14.3 角的平分线 课时练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦角平分线性质与判定，分层设计从基础应用到综合探究，梯度清晰，巩固路径完整，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|角平分线性质、判定|直接应用性质求距离（单选1）、简单判定（填空9），巩固概念| |进阶层|性质与三角形结合|结合面积计算（单选4）、内角外角关系（填空11），培养几何直观| |提高层|综合证明与作图|尺规作图（解答13）、多步推理证明（解答15），发展推理能力与创新意识|

14.3角的平分线 课时练习 一、单选题 1．如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A．3 B．4 C．6 D．10 2．如图，在中，，平分于．如果，那么等于（  ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 3．如图，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 5．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（　　） A．2 B． C．3 D． 6．如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点A为圆心、小于的长为半径作弧，分别交边、于点D、E；②分别以点D、E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线交边于点F．则的大小为（　　） A． B． C． D． 7．如图，，于，于，则①；②；③点在的角平分线上，其中正确的结论是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 8．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PGAD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③CH=HE；④∠PCF＝∠CPF；⑤∠CPA＝∠CEA．其中，正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 9．如图，点P是平分线上一点，，垂足分别是E和F，若，则 ． 10．如图所示，在中，，平分，，，那么的面积是 ． 11．如图，若的平分线与外角的平分线相交于点P，连接，若，则 ． 12．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8，CA＝6，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于 ． 三、解答题 13．如图，已知一块四边形模具，现工人师傅要在边上凿一个孔E，使孔E到边的距离和孔E到边的距离相等．请你利用尺规作图法在边上帮工人师傅找出孔E所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 14．证明“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．已知：如图，于点C，于点D，．求证：． 15．已知，平分． (1)如图①，若，，求证：平分； (2)如图②，若，求证：． 16．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为AC中点，F为BC上一点，AF⊥BD于E． (1)使用尺规完成基本作图：作∠BAC的角平分线交BD于G．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)填空： 求证：AG＝CF． 证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC ∴∠ABC＝∠C＝　　° ∵AG平分∠BAC ∴∠BAG＝∠BAC＝45°（ 　 　）（填推理依据） ∴∠BAG＝∠C ∵AF⊥BD ∴∠AEB＝90°＝∠　　 ∴∠1+∠BAE＝90°，∠2+∠BAE＝90° ∴∠1＝∠2 ∴△ACF≌　 　 ∴AG＝CF 17．如图，已知中，平分，且，点是延长线上一点，且，过点作于点． (1)求证：； (2)判断的形状并说明理由． (3)若，求的长． 14.3角的平分线 课时练习 一、单选题 1．如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为3． 故选：A． 2．如图，在中，，平分于．如果，那么等于（  ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】C 【详解】，平分于， ， ． 故选C． 3．如图，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：于，于 又 是的角平分线 故选：B ． 4．如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 【答案】D 【详解】解∶过点O作于D，于E，于F， 点O是内心， ． 故选：D． 5．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：作于H， 由作图步骤得平分， ∵，， ∴，又， ∴， 故选：A． 6．如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点A为圆心、小于的长为半径作弧，分别交边、于点D、E；②分别以点D、E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线交边于点F．则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，， ， 由作法得：平分， ， 故选：B． 7．如图，，于，于，则①；②；③点在的角平分线上，其中正确的结论是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【详解】解：①，， ， 在和中， ， ； ②， ， 又， ，即， 在和中， ， ； ③连接，如图所示： ， ， 在和中， ， ， ， 点在的角平分线上； 综上所述，①②③均正确， 故选：A． 8．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PGAD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③CH=HE；④∠PCF＝∠CPF；⑤∠CPA＝∠CEA．其中，正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【详解】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE， ∴∠PAB=∠CAB，∠PBE=∠CBE， ∵∠CBE=∠CAB+∠ACB， ∠PBE=∠PAB+∠APB， ∴∠ACB=2∠APB；故①正确； 过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S， ∴PM=PN=PS， ∴PC平分∠BCD， ∵S△PAC：S△PAB=（AC•PN）：（AB•PM）=AC：AB；故②正确； ∵BE=BC，BP平分∠CBE， ∴BP垂直平分CE（三线合一）， ∴CH=HE，故③正确； ∵PG∥AD， ∴∠FPC=∠DCP， ∵PC平分∠DCB， ∴∠DCP=∠PCF， ∴∠PCF=∠CPF，故④正确． ∵CP是∠DCB的角平分线， ∴∠DCP=∠DCB=∠CAP+∠CPA， ∴∠DCB=2∠CAP+2∠CPA， ∵BE＝BC， ∴∠CEA=∠BCE， ∴∠CBA=2∠CEA， ∵∠DCB=2∠CAP+∠CBA=2∠CAP+2∠CEA， ∴∠DCB=2∠CAP+2∠CPA=2∠CAP+2∠CEA， ∴∠CPA＝∠CEA，故⑤正确． 故选A． 二、填空题 9．如图，点P是平分线上一点，，垂足分别是E和F，若，则 ． 【答案】6 【详解】解：∵平分，且， ∴， 故答案为：6． 10．如图所示，在中，，平分，，，那么的面积是 ． 【答案】15 【详解】解：∵过点D作于点E， ∵平分，， ∴． ∵， ∴． 故答案为15． 11．如图，若的平分线与外角的平分线相交于点P，连接，若，则 ． 【答案】 【详解】解：延长，做， 设， 平分， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 12．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8，CA＝6，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于 ． 【答案】2 【详解】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BC=8cm，CA=6cm， ∴==10（cm）， ∵点O为△ABC的三条角平分线的交点， ∴OE=OF=OD， 设OE=x， ∵ ∴ ∴5x+3x+4x=24， ∴x=2， 即点O到三边AB，AC和BC的距离都等于2． 故答案为2． 三、解答题 13．如图，已知一块四边形模具，现工人师傅要在边上凿一个孔E，使孔E到边的距离和孔E到边的距离相等．请你利用尺规作图法在边上帮工人师傅找出孔E所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【详解】解：如图，点E即为所求． 14．证明“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．已知：如图，于点C，于点D，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵于点C，于点D， ∴ 在和中， ． 15．已知，平分． (1)如图①，若，，求证：平分； (2)如图②，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：如图：过点E作于点F，则， 平分，，且， ，， 又， ， ， ， ， 平分； （2）证明：如图，延长和相交于点M， ，平分， ，， 是等腰三角形，即， 又， ，即， 在和中， ， ， ． 16．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为AC中点，F为BC上一点，AF⊥BD于E． (1)使用尺规完成基本作图：作∠BAC的角平分线交BD于G．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)填空： 求证：AG＝CF． 证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC ∴∠ABC＝∠C＝　　° ∵AG平分∠BAC ∴∠BAG＝∠BAC＝45°（ 　 　）（填推理依据） ∴∠BAG＝∠C ∵AF⊥BD ∴∠AEB＝90°＝∠　　 ∴∠1+∠BAE＝90°，∠2+∠BAE＝90° ∴∠1＝∠2 ∴△ACF≌　 　 ∴AG＝CF 【答案】(1)见解析 (2)45；角平分线的定义；BAC；△BAG 【详解】（1）解：以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB与AC各一点，然后以这两点为圆心适当长为半径画弧，两弧交于∠BAC内一点，过这点作射线交BD于G， 如图，AG为所作； （2）求证：AG＝CF． 证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝45°， ∵AG平分∠BAC， ∴∠BAG＝∠BAC＝45°（角平分线的定义）， ∴∠BAG＝∠C， ∵AF⊥BD， ∴∠AEB＝90°＝∠BAC， ∴∠1+∠BAE＝90°，∠2+∠BAE＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴△ACF≌△BAG（ASA）， ∴AG＝CF． 故答案为：45；角平分线的定义；BAC；△BAG． 17．如图，已知中，平分，且，点是延长线上一点，且，过点作于点． (1)求证：； (2)判断的形状并说明理由． (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形 (3) 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中， ， ， （2）是等腰三角形． 证明：过作，与的延长线交于点，如图， ，，， ， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （3）设， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $