2.3一元二次不等式及其解法 教案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该教案聚焦一元二次不等式及其解法，通过杂志社定价问题导入概念，前承不等式性质与基本不等式，后启函数零点等内容，以数形结合为纽带搭建三个“二次”关系的学习支架。 特色在于以三个“二次”关系为核心，从特殊实例到一般情形引导学生填表归纳，例题覆盖Δ＞0、Δ＝0、a＜0等典型并总结四步解法，反向变式培养逻辑推理。发展直观想象与逻辑推理素养，分层作业满足差异需求，助力教师高效教学与学生扎实掌握。

2.3　一元二次不等式及其解法　教学设计 2026—2027学年高一上学期　数学　人教A版必修第一册 一、教材分析 本课时是第二章第三节的第一课时。教材以二次函数为纽带，把一元二次方程、一元二次不等式联系起来：二次函数图象与 x 轴的交点给出方程的根，图象在 x 轴上、下方的部分给出不等式的解集。学生由此获得一种用函数观点求一元二次不等式解集的方法。它既是初中一元二次方程、二次函数的自然延伸，也为后续函数的零点、值域以及解析几何中的取值范围问题作准备。 本节承前启后：前面 2.1、2.2 学习了不等式的性质与基本不等式，本节把研究对象具体到"一元二次"，方法上从"代数变形"转到"数形结合"。它体现的函数思想、化归思想，在整个高中数学中反复出现。 二、学情分析 学生已掌握一元二次方程的解法、二次函数的图象与性质，能画出简单二次函数的草图。难点在于把"解不等式"转化为"看图象"，以及对 Δ＝0、Δ＜0 两种情形解集的准确表述——学生容易在 Δ＝0 时漏掉"去掉一个根"，在 Δ＜0 时混淆全集与空集。此外，二次项系数为负时"先化正、变号"这一步，学生也常常遗漏。 三、教学准备 教具：三角板、彩色粉笔（区分图象、x 轴、解集区间）。学具：草稿纸，供学生画二次函数草图。技术：可用几何画板或投影动态演示抛物线随系数变化时与 x 轴位置的变化，帮助学生看清 Δ 的三种情形。 预设生成：学生在 Δ＝0 时容易把解集写成 R，在 Δ＜0 时容易把全集与空集弄反，在系数为负时容易忘记变号。这三处要在例题讲解中有意识地暴露、追问、纠正。 四、教学目标 1．理解一元二次不等式的概念，能识别一元二次不等式； 2．理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的关系，能借助图象得到解集； 3．掌握解一元二次不等式的步骤，能正确求出各种情形（Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0）的解集； 4．在数形结合的过程中，体会函数思想与化归思想，发展直观想象与逻辑推理素养。 五、教学重点与难点 重点：从二次函数图象得到一元二次不等式的解集；解一元二次不等式的步骤。 难点：三个"二次"关系的理解；Δ＝0 与 Δ＜0 情形解集的准确表述；二次项系数为负时的化正处理。 六、教学过程 环节一　概念引入（5分钟） 问题1　某杂志社定价问题最后归结为解不等式 2x²－13x＋20≤0。这类只含一个未知数、未知数最高次数为2的不等式，我们叫它什么？它的一般形式是什么？ 师生活动：学生尝试概括，教师给出定义并板书一般形式 ax²＋bx＋c＞0（或＜0），a0。 明确：只含一个未知数、未知数最高次数是2的不等式叫一元二次不等式，一般形式 ax²＋bx＋c＞0（或＜0），a0。 设计意图：用真实问题引出概念，让学生感到"解不等式"是有实际需要的。 问题2　下列哪些是一元二次不等式：3x²－1＞0、x²＋y＜0、＋x＞0、x²＞2x？ 明确：3x²－1＞0 是；x²＞2x 移项后是；x²＋y＜0 含两个未知数、＋x＞0 未知数在分母，都不是。 设计意图：通过辨析，让学生把握"一元""二次""整式"三个要点。 环节二　三个"二次"的关系（15分钟） 问题3　以 x²－5x＋6＞0 为例。方程 x²－5x＋6＝0 的根与函数 y＝x²－5x＋6 有什么关系？函数图象的哪一部分对应 x²－5x＋6＞0？ 师生活动：学生求根 x＝2、3，画出开口向上的抛物线，观察图象在 x 轴上方的部分对应 x＜2 或 x＞3。教师引导把"函数值＞0"翻译成"图象在 x 轴上方"。 明确：方程的根是图象与 x 轴的交点横坐标；不等式＞0 的解集就是图象在 x 轴上方那部分的 x，＜0 就是图象在下方那部分的 x。 问题4　把结论推广到一般的 ax²＋bx＋c＞0（a＞0）。按 Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0 三种情况，解集各是什么？ 师生活动：师生共同填写三个"二次"的对应关系表：Δ＞0 时 ＞0 解集 {x | x＜x₁ 或 x＞x₂}、＜0 解集 {x | x₁＜x＜x₂}；Δ＝0 时 ＞0 解集 {x | x−}、＜0 解集 ∅；Δ＜0 时 ＞0 解集 R、＜0 解集 ∅。 设计意图：由特殊到一般，让学生自己填表，比直接给结论记得牢。 环节三　例题与解法（15分钟） 例1　求 x²－5x＋6＞0 的解集。（Δ＞0）解集 {x | x＜2 或 x＞3}。 例2　求 9x²－6x＋1＞0 的解集。（Δ＝0）根 x₁＝x₂＝，解集 {x | x}。 例3　求 −x²＋2x－3＞0 的解集。（a＜0）先化为 x²－2x＋3＜0，Δ＝−8＜0，解集 ∅。 问题5　解一元二次不等式，一般分哪几步？二次项系数为负时先做什么？ 明确：四步：化（使 a＞0）、判（算 Δ）、求（求根）、写（结合开口向上的图象写解集）。口诀："大于取两边，小于取中间"。二次项系数为负时先乘 −1 化正，不等号要变向。 设计意图：三道例题分别覆盖 Δ＞0、Δ＝0、a＜0 三种典型，最后归纳成可操作的步骤与口诀。 环节四　巩固与变式（7分钟） 问题6　求 −2x²＋3x＋2≥0；再想一想：若 ax²＋bx＋2＞0 的解集是 {x | −1＜x＜2}，能反过来求 a、b 吗？ 师生活动：学生完成 −2x²＋3x＋2≥0，得 {x | −≤x≤2}；对反求问题，教师引导由解集类型判断开口方向，再用根与系数关系。 明确：正向：化、判、求、写；反向：由解集类型定开口方向（a 的正负），再由根与系数关系求系数。 设计意图：一正一反两个方向，让学生对"解集—系数—图象"的关系形成整体理解。 环节五　当堂检测（5分钟） 求下列不等式的解集：（1）x²－x－6＜0；（2）x²－4x＋4＞0；（3）x²＋2x＋3＞0。 师生活动：学生独立完成，教师抽查并针对错误集中讲评：(1){x | −2＜x＜3}；(2){x | x2}；(3)R。 设计意图：当堂检测覆盖 Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0 三种情形，及时反馈掌握情况。 环节六　小结与作业（3分钟） 小结：一元二次不等式的概念；三个"二次"的关系；解不等式的四步与口诀；三种 Δ 情形的解集；正向解与反向求系数。布置课后作业。 七、板书设计 左：一元二次不等式定义 ax²＋bx＋c＞0（a0）｜三个"二次"关系表（Δ＞0/＝0/＜0）。 中：例1 {x | x＜2 或 x＞3}；例2 {x | x}；例3 ∅。 右：解法四步 化·判·求·写｜口诀"大于取两边，小于取中间"｜易错三处。 八、分层作业设计 必做：课本相应练习与本节课时作业的选择、填空、解答第11、12题。 选做：课时作业第13、14题（含参不等式与"由解集反求系数"），供学有余力的学生思考。 九、教学反思 Δ＝0 与 Δ＜0 的解集表述是本课时最易错处，讲例2、例3 时要让学生说出"为什么去掉一个根""为什么是空集"，把图象和结论一一对上。二次项系数为负先化正这一步要反复强调，避免不等号变向出错。反求系数的变式对部分学生偏难，可视班级情况决定是否在课堂展开，或留作选做。当堂检测反馈若显示 Δ＝0 情形错误率高，下一课时应先复习巩固再进入应用。 十、例题详解（备课参考） 例1　求 x²－5x＋6＞0 的解集。 详解：Δ＝(−5)²－4×1×6＝25－24＝1＞0，方程 x²－5x＋6＝0 解得 x₁＝2，x₂＝3。二次函数 y＝x²－5x＋6 开口向上，与 x 轴交于 2、3。图象在 x 轴上方对应 x＜2 或 x＞3。解集 {x | x＜2 或 x＞3}。 例2　求 9x²－6x＋1＞0 的解集。 详解：Δ＝(−6)²－4×9×1＝36－36＝0，方程有两个相等根 x₀＝。9x²－6x＋1＝(3x－1)²，除 x＝ 外恒正。解集 {x | x}。讲解时追问："x＝ 时式子等于几？能不能取？"引出"去掉一个根"。 例3　求 −x²＋2x－3＞0 的解集。 详解：两边乘 −1 变号，化为 x²－2x＋3＜0。Δ＝4－12＝−8＜0，方程无实根，y＝x²－2x＋3 开口向上恒正，故 ＜0 无解。解集 ∅。追问："系数为负先做什么？不等号怎么变？" 变式　求 −2x²＋3x＋2≥0；并由解集 {x | −1＜x＜2} 反求 ax²＋bx＋2＞0 中的 a、b。 详解：前者化为 2x²－3x－2≤0，(2x＋1)(x－2)≤0，得 {x | −≤x≤2}。后者由解集为两根之间型判断 a＜0，−1、2 是根，由根与系数关系得 a＝−1、b＝1。 十一、易错例析（备课参考） 错解一　解 −x²＋2x－3＞0，直接说"开口向下、取两根之外"。 剖析：口诀"大于取两边、小于取中间"针对开口向上。系数为负应先乘 −1 化正、不等号变向，得 x²－2x＋3＜0，再判断（此题 Δ＜0，解集 ∅）。不化正直接套口诀，方向容易记反。 错解二　解 9x²－6x＋1＞0，答"解集为 R"。 剖析：Δ＝0 时函数在 x＝ 处取到 0，并不＞0。＞0 的解集应"去掉这一个根"，为 {x | x}，不是 R。 错解三　解 x²＋2x＋3＜0，答"解集为 R"。 剖析：Δ＜0、开口向上时函数恒＞0，所以＜0 无解，解集是 ∅；恒正对应的是 ＞0 的解集为 R。全集与空集不要弄反。 教学建议：把这三个错解板书出来，让学生先判断对错、再说明理由，比单纯讲正确解法印象更深。 十二、分层作业参考答案（备课） 选择题：1.B　2.A　3.C　4.B　5.C　6.A　7.C。 填空题：8．{x | −1≤x≤}；9．{x | x＜−2 或 x＞1}；10．m＞1；11．b＝−2，c＝−3；12．{3}。 解答题：13．(1){x | x＜− 或 x＞2}；(2){x | −≤x≤1}；(3){3}。14．(1){x | x2}；(2)∅；(3)R。15．{x | 1＜x＜a}（a＞1）。16．{x | ＜x＜}。 批改重点：Δ＝0 情形（第3、12题）看是否漏掉"去掉一个根"；系数为负（第2、13(2)题）看是否先化正、变号；反求系数（第5、11、16题）看是否先由解集类型判断开口方向。 学科网（北京）股份有限公司 $