专题3.2 分段函数（6类必考点）讲义-2026年初升高暑期数学自救计划（人教A版必修第一册）

专题3.2 分段函数 【知识梳理】 1 【考点1：求分段函数的解析式或函数值】 1 【考点2：已知分段函数值求自变量或参数】 3 【考点3：求分段函数的值域或最值】 3 【考点4：已知分段函数的值域或最值求自变量或参数】 4 【考点5：解分段函数不等式】 5 【考点6：分段函数图象】 6 【知识梳理】 1、分段函数的概念 一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。 它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集. 2、分段函数作图题的一般解法 分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点. 3、求分段函数的函数值的方法 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. 4、求分段函数的值域的方法 求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围. 【考点1：求分段函数的解析式或函数值】 1．（25-26高二下·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高二下·浙江宁波·期末）函数，则______． 3．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知函数，则____________． 4．（第02讲函数的表示方法（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）已知函数，求； 5．（2026高三·全国·专题练习）已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 【考点2：已知分段函数值求自变量或参数】 1．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 2．（25-26高二下·天津红桥·期末）已知分段函数，，则实数________． 3．（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（第02讲函数的表示方法（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）已知函数，若，求实数的取值范围． 【考点3：求分段函数的值域或最值】 1．（25-26高一上·湖南长沙·期末）若定义运算，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（第02讲函数的表示方法（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）函数的值域为_________ 3．（25-26高一上·福建厦门·期中）函数 的最大值为_____________． 4．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）记，则函数的最小值是_____ ． 5．（25-26高一上·四川成都·期末）若在函数定义域的某个区间上定义运算则函数，的最小值为______． 【考点4：已知分段函数的值域或最值求自变量或参数】 1．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知函数，是二次函数，若的值域是，则的值域为（  ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 4．（25-26高一上·山东济南·阶段检测）设函数，若存在唯一的，使对任意都成立，则a的取值范围是_______. 5．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 【考点5：解分段函数不等式】 1．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 2．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海·期中）已知，，则不等式的解是___________. 5．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值； (2)解关于的不等式. 【考点6：分段函数图象】 1．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 2．（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数的解析式为.    (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)解不等式； 3．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数    (1)求 (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 4．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 5．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数    (1)在所给坐标系中，画出的图象. (2)求，的值. (3)若，，，求. 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 分段函数 【知识梳理】 1 【考点1：求分段函数的解析式或函数值】 1 【考点2：已知分段函数值求自变量或参数】 3 【考点3：求分段函数的值域或最值】 5 【考点4：已知分段函数的值域或最值求自变量或参数】 7 【考点5：解分段函数不等式】 12 【考点6：分段函数图象】 15 【知识梳理】 1、分段函数的概念 一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。 它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集. 2、分段函数作图题的一般解法 分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点. 3、求分段函数的函数值的方法 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. 4、求分段函数的值域的方法 求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围. 【考点1：求分段函数的解析式或函数值】 1．（25-26高二下·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，，则． 2．（25-26高二下·浙江宁波·期末）函数，则______． 【答案】3 【详解】由题意可得，， 所以. 3．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知函数，则____________． 【答案】 【分析】利用分段函数时的递推关系，将转化为区间内的，再代入对应解析式计算； 【详解】由题意可得：. 4．（第02讲函数的表示方法（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）已知函数，求； 【答案】. 【分析】根据分段函数的定义域和值域求解. 【详解】由题设知：时， 时， 时， 又因为， 所以. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】根据复合函数的定义写出解析式． 【详解】（1）当时，，故； （2）当时，，故． 【考点2：已知分段函数值求自变量或参数】 1．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 2．（25-26高二下·天津红桥·期末）已知分段函数，，则实数________． 【答案】或2 【详解】当时，，解得； 当时，，解得（舍）或， 所以或. 3．（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 4．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论、分别求解、，列出的不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故实数的最小值是. 5．（第02讲函数的表示方法（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）已知函数，若，求实数的取值范围． 【答案】. 【详解】由，得或或， 解得或或或， 所以实数的取值范围是. 【考点3：求分段函数的值域或最值】 1．（25-26高一上·湖南长沙·期末）若定义运算，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出的解析式，再分段求出函数的取值范围，即可得到函数的值域. 【详解】令，解得，所以， 当时，则在上单调递减，则， 即； 当时，则，即； 综上可得函数的值域为. 故选：C 2．（第02讲函数的表示方法（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）函数的值域为_________ 【答案】 【分析】分别求出函数在各段上的函数值的范围，再求并集可得. 【详解】因为函数， 当时，，所以函数的值域为； 当时，，由基本不等式, 即，所以，因此， 当且仅当时等号成立，所以函数的值域为. 因此，函数的值域为. 3．（25-26高一上·福建厦门·期中）函数 的最大值为_____________． 【答案】2 【分析】求出函数在每一段的最大值，再进行比较，即可得答案. 【详解】当时，函数为减函数，所以在处取得最大值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得最大值. 故函数的最大值为2. 4．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）记，则函数的最小值是_____ ． 【答案】 【分析】利用函数的定义画出图像即可得到最值. 【详解】在平面直角坐标系中绘制出函数与函数， 令，解得或. 由函数的定义，结合两函数图象，可知，， 由图可知，函数的最小值为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·四川成都·期末）若在函数定义域的某个区间上定义运算则函数，的最小值为______． 【答案】1 【分析】先解不等式，进而得，作出函数的图象，进而求解. 【详解】由，所以，所以或， 所以， 作出函数的图象： 由图可知：， 故答案为：. 【考点4：已知分段函数的值域或最值求自变量或参数】 1．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 2．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知函数，是二次函数，若的值域是，则的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数的图象，即可求解． 【详解】画出函数的图象，如图所示： 若的值域是，得， 即的值域为：． 故选：A 3．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意，函数最小值在上取得，所以需要分类求出最小值，并且不大于的下界值，即可解不等式得解. 【详解】如图，    当时，在上能取到最小值， 当时，在上能取到最小值， 当时，， 所以函数存在最小值时，需满足当时，，即； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 4．（25-26高一上·山东济南·阶段检测）设函数，若存在唯一的，使对任意都成立，则a的取值范围是_______. 【答案】 【分析】先根据分段函数的特征分，，三种情况，前两种情况可直接判断，对再分，，三种情况讨论并结合数形结合可得结果. 【详解】因为存在唯一的，使对任意都成立，所以函数有最小值且有唯一的最小值点. 当时，是一次函数. （1）若，在单调递增，无最小值，且当时，，不符合题意； （2）若时，当时，，当时，单调递增，， 所以函数在定义域内有最小值为0，但最小值点不唯一，故不符合题意； （3）若时，当时，单调递减，所以.当时，， ①若时，函数在上单调递减，在单调递增，要使函数有唯一最小值点， 所以，，解得或， 所以，此时函数在处取得最小值0.如图： ②若时，函数在上单调递增，要使函数有唯一的最小值点， 所以，，解得或， 所以，此时函数在处取得最小值.如图： ③若时，此时由，函数无最小值，如图： 综上所述，a的取值范围为或，即. 故答案为： 5．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】①分别根据反比例函数和二次函数的性质求出两段函数的值域即可；②作出函数的函数图象，根据函数图象再结合函数的值域列出不等式组，即可得解. 【详解】若，则， 当时，，则， 当时，， 综上，若，则的值域为； 如图，作出函数的函数图象， 令，解得或， 由图可知，要使函数的值域为， 则，解得， 所以若的值域为，则实数m的取值范围是. 故答案为：；. 【考点5：解分段函数不等式】 1．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的定义域分和两类情况，分别求解对应不等式后取并集求解. 【详解】①当时，，不等式等价于：， 化简可得，解得， 因为，所以此时不等式解集为； ②当时，，不等式等价于：， 当时，得，显然不成立， 当，不等式两边同除以，得，得， 因为，所以此时不等式解集为. 综上，不等式解集为. 2．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得. 综上，不等式的解集为. 3．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据的取值范围分和两种情况，分别代入分段函数对应的解析式列不等式求解，最后将两种情况的解集合并得到的取值范围. 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 4．（25-26高三上·上海·期中）已知，，则不等式的解是___________. 【答案】 【详解】时，， 时，， ， ∴， 由得，①或② 不等式组①的解集为， 不等式组②的解集为， 综上，不等式的解集为. 5．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)；单调减区间为，最大值为4 (2)或 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求单调递减区间和最值； （2）分段求解不等式，再求并集即可得. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象（在答案处） 则函数的单调减区间为， 当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立； 当时，，所以； 当时，，所以； 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 【考点6：分段函数图象】 1．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 【答案】(1)； (2) 定义域为，值域为. 【详解】（1）当， ；当，. 故； （2）略 2．（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数的解析式为.    (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)解不等式； 【答案】(1)  ，最大值为 (2)或 【分析】（1）由解析式即可画出图象，由图即可得最大值； （2）分、及讨论即可得. 【详解】（1）根据分段函数的解析式， 画出函数的图象如图：    由图可得，当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 3．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数    (1)求 (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 【答案】(1) (2)或0 (3)答案见解析 【分析】（1）根据分段函数计算函数值； （2）分段应用函数值得出自变量； （3）根据解析式作出函数图象. 【详解】（1）； （2）当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或（舍）， 综上可得或0； （3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示：    4．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【答案】(1)，最大值为4 (2) (3)或 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 5．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数    (1)在所给坐标系中，画出的图象. (2)求，的值. (3)若，，，求. 【答案】(1) 作出函数的图象如图所示：    (2)； (3) . 【分析】（1）分段作出函数图象即可； （2）利用分段函数求函数值即可； （3）利用范围求函数值，列方程组即可求解. 【详解】（1）略 （2）， （3）因为，所以， 即， 又因为，所以，即， 消元得：， 解得或， 因为，所以. 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $