第1章二次函数单元测试卷 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 浙教版九年级上册《二次函数》单元测试卷，满分120分，涵盖选择、填空、解答题，聚焦二次函数定义、图像变换、性质应用等核心知识，结合生活情境与动态问题，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|二次函数定义（1）、图像平移（2）、实际应用（3）|结合“一盔一带”热点（3），梯度设计基础到能力（1-10）| |填空题|6题/18分|顶点式转化（12）、对称轴（13）、新定义（16）|创新“最小数函数”（16），考查符号意识与抽象能力| |解答题|8题/72分|顶点轨迹探究（17）、利润最值（19）、动态几何（24）|综合“倍距函数”新定义（23）、铅锤法求面积（24），体现模型意识与推理能力|

浙教版（新教材）2026年九年级上册第1章《二次函数》单元测试卷 满分120分 时间120分钟 一、选择题（共30分） 1．下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 3．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 5．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 6．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，函数的图象为，关于y轴对称的图象为，则直线（a为常数）与，的交点共有（     ） A．2个 B．1个或2个 C．0个或2个或3个或4个 D．无数个 8．已知抛物线（为常数，），当时，取得最小值，当时，取得最大值，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 10．如图，在矩形中，M是的中点，，P，Q两点分别从点B，点M同时出发，并都以的速度沿着方向运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积S随时间t变化的图象最接近的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共18分） 11．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 12．将二次函数化为的形式是________． 13．已知点，是抛物线上的两点，则此抛物线的对称轴为________． 14．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 15．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 16．对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数，例如， ，那么的最大值为______． 三、解答题（共72分） 17．（8分）已知二次函数． (1)随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由． (2)如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值． 18．（8分）已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … (1)请在表内的空格中填入适当的数； (2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (3)当取何值时，随增大而减小． 19．（8分）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为元，经市场预测，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个． (1)商店若准备获得利润元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ (2)商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？ 20．（8分）抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求的长． 21．（8分）已知抛物线的图象经过坐标原点O，并与x轴交于点． (1)求此抛物线的解析式 (2)利用配方法或公式法将函数写成顶点式，并写出顶点坐标、对称轴和最值 (3)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标 22．（10分）如图，二次函数 的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为 ． (1)求k的值； (2)点M是线段上的动点，将点M向上平移 （）个单位得到点N，若点N在二次函数的图象上，求h的最大值； (3)在（2）的条件下，若 ，线段与二次函数的图象有公共点，求点M的横坐标m的取值范围． 23．（10分）我们约定：如果一个函数的图象与轴、轴都相交，并且各只有一个交点，设交点分别为、，若，我们就说该函数是“倍距函数”．例如函数与轴交于点，与轴交于点，，我们就说函数是“倍距函数”．根据约定，解答下列问题： (1)下列函数是“倍距函数”的有____________（填序号）； ①；②；③；④ (2)若一次函数（其中是自变量，是的函数，）是“倍距函数”，求的值； (3)已知二次函数（，）是“倍距函数”，该函数的图象经过点，试求该二次函数的解析式． 24．（12分）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A D D C C A B B 1．B 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 2．A 【分析】二次函数的平移的规律是左加右减，上加下减，由此可解． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，自变量变为， 得到的抛物线解析式为． 3．A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 4．D 【分析】根据抛物线的解析式确定开口方向和对称轴，然后根据离抛物线的对称轴的距离判断函数值大小即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵，，， 又，抛物线开口方向向上，离抛物线的对称轴越远的点，对应的函数值越大， ∴． 5．D 【分析】先将二次函数化为顶点式,然后根据二次项系数判断开口方向，利用对称轴公式和顶点坐标公式分析对称轴、增减性与最值． 【详解】解：． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，最小值为，A、C错误． 抛物线对称轴为，D正确． ∵ 开口向上，当时随的增大而增大， 又， ∴ 当时，并非随的增大而一直增大，B错误． 6．C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 7．C 【分析】设点是上的一点，则点是上的一点，据此可推出对应的函数解析式为，画出，的图象，结合函数图象可得答案． 【详解】解：设点是上的一点，则点是上的一点， ∴， ∴对应的函数解析式为； ∵， ∴当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最小值； 如图所示， 由函数图象可知，当时，直线（a为常数）与，的交点为0个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为2个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为4个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为3个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为2个， 综上所述，直线（a为常数）与，的交点共有0个或2个或3个或4个． 8．A 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，再根据最值位置确定区间端点的范围，解不等式得到m的取值范围． 【详解】对抛物线配方得：， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为，在处取得最大值， ∵，且时取得最大值， ∴， 解得 ， 又时取得最小值，二次函数在闭区间的最小值出现在离对称轴更远的端点处，到对称轴的距离为，因此区间右端点到对称轴的距离不超过3，即： 化简得， 解得 ， 取两个不等式的交集得， 故选：A． 9．B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，分别通过解方程求落地时间，配方求最大高度，代入计算函数值比较大小，逐一验证三个结论即可． 【详解】解：①：小球落地时高度，令， 得， 因式分解得， 解得或， 为抛出时刻，因此小球从抛出到落地需要，①正确． ②：， ， 的最大值为，， 因此小球高度不可能达到，②错误． ③：当时，， 当时，， ， 因此小球运动时的高度大于运动时的高度，③错误． 综上，正确结论的个数是，故选B． 10．B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，二次函数的图象，矩形的性质，求二次函数关系式， 先根据矩形的性质，再结合图象可知，再分三种情况求出关系式，然后结合关系式可得图象． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，点M是的中点， ∴，， ∴． 当点P与点B重合时，此时； 当点P与点M重合时，运动时间是，则， ∴， 解得． 当时，即线段在上运动时， ； 当时，即线段在，上运动时， 可知，则，， ∴ ； ， 抛物线开口向上，当时，； 当时，即线段在上运动时， ． 所以图B符合题意 故选：B． 11． 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 12． 【详解】解：． 13．直线 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可． 【详解】解：抛物线经过点，， 此两点关于抛物线的对称轴对称， 对称轴为直线， 故答案为：直线． 14． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 15． 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，然后代入即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ∴水面宽度为米． 16．1 【分析】分别作出的图象，由图象知的最大值． 【详解】解：作出的图象， ， 如图，实线部分即的函数图象， ， 解得或 当时，， 所以的最大值为． 17．(1)是， (2)0或 【分析】（1）根据二次函数的函数表达式求得该函数的顶点坐标P (，)，利用代换法即可求得顶点坐标所在的函数表达式； （2）因为直线经过二次函数图象的顶点P，所以顶点坐标也满足直线方程，故而将其代入直线方程，求解即可； 【详解】（1）解：P是在某条抛物线上， ∵二次函数，m是常数， ∴ ， ∴顶点坐标是． 设 ， 则， ∴ ， ∴所在轨迹的函数表达式是； （2）解：∵直线经过该二次函数的顶点， ∴ ， ∴， ∴或， ∴若直线经过该二次函数的顶点， m的值是−2或0； 18．(1)填表如下： （答案不唯一，符合二次函数解析式即可） (2) 如图所示 (3) 【分析】（1）根据解析式，代入不同的x值，求出对应的y值，填表即可； （2）根据（1）中的x，y值，描点画图即可； （3）根据解析式或函数图象，判断范围即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 填表如下：（答案不唯一，只要x，y符合二次函数解析式即可） （2）解：略 （3）解：， 由函数图象可知抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小． 19．(1)每个定价为元，应进货个 (2)每个定价增加元时可获得最大利润，可获得的最大利润是元 【分析】（1）设每个定价增加元，根据题意列一元二次方程，解方程求出的值，根据进货量较少，确定符合题意的的值，进而可得出答案； （2）设每个定价增加元，获得利润为元，可得，根据二次函数的性质求出的最大值即可得出答案． 【详解】（1）解：设每个定价增加元， ∵每个进价为元，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个，准备获得利润元， ∴， 解得：，， ∵要使进货量较少， ∴每个定价为（元），应进货（个）． 答：每个定价为元，应进货个． （2）解：设每个定价增加元，获得利润为元， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 答：每个定价增加元时，可获得最大利润，最大利润是元． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和平面直角坐标系中两点间距离的计算，代入已知点求函数系数、利用勾股定理计算线段长度是解题的关键． （1）将已知点其代入抛物线解析式，解方程求出未知系数，即可确定解析式； （2）先通过求出点坐标，再通过解一元二次方程求出点坐标，最后利用勾股定理（是直角三角形）即可计算的长度． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）将代入，得， ∴点， ∴， 令，得，解得，， ∴点， ∴， ∴． 21．(1) (2)顶点式为；顶点坐标为；对称轴为直线；函数的最小值为，无最大值． (3)和 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用配方法把解析式化为顶点式即可得到答案； （3）根据三角形的面积公式得到，据此求出点B的纵坐标，进而可求出点B的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过坐标原点，并与x轴交于点， ∴ ， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴函数开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值，最小值为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，解得或， 当时，，此时方程无解， ∴点B的坐标为和． 22．(1)k的值为 (2)h的最大值为 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图形上点坐标的特征，解题的关键是用含m的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）把代入得，解得k的值为． （2）根据题意，轴且在抛物线上，设，则，求出，根据二次函数性质可得答案． （3）求出，，把M向上平移个单位得到点，由线段与二次函数的图象有公共点，知，即可解得答案． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， ∴k的值为． （2）根据题意，轴且在抛物线上，如图： 由（1）知直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，h取最大值， ∴h的最大值为． （3）由得或， ∴，， 同（2）当M的横坐标为m时，， ∵把M向上平移个单位得到点， ∴， ∵线段与二次函数的图象有公共点， ∴， ∴， 解得或， ∵点M在线段上，， ∴或． 23．(1)②④ (2) (3)该函数解析式为或 【分析】（1）根据“倍距函数”的定义逐个判断即可； （2）由函数的解析式可知，根据“倍距函数”的定义可知一次函数与轴的交点为或者，可得方程与，解方程即可求出的值； （3）因为二次函数（，）是“倍距函数”，所以二次函数与轴、轴都只有一个交点，所以二次函数的顶点式为，根据“倍距函数”的定义可得：该二次函数与轴的交点坐标是，与轴交于点，可得：，根据二次函数经过点，可得方程，整理可得：，解方程组求出、的值即可得到函数解析式． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，， 函数的图象与轴有两个交点， 故①不符合题意； 当时，， 函数与轴的交点坐标是， ， 当时，可得：， 解得：， 函数与轴的交点坐标是， ， ， 函数是“倍距函数”， 故②符合题意； 反比例函数与坐标轴没有交点， 故③不符合题意； 当时，可得：， 解得：， 函数的图象与轴的交点坐标是， ， 当时，可得：， 函数的图象与轴的交点坐标是， ， ， 故④符合题意； 综上所述，是“倍距函数”的有②④； （2）解：当时，， ， 一次函数是“倍距函数”， 一次函数与轴的交点为或者， 将其代入一次函数中，得到方程与， 解方程：， 可得：， 整理，可得：， 方程无解， 综上所述， ； （3）解：，， 对称轴， 又二次函数是“倍距函数”， 二次函数的顶点在轴的正半轴上． 设该二次函数的顶点式为（）， 又， 该二次函数与轴交于点， 代入得；①， 二次函数经过点， ， 化简得：②， 将方程①代入方程②得：③， 由③可得：， 把代入， 可得：， 解得：，， 当时，可得：， 当时，可得：， 该函数解析式为或． 24．(1) (2)存在，M的坐标是或 (3) 【分析】（1）利用直线的解析式，先求出B，C的坐标，根据确定A的坐标，再用待定系数法求解析式即可； （2）分别以B，C为直角顶点，作的垂线，垂线与抛物线的交点即为点M； （3）利用铅锤法，设出点N的坐标，作x轴的垂线，得到与的交点，用参数表示这段距离，构建的面积的二次函数求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； （2）解：存在． 设， ⅰ）当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， ． 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ⅱ）当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或； （3）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∴当时，的面积最大，为． 学科网（北京）股份有限公司 $