2.3一元二次不等式及其解法 学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义以一元二次不等式解法为核心，通过课前预习认识概念及一般形式，课堂探究理解二次函数、方程与不等式的关系，借助图象掌握Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0三种情形的解集，形成“化判求写”四步解法的学习支架。 资料注重数学思维的逻辑构建与数学眼光的几何直观，通过“探究一画图分析解集”“探究四分步规范求解”等活动，引导学生用数学语言总结规律。课中助力教师分层教学，课后变式训练和当堂检测帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2.3　一元二次不等式及其解法 导学案　2026—2027学年高一上学期　数学　人教A版必修第一册 班级：＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿　小组：＿＿＿＿＿ 一、学习目标 1．认识一元二次不等式，知道它的一般形式； 2．理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的关系，会借助图象求解集； 3．掌握解一元二次不等式的四步，能求出 Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0 三种情形的解集。 二、课前预习 阅读教材，完成填空： 1．只含一个未知数、未知数最高次数是＿＿的不等式叫一元二次不等式，一般形式是＿＿＿＿＿＿＿＿（a0）。 2．二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象与 x 轴交点的横坐标，就是方程＿＿＿＿＿＿的根；不等式 ax²＋bx＋c＞0 的解集，是使图象在 x 轴＿＿方的那部分 x。 3．设 Δ＝b²－4ac（a＞0）。填下表： 　Δ＞0：方程有两个＿＿实根 x₁＜x₂；＞0 解集＿＿＿＿＿＿；＜0 解集＿＿＿＿＿＿。 　Δ＝0：方程有两个＿＿实根 x₁＝x₂＝＿＿＿；＞0 解集＿＿＿＿＿＿；＜0 解集＿＿。 　Δ＜0：方程＿＿实根；＞0 解集＿＿；＜0 解集＿＿。 4．解一元二次不等式的四步是＿＿、＿＿、＿＿、＿＿；口诀是"大于取＿＿，小于取＿＿"。 三、课堂探究 探究一　从图象看不等式 画出 y＝x²－5x＋6 的草图，标出与 x 轴的交点，指出 x²－5x＋6＞0 对应图象的哪一部分，并写出解集： 　 　 　 　 　 探究二　三种情形 分别求解，体会 Δ 的三种情况： （1）x²－5x＋6＞0；　（2）9x²－6x＋1＞0；　（3）x²－2x＋3＞0。 　 　 　 　 　 探究三　解不等式的步骤 求 −x²＋2x－3＞0 的解集（提示：先把二次项系数化成正）： 　 　 　 　 　 探究四　完整四步 按"化、判、求、写"四步求 −2x²＋3x＋2≥0 的解集，写清每一步： 　 　 　 　 　 探究五　完全平方型 填一填，体会完全平方型四种不等式的解集： （x－2)²＞0 解集＿＿＿＿；(x－2)²≥0 解集＿＿；(x－2)²＜0 解集＿＿；(x－2)²≤0 解集＿＿。 　 　 　 四、变式训练 1．把（探究三）的不等号改成 ＜，即 −x²＋2x－3＜0，解集又是什么？ 　 2．若不等式 x²＋bx＋c＞0 的解集为 {x | x＜1 或 x＞4}，试求 b、c。 　 3．解关于 x 的不等式 x²－(a＋1)x＋a＜0（就 a 与 1 的大小分类讨论）。 　 　 　 五、当堂检测 基础 求下列不等式的解集： 1．x²－x－6＜0；　　2．−2x²＋3x＋2≥0； 3．x²－4x＋4＞0；　　4．x²＋2x＋3＞0。 　 　 　 　 　 提高 5．求 x²－6x＋9≤0 的解集； 6．若 x²－2x＋m＞0 的解集为 R，求 m 的取值范围； 7．若 x²＋bx＋c＞0 的解集为 {x | x＜−2 或 x＞3}，求 b、c。 　 　 　 　 　 六、知识网络 一元二次不等式 → 借助二次函数图象 → 三个"二次"的关系（方程的根是图象与 x 轴交点、不等式解集是图象在 x 轴上/下方的部分）→ 解法四步（化、判、求、写）→ 三种情形（Δ＞0 取两边或中间、Δ＝0 去一个根或空集、Δ＜0 全集或空集）→ 应用（反求系数、含参分类）。 七、课堂小结 解一元二次不等式四步：＿＿、＿＿、＿＿、＿＿；口诀：二次项系数为正时，大于取＿＿、小于取＿＿。Δ＝0 时 ＞0 的解集要记得＿＿＿＿＿＿；Δ＜0 时开口向上则 ＞0 解集为＿＿。 参考答案 课前预习 1．2；ax²＋bx＋c＞0（或＜0）。2．ax²＋bx＋c＝0；上。3．Δ＞0：不等；{x | x＜x₁ 或 x＞x₂}；{x | x₁＜x＜x₂}。Δ＝0：相等；−；{x | x−}；∅。Δ＜0：无；R；∅。4．化、判、求、写；两边、中间。 课堂探究 探究一：交点为 2、3，＞0 对应图象在 x 轴上方的部分，即 x＜2 或 x＞3，解集 {x | x＜2 或 x＞3}。 探究二：(1){x | x＜2 或 x＞3}；(2){x | x}；(3)Δ＝−8＜0，开口向上恒正，解集 R。 探究三：化为 x²－2x＋3＜0，Δ＝−8＜0，函数恒正，故 ＜0 无解，解集 ∅。 探究四：① 化 2x²－3x－2≤0；② Δ＝25＞0；③ 根 −、2；④ 取中间含端点，{x | −≤x≤2}。 探究五：{x | x2}；R；∅；{2}。 变式训练 1．−x²＋2x－3＜0 化为 x²－2x＋3＞0，Δ＜0 恒正，解集 R。 2．解集为"两根之外"型，1、4 是方程 x²＋bx＋c＝0 的根。由根与系数关系：1＋4＝−b，得 b＝−5；1×4＝c，得 c＝4。 3．(x－1)(x－a)＜0，开口向上取中间。a＞1 时 {x | 1＜x＜a}；a＝1 时 ∅；a＜1 时 {x | a＜x＜1}。 当堂检测 1．(x－3)(x＋2)＜0，两根 −2、3，取中间：{x | −2＜x＜3}。 2．化为 2x²－3x－2≤0，即 (2x＋1)(x－2)≤0，两根 −、2，取中间（含端点）：{x | −≤x≤2}。 3．(x－2)²＞0，只需 x2：{x | x2}。 4．Δ＝4－12＝−8＜0，开口向上恒正：R。 5．(x－3)²≤0，只有 x＝3：{3}。 6．解集为 R 需 Δ＜0，即 4－4m＜0，得 m＞1。 7．−2、3 是方程 x²＋bx＋c＝0 的根，(−2)＋3＝−b 得 b＝−1，(−2)×3＝c 得 c＝−6。 课堂小结 化、判、求、写；两边、中间；{x | x−}（去掉那一个根）；R。 易错提醒：二次项系数为负先化正，不等号要变向；Δ＝0 时＞0 的解集别漏掉"去掉一个根"；由解集反求系数，先由解集类型判断开口方向；含参数时分类讨论要不重不漏。 学科网（北京）股份有限公司 $