专题 2.1 有理数的加法（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的加法这一核心知识点，系统梳理同号、异号、互为相反数及与0相加的四种法则，结合加法交换律和结合律构建知识体系，通过基础题型（直接计算、生活实例、数轴模型）到综合提升题型（简便运算、实际应用、概念辨析）的递进设计，形成完整学习支架。 资料以分层题型精析为特色，生活实例（如水位变化、温度升降）和数轴运动模型助力学生用数学眼光观察现实世界，概念辨析与简便运算训练提升运算能力和推理意识，同步检测覆盖选择、填空、解答题，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题 2.1 有理数的加法（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 学习目标 1 【知识点一】有理数加法法则 2 【知识点二】有理数加法运算律 2 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】直接利用有理数加法法则计算 3 【题型2】有理数加法的实际意义（生活实例） 5 【题型3】数轴与有理数加法（运动模型） 6 三.题型精析（综合提升） 8 【题型4】利用加法运算律简便运算 8 【题型5】有理数加法综合实际应用题（基准量问题） 10 【题型6】辨析有理数加法结论（概念辨析） 13 四.同步检测 15 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 15 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 19 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 22 19．（本小题满分8分） 22 20．（本小题满分8分） 22 21．（本小题满分10分） 23 22．（本小题满分10分） 23 23．（本小题满分10分） 24 24．（本小题满分12分） 25 一.知识梳理与解读 学习目标 1. 理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，能熟练进行整数、小数、分数的有理数加法运算。 2. 掌握有理数加法交换律、结合律，能够灵活运用运算律简化有理数加法运算。 3. 能够利用有理数加法解决生活中的实际问题，包括行程、温度、收支、质量统计等问题。 4. 结合数轴理解有理数加法的几何意义，初步体会数形结合的数学思想。 【知识点一】有理数加法法则 有理数加法主要分为四种运算情况：同号两数相加、异号两数相加、互为相反数相加、一个数与0相加。 1. 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 2. 绝对值不相等的异号两数相加：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3. 互为相反数的两个数相加：和为0。 4. 一个数同0相加：仍得这个数。 【要点提示】 ① 有理数加法运算必须遵循先定符号，后算绝对值的顺序，符号判断是运算核心； ② 互为相反数相加得0，是异号两数相加的特殊情况； ③ 有理数相加的和不一定大于任意一个加数，加上负数时，和会小于原数； ④ 所有有理数加法运算，最终结果都要化为最简形式。 【知识点二】有理数加法运算律 有理数范围内，加法交换律和结合律仍然成立，可用于简化多位数加法运算。 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 公式： 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 公式： 【要点提示】 ① 运算律可推广到多个有理数相加，可任意调换加数位置、自由分组结合； ② 简便运算常用技巧：互为相反数优先结合凑0、同号数集中结合、同分母分数结合、小数凑整结合； ③ 运用运算律时，移动加数位置要连带数字前面的符号一起移动。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】直接利用有理数加法法则计算 【例题1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则．各个小题均根据有理数的加法法则：同号两数相加，和取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，和取绝对值较大加数的符号，大绝对值减去小绝对值，任何数与0相加仍得这个数，进行计算即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式． 【变式1】（2025·河南南阳·模拟预测）下面的数中，与的和为0的是（     ） A．2022 B． C． D． 【答案】A 解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 【变式2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）与的和的相反数是_________． 【答案】16 解：． 【变式3】（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知有理数的加法计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法计算法则求解即可； （2）根据有理数的加法计算法则求解即可． （1）解： ； （2）解： ． 小结：运算口诀：先判类型，再定符号，最后算绝对值。 【题型2】有理数加法的实际意义（生活实例） 【例题2】（26-27七年级·全国·暑假作业）某河流警戒水位为0米，一周内水位变化如下（单位：米）：．问周末水位比周初升高还是降低了？变化了多少？ 【答案】水位没有变化（或变化了0米） 【分析】根据有理数的加法，可得周末的水位，根据有理数的大小比较，可得答案． 解：周日的水位为（米）， 所以水位没有变化（或变化了0米）． 【变式1】（2026·吉林长春·模拟预测）某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】温度上升是在原气温基础上做加法运算，直接计算即可得到结果． 解：因为早上气温为，中午温度上升 ， 所以中午温度为． 【变式2】（24-25七年级上·广东深圳·期中）手机移动支付给生活带来便捷，如图是小明的爸爸在2024年国庆节期间某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小明的爸爸当天微信收支的最终结果是______． 【答案】收入4元 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加法的应用，熟练掌握有理数加法运算法则是解题的关键． 列出算式，计算即可求解． 解： （元） ∴小明的爸爸当天微信收支的最终结果是收入4元． 故选：收入4元． 【变式3】（26-27七年级·全国·暑假作业）为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，．问：若出车地记为，则最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？ 【答案】千米 解：， ∴送完最后一名老师后，在出车地点的西边千米处． 答：小王距出车地点的距离是千米． 【题型3】数轴与有理数加法（运动模型） 【例题3】（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）快递员骑车从邮递站出发，先向东骑行到达A小区，继续向东骑行到达B小区，然后向西骑行到达C小区，最后回到邮递站． （1）以邮递站为原点，以向东方向为正方向，用表示，画出数轴，并在该数轴上表示出A，B，C三个小区的位置． （2）C小区离A小区有多远？ （3）快递员一共骑行了多少千米？ 【答案】（1）见分析；（2）6千米；（3）18千米 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减的应用，能读懂题意是解此题的关键． （1）根据已知条件在数轴上表示出来即可； （2）根据题意列出算式，即可得出答案； （3）根据题意列出算式，即可得出答案． （1）解：如图所示： （2）解：A点对应数字是2，B点对应数字是5，C点对应数字是． 所以C小区离A小区距离； （3）解：（千米）． 答 快递员一共骑行了18千米． 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，数轴上的一个点，从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点右边个单位长度处，根据图写出的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，数轴，解题的关键是理解一对具有相反意义的量可以用正负数表示．根据数轴列出算式即可． 解：根据题意得：． 故选：B． 【变式2】（2026·陕西·一模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则__________0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】异号两数相加，符号取绝对值较大的数的符号，根据数轴比较两数的绝对值即可． 解：由数轴可知，，且， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）如图，A，B，C为数轴（单位长度为1）上的三点，且满足A点到B点的距离是9，B点到C点的距离是3． （1）若原点落在点B处，则点A表示的数是____，点C表示的数是____． （2）若A，C表示的数互为相反数，则此时点B表示的数是____． （3）用P表示A，B，C三点表示的数之和，若将原点从点B向左移动2个单位，求此时P的值． 【答案】（1）；3；（2）3；（3）0 【分析】本题考查数轴的综合应用，熟练掌握点在数轴上的表示、数轴的意义及三要素、相反数的意义和性质等是解题关键． （1）根据原点位置结合，即可解答； （2）根据各点之间的位置关系、原点位置及相反数的性质解答； （3）先表示出三点表示的数，求和即可. （1）解：原点落在点处，， 点表示的数是 点表示的数是 故答案为：； （2）解：， ， 表示的数互为相反数， 点表示的数是,点表示的数是， 此时点表示的数是， 故答案为：； （3）解：将原点从点向左移动2个单位： 点表示的数是2， ， 点表示的数是,点表示的数是 表示三点表示的数之和， ． 三.题型精析（综合提升） 【题型4】利用加法运算律简便运算 【例题4】（2.4有理数加减的加减运算大题专练（七大类型重难点培优提升）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学上册同步备课系列（人教版2024））利用加法运算律简便运算． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数加法运算： （1）利用加法交换律和结合律进行简算即可； （2）利用加法交换律和结合律进行简算即可； （3）利用加法交换律和结合律进行简算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式1】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段检测）在计算时，下面四种方法运算过程正确且比较简便的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】有理数的加减混合运算，运用加法交换律和结合律，将同分母的结合即可简便计算． 解：． 故选：D． 【点拨】本题考查有理数的加减法混合运算，涉及加法交换律和加法结合律的运用，注意到题目的特征是解决问题的关键． 【变式2】（25-26六年级上·全国·课后作业）填空： _______+_____________+____________． 从中可知，分别把 ____数和 ____数结合在一起相加，计算更简便． 【答案】 正 负 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，解题关键是熟练掌握有理数加法运算律． 先交换加数的位置，然后根据加法的结合律，把正数和正数，负数和负数相结合，进行简便计算即可． 解： ， 从中可知，分别把正数和负数结合在一起相加，计算更简便， 故答案为：，，，，，正，负． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）； 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． （2）仿照（1）中的方法计算：． 【答案】（2）． 【分析】（2）根据题中所给的方法，就是把带分数的整数部分和分数部分拆开分别利用加法结合律进行计算即可得到答案． 解：（2）原式 ． 【点拨】本题主要考查了有理数的加法计算，解题的关键在于能够熟练掌握有理数加法计算的计算法则． 简便思路总结：①相反数优先凑0；②正、负数分别归类结合；③凑整简化运算。 【题型5】有理数加法综合实际应用题（基准量问题） 【例题5】（25-26七年级上·河北沧州·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北方向公路巡视养护．某天早晨，他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：千米）如下：,,,,,,,．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． （1）地在地的哪个方向？它们相距多少千米？ （2）如果汽车行驶1千米平均耗油升，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】（1）地在地的南边，它们相距5千米；（2）这天汽车共耗油升 【分析】（1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可； （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出这天共耗油多少升即可． 解：（1） ， 地在地的南边，它们相距5千米． （2）由题可得： ， （升）， 这天汽车共耗油升． 【变式1】（2026·河北沧州·三模）电动汽车的续航里程与能耗密切相关，若将“充电增加的续航里程”记为正，则“行驶消耗的续航里程”为其相反意义的量．某车型充电后获得公里续航（记为公里），行驶中消耗的续航里程记为该数值的相反数，此时剩余续航里程变化后对应的数值为（     ） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 【答案】C 【分析】根据正负数的意义与相反数的概念，先根据题意得到消耗续航的计数，再计算得到最终结果． 解：∵充电后获得的续航记为公里， ∴消耗的续航里程记为公里， ∴变化后对应的数值为公里． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）随着移动支付的普及，小晨妈妈近期使用“支付宝”进行了五笔交易，账单如下所示，已知原来账户内有元，则五笔交易后账户内余额为______元． 支付宝账单 买菜支出元    一箱纸巾支出元    转账收入元    餐饮支出元    地铁支出5元   【答案】 【分析】本题考查正数与负数；理解正数与负数在实际问题中的意义，利用有理数加减进行准确运算是解题的关键．计算五笔交易的净变化值，再与初始余额相加． 解：初始余额为元，五笔交易金额依次为：元、元、元、元、元， 交易净变化为： （元） 最终余额为（元）． 故答案为932． 【变式3】（24-25七年级上·河南平顶山·期末）小丽和小彬按下列规则做游戏：在一副扑克牌（去掉大小王）中两人各抽取5张，正面是红色的牌面数字记为正数，正面是黑色的牌面数字记为负数，然后计算各自抽取的扑克牌数字和，结果大的为获胜者．已知他们抽取的扑克牌如下表（红桃、方块为红色；黑桃、梅花为黑色）： 小丽抽取的扑克牌 红桃5 黑桃9 方块12 梅花11 红桃8 小彬抽取的扑克牌 黑桃6 红桃13 梅花12 方块10 黑桃2 请通过计算判断获胜的是谁？ 【答案】小丽获胜 【分析】先用正、负数表示出个数，再相加，据此分别求出小丽、小彬抽取扑克牌的数字和，然后比较即可解答． 解：由题意可得： 小丽抽到的数字之和为， 小彬抽到的数字之和为， ∵， ∴小丽获胜． 【题型6】辨析有理数加法结论（概念辨析） 【例题6】（25-26七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题． 解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·湖北恩施·期中）若且，则下列正确的是（    ） A．，异号，负数的绝对值大 B．，异号，且 C．，异号，且 D．，异号，正数的绝对值大 【答案】A 【分析】由且，可得a,b异号且负数的绝对值大求解即可． 解：∵， ∴a、b异号． ∵， ∴负数的绝对值大，即A答案正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的性质的运用，掌握并灵活运用有理数的性质是解答本题的关键． 【变式3】（24-25七年级上·陕西·阶段检测）用“”或“”填空： （1）如果，那么______0； （2）如果，那么______0； （3）如果，那么______0； （4）如果，那么______0． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 解：（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点拨】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2024·安徽·模拟预测）下列数中与的和为0的是（     ） A． B．6 C． D． 【答案】B 解：∵ 两数之和为，其中一个加数为， ∴ 另一个数为， 观察四个选项，只有选项B符合题意． 2．（2026·山西长治·三模）下列各数中比大3的数是（     ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题意列出加法算式，计算结果后匹配选项即可． 解：根据题意，要求比大的数，可列式计算得到 ∴所求的数是． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，掌握相反数的定义，化简绝对值，由数轴可知，，，由b与c互为相反数，得，，据此逐项判断即可． 解：∵b与c互为相反数， ∴，故选项A正确； 由数轴图可知，，，，故选项C正确； ∴，， 故选项B错误；选项D正确； 故选：B． 4．（24-25七年级上·四川成都·期中）下列结论不正确的是（     ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】D 【分析】根据有理数加法法则判断各选项的正误，选出结论不正确的选项即可． 解：，，同号两数相加，取相同的符号， ∴， ∴A结论正确， ，，，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号， ∴， ∴B结论正确； ，，同号两数相加，取相同的符号， ∴， ∴C结论正确； ，，，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号， ∴， ∴D结论不正确． 5．（2026·吉林长春·一模）嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵题目规定支出记作负数，收入记作正数， ∴支出元可记为，获得元收入可记为， ∴嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为． 6．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“变化后的温度等于初始温度加上上升的温度”，据此列式求出上升后的温度，再结合各选项即可解答． 解：，即选项C符合题意． 7．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）如图是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【答案】A 【分析】本题考查加法运算律，根据加法交换律和结合律判断即可求解． 解：根据计算过程，第①步使用了加法交换律，第②步使用了加法结合律， 故选：A． 8．（25-26七年级上·江西赣州·期中）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列的算式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算及古代算筹的表示规则，解题的关键是根据“正放表示正数、斜放表示负数”的规则确定图1中算筹对应的数． 先依据算筹的表示规则，确定图2中正放、斜放算筹对应的数，再列出加法算式计算结果． 解：根据题意，正放的算筹表示正数，斜放的表示负数： 图1中，正放的算筹有3根，表示； 图2中，斜放的算筹有4根，表示； 因此算式为． 故选 C． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列运算结果正确的个数为（   ） ①；     ②； ③；           ④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加法，根据有理数的加法法则逐一计算即可判断． 解：①，此小题计算正确； ②，此小题计算正确； ③，此小题计算正确； ④，此小题计算正确． 综上，四个运算均正确， 故选：A． 10．（24-25七年级上·河南郑州·期末）某班一个小组的10名学生参加体检，为了方便记录测得的体重结果，他们以为标准，超出记为正数，低于记为负数，得到如下数据：（单位：） ，，，，，0，，，， 则这10名学生中的最小体重是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，有理数加法运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先把这些数用据比较大小，然后进行计算即可； 解：∵ ∴ ∴这10名学生中的最小体重是 故选：B． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）数轴上点A表示，将点A向右移动5个单位长度后表示的数是_____． 【答案】2 解：∵数轴上点表示， ∴将点向右移动5个单位长度后表示的数是． 12．（23-24七年级上·广东中山·阶段检测）将改写成省略加号的和的形式应为__________． 【答案】 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 解：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 13．（24-25七年级上·江苏扬州·周测）一种零件的长度在图纸上标为（单位：）表示这种零件的长度应是，加工要求最大不超过_________． 【答案】 【分析】根据标注的意义，最大不超过标准长度加上允许的正偏差，计算即可得到结果． 解：由题意得，加工要求的最大长度为． 14．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）将不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记为，比如，那么______． 【答案】 【分析】本题考查新有理数的运算，先根据题目中的定义得到正确的有理数，再进行有理数的加法运算求解即可． 解：， 故答案为：． 15．（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）若，且，那么的值是________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义确定x和y的所有可能取值，再结合的条件筛选出符合的取值，最后计算的值即可. 解：∵， ∴． ∵， ∴或． 当时， ； 当时， ． 故答案为或． 16．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）我国是最早认识负数并进行相关计算的国家，在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）实施“正负术”的方法，如图1表示的是计算的运算过程．按照这种方法，图2中表示的计算过程，其结果是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，由图1可以看出白色表示负数，黑色表示正数，观察图2即可列式求解，掌握有理数加法的运算法则是关键． 解：根据图1可知：白色表示负数，黑色表示正数， 图2表示的计算过程为：． 故答案为：． 17．（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）如图，小明设计了一个计算程序，并按此程序进行了计算，若开始输入的数为−7，则最后输出的数为______． 【答案】 【分析】根据题意列式计算即可． 解：依题意，输出结果为：， 故答案为： 【点拨】本题考查有理数的加法，掌握有理数的加法法则和加法运算律是解题的关键． 18．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段检测）下列运用有理数加法法则，思考、计算“”的正确排序为______． 结果的符号是取的负号；    和的绝对值分别为和，大于； 是异号两数相加；    结果的绝对值是用得到； 计算结果为； 【答案】或 【分析】本题考查了异号两数相加的法则，先判断式子是异号两数相加，再运用异号两数相加的法则，结果的符号和绝对值大的数的符号相同，最后用较大绝对值减去较小绝对值即可，熟悉异号两数相加的计算步骤是解题的关键． 解：计算“”的步骤为， 是异号两数相加； 和的绝对值分别为和，大于； 结果的符号是取的负号； 结果的绝对值是用得到； 计算结果为； 或是异号两数相加； 和的绝对值分别为和，大于； 结果的绝对值是用得到； 结果的符号是取的负号； 计算结果为； 故答案为：或． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27七年级·全国·暑假作业）计算下列各题： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） （1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·江苏扬州·周测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）35 【分析】（1）先化简绝对值与去括号，再利用加法运算律将互为相反数的项合并，最后计算剩余部分即可得到结果； （2）先化简绝对值与去括号，再利用加法交换律和结合律，将同分母分数与小数分别分组计算，最后求和即可． （1）解： ； （2）解： ． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【正负数的应用】王莹是一名登山爱好者，周日几个好友相约一起登山，山脚下海拔高度为250米．早上8点时已登到海拔480米处，于是稍作休息，又向上行进了180米．此时天突然刮起大风，为了安全，只好再向上行进了米，到达一个安全地点．此安全地点海拔多少米？ 【答案】安全地点海拔米 【分析】本题考查有理数的加法，利用有理数的加法解答即可． 解：米， 答：安全地点海拔米． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·重庆·阶段检测）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键； （1）根据有理数的加法运算可进行求解； （2）根据有理数的加法法则可进行求解； （3）根据有理数的加法交换律和结合律可进行求解； （4）根据有理数的加法交换律可进行求解． （1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 ． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． （1）解： ． （2）解： ． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·北京延庆·期中）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． （1）观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． （2）计算：； （3）有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 【答案】（1）同号得正，异号得负，再把绝对值相加；正数与0“”运算得它本身，负数与0“” 运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值；（2）9；（3）不适用， 例如：           ；    这时，，所以结合律在有理数的“”运算中不适用 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算； （1）观察新定义运算，类比有理数的运算法则，写出“”运算法则，即可求解； （2）根据（1）中的运算法则进行计算即可求解； （3）根据新定义运算与有理数加法结合律，分别举例计算和，即可求解． （1）解： “”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加. 一个数与0进行“”运算时，正数与0“”运算得它本身，负数与0“”运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值 （2）解： （3）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.1 有理数的加法（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 学习目标 1 【知识点一】有理数加法法则 2 【知识点二】有理数加法运算律 2 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】直接利用有理数加法法则计算 3 【题型2】有理数加法的实际意义（生活实例） 3 【题型3】数轴与有理数加法（运动模型） 4 三.题型精析（综合提升） 5 【题型4】利用加法运算律简便运算 5 【题型5】有理数加法综合实际应用题（基准量问题） 6 【题型6】辨析有理数加法结论（概念辨析） 6 四.同步检测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 19．（本小题满分8分） 10 20．（本小题满分8分） 10 21．（本小题满分10分） 10 22．（本小题满分10分） 10 23．（本小题满分10分） 10 24．（本小题满分12分） 11 一.知识梳理与解读 学习目标 1. 理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，能熟练进行整数、小数、分数的有理数加法运算。 2. 掌握有理数加法交换律、结合律，能够灵活运用运算律简化有理数加法运算。 3. 能够利用有理数加法解决生活中的实际问题，包括行程、温度、收支、质量统计等问题。 4. 结合数轴理解有理数加法的几何意义，初步体会数形结合的数学思想。 【知识点一】有理数加法法则 有理数加法主要分为四种运算情况：同号两数相加、异号两数相加、互为相反数相加、一个数与0相加。 1. 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 2. 绝对值不相等的异号两数相加：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3. 互为相反数的两个数相加：和为0。 4. 一个数同0相加：仍得这个数。 【要点提示】 ① 有理数加法运算必须遵循先定符号，后算绝对值的顺序，符号判断是运算核心； ② 互为相反数相加得0，是异号两数相加的特殊情况； ③ 有理数相加的和不一定大于任意一个加数，加上负数时，和会小于原数； ④ 所有有理数加法运算，最终结果都要化为最简形式。 【知识点二】有理数加法运算律 有理数范围内，加法交换律和结合律仍然成立，可用于简化多位数加法运算。 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 公式： 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 公式： 【要点提示】 ① 运算律可推广到多个有理数相加，可任意调换加数位置、自由分组结合； ② 简便运算常用技巧：互为相反数优先结合凑0、同号数集中结合、同分母分数结合、小数凑整结合； ③ 运用运算律时，移动加数位置要连带数字前面的符号一起移动。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】直接利用有理数加法法则计算 【例题1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（2025·河南南阳·模拟预测）下面的数中，与的和为0的是（     ） A．2022 B． C． D． 【变式2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）与的和的相反数是_________． 【变式3】（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）计算： （1）； （2）． 小结：运算口诀：先判类型，再定符号，最后算绝对值。 【题型2】有理数加法的实际意义（生活实例） 【例题2】（26-27七年级·全国·暑假作业）某河流警戒水位为0米，一周内水位变化如下（单位：米）：．问周末水位比周初升高还是降低了？变化了多少？ 【变式1】（2026·吉林长春·模拟预测）某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·广东深圳·期中）手机移动支付给生活带来便捷，如图是小明的爸爸在2024年国庆节期间某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小明的爸爸当天微信收支的最终结果是______． 【变式3】（26-27七年级·全国·暑假作业）为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，．问：若出车地记为，则最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？ 【题型3】数轴与有理数加法（运动模型） 【例题3】（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）快递员骑车从邮递站出发，先向东骑行到达A小区，继续向东骑行到达B小区，然后向西骑行到达C小区，最后回到邮递站． （1）以邮递站为原点，以向东方向为正方向，用表示，画出数轴，并在该数轴上表示出A，B，C三个小区的位置． （2）C小区离A小区有多远？ （3）快递员一共骑行了多少千米？ 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，数轴上的一个点，从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点右边个单位长度处，根据图写出的算式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西·一模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则__________0．（填“”“”或“”） 【变式3】（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）如图，A，B，C为数轴（单位长度为1）上的三点，且满足A点到B点的距离是9，B点到C点的距离是3． （1）若原点落在点B处，则点A表示的数是____，点C表示的数是____． （2）若A，C表示的数互为相反数，则此时点B表示的数是____． （3）用P表示A，B，C三点表示的数之和，若将原点从点B向左移动2个单位，求此时P的值． 三.题型精析（综合提升） 【题型4】利用加法运算律简便运算 【例题4】（2.4有理数加减的加减运算大题专练（七大类型重难点培优提升）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学上册同步备课系列（人教版2024））利用加法运算律简便运算． （1）； （2）； （3）． 【变式1】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段检测）在计算时，下面四种方法运算过程正确且比较简便的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级上·全国·课后作业）填空： _______+_____________+____________． 从中可知，分别把 ____数和 ____数结合在一起相加，计算更简便． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）； 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． （2）仿照（1）中的方法计算：． 简便思路总结：①相反数优先凑0；②正、负数分别归类结合；③凑整简化运算。 【题型5】有理数加法综合实际应用题（基准量问题） 【例题5】（25-26七年级上·河北沧州·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北方向公路巡视养护．某天早晨，他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：千米）如下：,,,,,,,．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． （1）地在地的哪个方向？它们相距多少千米？ （2）如果汽车行驶1千米平均耗油升，那么这天汽车共耗油多少升？ 【变式1】（2026·河北沧州·三模）电动汽车的续航里程与能耗密切相关，若将“充电增加的续航里程”记为正，则“行驶消耗的续航里程”为其相反意义的量．某车型充电后获得公里续航（记为公里），行驶中消耗的续航里程记为该数值的相反数，此时剩余续航里程变化后对应的数值为（     ） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）随着移动支付的普及，小晨妈妈近期使用“支付宝”进行了五笔交易，账单如下所示，已知原来账户内有元，则五笔交易后账户内余额为______元． 支付宝账单 买菜支出元    一箱纸巾支出元    转账收入元    餐饮支出元    地铁支出5元   【变式3】（24-25七年级上·河南平顶山·期末）小丽和小彬按下列规则做游戏：在一副扑克牌（去掉大小王）中两人各抽取5张，正面是红色的牌面数字记为正数，正面是黑色的牌面数字记为负数，然后计算各自抽取的扑克牌数字和，结果大的为获胜者．已知他们抽取的扑克牌如下表（红桃、方块为红色；黑桃、梅花为黑色）： 小丽抽取的扑克牌 红桃5 黑桃9 方块12 梅花11 红桃8 小彬抽取的扑克牌 黑桃6 红桃13 梅花12 方块10 黑桃2 请通过计算判断获胜的是谁？ 【题型6】辨析有理数加法结论（概念辨析） 【例题6】（25-26七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·湖北恩施·期中）若且，则下列正确的是（    ） A．，异号，负数的绝对值大 B．，异号，且 C．，异号，且 D．，异号，正数的绝对值大 【变式3】（24-25七年级上·陕西·阶段检测）用“”或“”填空： （1）如果，那么______0； （2）如果，那么______0； （3）如果，那么______0； （4）如果，那么______0． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2024·安徽·模拟预测）下列数中与的和为0的是（     ） A． B．6 C． D． 2．（2026·山西长治·三模）下列各数中比大3的数是（     ） A． B． C．0 D．2 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·四川成都·期中）下列结论不正确的是（     ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，且，则 5．（2026·吉林长春·一模）嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）如图是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 8．（25-26七年级上·江西赣州·期中）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列的算式为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列运算结果正确的个数为（   ） ①；     ②； ③；           ④． A．4 B．3 C．2 D．1 10．（24-25七年级上·河南郑州·期末）某班一个小组的10名学生参加体检，为了方便记录测得的体重结果，他们以为标准，超出记为正数，低于记为负数，得到如下数据：（单位：） ，，，，，0，，，， 则这10名学生中的最小体重是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）数轴上点A表示，将点A向右移动5个单位长度后表示的数是_____． 12．（23-24七年级上·广东中山·阶段检测）将改写成省略加号的和的形式应为__________． 13．（24-25七年级上·江苏扬州·周测）一种零件的长度在图纸上标为（单位：）表示这种零件的长度应是，加工要求最大不超过_________． 14．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）将不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记为，比如，那么______． 15．（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）若，且，那么的值是________． 16．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）我国是最早认识负数并进行相关计算的国家，在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）实施“正负术”的方法，如图1表示的是计算的运算过程．按照这种方法，图2中表示的计算过程，其结果是______． 17．（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）如图，小明设计了一个计算程序，并按此程序进行了计算，若开始输入的数为−7，则最后输出的数为______． 18．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段检测）下列运用有理数加法法则，思考、计算“”的正确排序为______． 结果的符号是取的负号；    和的绝对值分别为和，大于； 是异号两数相加；    结果的绝对值是用得到； 计算结果为； （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27七年级·全国·暑假作业）计算下列各题： （1）； （2）； （3）． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·江苏扬州·周测）计算： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【正负数的应用】王莹是一名登山爱好者，周日几个好友相约一起登山，山脚下海拔高度为250米．早上8点时已登到海拔480米处，于是稍作休息，又向上行进了180米．此时天突然刮起大风，为了安全，只好再向上行进了米，到达一个安全地点．此安全地点海拔多少米？ 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·重庆·阶段检测）计算： （1） （2） （3） （4） 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． （1）计算：； （2）计算：． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·北京延庆·期中）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． （1）观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． （2）计算：； （3）有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $