第一单元 有理数 讲义 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

该初中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理有理数核心概念，涵盖正数负数、分类、数轴等七大知识点，用表格对比有理数分类标准，思维导图呈现相反数与绝对值的内在联系，突出数轴三要素、绝对值非负性等重难点。 练习设计注重分层与应用，基础题如“质量标准（310±5）克”辨析培养模型意识，综合题如数轴动点问题发展几何直观，通过分类讨论绝对值化简提升推理能力。课后小练习涵盖选择、解答等题型，助力不同层次学生巩固，教师可据此实施精准教学。

第一单元 有理数 知识点梳理 知识点梳理01：正数和负数 定义：像+3、+1.5、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． （1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负． （3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线． 知识点梳理02：有理数的分类 （1）按定义分类： （2）按符号分类：　 　　　 　　 （1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数. （2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如． （3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数． 知识点梳理03：数轴 1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点诠释： （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如. 要点诠释： （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示. （2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 知识点梳理04：相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点诠释： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.性质： （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点梳理05：多重符号的化简 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 . 要点诠释： 　（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5. 　（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3. 知识点梳理06：绝对值 1．定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点诠释： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2．性质： （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点梳理07：有理数大小比较 1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2．法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点诠释： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立． 4． 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反． 5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小． 习题练习 【类型1 有理数】 【例题1】（2026•南宁校级开学）一种罐装速溶咖啡的质量标准为净重（310±5）克，下列（　　）的咖啡符合此标准． A． 净重301克 B．净重309克 C．净重318克 D．净重320克 【变式1】（2026•汇川区四模）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中记载了用标杆测量太阳高度的方法．若规定标杆露出地面4尺记作+4尺，则标杆埋入地下3尺记作（　　） A．+4尺 B．﹣4尺 C．+3尺 D．﹣3尺 【变式2】（2026春•香坊区期末）如果+50元表示收入50元，那么﹣30元表示　 　 ． 【类型2 有理数分类】 【例题1】（2025秋•遂溪县期末）在3.14，，，0，0.2020020002中，有理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题2】（2025秋•二道区校级期末）下列说法中，错误的是（　　） A．所有整数都是有理数 B．所有小数都是有理数 C．所有分数都是有理数 D．π不是有理数 【变式1】（2025秋•建邺区校级期末）下列说法：①0既不是正数也不是负数；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【变式2】（2025秋•九龙坡区校级期末）把下列各有理数填入相应的集合内： ． 负有理数集合：{　 　 …}； 整数集合：{　 　 …}； 负分数集合：{　 　 …}； 非负有理数集合：{　 　 …}． 【类型3 数轴】 【例题1】（2025秋•新罗区校级月考）如图，下列表示的数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【例题2】1（2026•咸阳校级模拟）如图，在数轴上，点A表示2，点B表示﹣1，则点A、B之间的距离是　 　 ． 【例题3】（2026春•岱岳区校级月考）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB＝6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有　 　 ． ①B对应的数是2； ②点P到达点B时，t＝3； ③BP＝2时，t＝2； ④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． 【变式1】（2026•河东区校级模拟）如图，则有理数a在数轴上对应的数据可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2026•东台市二模）如图，将一刻度尺放在数轴上．若刻度尺上5cm和7cm对应数轴上的点表示的数分别为﹣2和0，则数轴上的点3对应刻度尺上的　 　 cm． 【变式2】（2025秋•青县期末）A，B，C是数轴上的三个点，点A表示数3，且点A、B的距离为4，C为线段AB的中点，点C在数轴上表示的数是 　 　 ． 【类型4 相反数】 【例题1】（2026•贺州一模）2026的相反数是（　　） A． B．﹣2026 C．2026 D． 【例题2】(1) －(－2.5)的相反数是 ；(2) 是-100的相反数；(3) 是 的相反数； (4) 的相反数是-1.1；(5)8.2和 互为相反数.（6）a和 互为相反数 . （7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身． 【例题3】（2026•让胡路区校级模拟）﹣b+a的相反数是（　　） A．﹣a+b B．﹣a﹣b C．b+a D．a﹣b 【变式1】（2026•阳谷县校级模拟）下列说法中错误的是（　　） A．在一个数前面添加一个“﹣”号，就变成原数的相反数 B．与2.2互为相反数 C．的相反数是﹣0.3 D．如果两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 【变式2】（2025秋•邹城市期末）若a﹣2与b+3互为相反数，则a+b的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【变式3】（2025秋•朝天区期中）如图，数轴上的点A、B、C、D、E分别表示什么数？其中哪些数是互为相反数？ 【变式4】（2025秋•平桥区月考）如图，A，B，C为数轴（单位长度为1）上的三点，且满足A点到B点的距离是9，B点到C点的距离是3． （1）若原点落在点B处，则点A表示的数是　 　 ，点C表示的数是　 　 ． （2）若A，C表示的数互为相反数，则此时点B表示的数是　 　 ． （3）用P表示A，B，C三点表示的数之和，若将原点从点B向左移动2个单位，求此时P的值． 【类型5 多重符号的化简】 【例题1】（2025秋•德州月考）化简： （1）﹣（+7）＝　 　 ； （2）+（﹣3.7）＝　 　 ； （3）﹣（﹣2019）＝　 　 ； （4）　 　 ； （5）+[﹣（﹣8）]＝　 　 ； （6）　 　 ； （7）　 　 ； （8）　 　 ； （9）　 　 ； （10）　 　 ； （11）　 　 ； （12）　 　 ． 【变式1】（2024秋•同步）下列各对数中，哪些数相等？哪些数互为相反数？ （1）+（﹣4）和﹣（+4）； （2）﹣（﹣4）和﹣4； （3）+（﹣4）和+4； （4）﹣（+4）和﹣（﹣4）； （5）+（+4）和﹣（﹣4）． 【类型6 绝对值】 【例题1】（2026•瑶海区三模）﹣2026的绝对值是（　　） A．2026 B．﹣2026 C． D． 【例题2】（2026春•辉县市月考）若|x﹣1|＝2026，则x的值为（　　） A．2027 B．﹣2025 C．﹣2027 D．2027或﹣2025 【例题3】（2025秋•广丰区期中）已知|x|＝8，|y|＝2． （1）求x，y的取值； （2）当x＜y，求3x+y的值． 【例题4】（2025春•同步）若|x﹣3|与|y+6|互为相反数，求x+y的值． 【例题5】（2025秋•芜湖期末）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|， 例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是　 　 ． （2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝　 　 ． （3）|x+1|+|x﹣2025|的最小值为　 　 ． （4）|x+1|+|x﹣2025|＝2029，则x的值为　 　 ． 【变式1】如果｜x｜＝2，那么x＝_____ _ ； 如果｜－x｜＝2，那么x＝______． 如果｜x－2｜＝1，那么x＝ ； 如果｜x｜＞3，那么x的范围是 ． 【变式2】（2025秋•桐柏县月考）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|． 【变式3】（2025秋•双台子区校级月考）若|a+1|+|b+2|＝0． （1）求a，b的值； （2）3|a|﹣|b|的值． 【变式4】（2025秋•顺庆区期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题： （1）当a＝3时，求的值． （2）当a＝﹣5时，求的值． （3）若有理数a、b均不等于零，试求的值． 【变式5】（2025秋•长宁县月考）【阅读】数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系．它是“数形结合”的基础：我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a﹣b|．回答下列问题： （1）几何意义是数轴上表示2的点与表示﹣3的点之间的距离的式子是 　 　 ；式子|a+5|的几何意义是 　 　 ； （2）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝3时，x＝ 　 　 ； （3）当表示x的点在﹣2与5之间移动时，|x﹣5|+|x+2|的值是 　 　 ． 【类型七 有理数大小比较】 【例题1】（2026春•江北区校级月考）下列四个数中，最小的数是（　　） A．﹣3 B．0 C．1 D． 【例题1】（2026•河南模拟）请写出一个绝对值小于5的数：　 　 ． 【例题2】（2025秋•安康期末）在数轴上表示下列各数：﹣5，，0，﹣（﹣2），﹣1.5．并用“＞”连接各数． 【变式1】（2026•枣庄校级模拟）下列有理数的大小关系正确的是（　　） A．|﹣2|＜0 B．|﹣5|＜|+5| C．﹣（﹣5）＜|﹣4| D． 【变式2】（2024秋•同步）比较下列各组数的大小： （1）5与﹣6； （2）﹣3.5与﹣3.6； （3）0与； （4）与； （5）与||； （6）﹣（）与﹣（）； （7）﹣0.5与﹣||； （8）与﹣||． 课后小练习 1．（2026•香洲区校级模拟）下面是某日几个城市的最低气温： 沈阳 北京 石家庄 海口 广州 ﹣25℃ ﹣16℃ ﹣11℃ 32℃ 17℃ 气温最低的城市为（　　） A． 北京 B．石家庄 C．沈阳 D．海口 2．（2026春•海淀区校级期中）如图，直径为1个单位长度的圆，从数轴上表示数﹣2的点向右滚动一周到点N，则点N表示的数为（　　） A．π﹣2 B．π﹣1 C．π+2 D．π 3.（2025秋•澄城县期末）已知整数m同时满足下列两个条件：①在数轴上位于原点左侧；②绝对值大于2且小于6．写出一个符合条件的m的值：　 　 ． 11．（2025秋•利津县月考）下列各数①﹣2.5，②0，③﹣|﹣12|，④，⑤，⑥，⑦﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）其中是非负整数的有　 　 ，正分数是　 　 （填序号）． 4．（2025秋•衡山县月考）有下列说法： （1）﹣3.56既是负数、分数，也是有理数； （2）正整数和负整数统称为整数； （3）0是非正数； （4）7既是正数也是整数，但不是有理数． 其中正确的是 　 　 （填写序号）． 5．（2026春•香坊区校级月考）解决下列问题： （1）把下列各数填在相应的大括号里（只填序号）． ①+10；②0；③﹣3.14；④1.616616661…（两个1之间的6的个数依次增加1）⑤+15%；⑥﹣π；⑦﹣|﹣12|；⑧﹣2026；⑨；⑩0.618． 负数集合{　 　 …}； 分数集合{　 　 …}； 正有理数集合{　 　 …}； （2）在数轴上表示下列各数：0，﹣2.5，，﹣2，+5，并按从小到大顺序排列． 6．（2025秋•秀英区校级期中）有理数：﹣3、﹣|﹣1|、3.14、0、2． （1）在如图所示的数轴上画出表示这5个数的点； （2）比较这5个数的大小，用“＞”号连接起来； （3）把这5个数分别填入表示它所在的数集的圈里： （4）这5个数中，绝对值等于它的相反数的数有 　 　 ． （5）由（1）可知在数轴上表示这5个数的点中，其中两点之间最大距离是多少？（列式计算） 7．（2024秋•贵港期末）有理数：，﹣|﹣1|，3.2，0，2，﹣5． （1）在如图所示的数轴上画出表示这6个数的点； （2）把这6个数用“＜”连接起来； （3）这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有几个； （4）由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是多少？（列式计算） 8．（2025秋•青县期末）某公路养护小组乘车沿一条南北方向公路巡视养护．某天早晨，他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：千米）如下：+18，﹣9，+7，﹣14，﹣6，+13，﹣6，﹣8．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． （1）B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ （2）如果汽车行驶1千米平均耗油0.1升，那么这天汽车共耗油多少升？ 9．（2026春•香坊区校级月考）某仓库周一到周五的货物进出记录如下（+表示进库，﹣表示出库，单位：吨）：+8，﹣3，+5，﹣6，+4． （1）周二结束时，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ （2）周五结束时，仓库共有货物20吨，求仓库原有的货物吨数． 10．（2025秋•怀宁县期中）数轴上表示数a，b的点如图所示． （1）在数轴上分别用A，B两点表示﹣a，﹣b； （2）若表示数b与﹣b的点相距20个单位长度，则数b与﹣b分别是多少？ （3）在（2）的条件下，若表示数a的点与表示数b的相反数的点相距5个单位长度，则数a与﹣a分别是多少？ 11．（2025秋•朝阳区校级月考）已知A，B，C三点对应的有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，其中数a，b互为相反数． （1）判断a，b，c的正负性； （2）若点A与点B相距8个单位长度，点A，C相距2个单位长度，则点A，B，C表示的数各是多少？ 12．（2025秋•钱塘区期末）如图，在单位长度为1的数轴上有三个点A，B，C． （1）若点A表示的数是﹣2，直接写出点B，C表示的数． （2）若点A，C所表示的数互为相反数，求出点B表示的数． （3）若点B与原点之间的距离为3，求出点C表示的数． 13．（2024秋•宁津县校级月考）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置； （2）若数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，求a表示的数是多少？ 14．（2025秋•海城市期末）先阅读下面材料，再完成任务： 【材料】 下列等式：，…，具有a﹣b＝ab+1的结构特征，我们把满足这一特征的一对有理数称为“共生有理数对”，记作（a，b）．例如：，都是“共生有理数对”． 【任务】 （1）在两个数对（﹣2，1）、中，“共生有理数对”是　 　 ； （2）若（x，﹣2）是“共生有理数对”，求x的值． 15．（2025秋•天山区校级期末）“十一”期间，某风景区在7天假期中，每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天增加的人数，负数表示比前一天减少的人数）所示（单位：万人）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 +1.6 +0.8 +0.4 ﹣0.4 ﹣0.8 +0.3 ﹣1.3 若9月30日的游客人数为10万人． （1）这7天内 　 　 号游客的人数最多，　 　 号游客的人数最少． （2）这7天内该风景区平均每天有游客多少万人？ 16．（2025秋•临渭区期末）数学课上，某小组调查了组内6位组员的身高，并以165厘米为标准，记录6位组员身高如表（超过165厘米记为“+”，不足165厘米记为“﹣”），请根据表中信息解决下列问题： 组员 1 2 3 4 5 6 组员身高与选定的身高标准的差/厘米 +5 ﹣12 +8 ﹣9 +6 ﹣4 （1）这6位组员中最高的是 　 　 号组员，最高的组员比最低的组员高 　 　 厘米； （2）根据以上数据，求这6位组员的平均身高． 17．（2025秋•鲤城区校级期末）体育课上，七年级（1）班男生进行了引体向上测试．以能做5个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，其中8名男生的成绩（单位：个）如下：+3，﹣1，+2，0，﹣3，﹣2，0，+1． （1）这8名男生中达到标准的有　 　 人； （2）这8名男生平均每人做了多少个引体向上？ 18．（2024春•靖江市校级月考）记M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n），（其中n为正整数）． （1）计算：M（6）+M（6）； （2）求2M（2022）+M（2023）的值； （3）说明2M（n）与M（n+1）互为相反数． 19．（2025秋•广元校级月考）在学习绝对值后，我们知道绝对值的几何意义，如：|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a﹣b|． [尝试运用] （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数﹣5，﹣1，3，那么点A到点B的距离是 　 　 ，点A到点C的距离是 　 　 （直接填最后结果）； （2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣3，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为 　 　 （用含绝对值的式子表示）； 【拓展探究】 （3）利用数轴探究： ①满足|x﹣3|+|x+1|＝8的x的所有值是 　 　 ； ②设|x﹣3|+|x+1|＝m，当﹣1≤x≤3时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是 　 　 ；当x的值在 　 　 的范围时，|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是2，当x的值取3时，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值是 　 　 ； （4） 试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值． 20．（2025春•绥棱县校级期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． [解决问题]解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时， 则1+1+1＝3； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0， 则1（﹣1）+（﹣1）＝﹣1． 综上所述，值为3或﹣1． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值． 习题练习 【类型1 有理数】 【例题1】（2026•南宁校级开学）一种罐装速溶咖啡的质量标准为净重（310±5）克，下列（　　）的咖啡符合此标准． B． 净重301克 B．净重309克 C．净重318克 D．净重320克 【解答】解：合格质量最大值为310+5＝315（克）， 最小值为310﹣5＝305（克）， A选项301＜305，C选项318＞315，D选项320＞315，ACD选项均不符合标准； B选项305＜309＜315，B选项符合标准． 故选：B． 【变式1】（2026•汇川区四模）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中记载了用标杆测量太阳高度的方法．若规定标杆露出地面4尺记作+4尺，则标杆埋入地下3尺记作（　　） A． +4尺 B．﹣4尺 C．+3尺 D．﹣3尺 【解答】解：∵规定标杆露出地面4尺记作+4尺， ∴标杆埋入地下3尺记作﹣3尺， 故选：D． 【变式2】（2026春•香坊区期末）如果+50元表示收入50元，那么﹣30元表示　 　 ． 【解答】解：如果+50元表示收入50元， 那么﹣30元表示支出30元， 故答案为：支出30元． 【类型2 有理数分类】 【例题1】（2025秋•遂溪县期末）在3.14，，，0，0.2020020002中，有理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：在所给出的数中，有理数有在3.14，，0，0.2020020002，共4个， 故选：D． 【例题2】（2025秋•二道区校级期末）下列说法中，错误的是（　　） A．所有整数都是有理数 B．所有小数都是有理数 C．所有分数都是有理数 D．π不是有理数 【解答】解：所有整数都是有理数，则A不符合题意； 无限不循环小数不属于有理数，则B符合题意； 所有分数都是有理数，则C不符合题意； π是无限不循环小数，它不是有理数，则D不符合题意； 故选：B． 【变式1】（2025秋•建邺区校级期末）下列说法：①0既不是正数也不是负数；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【解答】解：由0既不是正数也不是负数，整数分为正整数，负整数和0，有理数分为整数和分数，有理数也分为正有理数，负有理数和0可得： ①0既不是正数也不是负数，原说法正确； ②整数包括正整数、负整数和0，原说法错误； ③有理数是整数和分数的统称，原说法错误； ④整数中有负整数小于0，原说法错误； ⑤负分数是有理数，原说法正确． 故选：B． 【变式2】（2025秋•九龙坡区校级期末）把下列各有理数填入相应的集合内： ． 负有理数集合：{　 　 …}； 整数集合：{　 　 …}； 负分数集合：{　 　 …}； 非负有理数集合：{　 　 …}． 【解答】解：负有理数集合：{﹣2，﹣2，﹣|+3.5|，}； 整数集合：{﹣2，0，﹣（﹣3）}； 负分数集合：{﹣2，﹣|+3.5|，}； 非负有理数集合：{0.6，0，﹣（﹣3）}． 故答案为：﹣2，﹣2，﹣|+3.5|，； ﹣2，0，﹣（﹣3）； ﹣2，﹣|+3.5|，； 0.6，0，﹣（﹣3）． 【类型3 数轴】 【例题1】（2025秋•新罗区校级月考）如图，下列表示的数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据数轴的三要素逐项分析判断如下： A、单位长度不一致，本选项不符合题意； B、符合数轴的定义，本选项符合题意； C、没有正方向，本选项不符合题意； D、负数不是从小到大排列，本选项不符合题意； 故选：B． 【例题2】（2026•咸阳校级模拟）如图，在数轴上，点A表示2，点B表示﹣1，则点A、B之间的距离是　 　 ． 【解答】解：数轴上两点之间的距离公式：两点表示的数相减，取绝对值． 点A表示2，点B表示﹣1， 距离：|2﹣（﹣1）|＝|2+1|＝|3|＝3，也可以直接数数轴格子：从﹣1到2，一共3个单位长度． 故答案为：3． 【例题3】（2026春•岱岳区校级月考）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB＝6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有　 　 ． ①B对应的数是2； ②点P到达点B时，t＝3； ③BP＝2时，t＝2； ④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． 【解答】解：已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB＝6，则： ∵点A对应的数为4，且AB＝6，B在A的左侧， ∴点B对应的数是4﹣6＝﹣2，故①错误； 由题意得：4﹣2×3＝﹣2， ∴t＝3时，点P到达点B，故②正确； 分两种情况：当点P在点B的右侧， ∵AB＝6，BP＝2， ∴AP＝AB﹣BP＝6﹣2＝4， ∴4÷2＝2， ∴BP＝2时，t＝2； 当点P在点B的左侧， ∵AB＝6，BP＝2， ∴AP＝AB+BP＝6+2＝8， ∴8÷2＝4， ∴BP＝2时，t＝4， 综上所述，BP＝2时，t＝2或4，故③错误； 分两种情况：当点P在点B的右侧， ∵M，N分别为AP，BP的中点， ∴， ∴， 当点P在点B的左侧， ∵M，N分别为AP，BP的中点， ∴， ∴， ∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确． 故答案为：②④． 【变式1】（2026•河东区校级模拟）如图，则有理数a在数轴上对应的数据可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由数轴可知，点a处于﹣2和﹣1之间且离﹣1较近，因此A选项合适， 故选A． 【变式2】（2026•东台市二模）如图，将一刻度尺放在数轴上．若刻度尺上5cm和7cm对应数轴上的点表示的数分别为﹣2和0，则数轴上的点3对应刻度尺上的　 　 cm． 【解答】解：∵刻度尺上5cm和7cm对应数轴上的点表示的数分别为﹣2和0，且0﹣（﹣2）＝2， ∴刻度尺上的1cm长即为数轴上的一个单位长度， 又∵数轴上的点3在0的右边3个单位长度，7cm对应数轴上的点表示的数是0， ∴数轴上的点3对应刻度尺上的10cm， 故答案为：10． 【变式2】（2025秋•青县期末）A，B，C是数轴上的三个点，点A表示数3，且点A、B的距离为4，C为线段AB的中点，点C在数轴上表示的数是 　 　 ． 【解答】解：∵点A表示数3，且点A、B的距离为4， ∴3+4＝7，3﹣4＝﹣1， ∴点B表示数为7或﹣1， 3+（7﹣3）÷2 ＝3+2 ＝5， ﹣1+[3﹣（﹣1）]÷2 ＝﹣1+2 ＝1， ∴点C在数轴上表示的数是1或5． 故答案为：1或5． 【类型4 相反数】 【例题1】（2026•贺州一模）2026的相反数是（　　） A． B．﹣2026 C．2026 D． 【解答】解：由相反数的定义可知，2026的相反数是﹣2026． 故选：B 【例题2】(1) －(－2.5)的相反数是 ；(2) 是-100的相反数；(3) 是 的相反数； (4) 的相反数是-1.1；(5)8.2和 互为相反数.（6）a和 互为相反数 . （7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身． 【解答】（1）－2.5；（2）100；（3）；（4）1.1；（5）-8.2；（6）-a；（7）负数， 0 . 【例题3】（2026•让胡路区校级模拟）﹣b+a的相反数是（　　） A． ﹣a+b B．﹣a﹣b C．b+a D．a﹣b 【解答】解：∵只有符号不同的两个数叫做互为相反数， ∴﹣b+a的相反数是﹣（﹣b+a）＝﹣a+b． 故选：A． 【变式1】（2026•阳谷县校级模拟）下列说法中错误的是（　　） A．在一个数前面添加一个“﹣”号，就变成原数的相反数 B．与2.2互为相反数 C．的相反数是﹣0.3 D．如果两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 【解答】解：A．在一个数前面添加一个“﹣”号，就变成原数的相反数，说法正确，故本选项不合题意； B.与2.2互为相反数，说法正确，故本选项不合题意； C.的相反数是，所以原说法错误，故本选项符合题意； D．如果两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数，说法正确，故本选项不合题意． 故选：C． 【变式2】2025秋•邹城市期末）若a﹣2与b+3互为相反数，则a+b的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解答】解：根据题意可知，a﹣2+b+3＝0， 解得：a+b＝﹣1． 故选：A． 【变式3】（2025秋•朝天区期中）如图，数轴上的点A、B、C、D、E分别表示什么数？其中哪些数是互为相反数？ 【解答】解：由数轴上各点到原点的距离的大小可知各点所表示的数大致为： A、﹣3.8； B、﹣2.2； C、﹣0.8； D、0.8； E、2.2． 故互为相反数的数有B和E；C和D两组． 【变式4】（2025秋•平桥区月考）如图，A，B，C为数轴（单位长度为1）上的三点，且满足A点到B点的距离是9，B点到C点的距离是3． （1）若原点落在点B处，则点A表示的数是　 　 ，点C表示的数是　 　 ． （2）若A，C表示的数互为相反数，则此时点B表示的数是　 　 ． （3）用P表示A，B，C三点表示的数之和，若将原点从点B向左移动2个单位，求此时P的值． 【解答】解：（1）∵原点落在点B处，BC＝3，AB＝9， ∴点C表示的数是0+3＝3， 点A表示的数是0﹣9＝﹣9， 故答案为：﹣9，3； （2）∵BC＝3，AB＝9， ∴AC＝AB+BC＝12， ∵A，C表示的数互为相反数， ∴点C表示的数是6，点A表示的数是﹣6， ∴此时点B表示的数是6﹣3＝3， 故答案为：3； （3）∵将原点从点B向左移动2个单位： ∴点B表示的数是2， ∵BC＝3，AB＝9， ∴点A表示的数是2﹣9＝﹣7，点C表示的数是3+2＝5， ∵P表示A，B，C三点表示的数之和， ∴若将原点从点B向左移动2个单位，则P＝﹣7+2+5＝0． 【类型5 多重符号的化简】 【例题1】（2025秋•德州月考）化简： （1）﹣（+7）＝　 　 ； （2）+（﹣3.7）＝　 　 ； （3）﹣（﹣2019）＝　 　 ； （4）　 　 ； （5）+[﹣（﹣8）]＝　 　 ； （6）　 　 ； （7）　 　 ； （8）　 　 ； （9）　 　 ； （10）　 　 ； （11）　 　 ； （12）　 　 ． 【解答】解：（1）﹣（+7）＝﹣7； （2）+（﹣3.7）＝﹣3.7； （3）﹣（﹣2019）＝2019； （4）； （5）+[﹣（﹣8）]＝8； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）． 故答案为： （1）﹣7； （2）﹣3.7； （3）2019； （4）； （5）8； （6）； （7）﹣3； （8）； （9）； （10）﹣21； （11）； （12）20． 【变式1】（2024秋•同步）下列各对数中，哪些数相等？哪些数互为相反数？ （1）+（﹣4）和﹣（+4）； （2）﹣（﹣4）和﹣4； （3）+（﹣4）和+4； （4）﹣（+4）和﹣（﹣4）； （5）+（+4）和﹣（﹣4）． 【解答】解：（1）+（﹣4）＝﹣4，﹣（+4）＝﹣4； 所以+（﹣4）与﹣（+4）相等； （2）﹣（﹣4）＝4， 所以﹣（﹣4）与﹣4互为相反数； （3）+（﹣4）＝﹣4， 所以+（﹣4）与+4互为相反数； （4）﹣（+4）＝﹣4；﹣（﹣4）＝4， 所以﹣（+4）与﹣（﹣4）互为相反数； （5）﹣（+4）＝﹣4；﹣（﹣4）＝4， 所以+（+4）与﹣（﹣4）相等． 【类型6 绝对值】 【例题1】（2026•瑶海区三模）﹣2026的绝对值是（　　） A．2026 B．﹣2026 C． D． 【解答】解：由题知， 因为﹣2026＜0， 所以﹣2026的绝对值是：﹣（﹣2026）＝2026． 故选：A． 【例题2】（2026春•辉县市月考）若|x﹣1|＝2026，则x的值为（　　） A．2027 B．﹣2025 B． ﹣2027 D．2027或﹣2025 【解答】解：∵|x﹣1|＝2026， ∴x﹣1＝±2026， ∴x＝2027或﹣2025． 故选：D． 【例题3】2025秋•广丰区期中）已知|x|＝8，|y|＝2． （1）求x，y的取值； （2）当x＜y，求3x+y的值． 【解答】解：（1）∵|y|＝2，|x|＝8， ∴y＝±2，x＝±8， 则x的取值为8或﹣8，y的取值为2或﹣2； （2）当x＜y时， x＝﹣8，y＝﹣2时，3x+y＝3×（﹣8）+（﹣2）＝﹣26， x＝﹣8，y＝2时，3x+y＝3×（﹣8）+2＝﹣22， 则3x+y的值为﹣22或﹣26． 【例题4】（2025春•同步）若|x﹣3|与|y+6|互为相反数，求x+y的值． 【解答】解：∵|x﹣3|与|y+6|互为相反数， ∴|x﹣3|+|y+6|＝0， ∴x﹣3＝0，y+6＝0，解得x＝3，y＝﹣6， ∴x+y＝3﹣6＝﹣3． 【例题5】（2025秋•芜湖期末）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|， 例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是　 　 ． （2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝　 　 ． （3）|x+1|+|x﹣2025|的最小值为　 　 ． （4）|x+1|+|x﹣2025|＝2029，则x的值为　 　 ． 【解答】解：（1）由题得，|1﹣（﹣5）|＝|1+5|＝6， ∴数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是6． 故答案为：6； （2）由|x﹣1|＝3得，数轴上表示x和1的两点之间的距离是3． ∴x＝4或x＝﹣2． 故答案为：4或﹣2； （3）|x+1|+|x﹣2025|表示x与﹣1两点的距离与x与2025两点的距离之和， 当x在﹣1和2025之间时，|x+1|+|x﹣2025|＝（x+1）+（2025﹣x）＝2026； 当x不在﹣1和2025之间，|x+1|+|x﹣2025|的值大于﹣1与2025两点的距离，又|﹣1﹣2025|＝2026， ∴当x不在﹣1和2025之间，|x+1|+|x﹣2025|的值大于2026； 综上可知，当x在﹣1和2025之间时，|x+1|+|x﹣2025|的值最小，最小值为2026． 故答案为：2026； （4）由（3）知，若|x+1|+|x﹣2025|＝2029， 则数x在﹣1的左侧或在2025的右侧，即x＜﹣1或x＞2025， 当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣2025|＝﹣（x+1）﹣（x﹣2025）＝﹣2x+2024， 由﹣2x+2024＝2029，解得x＝﹣2.5； 当x＞2025时，|x+1|+|x﹣2025|＝（x+1）+（x﹣2025）＝2x﹣2024， 由2x﹣2024＝2029，解得x＝2026.5； 综上可知，x的值为﹣2.5或2026.5． 故答案为：﹣2.5或2026.5． 【变式1】如果｜x｜＝2，那么x＝_____ _ ； 如果｜－x｜＝2，那么x＝______． 如果｜x－2｜＝1，那么x＝ ； 如果｜x｜＞3，那么x的范围是 ． 【解答】；；1或3；或. 【变式2】（2025秋•桐柏县月考）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|． 【解答】解：根据题意可知，c＜a＜0＜b，|c|＞|a|＞|b|， ∴a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0， ∴原式＝﹣（a﹣b）﹣（b﹣c）﹣（c﹣a） ＝﹣a+b﹣b+c﹣c+a ＝0． 【变式3】（2025秋•双台子区校级月考）若|a+1|+|b+2|＝0． （1）求a，b的值； （2）3|a|﹣|b|的值． 【解答】解：（1）∵|a+1|≥0，|b+2|≥0， 又两部分和为0， ∴a＝﹣1，b＝﹣2； （2）把a＝﹣1，b＝﹣2代入3|a|﹣|b|＝3×|﹣1|﹣|﹣2|＝3﹣2＝1． 【变式4】（2025秋•顺庆区期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题： （1）当a＝3时，求的值． （2）当a＝﹣5时，求的值． （3）若有理数a、b均不等于零，试求的值． 【解答】解：（1）由条件可知； （2）由条件可知； （3）当a＞0，b＜0时，； 当a＞0，b＞0时，； 当a＜0，b＜0时，； 当a＜0，b＞0时，； 综上，的值为2或0或﹣2． 【变式5】（2025秋•长宁县月考）【阅读】数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系．它是“数形结合”的基础：我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a﹣b|．回答下列问题： （1）几何意义是数轴上表示2的点与表示﹣3的点之间的距离的式子是 　 　 ；式子|a+5|的几何意义是 　 　 ； （2）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝3时，x＝ 　 　 ； （3）当表示x的点在﹣2与5之间移动时，|x﹣5|+|x+2|的值是 　 　 ． 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a﹣b|， ∴表示2的点与表示﹣3的点之间的距离的式子是|2﹣（﹣3）|或|﹣3﹣2|， ∴式子|a+5|的几何意义是数轴上表示a的点与表示﹣5的点之间的距离， 故答案为：|2﹣（﹣3）|或|﹣3﹣2|，数轴上表示a的点与表示﹣5的点之间的距离； （2）∵|x﹣2|＝3的几何意义是在数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离是3， ∴x＝2+3＝5或x＝2﹣3＝﹣1， 故答案为：5或﹣1； （3）∵表示x的点在﹣2与5之间移动时， ∴﹣2＜x＜5， ∴|x﹣5|+|x+2|＝5﹣x+x+2＝7， 故答案为：7． 【类型七 有理数大小比较】 【例题1】（2026春•江北区校级月考）下列四个数中，最小的数是（　　） A． ﹣3 B．0 C．1 D． 【解答】解：∵﹣30＜1， ∴最小的数是：﹣3． 故选：A． 【例题1】（2026•河南模拟）请写出一个绝对值小于5的数：　 　 ． 【解答】解：∵大于﹣5且小于5的数的绝对值都小于5， ∴绝对值小于5的数可以是4（答案不唯一）． 故答案为：4（答案不唯一）． 【例题2】（2025秋•安康期末）在数轴上表示下列各数：﹣5，，0，﹣（﹣2），﹣1.5．并用“＞”连接各数． 【解答】解：在数轴上表示各数如下： ∴． 【变式1】（2026•枣庄校级模拟）下列有理数的大小关系正确的是（　　） A． |﹣2|＜0 B．|﹣5|＜|+5| C．﹣（﹣5）＜|﹣4| D． 【解答】解：A、∵|﹣2|＝2，2＞0，∴|﹣2|＞0，则该选项错误，不符合题意； B、5＝5，则该选项错误，不符合题意； C、∵﹣（﹣5）＝5，|﹣4|＝4，5＞4，∴﹣（﹣5）＞|﹣4|，则该选项错误，不符合题意； D、∵||，|﹣1.25|＝1.25，1.25，∴1.25，则该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（2024秋•同步）比较下列各组数的大小： （1）5与﹣6； （2）﹣3.5与﹣3.6； （3）0与； （4）与； （5）与||； （6）﹣（）与﹣（）； （7）﹣0.5与﹣||； （8）与﹣||． 【解答】（1）5＞﹣6； （2）﹣3.5＞﹣3.6； （3）0； （4）； （5）||； （6）﹣（）＞﹣（）； （7）﹣0.5＜﹣||； （8）||． 课后小练习 1．（2026•香洲区校级模拟）下面是某日几个城市的最低气温： 沈阳 北京 石家庄 海口 广州 ﹣25℃ ﹣16℃ ﹣11℃ 32℃ 17℃ 气温最低的城市为（　　） B． 北京 B．石家庄 C．沈阳 D．海口 【解答】解：∵|﹣25|＝25，|﹣16|＝16，|﹣11|＝11，且25＞16＞11， ∴﹣25＜﹣16＜﹣11＜17＜32， ∴最低气温为﹣25℃，对应城市为沈阳． 故选：C． 2．（2026春•海淀区校级期中）如图，直径为1个单位长度的圆，从数轴上表示数﹣2的点向右滚动一周到点N，则点N表示的数为（　　） A．π﹣2 B．π﹣1 C．π+2 D．π 【解答】解：根据题意可得，圆的周长为π， 则点N表示的无理数为π﹣2． 故选：A． 3.（2025秋•澄城县期末）已知整数m同时满足下列两个条件：①在数轴上位于原点左侧；②绝对值大于2且小于6．写出一个符合条件的m的值：　 　 ． 【解答】解：由题意可得：m＜0，﹣6＜m＜﹣2， ∴整数m的值可以是﹣5、﹣4、﹣3， ∴这3个数任意写出一个即可． 故答案为：﹣3． 4.（2025秋•利津县月考）下列各数①﹣2.5，②0，③﹣|﹣12|，④，⑤，⑥，⑦﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）其中是非负整数的有　 　 ，正分数是　 　 （填序号）． 【解答】解：﹣|﹣12|＝﹣12，， ∴非负整数为：0； 正分数为：，⑥． 故答案为：②； ④⑥． 5．（2025秋•衡山县月考）有下列说法： （1）﹣3.56既是负数、分数，也是有理数； （2）正整数和负整数统称为整数； （3）0是非正数； （4）7既是正数也是整数，但不是有理数． 其中正确的是 　 　 （填写序号）． 【解答】解：（1）﹣3.56既是负数、分数，也是有理数，则（1）正确； （2）正整数，0和负整数统称为整数，则（2）错误； （3）非正数包括0和负数，则（3）正确； （4）7既是正数也是整数，它也是有理数，则（4）错误； 综上，正确的为（1）（3）， 故答案为：（1）（3）． 6．（2026春•香坊区校级月考）解决下列问题： （1）把下列各数填在相应的大括号里（只填序号）． ①+10；②0；③﹣3.14；④1.616616661…（两个1之间的6的个数依次增加1）⑤+15%；⑥﹣π；⑦﹣|﹣12|；⑧﹣2026；⑨；⑩0.618． 负数集合{　 　 …}； 分数集合{　 　 …}； 正有理数集合{　 　 …}； （2）在数轴上表示下列各数：0，﹣2.5，，﹣2，+5，并按从小到大顺序排列． 【解答】解：（1）﹣|﹣12|＝﹣12， 负数有③⑥⑦⑧， 分数有③⑤⑨⑩， 正有理数有①⑤⑨⑩． 故答案为：③⑥⑦⑧；③⑤⑨⑩；①⑤⑨⑩． （2） ， 由数轴可得，． 7．（2025秋•秀英区校级期中）有理数：﹣3、﹣|﹣1|、3.14、0、2． （1）在如图所示的数轴上画出表示这5个数的点； （2）比较这5个数的大小，用“＞”号连接起来； （3）把这5个数分别填入表示它所在的数集的圈里： （4）这5个数中，绝对值等于它的相反数的数有 　 　 ． （5）由（1）可知在数轴上表示这5个数的点中，其中两点之间最大距离是多少？（列式计算） 【解答】解：（1）﹣|﹣1|＝﹣1， （2）由（1）数轴可得：； （3）如图所示． （4）∵负数和0的绝对值等于它的相反数， ∴这5个数中，绝对值等于它的相反数的数有、﹣|﹣1|、0， 故答案为：、﹣|﹣1|、0； （5）由（1）可知在数轴上表示这5个数的点中，其中两点之间最大距离是． 8．（2024秋•贵港期末）有理数：，﹣|﹣1|，3.2，0，2，﹣5． （1）在如图所示的数轴上画出表示这6个数的点； （2）把这6个数用“＜”连接起来； （3）这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有几个； （4）由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是多少？（列式计算） 【解答】解：（1）如图： （2）由数轴可得； （3）∵负数和0的绝对值等于它的相反数， ∴这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有，0，﹣5， 绝对值等于它的相反数的数有：，共4个， （4）由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是：3.2﹣（﹣5）＝8.2． 9．（2025秋•青县期末）某公路养护小组乘车沿一条南北方向公路巡视养护．某天早晨，他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：千米）如下：+18，﹣9，+7，﹣14，﹣6，+13，﹣6，﹣8．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． （1）B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ （2）如果汽车行驶1千米平均耗油0.1升，那么这天汽车共耗油多少升？ 【解答】解：（1）+18+（﹣9）+7+（﹣14）+（﹣6）+13+（﹣6）+（﹣8） ＝18+7+13﹣9﹣14﹣6﹣6﹣8 ＝﹣5， ∴B地在A地的南边，它们相距5千米． （2）如果汽车行驶1千米平均耗油0.1升， 由题可得：|+18|+|﹣9|+|+7|+|﹣14|+|﹣6|+|+13|+|﹣6|+|﹣8| ＝18+9+7+14+6+13+6+8 ＝81， 81×0.1＝8.1（升）， ∴这天汽车共耗油8.1升． 10．（2026春•香坊区校级月考）某仓库周一到周五的货物进出记录如下（+表示进库，﹣表示出库，单位：吨）：+8，﹣3，+5，﹣6，+4． （1）周二结束时，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ （2）周五结束时，仓库共有货物20吨，求仓库原有的货物吨数． 【解答】解：（1）根据题意可知，周二结束的总变化量：（+8）+（﹣3）＝5结果为正， 说明货物比原来多了，多5吨； （2）周一到周五五天的总变化量： （+8）+（﹣3）+（+5）+（﹣6）+（+4）＝8， ∴周五结束时，货物比原来一共多了8吨， ∵周五结束共有货物20吨， ∴原有货物为：20﹣8＝12（吨）． 11．（2025秋•怀宁县期中）数轴上表示数a，b的点如图所示． （1）在数轴上分别用A，B两点表示﹣a，﹣b； （2）若表示数b与﹣b的点相距20个单位长度，则数b与﹣b分别是多少？ （3）在（2）的条件下，若表示数a的点与表示数b的相反数的点相距5个单位长度，则数a与﹣a分别是多少？ 【解答】解：（1）分别用A，B两点表示﹣a，﹣b，如图所示： （2）由条件可知数b与﹣b的点到原点的距离均为20÷2＝10个单位长度． 所以数b是﹣10，数﹣b是10． （3）∵表示﹣b的点到原点的距离为10个单位长度，表示数a的点与表示数b的相反数的点相距5个单位长度， ∴表示数a的点到原点的距离为10﹣5＝5个单位长度． ∴数a是5，数﹣a是﹣5． 12．（2025秋•朝阳区校级月考）已知A，B，C三点对应的有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，其中数a，b互为相反数． （1）判断a，b，c的正负性； （2）若点A与点B相距8个单位长度，点A，C相距2个单位长度，则点A，B，C表示的数各是多少？ 【解答】解：（1）∵a，b互为相反数， ∴a＜b，即a＜0，b＞0， 又∵表示数c的点在表示数a，b中点（即原点）的左边， ∴c＜0， 即a＜0，b＞0，c＜0； （2）∵a，b互为相反数， ∴在数轴上，表示a，b的两点到原点的距离相等， 又∵A与B相距8个单位长度， ∴A到原点的距离为8÷2＝4， ∴a＝﹣4，b＝4， ∵A，C相距2个单位长度， ∴c＝﹣4+2＝﹣2， 即点A表示的数是﹣4，点B表示的数是4，点C表示的数是﹣2． 13．（2025秋•钱塘区期末）如图，在单位长度为1的数轴上有三个点A，B，C． （1）若点A表示的数是﹣2，直接写出点B，C表示的数． （2）若点A，C所表示的数互为相反数，求出点B表示的数． （3）若点B与原点之间的距离为3，求出点C表示的数． 【解答】解：（1）点B表示的数是4，点C表示的数是6． （2）点B表示的数是2． （3）若点B与原点左侧之间的距离为3，点C表示的数是﹣1； 若点B与原点右侧之间的距离为3，点C表示的数是5． 14．（2024秋•宁津县校级月考）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置； （2）若数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，求a表示的数是多少？ 【解答】解：（1）如图，； （2）数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的点到原点的距离为10， 所以b表示的数是﹣10； （3）因为﹣b表示的点到原点的距离为10， 而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度， 所以a表示的点到原点的距离为5， 所以a表示的数是5． 15．（2025秋•海城市期末）先阅读下面材料，再完成任务： 【材料】 下列等式：，…，具有a﹣b＝ab+1的结构特征，我们把满足这一特征的一对有理数称为“共生有理数对”，记作（a，b）．例如：，都是“共生有理数对”． 【任务】 （1）在两个数对（﹣2，1）、中，“共生有理数对”是　 　 ； （2）若（x，﹣2）是“共生有理数对”，求x的值． 【解答】解：（1）在两个数对（﹣2，1）、中， ∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣1， ∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”； ∵， ∴是“共生有理数对”； 故答案为：； （2）由题意，得：x﹣（﹣2）＝﹣2x+1， 解得：． 16．（2025秋•天山区校级期末）“十一”期间，某风景区在7天假期中，每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天增加的人数，负数表示比前一天减少的人数）所示（单位：万人）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 +1.6 +0.8 +0.4 ﹣0.4 ﹣0.8 +0.3 ﹣1.3 若9月30日的游客人数为10万人． （1）这7天内 　 　 号游客的人数最多，　 　 号游客的人数最少． （2）这7天内该风景区平均每天有游客多少万人？ 【解答】解：（1）1号：10+1.6＝11.6（万人）， 2号：11.6+0.8＝12.4（万人）， 3号：12.4+0.4＝12.8（万人）， 4号：12.8﹣0.4＝12.4（万人）， 5号：12.4﹣0.8＝11.6（万人）， 6号：11.6+0.3＝11.9（万人）， 7号：11.9﹣1.3＝10.6（万人）， 3号游客人数最多，7日游客人数最少； （2）（11.6+12.4+12.8+12.4+11.6+11.9+10.6）÷7 ＝83.3÷7 ＝11.9（万人）， 答：7天内该风景区平均每天有游客11.9万人． 17．（2025秋•临渭区期末）数学课上，某小组调查了组内6位组员的身高，并以165厘米为标准，记录6位组员身高如表（超过165厘米记为“+”，不足165厘米记为“﹣”），请根据表中信息解决下列问题： 组员 1 2 3 4 5 6 组员身高与选定的身高标准的差/厘米 +5 ﹣12 +8 ﹣9 +6 ﹣4 （1）这6位组员中最高的是 　 　 号组员，最高的组员比最低的组员高 　 　 厘米； （2）根据以上数据，求这6位组员的平均身高． 【解答】解（1）8﹣（﹣12）＝20（厘米）， 这6位组员中最高的是 3号组员，最高的组员比最低的组员高 20厘米； 故答案为：3，20； （2）165+（5﹣12+8﹣9+6﹣4）÷6 ＝165+（﹣6）÷6 ＝165+（﹣1） ＝164（厘米）， 答：这6位组员的平均身高是164厘米． 17．（2025秋•鲤城区校级期末）体育课上，七年级（1）班男生进行了引体向上测试．以能做5个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，其中8名男生的成绩（单位：个）如下：+3，﹣1，+2，0，﹣3，﹣2，0，+1． （1）这8名男生中达到标准的有　 　 人； （2）这8名男生平均每人做了多少个引体向上？ 【解答】解：（1）根据题意可知，8名男生的成绩中+3，+2，0，0，+1， 5个成绩达到标准，故有5人达到标准． 故答案为：5； （2）5+（3﹣1+2+0﹣3﹣2+0+1）÷8 ＝5+0÷8 ＝5+0 ＝5（个）， 答：这8名男生平均每人做了5个引体向上． 18．（2024春•靖江市校级月考）记M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n），（其中n为正整数）． （1）计算：M（6）+M（6）； （2）求2M（2022）+M（2023）的值； （3）说明2M（n）与M（n+1）互为相反数． 【解答】解：（1）M（6）+M（6）＝（﹣2）6+（﹣2）6 ＝64+64 ＝128； （2）2M（2022）+M（2023）＝2×（﹣2）2022+（﹣2）2023 ＝2×22022﹣22023 ＝22023﹣22023 ＝0； （3）因为2M（n）+M（n+1）＝﹣（﹣2）×（﹣2）n+（﹣2）n+1 ＝﹣（﹣2）n+1+（﹣2）n+1 ＝0， 所以2M（n）与M（n+1）互为相反数． 19．（2025秋•广元校级月考）在学习绝对值后，我们知道绝对值的几何意义，如：|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a﹣b|． [尝试运用] （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数﹣5，﹣1，3，那么点A到点B的距离是 　 　 ，点A到点C的距离是 　 　 （直接填最后结果）； （2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣3，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为 　 　 （用含绝对值的式子表示）； 【拓展探究】 （3）利用数轴探究： ①满足|x﹣3|+|x+1|＝8的x的所有值是 　 　 ； ②设|x﹣3|+|x+1|＝m，当﹣1≤x≤3时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是 　 　 ；当x的值在 　 　 的范围时，|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是2，当x的值取3时，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值是 　 　 ； （4） 试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值． 【解答】解：（1）由条件可知A到B的距离是|﹣5﹣（﹣1）|＝4，A到C的距离是|﹣5﹣3|＝8， 故答案为：4，8； （2）由条件可知A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+3|+|x﹣1|， 故答案为：|x+3|+|x﹣1|； （3）①当x＜﹣1时，|x﹣3|+|x+1|＝8即3﹣x﹣x﹣1＝8，解得x＝﹣3， 当x＞3时，|x﹣3|+|x+1|＝8即x﹣3+x+1＝8，解得x＝5， 当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|表示﹣1，3在数轴上对应的两点之间的距离为4，不可能为8，则此情况不成立； 故满足的x的所有值是5或﹣3， 故答案为：5或﹣3； ②设|x﹣3|+|x+1|＝m，当﹣1≤x≤3时，m的值不变，且是m的最小值，最小值是3﹣（﹣1）＝4， 当x在1≤x≤3时，|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是|3﹣1|＝2， 当x的取值是3时，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值是4， 故答案为：4，1≤x≤3，4； （4）当50≤x≤51时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值为． 20．（2025春•绥棱县校级期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． [解决问题]解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时， 则1+1+1＝3； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0， 则1（﹣1）+（﹣1）＝﹣1． 综上所述，值为3或﹣1． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值． 【解答】解：由条件可知a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时， 则， ②当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设a＜0，b＞0，c＞0， 则， 综上所述，代数式的值为﹣3或1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $