式3】抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 … y … ﹣6 0 4 6 4 … 从上表可知，下列说法中正确的是　　 ．（填写序号） ①抛物线的对称轴是直线x＝1； ②抛物线一定经过点（3，0）； ③在对称轴左侧，y随x增大而减小； ④若两点在此抛物线上，则y1＞y2． 【答案】②． 【解答】解：将点（2，4），（﹣2，0），（﹣1，4）代入y＝ax2+bx+c 得：， 解得， ∴， ∴抛物线的对称轴是直线，则说法①错误，不符合题意； 设抛物线与x轴的另一个交点坐标为（m，0）， ∴， 解得m＝3， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），则说法②正确，符合题意； ∵抛物线中的a＝﹣1＜0， ∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，则说法③错误，不符合题意； 由二次函数的对称性可知，当时的函数值与当时的函数值相等，即为y1， 又∵抛物线的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x增大而减小， ∵点，两点在此抛物线上，且， ∴y1＜y2，则说法④错误，不符合题意； 故答案为：②． 过 关 验 收 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：对于一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的图象， ①当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、三象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，没有选项符合题意； ②当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、三、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，没有选项符合题意； ③当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，选项B符合题意； ④当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象过第二、三、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，没有选项符合题意； 故选：B． 2．如图，抛物线与x轴只有一个公共点A（2，0），与y轴交于点B（0，4），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（　　） A．4 B．2 C．6 D．8 【答案】D 【解答】解：设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM． 由题意可知，AM＝OB， ∵A（1，0），B（0，2）， ∴OA＝2，OB＝AM＝4， ∵抛物线是轴对称图形， ∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积， ∵AM∥OB，AM＝OB， ∴四边形ABOM为平行四边形， ∴S四边形ABOM＝OB•OA＝4×2＝8． 故选：D． 3．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为　 ． 【答案】a＞b＞d＞c 【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c）， 所以，a＞b＞d＞c． 4．如图所示的抛物线y＝x2﹣bx+b2﹣9的图象，那么b的值是 　　 ． 【答案】3． 【解答】解：由图可知，抛物线经过原点（0，0）， 所以，02﹣b×0+b2﹣9＝0， 解得b＝±3， ∵抛物线的对称轴在y轴的右边， ∴0， ∴b＞0， ∴b＝3． 故答案为：3． 5．已知抛物线y＝﹣x2+2x+1，下列结论错误的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x＝1 C．当x＝1时，y取最大值2 D．当x＞1时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解答】解：将解析式配方成顶点式得y＝﹣（x﹣1）2+2， ∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，A正确，不符合题意； ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，B正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，顶点坐标为（1，2）， ∴当x＝1时，y取最大值2，C正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小，D错误，符合题意． 故选：D． 6．顶点（﹣5，﹣1），且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：顶点（﹣5，﹣1），且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是y（x+5）2﹣1， 故选：C． 7．下列关于二次函数y＝（x﹣2）2+1的说法，不正确的是（　　） A．图象关于直线x＝2对称 B．图象开口向上 C．图象的顶点坐标是（2，1） D．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解答】解：根据二次函数顶点式y＝a（x﹣h）2+k的性质逐项分析判断如下： A、∵y＝（x﹣2）2+1， ∴对称轴为直线x＝2，原选项正确，不符合题意； B、∵y＝（x﹣2）2+1， ∴a＝1＞0，图象开口向上，原选项正确，不符合题意； C、∵y＝（x﹣2）2+1， ∴顶点坐标为（2，1），原选项正确，不符合题意； D、∵y＝（x﹣2）2+1， ∴a＝1＞0，图象开口向上， ∴当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，原选项不正确，符合题意； 故选：D． 8．写一个满足下列两个条件的二次函数：（1）开口向下；（2）顶点坐标是（﹣3，2），可以是 　 ． 【答案】y＝﹣（x+3）2+2（答案不唯一）． 【解答】解：满足两个条件的二次函数：（1）开口向下；（2）顶点坐标是（﹣3，2）， ∴y＝﹣（x+3）2+2， 故答案为：y＝﹣（x+3）2+2（答案不唯一）． 9．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为　 ． 【答案】（1，8） 【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式， ∴顶点坐标是（1，8）． 故答案为：（1，8）． 10．抛物线y＝2x2+4x﹣1顶点坐标是 　 　 ． 【答案】（﹣1，﹣3） 【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3， ∴抛物线y＝2x2+4x﹣1的顶点坐标是（﹣1，﹣3）， 故答案为：（﹣1，﹣3）． 11．在同一坐标系内，抛物线y＝ax2与直线yx+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，3）． （1）求B点的坐标； （2）连接OA，OB，AB，求△AOB的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2与直线yx+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，3）， 则将点A的坐标代入y＝ax2，解得a；代入yx+b，解得：b＝2； 将两方程联立得：x2x+2，解方程得：x＝2或， 则B点的坐标为（，）； （2）设直线yx+2与y轴的交点为C，则点C（0，2）， 所以S△AOB＝S△AOC+S△BOC 2×（2） ． 12．（1）解方程：2x2﹣4x＝3； （2）用配方法求抛物线y＝﹣2x2+4x﹣6的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1），； （2）对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，﹣4）． 【解答】解：（1）整理得2x2﹣4x﹣3＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0， ∴， ∴； （2）y＝﹣2x2+4x﹣6＝﹣2（x2﹣2x）﹣6＝﹣2（x﹣1）2﹣4， ∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，﹣4）． 13．操作与探究：已知点P是抛物线y＝x2+2x﹣3上的一个动点． （1）在如图的平面直角坐标系xOy中画出函数y＝x2+2x﹣3的图象； （2）仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题： ①当函数值y≥0时，自变量x的取值范围是　 ； ②方程的根是　 （结果保留一位小数）； ③当x＜m时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　 ； ④当﹣2≤x≤n时，函数值﹣4≤y≤﹣3，直接写出n的取值范围　 　 ． 【答案】（1）函数图象： （2）①x≤﹣3或x≥1，②x1≈﹣2.4，x2≈0.4，③m≤﹣1，④﹣1≤n≤0． 【解答】解：（1）列表如下： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 y 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 描点，连线，画图如下： （2）①由图象可知，当函数值y≥0时，自变量x的取值范围是x≤﹣3或x≥1； 故答案为：x≤﹣3或x≥1； ②，整理得x2+2x﹣1＝0，即：x2+2x﹣3＝﹣2， 方程的解可以看作是二次函数y＝x2+2x﹣3与y＝﹣2的交点的横坐标， 观察图象可知，x1≈﹣2.4，x2≈0.4； 故答案为：x1≈﹣2.4，x2≈0.4； ③由图象可知：当x＜﹣1时，y随x的增大而减小， ∴m的取值范围是m≤﹣1； 故答案为：m≤﹣1； ④由图象可知：﹣1≤n≤0． 故答案为：﹣1≤n≤0． 14．已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标是（2，1），且这条抛物线和x轴的一个交点坐标是B（3，0），另一个交点是A． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求点A的坐标和对称轴； （3）求当﹣2＜x＜3时，直接写出函数值的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3； （2）（1，0），x＝2； （3）当﹣2＜x＜3时，﹣15＜y≤1． 【解答】解：（1）设解析式为y＝a（x﹣2）2+1， 将（3，0）代入得a+1＝0， 解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣2）2+1， ∴y＝﹣x2+4x﹣3； （2）令y＝0得0＝﹣x2+4x﹣3， ∴x1＝1，x2＝3，即A点的坐标为（1，0）； 对称轴为直线x＝2； （3）当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2+4×（﹣2）﹣3＝﹣15， 当x＝3时，y＝﹣32+4×3﹣3＝0， ∵抛物线的顶点坐标是（2，1）， ∴抛物线的最大值为1， ∴当﹣2＜x＜3时，﹣15＜y≤1． 15．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图，小明同学得出了以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数）；⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的为（　　） A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．②④⑥ 【答案】C 【解答】①由图象可知：a＞0，c＜0， ∵， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，故①错误，不符合题意； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，故②正确，符合题意； ③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误，不符合题意； ④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0， ∴3a+c＞0，故④正确，符合题意； ⑤当x＝1时，y取到值最小值，此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c≤am2+bm+c， 故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，符合题意； ⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，不符合题意； 故选：C． 16．已知二次函数y＝x2﹣2mx+5，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1 D．m≤﹣1 【答案】D 【解答】解：二次函数y＝x2﹣2mx+5的开口向上，对称轴是直线xm， ∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大， ∴m≤﹣1， 故选：D． 17．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：①由图象可知：与y轴交于正半轴，开口方向向下， 即c＞0，a＜0， 由图象可知：二次函数的对称轴在x轴的正半轴， ∴， ∴， ∵a＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确，符合题意； ②观察函数，得出对称轴为直线x＝1， 则， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0， 故②正确，符合题意； ③观察函数，得出当x＝0时，函数值为正数，即函数值大于0， ∵对称轴为直线x＝1， ∴由二次函数的对称性知，当x＝2时，函数值大于0， 即y＝4a+2b+c＞0，故③正确，符合题意； ④观察函数，得出当x＝﹣1时，函数值为负数，即函数值小于0， ∵对称轴为直线x＝1， ∴由二次函数的对称性知，当x＝3时，函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴把代入得，得2c＜3b，故④正确，符合题意； ⑤观察函数，当x＝1时，y的值最大．此时y＝a+b+c， 而当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c， ∴a+b+c＞am2+bm+c， 故a+b＞am2+bm， 即a+b＞m（am+b），故⑤错误，不符合题意． 故选：C． 18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①abc＞0； ②2a+b＝0； ③若m为任意实数，则a+b＞am2+bm； ④a﹣b+c＞0； ⑤若，且x1≠x2，则x1+x2＝2， 其中，正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：①抛物线开口向下，则a＜0， 抛物线对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0， ∴abc＜0， 故①错误； ②∵， ∴b＝﹣2a，即2a+b＝0， 故②正确； ③∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴函数的最大值为：a+b+c， ∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c， 即a+b＞am2+bm， 故③错误； ④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧， ∴当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， 故④错误； ⑤∵bx2， ∴， ∴， ∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0， ∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0， ∵x1≠x2， ∴a（x1+x2）+b＝0， ∴， ∵b＝﹣2a， ∴， 故⑤正确． 综上所述，正确的有②⑤． 故选：B． 19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线．给出下列四个结论：①a＞0；②a﹣b+c＞0；③2a+3b＜0；④（m）．上述结论中，正确结论的序号有　　 ． 【答案】①②④． 【解答】解：因为抛物线的开口向上， 所以a＞0， 故①正确； 因为当x＝﹣1时，函数值大于零， 所以a﹣b+c＞0， 故②正确； 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 则2a＝﹣3b， 所以2a+3b＝0， 故③错误； 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以当x时，函数取得最小值为， 则当m时，， 所以， 故④正确； 故答案为：①②④． 20．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为　　 ． 【答案】2 【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， 则抛物线的顶点坐标为（1，2）， ∴当点A在抛物线的顶点时，AC最小，最小值为2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∴对角线BD的最小值为2， 故答案为：2． 21．若抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则m＝　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝2（x﹣1）2， ∴对称轴是直线x＝1． 又∵抛物线经过（m，n）和（m+3，n）两点， ∴对称轴是直线x1． ∴m． 故答案为：． 22．已知函数y＝3x2﹣6x﹣24， （1）通过配方，写出其对称轴，顶点坐标； （2）分别求出其与x轴、y轴的交点坐标； （3）画出函数的大致图象，结合图象说明，当x取何值时，y＜0？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）y＝3x2﹣6x﹣24y， ＝3（x2﹣2x+1）﹣24﹣3， ＝3（x﹣1）2﹣27， ∵a＝3＞0， ∴抛物线开口方向向上， 对称轴为直线x＝1， 顶点坐标为（1，﹣27）； （2）令y＝0，则3x2﹣6x﹣24＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝4， 所以，与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（4，0）， 令x＝0，则y＝﹣24， 所以，与y轴的交点坐标为（0，﹣24）； （3）图象如图所示： 当﹣2＜x＜4时，y＜0． 23．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），当﹣3≤x≤0时，y的最小值为﹣4，则m的值为（　　） A．﹣2或10 B．10或2 C．2 D． 【答案】C 【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0）， 代入，得0＝9﹣3m+n，即3m﹣9＝n， 二次函数对称轴为直线x， 然后分情况讨论： ①对称轴为直线x3，即m≥6， 此时在﹣3≤x≤0上，y随x的增大而增大， ∴当x＝﹣3时，y有最小值0，不符合题意，舍去； ②对称轴为直线x满足﹣3时，即0＜m＜6， 此时二次函数的顶点在﹣3≤x≤0范围内，顶点的纵坐标为最小值﹣4， 二次函数顶点纵坐标公式为y，将a＝1，b＝m，c＝3m﹣9代入， 可得（m﹣2）（m﹣10）＝0， 解得m ＝ 2或m ＝ 10， ∵0＜m＜6， ∴m ＝ 2； ③对称轴为直线x0，即m≤0， 此时在﹣3≤x≤0上y随x的增大而减小， ∴当x＝0时，y有最小值3m﹣9， 令3m﹣9＝4，解得m，不符合题意，舍去； 故答案为m＝2， 故选：C． 24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝2时有最小值3，则这个函数的图象可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、开口向下，函数有最大值，故本选项不符合题意； B、开口向上，有最小值，x＝2时有最小值3，故本选项符合题意； C、开口向下，x＝2时有最大值3，故本选项不符合题意； D、开口向下，函数有最大值2，故本选项不符合题意． 故选：B． 25．二次函数y＝﹣3x2+12x﹣5的最大值是（　　） A．7 B．﹣7 C．17 D．﹣17 【答案】A 【解答】解：将抛物线解析式配方得：y＝﹣3x2+12x﹣5＝﹣3（x2﹣4x）﹣5＝﹣3（x﹣2）2+7， ∴顶点坐标为（2，7），抛物线开口向下， ∴二次函数y＝﹣3x2+12x﹣5的最大值是7． 故选：A． 26．当m≤x≤m+2时，函数y＝﹣x2+4|x|﹣2的最小值为﹣2，则m满足的条件为（　　） A．m＝4或﹣2或0≤m≤2 B．m＝﹣4或2或﹣2≤m≤0 C．m＝﹣4或﹣2或0≤m≤2 D．m＝4或2或﹣2≤m≤0 【答案】B 【解答】解：由题意可得，①当x≤0时，y＝﹣x2﹣4x﹣2＝﹣（x+2）2+2； ∴图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，顶点为（﹣2，2），且当x＝0时，y＝﹣2；当x＝﹣4时，y＝﹣2． ②当x≥0时，y＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2， ∴图象开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，2），且当x＝0时，y＝﹣2；当x＝4时，y＝﹣2． ∴画出二次函数图象如下； ∴结合图象可得，当m＝﹣4时，﹣4≤x≤﹣2，函数y＝﹣x2+4|x|﹣2的最小值为﹣2；当m＝2时，2≤x≤4，函数y＝﹣x2+4|x|﹣2的最小值为﹣2；当﹣2≤m≤0时，x＝0在m≤x≤m+2中，此时函数y＝﹣x2+4|x|﹣2的最小值为﹣2． ∴m＝﹣4或2或﹣2≤m≤0． 故选：B． 27．已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝ 　　 ． 【答案】． 【解答】解：， ②﹣①，得2xy＝u﹣4，即u＝2xy+4， 把①两边减3xy，得（x﹣2y）2＝4﹣3xy⩾0， 解得：xy， 把①两边加5xy，得（x+2y）2＝4+5xy⩾0， 解得：xy⩾， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 28．点（a，b）在二次函数y＝x2+x+2的图象上，则a+b的最小值是 　　 ． 【答案】1． 【解答】解：∵点（a，b）在二次函数y＝x2+x+2的图象上， ∴b＝a2+a+2， ∴a+b＝a2+2a+2＝（a+1）2+1≥1， 当a＝﹣1时，a+b有最小值为1． 故答案为：1． 29．二次函数y＝x2﹣2x+1在﹣5≤x≤3范围内的最大值与最小值的差为　　 ． 【答案】36． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∴抛物线开口向上，抛物线对轴为直线x＝1，当x＝1时，有最小值0， 当x＝﹣5时，y＝（x﹣1）2＝36， 当x＝3时，y＝（x﹣1）2＝4， ∴当﹣5≤x≤3时，最大值为36，最小值为0， ∴二次函数y＝x2﹣2x+1在﹣5≤x≤3范围内的最大值与最小值的差为：36﹣0＝36． 故答案为：36． 30．如图，已知边长为12的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG，则△CEF的最大面积为 　　 ． 【答案】18． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCB＝∠DCG＝90°， ∵CF是∠DCG的角平分线， ∴∠FCG＝45°， ∵FG⊥BG， ∴∠CFG＝45°， ∴FG＝CG， 设CE＝x，则BE＝12﹣x， ∴EG＝CE+CG＝x+FG， ∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE， ∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°， ∴∠BAE＝∠FEG， ∵∠B＝∠G＝90°， ∴△BAE∽△GEF； ∴， ∴， ∴FG＝12﹣x， ∴S△ECFCE×FGx•（12﹣x）（x2﹣12x）（x﹣6）2+18， ∵0， ∴当EC＝6时，S△ECF最大＝18． 故答案为：18． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 二次函数的图象 内 容 导 航 题型1 二次函数的图象 题型2 二次函数的性质 题型3 二次函数图象与系数的关系 题型4 二次函数图象上点的坐标特征 题型5 二次函数的三种形式 题型6 二次函数的最值 题型7 待定系数法求二次函数解析式 考 点 演 练 题型1 二次函数的图象 解｜题｜知｜识 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【典例1】一次函数y＝ax+c（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝﹣ax2﹣c的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【变式2】二次函数y＝2ax2+3bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax﹣b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝4，则点M到直线l的距离为（　　） A． B．2 C． D．4 题型2 二次函数的性质 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【典例1】抛物线y＝﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，1） 【变式1】关于二次函数y＝2（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线x＝﹣3 C．图象顶点坐标为（3，﹣1） D．当x＜3时，y随x的增大而减小 【变式2】抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1） 【变式3】关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．与y轴交于点（0，3） C．对称轴是直线x＝1 D．x＞1时，y随x增大而增大 题型3 二次函数图象与系数的关系 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 【典例1】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＞0；④am2+bm＞a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③（a+c）2＞b2；④，其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（　　） ①abc＞0； ②2a+b＝0； ③b2﹣4ac＞0； ④a﹣b+c＞0． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．abc＞0 B．（a+c）2＞b2 C．b＞﹣2a D．4a+2b+c＞0 题型4 二次函数图象上点的坐标特征 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 【典例1】若点，，C（﹣1，y3）三点在抛物线y＝﹣x2﹣2x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 【变式1】已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（6，y3）都在二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 【变式2】已知抛物线y＝ax2﹣5ax﹣1（a＞0）经过点A（3t，y1），B（t，y2），若A，B两点均在直线y＝﹣4a﹣1的下方，且y1＜y2，则t的取值范围是（　　） A．1＜t＜4 B． C．0＜t＜1 D． 【变式3】如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．1 题型5 二次函数的三种形式 解｜题｜知｜识 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【典例1】把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 【变式1】将二次函数y＝x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x﹣3）2﹣7 C．y＝（x+3）2﹣7 D．y＝（x﹣6）2+2 【变式2】将二次函数y＝2x2﹣12x+3转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为 　 ． 【变式3】将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝　 　 ． 题型6 二次函数的最值 解｜题｜知｜识 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 【典例1】二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（　　） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 【变式1】对于二次函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象，下列说法中正确的是（　　） A．有最低点，坐标是（2，﹣1） B．有最高点，坐标是（2，1） C．有最高点，坐标是（﹣2，﹣1） D．有最低点，坐标是（﹣2，﹣1） 【变式2】在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如（1，1），（2025，2025）都是“平衡点”．已知二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象上有且只有一个“平衡点”，且当0≤x≤m时，函数的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（　　） A．﹣1≤m≤0 B． C．2≤m≤4 D． 【变式3】函数y＝x2+2x﹣3（﹣3≤x≤2）的最大值是（　　） A．﹣5 B．﹣4 C．0 D．5 题型7 待定系数法求二次函数解析式 解｜题｜知｜识 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【典例1】已知抛物线C1的顶点坐标为（2，3），且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线C1的解析式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2+3 【变式1】请你构造一个函数，写出一个开口向下，对称轴是直线x＝1的抛物线的表达式： 　 ． 【变式2】请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，3）的抛物线的表达式：　 ． 【变式3】抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 … y … ﹣6 0 4 6 4 … 从上表可知，下列说法中正确的是　　 ．（填写序号） ①抛物线的对称轴是直线x＝1； ②抛物线一定经过点（3，0）； ③在对称轴左侧，y随x增大而减小； ④若两点在此抛物线上，则y1＞y2． 过 关 验 收 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2．如图，抛物线与x轴只有一个公共点A（2，0），与y轴交于点B（0，4），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（　　） A．4 B．2 C．6 D．8 3．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为　 ． 4．如图所示的抛物线y＝x2﹣bx+b2﹣9的图象，那么b的值是 　　 ． 5．已知抛物线y＝﹣x2+2x+1，下列结论错误的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x＝1 C．当x＝1时，y取最大值2 D．当x＞1时，y随x的增大而增大 6．顶点（﹣5，﹣1），且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（　　） A． B． C． D． 7．下列关于二次函数y＝（x﹣2）2+1的说法，不正确的是（　　） A．图象关于直线x＝2对称 B．图象开口向上 C．图象的顶点坐标是（2，1） D．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大 8．写一个满足下列两个条件的二次函数：（1）开口向下；（2）顶点坐标是（﹣3，2），可以是 　 ． 9．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为　 ． 10．抛物线y＝2x2+4x﹣1顶点坐标是 　 　 ． 11．在同一坐标系内，抛物线y＝ax2与直线yx+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，3）． （1）求B点的坐标； （2）连接OA，OB，AB，求△AOB的面积． 12．（1）解方程：2x2﹣4x＝3； （2）用配方法求抛物线y＝﹣2x2+4x﹣6的顶点坐标和对称轴． 13．操作与探究：已知点P是抛物线y＝x2+2x﹣3上的一个动点． （1）在如图的平面直角坐标系xOy中画出函数y＝x2+2x﹣3的图象； （2）仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题： ①当函数值y≥0时，自变量x的取值范围是　 ； ②方程的根是　 （结果保留一位小数）； ③当x＜m时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　 ； ④当﹣2≤x≤n时，函数值﹣4≤y≤﹣3，直接写出n的取值范围　 　 ． 14．已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标是（2，1），且这条抛物线和x轴的一个交点坐标是B（3，0），另一个交点是A． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求点A的坐标和对称轴； （3）求当﹣2＜x＜3时，直接写出函数值的取值范围． 15．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图，小明同学得出了以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数）；⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的为（　　） A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．②④⑥ 16．已知二次函数y＝x2﹣2mx+5，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1 D．m≤﹣1 17．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①abc＞0； ②2a+b＝0； ③若m为任意实数，则a+b＞am2+bm； ④a﹣b+c＞0； ⑤若，且x1≠x2，则x1+x2＝2， 其中，正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线．给出下列四个结论：①a＞0；②a﹣b+c＞0；③2a+3b＜0；④（m）．上述结论中，正确结论的序号有　　 ． 20．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为　　 ． 21．若抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则m＝　 ． 22．已知函数y＝3x2﹣6x﹣24， （1）通过配方，写出其对称轴，顶点坐标； （2）分别求出其与x轴、y轴的交点坐标； （3）画出函数的大致图象，结合图象说明，当x取何值时，y＜0？ 23．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），当﹣3≤x≤0时，y的最小值为﹣4，则m的值为（　　） A．﹣2或10 B．10或2 C．2 D． 24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝2时有最小值3，则这个函数的图象可以是（　　） A． B． C． D． 25．二次函数y＝﹣3x2+12x﹣5的最大值是（　　） A．7 B．﹣7 C．17 D．﹣17 26．当m≤x≤m+2时，函数y＝﹣x2+4|x|﹣2的最小值为﹣2，则m满足的条件为（　　） A．m＝4或﹣2或0≤m≤2 B．m＝﹣4或2或﹣2≤m≤0 C．m＝﹣4或﹣2或0≤m≤2 D．m＝4或2或﹣2≤m≤0 27．已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝ 　　 ． 28．点（a，b）在二次函数y＝x2+x+2的图象上，则a+b的最小值是 　　 ． 29．二次函数y＝x2﹣2x+1在﹣5≤x≤3范围内的最大值与最小值的差为　　 ． 30．如图，已知边长为12的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG，则△CEF的最大面积为 　　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $