1.1.1　第2课时　共线向量与共面向量 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量共线与共面向量，涵盖定义、充要条件及三点共线、四点共面证明等应用。通过平面向量共线问题导入，引导学生类比迁移至空间，构建平面到空间的知识学习支架。 资料以问题链驱动探究，培养学生抽象能力与空间观念（数学眼光），例题与跟踪训练强化逻辑推理（数学思维），规范向量语言表达（数学语言）。习题层次分明，助力学生掌握转化化归方法，提升解决立体几何问题的能力。

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案第2课时　共线向量与共面向量 [学习目标]　1.理解向量共线、向量共面的定义.2.理解并掌握向量共线和向量共面的充要条件.(重点)3.会用向量共线和向量共面的充要条件解决一些简单的立体几何问题.(难点) 导语 我们知道向量是既有大小又有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎么回事呢？今天我们就来探究一下. 一、空间向量共线的充要条件 问题1　平面向量a，b(b≠0)共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 提示　对平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量. 知识梳理 1.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb. 2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得=λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示. 注意点： (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定. (2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上. 例1　(1)满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是(　　) A.+= B.-= C.= D.||=|| (2)若P，A，B，C为空间不重合的四点，且P，B，C三点不共线，=α+β(α，β∈R)，则α+β=1是A，B，C三点共线的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 反思感悟　向量共线的判定及应用 (1)判定或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a=λb成立. (2)判定或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法： ①=λ(λ∈R)； ②对空间任一点O，=+λ(λ∈R)； ③对空间任一点O，=x+y(x+y=1). 跟踪训练1　如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？ 二、空间向量共面的充要条件 问题2　空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？ 提示　不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面. 问题3　对两个不共线的空间向量a，b，如果p=xa+yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p=xa+yb？ 提示　如果p=xa+yb，那么向量p与向量a，b共面.反过来，向量p与向量a，b共面时，p=xa+yb. 知识梳理 1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 2.共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量. (2)三个向量共面的充要条件：向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p=xa+yb. 注意点：三个向量共面的充要条件中，向量a，b不共线. 例2　(课本例1)如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使====k.求证： E，F，G，H 四点共面. 例3　(1)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC=2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面. 反思感悟　向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明. ①=x+y； ②对于空间任意一点O，=x+y+z(x+y+z=1). (2)若已知点P在平面ABC内，点O不在平面ABC内，则有=x+y或=x+y+z(x+y+z=1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. 跟踪训练2　(1)已知O为平面ABC外一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且=m++，则m的值为(　　) A.-1 B.2 C.-2 D.-3 (2)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证：向量，，共面. 1.知识清单： (1)直线的方向向量. (2)空间向量共线的充要条件. (3)空间向量共面的充要条件. (4)三点共线、四点共面的证明方法. 2.方法归纳：转化化归、类比. 3.常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线. 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BB1的中点，则下列向量中与向量平行的向量是(　　) A. B. C. D. 2.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　) A.=3-- B.=++ C.++=0 D.+++=0 3.已知不共线向量e1，e2，e3，=e1-2e2+e3，=-5e1-6e2+4e3，=7e1+2e2-2e3，则一定共线的三个点是(　　) A.O，P，Q B.P，Q，R C.O，Q，R D.O，P，R 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若+λ=0(λ∈R)，则λ=　　　　. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案第2课时　共线向量与共面向量参考答案 [学习目标]　1.理解向量共线、向量共面的定义.2.理解并掌握向量共线和向量共面的充要条件.(重点)3.会用向量共线和向量共面的充要条件解决一些简单的立体几何问题.(难点) 导语 我们知道向量是既有大小又有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎么回事呢？今天我们就来探究一下. 一、空间向量共线的充要条件 问题1　平面向量a，b(b≠0)共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 提示　对平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量. 知识梳理 1.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb. 2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得=λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示. 注意点： (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定. (2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上. 例1　(1)满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是(　　) A.+= B.-= C.= D.||=|| 答案　C 解析　对于空间中的任意向量，根据向量加法运算法则，都有+=，选项A错误； 若-=，则+=， 而+=，据此可知=， 即B，C两点重合，这与已知条件矛盾，选项B错误； 若=，则A，B，C三点共线，选项C正确； 若||=||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误. (2)若P，A，B，C为空间不重合的四点，且P，B，C三点不共线，=α+β(α，β∈R)，则α+β=1是A，B，C三点共线的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　充分性：若α+β=1， 则=(1-β)+β，即-=β(-)， 即=β，显然，A，B，C三点共线； 必要性：若A，B，C三点共线，则有=λ，λ∈R， 故-=λ(-)， 整理得=(1+λ)-λ，又，不共线， 所以α=1+λ，β=-λ，则α+β=1. 故α+β=1是A，B，C三点共线的充要条件. 反思感悟　向量共线的判定及应用 (1)判定或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a=λb成立. (2)判定或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法： ①=λ(λ∈R)； ②对空间任一点O，=+λ(λ∈R)； ③对空间任一点O，=x+y(x+y=1). 跟踪训练1　如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？ 解　方法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，∴=- =+)-+) =-)=-)=. ∴∥，即与共线. 方法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴=++ =++. ① 又∵=+++ =-+--， ② ①+②得2=， ∴∥，即与共线. 二、空间向量共面的充要条件 问题2　空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？ 提示　不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面. 问题3　对两个不共线的空间向量a，b，如果p=xa+yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p=xa+yb？ 提示　如果p=xa+yb，那么向量p与向量a，b共面.反过来，向量p与向量a，b共面时，p=xa+yb. 知识梳理 1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 2.共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量. (2)三个向量共面的充要条件：向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p=xa+yb. 注意点：三个向量共面的充要条件中，向量a，b不共线. 例2　(课本例1)如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使====k.求证： E，F，G，H 四点共面. 证明　因为====k， 所以=k，=k，=k，=k. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以=+， 因此=-=k-k=k=k(+)=k(-+-) =-+-=+. 由向量共面的充要条件可知，，，共面， 又，，过同一点E，从而E，F，G，H四点共面. 例3　(1)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC=2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面. 证明　设=a，=b，=c， 则=b-a， ∵M为线段DD1的中点， ∴=c-a， 又∵AN∶NC=2∶1， ∴==(b+c)， ∴=-=(b+c)-a =(b-a)+ =+， ∴，，为共面向量. 又∵三向量有相同的起点A1， ∴A1，B，N，M四点共面. (2)对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式=x+y+z，求证：点P在平面ABC内的充要条件是x+y+z=1. 证明　①充分性 ∵=x+y+z 可变形为=(1-y-z)+y+z， ∴-=y(-)+z(-)， ∴=y+z，∴点P与A，B，C共面. ②必要性 ∵点P在平面ABC内，A，B，C三点不共线， ∴存在有序实数对(m，n)使=m+n， -=m(-)+n(-)， ∴=(1-m-n)+m+n， ∵=x+y+z，且，，不共面， ∴x=1-m-n，y=m，z=n， ∴x+y+z=1. 反思感悟　向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明. ①=x+y； ②对于空间任意一点O，=x+y+z(x+y+z=1). (2)若已知点P在平面ABC内，点O不在平面ABC内，则有=x+y或=x+y+z(x+y+z=1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. 跟踪训练2　(1)已知O为平面ABC外一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且=m++，则m的值为(　　) A.-1 B.2 C.-2 D.-3 答案　C 解析　由=-=m++， 得=m+2+， ∵O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， ∴m+2+1=1，∴m=-2. (2)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证：向量，，共面. 证明　因为M在BD上，且BM=BD， 所以==+. 同理=+. 所以=++ =++ =+=+. 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面. 1.知识清单： (1)直线的方向向量. (2)空间向量共线的充要条件. (3)空间向量共面的充要条件. (4)三点共线、四点共面的证明方法. 2.方法归纳：转化化归、类比. 3.常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线. 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BB1的中点，则下列向量中与向量平行的向量是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由长方体ABCD-A1B1C1D1， 可得AD∥BC∥B1C1，AD=BC=B1C1， 所以四边形AB1C1D是平行四边形， 所以AB1∥DC1，又E，F分别为AB，BB1的中点， 所以AB1∥EF，所以EF∥DC1，所以∥. 2.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　) A.=3-- B.=++ C.++=0 D.+++=0 答案　AC 解析　A选项中，3-1-1=1，四点共面； C选项中，=--， ∴点M，A，B，C共面. 3.已知不共线向量e1，e2，e3，=e1-2e2+e3，=-5e1-6e2+4e3，=7e1+2e2-2e3，则一定共线的三个点是(　　) A.O，P，Q B.P，Q，R C.O，Q，R D.O，P，R 答案　D 解析　若∥，则存在唯一实数λ1使得=λ1， 即e1-2e2+e3=λ1(-5e1-6e2+4e3)， 所以无解， 所以，不共线，则O，P，Q三点不共线； 若∥，则存在唯一实数λ2使得=λ2， 即7e1+2e2-2e3=λ2(-5e1-6e2+4e3)， 所以无解， 所以，不共线，则P，Q，R三点不共线； =+=-4e1-8e2+5e3， 若∥，则存在唯一实数λ3使得=+=λ3， 即-4e1-8e2+5e3=λ3(7e1+2e2-2e3)， 所以无解， 所以，不共线，则O，Q，R三点不共线； =+=2e1-4e2+2e3=2， 所以∥， 又点P为两向量的公共点，所以O，P，R三点共线. 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若+λ=0(λ∈R)，则λ=　　　　. 答案　- 解析　如图，连接A1C1，C1D， 则点E在A1C1上，点F在C1D上，易知EF∥A1D， 且EF=A1D， ∴=，即-=0，∴λ=-. . 学科网（北京）股份有限公司 $