第1章 二次函数 单元质量评估 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 浙教版九年级上册二次函数单元卷，全面覆盖平移、顶点、最值等核心知识，通过基础题、实际情境题及创新题，考查数学眼光、思维与语言，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平移、顶点坐标、图像判断等|题9结合航海情境，用二次函数模型解决距离问题，培养数学眼光| |填空题|6/18|平移与原点、物理应用、新定义|题15联系压强知识求喷射距离最值，题16引入“对偶函数”新定义，发展数学思维| |解答题|8/72|交点面积、利润问题、参数讨论|题20销售利润、题23饲养室面积最值，体现数学建模；题24综合抛物线与直线，强化逻辑推理与数学语言表达|

浙教版数学九年级上册第1章 二次函数单元质量评估 一、选择题（每题3分，共30分） 1．将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 2．若二次函数 的图象经过点A(1，1)，则方程： 的解为（　　） A．x=1 B．x=6 C．x=1或x=-7 D．x=1或x=5 3．二次函数 的图象与x轴的交点个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 4．已知抛物线的表达式为则该抛物线的顶点坐标是（　　） A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，-1） D．（1，2） 5．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 6．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象一定经过的点是（　　） A．（0，2） B．（2，﹣2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，4） 7．关于二次函数的最大值或最小值，下列叙述正确的是（　　） A．当x=2时，y有最大值4 B．当x=2时，y有最小值4 C．当x=-2时，y有最大值4 D．当x=-2时，y有最小值4 8．如图，若，，，则抛物线的图象大致为（　　） A． B． C． D． 9．有一艘船在海上自西向东匀速行驶的过程中(如图1)，在某一时刻观测到了一座灯塔，10 分钟后测得灯塔位于船的北偏东45°方向处，已知该灯塔的可视范围为20海里.经过持续测量船只与灯塔之间距离d (海里)，发现(d2与船行路程x(海里)之间满足二次函数的数量关系(如图2)，其中最低点为点B，以下说法正确的是(　　) A．m=15 B．点(25，225)在函数图象上 C．船行速度为25海里/小时 D．船只可以观测到灯塔的持续时间可达2小时 10．已知二次函数 (m为常数)．点A(x1， y1)在函数图象上， 其中 点B(x2， y2)也在函数图象上， 且对于x1， x2， 都有y1＜y2，则m的取值范围是（　　）. A．- 5<m<0 B．m<-5或m>0 C．-5<m≤2 D．m<-5或0<m≤2 二、填空题（每题3分，共18分） 11．若二次函数的图象过点（1，m），则m=　 　. 12．抛物线的顶点坐标是　 　. 13．将二次函数 的图象向左平移m(m>0)个单位后经过原点，则m的值为　 　。 14．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，设此方程的一个实数根为b，令 则y的最小值为　 　. 15．小明在学习了压强的知识后，知道装有液体的瓶子侧边开一个小孔，液体喷出后的喷射距离与开孔位置有关。设瓶底离液面的距离h，小孔离液面的距离x，则喷射距离L满足关系式： 现有一个瓶子装满水后，瓶底离水面的距离为h=24cm，为使水的喷射距离L 最大，则小孔离液面的距离x应为　 　cm。 16．我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．若关于的二次函数是“对偶函数”，则实数的取值范围为　 　． 三、解答题（共8题，共72分） 17．写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 18．已知二次函数 的图像与轴交于两点（点A在点B的左侧），与轴交于点. （1）求三点的坐标； （2）求的面积 19．已知二次函数 （1）求该函数图象的顶点坐标. （2） 若点A(-1，y1)，B(2，y2)在该函数图象上，试比较y1与y2的大小，并说明理由. 20．某玩具批发商销售每只进价为20元的玩具，市场调查发现，若以每只30元的价格销售，则平均每天销售60只；若销售价每提高1元/只，则平均每天就少销售2只.设销售价为x元/只，平均每天的销售量为y只. （1）求y与x之间的函数关系式. （2）求该批发商平均每天的销售毛利润W（元）与销售价x（元/只）之间的函数关系式. （3）物价部门规定每只售价不得高于35元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大毛利润?最大毛利润是多少元? （注：每只毛利润=每只销售价-每只进价） 21．已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若抛物线与轴交于点，，且，求a的值． 22．已知二次函数 (a为常数，且 a≠0) （1）求二次函数的对称轴； （2）若a>0，当-1≤x≤3时，函数的最大值为1，求a的值； （3）在(2)的条件下，如果 A(x1，m)， B (x2，n)在二次函数 的图象上，其中0≤t<2，求m-n的最大值． 23．某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长>50m)，中间用一道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两间饲养室合计长x(m)， 总占地面积为y(m2). （1）求矩形饲养室的宽.(用含x的代数式表示) （2）求y关于x的函数表达式，并求出面积的最大值. 24．已知点在抛物线（为常数且）上，点在直线上. （1）求证：抛物线与轴必有交点. （2）当时，求满足的整数的值. （3）若仅存在一个整数，使得成立，求的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】 设向右平移a（a＞0）个单位，再向下平移b（b＞0）个单位， ∴平移后解析式为y=（x-a）2+4-b， 4-b<4， 故答案为：A 【分析】 利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则，得到平移后解析式的特征，即可判断正确选项. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=3，点A关于x=3的对称点为(5，1)， 当y=1时，x=1或5，即的解为x=1或x=5. 故选 ：D. 【分析】由二次函数解析式知其对称轴，求出点A的对称点，由此可得当y=1时的方程的解. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：令y=0得 ∵a=1，b=-2，c=3 ∴ ∴ 二次函数 的图象与x轴没有交点。 故答案为：A . 【分析】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的个数可通过判别式△=b2-4ac来判断：当△>0时，函数图象与x轴有两个交点；当△=0时，函数图象与x轴有一个交点；当△<0时，函数图象与x轴没有交点。 4．【答案】A 【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为（2，1）. 故选：A. 【分析】根据抛物线的顶点坐标为（h，k），即可得出答案. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：(1，2). 【分析】由抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h，k)可直接得出答案. 6．【答案】B 【解析】【解答】根据二次函数图象上点都满足二次函数解析式，将各选项中点的坐标代入验证： A：当x=0时，y=-2≠2，故点（0，2）不在抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2 上，不满足题意； B：当x=2时，y=-2，故点（2，-2）在抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2 上，满足题意； C：当x=1时，y=0≠-2，故点（1，-2）不在抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2 上，不满足题意； D：当x=-1时，y=-8≠4，故点（-1，4）不在抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2 上，不满足题意； 故答案为：B. 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，依次将选项中的点代入抛物线解析式验证即可. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵二次函数表达式为，是顶点式的形式． 又∵． ∴抛物线开口向上，函数有最小值． ∵该函数的顶点坐标为． ∴当时，有最小值4． 故答案为：B． 【分析】根据二次函数的最值解答即可. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴抛物线的开口向下，故C选项错误； ∵， ∴抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，故A选项错误； ∵，， 故抛物线的对称轴为， ∴抛物线的对称轴在轴右侧，故D选项错误． 故答案为：B. 【分析】根据a，b，c的取值范围得到抛物线的开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点位置逐项判断解答． 9．【答案】B 【解析】【解答】解：∵在该函数图象上， ∴当时，，即或（舍去）； ∴当时，这艘船与灯塔的距离为20海里，即这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里， ∵二次函数的最低点B的坐标为， ∴这艘船航行距离为m海里时，该船与灯塔的距离最近，且为海里， ∴当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里， 如图所示，设灯塔的位置用点E表示，船的初始位置用点O表示， 过点E作船行进路线所在的直线的垂线，垂足为H，则海里，海里， ∴由勾股定理得，即，故A说法错误； 当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里， ∴海里， ∴， ∴点在函数图象上，故B说法正确； 设10分钟后这艘船的位置用G点表示，连接，则， ∴是等腰直角三角形， ∴海里， ∴海里， ∴船行速度为海里/小时，故C说法错误； 由点B的坐标可知，对称轴为直线， ∴由对称性可知点在函数图象上， ∴这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔， ∴船只可以观测到灯塔的持续时间可达小时，故D说法错误； 故选：B． 【分析】由点A的坐标和点B的坐标可得这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里，当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里，利用勾股定理即可判断A；当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里，利用勾股定理求出即可判断B；求出航行10分钟时这艘船的路程，即可判断C；根据对称性可求出这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔，据此可判断D． 10．【答案】D 【解析】【解答】解：∵点在函数图象上，且， ∴， 解得； ∵ 函数开口向上，对称轴， ∴到对称轴的距离大，其点对应的函数值也大， ∵， 且， ∴范围内，处取得最大值， ∴； ∵点也在函数图象上，且， ∴， 由恒成立，得， 化简得，即， 解得或， 结合点A存在条件， ∴或； 故选：D． 【分析】由点A存在可得，再根据恒成立，推导出或，结合点A存在条件得的取值范围． 11．【答案】-2 【解析】【解答】解：由题知， 将点(1，m)代入 得， 故答案为：-2. 【分析】根据题意，将点(1，m)代入函数解析式进行计算即可. 12．【答案】(-3，-2) 【解析】【解答】解：∵抛物线y=， ∴该抛物线的顶点坐标为(-3，-2)， 故答案为：(-3，-2)． 【分析】根据抛物线y=的顶点坐标为(h，k)解答即可． 13．【答案】3 【解析】【解答】解：将二次函数y=(x-1)2-4的图象向左平移m个单位后，新函数解析式为y=(x+m-1)2-4 由于图象经过原点，代入点(0，0)得：0=(0+m-1)2-4 即(m-1)2-4=0 整理得(m-1)2=4 ∴m=3或m=-1 ∵m>0 ∴m=3 故答案为：3. 【分析】根据二次函数图象平移规律”左加右减“，得到平移后的函数解析式，再代入原点坐标求解即可. 14．【答案】1 【解析】【解答】解：根据题意可得，即1-m≥0，得到m≤1， 又因为b为方程的一个实数根， 所以，即， 则， 因为m≤1， 所以当m=1时，y有最小值1. 故答案为：1. 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解和二次函数的最值，首先根据题意确定m的取值范围，然后将b代入方程得到关于b的等式，然后变形后得到关于m的代数式，进而根据m的取值范围得到y的最小值. 15．【答案】12 【解析】【解答】解：由得 L2为x的二次函数，当x=时，L取最大值. 故填：12. 【分析】由题意知L2为x的二次函数，由二次函数的性质知当x=12时取最大值. 16．【答案】 【解析】【解答】解：设函数图象上两点和 为一对“对偶点”， ∵两点在函数图象上， ∴，， ∴==2a(x1+x2)(x1-x2)①， ∵点与点为一对“对偶点”， ∴，， ∴，， ∴=x1-x2②， ∴①-②得，2a(x1+x2)=1， ∴x2=， ∴， ∴， ∴此关于的一元二次方程必有实数根， 当时，（不符合题意）， 则，解得． 故答案为：． 【分析】设函数图象上两点和 为一对“对偶点”，根据题意可得，与，，再对以上4个式子进行变形得出，再代入 中，最后根据用关于的一元二次方程必有实数根，分别讨论判别式等于零和大于零的情况进行求解即可. 17．【答案】解： 二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 -1 0 0 -2 0 -2 -1 1 -1 52 【解析】【分析】根据二次函数的相关定义进行作答即可. 18．【答案】（1）解： 二次函数 ，令x=0，得y=-3，故二次函数与y轴的交点为(0，-3)， 令x=0，得，得x1=-3，x2=1，故与x轴的交点为(-3，0)、(1，0) 故A(-3，0) B(1，0) C(0，-3). （2）解：AB=1-(-3)=4，OC=3，故. 【解析】【分析】(1)分别令x=0，y=0求出对应的y值与x的值，即可得抛物线与坐标轴的交点坐标； (2)由(1)知AB=4，OC=3，即可得△ABC的面积. 19．【答案】（1）解：y=x2-2x+4 =x2-2x+1+3 =(x-1)2+3， ∴该函数图象的顶点坐标为(1，3). （2）解：由条件可得y1=(-1)2-2×(-1)+4=1+2+4=7， y2=22-2×2+4=4-4+4=4 ∵7>4， ∴y1>y2 【解析】【分析】(1)对于求二次函数顶点坐标，可通过配方法将一般式转化为顶点式来求解； (2)比较两点函数值大小，可分别代入函数解析式求出函数值再比较. 20．【答案】（1）解：由题意得：y=60-2(x-30)=-2x+120 （2）解：由题意得：W=(x-20)(-2x+120)=-2x2+160x-2400 （3）解：W=-2x2+160x-2400=-2(x-40)2+800 ∵-2<0 ∴抛物线开口向下，当x<40时，W随x的增大而增大， ∵规定每件售价不得高于35元 ∴当x=35时，W取得最大值为750元，即当每只玩具的销售价为35元时，可以获得最大毛利润，最大毛利润是750元 【解析】【分析】(1)平均每天销售量y=原来的销售量60-2×相对于30元的单价提高的价格； (2)销售利润W=单价的利润×平均每天的销售量，代入即可得出W与x的函数关系式； (3)根据题中所给的自变量的取值，结合(2)得到的关系式，即可求得二次函数的最值. 21．【答案】（1）证明：∵ ， 该方程总有两个实数根； （2）解：令，得：， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，，且， ∴， ∴， 化简为：， 解得：或． 【解析】【分析】（1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可； （2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可． 22．【答案】（1）解：∵二次函数 ∴抛物线的对称轴为直线x=2 （2）解：∵a>0 ∴抛物线开口向上 ∵抛物线的对称轴为直线x=2且2-(-1)>3-2， ∴当-1≤x≤3时，函数值在x=-1处取得最大值1． 将x=-1， y=1，代入 ， 得a+4a+3a=1，解得 ​​​​​​​ （3）解：由(2)得， ∵0≤t<2 ∴自变量x的取值范围-4+2t≤x≤2-t 位于对称轴的左侧 ∴如图，点A，点B 位于对称轴左侧部分的图象上， ∴当- 4+2t≤x≤2-t 时，函数值离对称轴越远值越大 ∴要使m-n取得最大值， ， 整理得， ∵0≤t<2 ∴当t=0时， 【解析】【分析】(1)利用对称轴公式即可求解； (2)由题意，抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，故当 时，函数值在x=-1处取得最大值1，据此即可求得a的值； (3)由得到得出自变量x的取值范围 位于对称轴的左侧，即点A，点B位于对称轴左侧部分的图象上，要使m-n取得最大值，则A在B的左侧，即 ，由此得出整理得出 根据 利用二次函数的性质求出m-n的最大值即可 23．【答案】（1）解：∵围墙的总长为50m，2间饲养室合计长 xm， ∴饲养室的宽 （2）解由题意得，面积为 ∴当x=25时，面积取最大值，最大值为 【解析】【分析】(1)根据题意，由围墙的总长为50m，2间饲养室合计长 xm，从而可以表示出饲养室的宽； (2)结合(1)由矩形的面积=长×宽，再结合二次函数的性质即可计算得解. 24．【答案】（1）证明：∵∆=（6a＋1)2－4×2a×3=36a2－12a＋1=(6a－1)2≥0 ∴抛物线与x轴必有交点 （2）解：当a=1时，y1=2x2＋7x＋3，y2=2x－1 ∴m=2t2＋7t＋3，n=2t－1 由得，m－n－2≤0， 令y'=m－n－2，则y'=2t2+5t+2≤0 当y'=0时，2t2+5t+2=0，解得 如图 ∴ ∴整数t的值为－2，－1. （3）解：由题意：m=2at2＋(6a+1)t＋2，n=(a+1)t－1 由得，m－n－2≤0 令y'=m－n－2，则y'=2at2+5at+2≤0，对称轴为 ∵仅存在一个整数t的值，使得y'=2at2+5at+2≤0成立 ∴当t=－1时y'=2a－5at+2≤0， 当t=－2时y'=8a－10at+2＞0，a＜1 ∴a的取值范围为： 【解析】【分析】(1)求出∆=b2-4ac的值即可求证； (2)当a=1时，m=2t2+7t+3，n=2t-1，那么m≤n+2成立时，可通过画图方法，求得t的值； (3)由题意可知，m=2at2＋(6a+1)t＋2，n=(a+1)t-1，那么m≤n+2成立时，令y'=m-n-2，那么其对称轴为，仅存在一个整数t，使得y'=2at2+5at+2≤0成立，从而求得a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $