2.3一元二次不等式的应用 教案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该教案聚焦一元二次不等式的应用，涵盖实际问题、分式不等式、恒成立问题三类核心内容。通过复习“化、判、求、写”四步及口诀搭建旧知支架，自然衔接新知应用，梳理前后知识脉络。 以“化归”思想为主线，实际问题强化数学建模（如利润问题需取整数），分式不等式注重逻辑推理（如移项通分避免直接去分母），恒成立问题结合数形结合培养数学运算（如判别式与开口方向的配合）。实例典型且易错点突出，分层作业与错解分析辅助教师教学，助力学生发展核心素养，提升问题解决能力。

2.3　一元二次不等式的应用　教学设计 2026—2027学年高一上学期　数学　人教A版必修第一册 一、教材分析 本课时是第二章第三节的第二课时。在上一课时掌握"用图象解一元二次不等式"的基础上，本课时把这一工具用到三类问题：实际问题（把文字量关系翻译成不等式）、分式不等式（把商的符号化成积的符号）、恒成立问题（把"对一切 x 成立"化成对判别式的要求）。核心是"化归"——把新问题转化成会解的一元二次不等式。 三类问题分别对应三种数学能力：实际问题重在建模，分式不等式重在等价转化，恒成立问题重在数形结合与分类讨论。它们共同强化了本章的函数思想与化归思想。 二、学情分析 学生已能解一般的一元二次不等式。困难主要在建模与转化：实际问题不会设未知数、忽略实际范围（如取整数）；分式不等式直接去分母导致漏解或增解；恒成立问题不清楚"开口方向＋判别式"两个条件缺一不可。教学中要多让学生动手"翻译"和"转化"，暴露并纠正这些易错点。 三、教学准备 教具：彩色粉笔、直尺。技术：可用投影展示实际问题的图形（如矩形花卉带）、动态演示恒成立时抛物线整体在 x 轴上方的情形。学具：草稿纸。 预设生成：实际问题中学生常忘记"回到实际"取整数或取正值；分式不等式带等号时常漏掉分母不为0、右边不为0时直接去分母；恒成立中常把 Δ＜0 与 Δ≤0 混用。这些要在例题中有意识地追问。 四、教学目标 1．能用一元二次不等式解决简单的实际问题，并结合实际意义作答； 2．会把简单分式不等式转化为一元二次（或一次）不等式求解，注意分母不为0； 3．理解一元二次不等式恒成立与判别式的关系，能求参数范围； 4．在建模与转化的过程中，发展数学建模、数学运算与逻辑推理素养。 五、教学重点与难点 重点：实际问题的建模；分式不等式的转化；恒成立与判别式的联系。 难点：把实际条件、恒成立条件准确翻译成不等式；分式不等式对分母的处理；恒成立中开口方向与判别式的配合。 六、教学过程 环节一　复习引入（5分钟） 问题1　上节课解一元二次不等式分哪四步？口诀是什么？这节课我们把它用到实际问题里去。 师生活动：学生回顾"化、判、求、写"与"大于取两边，小于取中间"，教师点明本课是"用"。 设计意图：用旧知开路，让学生带着方法进入应用。 环节二　实际问题（15分钟） 问题2　某流水线 y＝−20x²＋2200x，一周创收 60000 元以上，大约生产多少辆？怎样把这段话变成不等式？解完之后为什么答案是 51～59 辆而不是 50＜x＜60？ 师生活动：学生列出 −20x²＋2200x＞60000，整理为 x²－110x＋3000＜0，解得 {x | 50＜x＜60}；教师追问"x 是辆数，必须取整数"，得到 51～59 辆。 明确：实际问题四步：设（含实际范围）、列、解、答。最后一步必须回到实际——取整数、取正值，不能只写不等式的解集。 设计意图：把"数学解集"和"实际答案"区分开，是应用题最容易丢分的地方。 问题3　再看一个面积问题：8 m×6 m 的空地四周留等宽花卉带，草坪面积不超过总面积一半，花卉带宽 x 满足什么？中间草坪的长、宽怎么用 x 表示？ 师生活动：学生表示草坪为 (8−2x)(6−2x)，列出 (8−2x)(6−2x)≤24，解得 1≤x≤6，结合 0＜x＜3 得 1≤x＜3。 明确：面积问题关键是用未知数表示出图形的边长与面积，别忘了实际范围（这里 0＜x＜3）。 设计意图：增加一个几何背景的应用，让"设、列、解、答"在不同情境里再走一遍。 环节三　分式不等式（10分钟） 问题4　解 ＞0。能直接去分母吗？两个数的商大于0说明什么？ 师生活动：学生发现商＞0 ⟺ 分子分母同号 ⟺ (x－1)(x＋2)＞0，解得 {x | x＜−2 或 x＞1}。教师提醒带等号时分母不为0。 明确：分式不等式先移项使一侧为0，再把"商的符号"转成"积的符号"化为一元二次不等式；≥、≤ 时分母不能为0，要排除分母为0的点。 问题5　那 ≥1 呢？右边不是0，第一步做什么？ 明确：先移项通分使一侧为0，化为 ≥0，再判断，得 {x | x＞1}。不能直接两边乘 (x−1)。 设计意图：从"右边为0"到"右边不为0"，让学生掌握完整的转化流程。 环节四　恒成立（8分钟） 问题6　x²－2x＋m＞0 对一切实数 x 恒成立，m 满足什么？"对一切 x 都＞0"在图象上是什么样子？再看 x²＋ax＋1≥0 恒成立，条件有什么不同？ 师生活动：学生画开口向上的抛物线，发现"整个在 x 轴上方"就是 Δ＜0，得 m＞1；对"≥0"，允许相切，条件是 Δ≤0，得 −2≤a≤2。 明确：二次式对一切实数恒＞0 ⟺ 开口向上（a＞0）且 Δ＜0；恒≥0 则 Δ≤0。二次项系数含参数时还要先保证它为正，并讨论系数为0的情形。 设计意图：把"恒成立"翻译成"图象位置"，再翻译成"判别式"，是本课的思维主线；两个例子对比 Δ＜0 与 Δ≤0。 环节五　当堂检测（5分钟） （1）解 ＜0；（2）若 x²＋ax＋4＞0 对一切 x 恒成立，求 a 的范围。 师生活动：学生独立完成，教师抽查讲评：(1){x | −1＜x＜2}；(2){a | −4＜a＜4}。 设计意图：当堂检测覆盖分式与恒成立两类，及时反馈。 环节六　小结与作业（2分钟） 小结：实际问题四步、分式不等式的转化、恒成立与判别式。三类问题都靠"化归"回到会解的一元二次不等式。布置课后作业。 七、板书设计 左：实际问题 设·列·解·答（结合实际取整/取正）｜面积问题 (8−2x)(6−2x)≤24。 中：分式 ＞0 ⟺ (x－1)(x＋2)＞0（分母0）；移项 ≥0｜恒成立 a＞0 且 Δ＜0（或 Δ≤0）。 右：例1 51～59 辆；例4 {x | x＜−2 或 x＞1}；例6 m＞1、−2≤a≤2。 八、分层作业设计 必做：课本相应练习与本节课时作业的选择、填空、解答第11、12题。 选做：课时作业第13、14题（集合运算与含参恒成立），供学有余力的学生思考。 九、教学反思 实际问题要留足时间让学生"翻译"，教师不要代劳列式。分式不等式一定要强调分母不为0，可对比"带等号"与"不带等号"、"右边为0"与"右边不为0"几种写法。恒成立问题让学生始终回到图象，避免死记 Δ 的符号；含参系数的讨论视班级情况决定深浅。当堂检测若显示分式带等号错误率高，应补充一组对比练习。 十、例题详解（备课参考） 例1（利润）　y＝−20x²＋2200x，创收 60000 元以上，求生产辆数。 详解：由 −20x²＋2200x＞60000，两边除以 −20 变号并移项得 x²－110x＋3000＜0。Δ＝110²－12000＝100＞0，根 50、60。开口向上取中间，{x | 50＜x＜60}。x 为整数，故 51～59 辆。追问："为什么不能写成 50＜x＜60？"强调回到实际。 例3（面积）　8×6 空地留等宽花卉带，草坪≤总面积一半，求花卉带宽。 详解：设宽 x（0＜x＜3），草坪 (8−2x)(6−2x)。由 (8−2x)(6−2x)≤24 得 4x²－28x＋24≤0，x²－7x＋6≤0，(x−1)(x−6)≤0，1≤x≤6。结合 0＜x＜3 得 1≤x＜3。强调用 x 表示边长、别忘实际范围。 例4（分式）　解 ＞0 与 ≥1。 详解：前者商＞0⟺(x−1)(x+2)＞0，{x | x＜−2 或 x＞1}。后者右边不为0，移项通分得 ≥0，分子＞0 需 x−1＞0，{x | x＞1}。强调不能直接两边乘 (x−1)。 例6（恒成立）　x²－2x＋m＞0 与 x²＋ax＋1≥0 恒成立求参数。 详解：前者开口向上，恒＞0 需 Δ＜0，4−4m＜0，m＞1。后者恒≥0 允许相切，需 Δ≤0，a²−4≤0，−2≤a≤2。对比 Δ＜0 与 Δ≤0 一个等号的差别。 例2（定价）　解 2x²－13x＋20≤0，x 为杂志定价（元）。 详解：2x²－13x＋20＝(2x－5)(x－4)，根 、4。开口向上、≤0 取中间（含端点），{x | ≤x≤4}，即定价不低于 2.5 元且不超过 4 元。 例8（集合）　M＝{x | 4x²－4x－15＞0}，N＝{x | x²－5x－6＞0}，求 M∩N、M∪N。 详解：4x²－4x－15＝(2x－5)(2x＋3)＞0，M＝{x | x＜− 或 x＞}；x²－5x－6＝(x－6)(x＋1)＞0，N＝{x | x＜−1 或 x＞6}。借助数轴，M∩N＝{x | x＜− 或 x＞6}，M∪N＝{x | x＜−1 或 x＞}。 十一、易错例析（备课参考） 错解一　解 ≤0，直接写成 (2x－1)(x＋3)≤0，答 {x | −3≤x≤}。 剖析：带等号时分母不能为 0，要求 x＋30，即去掉 x＝−3。正确解集为 {x | −3＜x≤}，左端点开。 错解二　解 ≥1，两边直接乘 (x－1)，得 x＋2≥x－1，恒成立，答"R"。 剖析：x－1 的正负未知，直接乘会出错。应先移项通分成 ≥0，再判断，得 {x | x＞1}。右边不为 0 时先移项，是分式不等式的关键一步。 错解三　解应用题"生产 x 辆创收 60000 元以上"，解得 50＜x＜60 就作答。 剖析：x 是辆数，必须取整数。数学解集是 {x | 50＜x＜60}，实际答案是 51～59 辆。应用题最后一定要回到实际。 教学建议：把三个错解作为"改错题"呈现，让学生找出错在哪里、如何改正，突出分母、移项、回到实际这三处。 十二、分层作业参考答案（备课） 选择题：1.B　2.B　3.C　4.A　5.A　6.A　7.B。 填空题：8．{x | x≤−2 或 x＞1}；9．{a | −4＜a＜4}；10．R；11．a＞2；12．{x | x≤−4 或 x≥3}。 解答题：13．(1){x | −1＜x＜2}；(2){x | x＞1}。14．x²－60x＋850≤0，根 30±5，整数 23～37 件。15．M∩N＝{x | x＜− 或 x＞6}，M∪N＝{x | x＜−1 或 x＞}。16．＞0 时 −2＜a＜2；≥0 时 −2≤a≤2。 批改重点：分式带等号（第4、8、13题）看是否处理分母不为0、右边不为0是否先移项；应用题（第14题）看是否回到实际取整数；恒成立（第9、16题）看 Δ＜0 与 Δ≤0 是否用对。 学科网（北京）股份有限公司 $