2.3一元二次不等式及其解法·讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦一元二次不等式及其解法核心知识点，以概念（定义、判断要点）为起点，通过三个“二次”关系（二次函数图象、方程根与不等式解集的联系）搭建学习支架，系统梳理解法步骤（化、判、求、写）及特殊情形（完全平方型、Δ<0型、含端点）。 资料以数形结合思想（如二次函数图象与解集对应）培养数学眼光，通过分类讨论（如含参数不等式根大小分类）发展数学思维，典型例题覆盖Δ>0、Δ=0等情形。课中辅助教师系统教学，课后分层练习（基础题、提高题）助力学生查漏补缺。

2.3　一元二次不等式及其解法 2026—2027学年高一上学期　数学　人教A版必修第一册 一、知识梳理 1．一元二次不等式的概念 只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式。它的一般形式是 　　ax²＋bx＋c＞0　或　ax²＋bx＋c＜0　（a0）， 其中 a、b、c 为常数。把"＞"换成"≥"、把"＜"换成"≤"，也是一元二次不等式。 判断一个不等式是不是一元二次不等式，看三点：只有一个未知数；是整式不等式（未知数不在分母、不在根号里）；未知数的最高次数恰好是2（即 a0）。例如 3x²－1＞0、x²＞2x（移项即 x²－2x＞0）都是；而 x²＋y＜0 含两个未知数，＋x＞0 未知数在分母里，都不是。 2．三个"二次"的关系 二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象与 x 轴的交点，横坐标就是一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0 的根；而一元二次不等式的解集，就是使函数值大于0（图象在 x 轴上方）或小于0（图象在 x 轴下方）的那部分 x。求不等式的解集，先求方程的根，再看图象。 设 Δ＝b²－4ac，对 a＞0 的情形，三种情况的对应关系如下（a＜0 时先把二次项系数化成正）： Δ＞0：方程有两个不等实根 x₁＜x₂。ax²＋bx＋c＞0 的解集为 {x | x＜x₁ 或 x＞x₂}；ax²＋bx＋c＜0 的解集为 {x | x₁＜x＜x₂}。 Δ＝0：方程有两个相等实根 x₁＝x₂＝−。ax²＋bx＋c＞0 的解集为 {x | x−}；ax²＋bx＋c＜0 的解集为 ∅。 Δ＜0：方程无实根。ax²＋bx＋c＞0 的解集为 R；ax²＋bx＋c＜0 的解集为 ∅。 这张对应关系是本节的核心。把它记牢：先看开口方向（a 的正负），再看图象与 x 轴的位置（由 Δ 决定），最后按"函数值＞0 取图象在 x 轴上方那段、＜0 取下方那段"来写解集。 3．解一元二次不等式的步骤 （1）化：把不等式化成 ax²＋bx＋c＞0（或＜0）的形式，并使 a＞0（若 a＜0，两边乘 −1，不等号变向）； （2）判：算 Δ＝b²－4ac，判断根的情况； （3）求：求出方程 ax²＋bx＋c＝0 的根； （4）写：结合图象（开口向上）写出解集。 口诀：二次项系数为正时，"大于取两边，小于取中间"。即 ＞0 取两根之外，＜0 取两根之间；Δ≤0 时按上表处理。 4．二次项系数为负的处理 口诀"大于取两边、小于取中间"是针对开口向上（a＞0）说的。当二次项系数为负时，先把不等式两边同乘 −1，使二次项系数变为正，同时不等号方向要改变（＞变＜，≥变≤），再按开口向上的方法求解。这一步是最常见的出错处，务必先化正、再套口诀。 5．三种特殊情形 （1）完全平方型：当 Δ＝0，二次式是完全平方 (x－a)²。(x－a)²＞0 的解集是 {x | xa}；(x－a)²≥0 的解集是 R；(x－a)²＜0 的解集是 ∅；(x－a)²≤0 的解集是 {a}。记法：平方恒 ≥0，"＞0"去掉那一点，"≥0"取全体，"＜0"无解，"≤0"只剩那一点。 （2）Δ＜0 型：方程无实根，开口向上时图象整个在 x 轴上方，恒有函数值＞0。所以 ＞0 的解集是 R，＜0 的解集是 ∅。判断时看清开口方向，别把全集与空集弄反。 （3）含端点：不等式带等号（≥、≤）时，端点（方程的根）要取到；不带等号时端点不取。写解集时端点的开闭要与不等号一致。 二、典型例题 例1　（Δ＞0） 求不等式 x²－5x＋6＞0 的解集。 解：方程 x²－5x＋6＝0 中，Δ＝25－24＝1＞0，解得 x₁＝2，x₂＝3。 二次函数 y＝x²－5x＋6 开口向上，与 x 轴交于 2、3 两点，图象在 x 轴上方的部分对应 x＜2 或 x＞3。 所以原不等式的解集为 {x | x＜2 或 x＞3}。 例2　（Δ＝0） 求不等式 9x²－6x＋1＞0 的解集。 解：方程 9x²－6x＋1＝0 中，Δ＝36－36＝0，解得 x₁＝x₂＝。 函数 y＝9x²－6x＋1＝(3x－1)² 开口向上，只在 x＝ 处与 x 轴相切，其余各处都在 x 轴上方。 所以原不等式的解集为 {x | x}。 例3　（二次项系数为负） 求不等式 −x²＋2x－3＞0 的解集。 解：两边乘 −1，不等号变向，原不等式化为 x²－2x＋3＜0。 方程 x²－2x＋3＝0 中，Δ＝4－12＝−8＜0，方程无实根。函数 y＝x²－2x＋3 开口向上，图象全部在 x 轴上方，恒有 x²－2x＋3＞0，所以 x²－2x＋3＜0 无解。 所以原不等式的解集为 ∅。 例4　（完整四步演示） 求不等式 −2x²＋3x＋2≥0 的解集。 解：① 化——两边乘 −1，不等号变向，得 2x²－3x－2≤0； ② 判——Δ＝(−3)²－4×2×(−2)＝9＋16＝25＞0； ③ 求——2x²－3x－2＝(2x＋1)(x－2)，方程的根为 −、2； ④ 写——开口向上、≤0 取中间（含端点），解集为 {x | −≤x≤2}。 例5　（因式分解法与数轴标根） 求不等式 x²－x－6≤0 的解集。 解：x²－x－6＝(x－3)(x＋2)，方程的根为 −2、3。把两根标在数轴上，开口向上时图象在两根之外为正、两根之间为负，故 ≤0（含端点）取两根之间：{x | −2≤x≤3}。 能因式分解时，直接由两根写解集比套判别式更快。数轴标根的口诀仍是"大于取两边、小于取中间"。 例6　（已知解集反求系数） 若关于 x 的不等式 ax²＋bx＋2＞0 的解集为 {x | −1＜x＜2}，求 a、b 的值。 解：解集是"两根之间"型，说明开口向下，即 a＜0，且 −1、2 是方程 ax²＋bx＋2＝0 的两个根。 由根与系数的关系：两根之积 (−1)×2＝，得 a＝−1；两根之和 (−1)＋2＝−，即 1＝−＝b，得 b＝1。 检验：−x²＋x＋2＞0 即 x²－x－2＜0，(x－2)(x＋1)＜0，解集为 {x | −1＜x＜2}，符合。所以 a＝−1，b＝1。 例7　（含参数的分类讨论） 解关于 x 的不等式 x²－(a＋1)x＋a＜0。 解：把左边因式分解，x²－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)，方程的根为 1 和 a。开口向上，＜0 取两根之间，但两根的大小随 a 变化，需要分类： （1）当 a＞1 时，1＜a，解集为 {x | 1＜x＜a}； （2）当 a＝1 时，(x－1)²＜0 无解，解集为 ∅； （3）当 a＜1 时，a＜1，解集为 {x | a＜x＜1}。 含参数的一元二次不等式，常常要对"根的大小"或"开口方向"分类讨论，做到不重不漏。 三、数学思想 数形结合：把"解不等式"变成"看图象"，用二次函数图象与 x 轴的位置关系确定解集，是本节最核心的方法。 化归转化：二次项系数为负先化正、含参数的问题分类化归为不含参的情形，都是把陌生问题转化成会解的一元二次不等式。 分类讨论：当根的大小、开口方向不确定时，按不同情况分别求解，最后综合作答。 四、方法与易错 方法归纳 ① 化：系数化正、不等号随之确定方向；② 判：算 Δ；③ 求：求根（能因式分解就分解）；④ 写：看开口、按口诀写解集。三种特殊情形（Δ＝0、Δ＜0、完全平方）单独记牢；含参数时注意分类讨论。 易错提醒 （1）二次项系数为负时忘记先化正，或化正时不等号没有变向； （2）Δ＝0 时把 ＞0 的解集误写成 R，漏掉"去掉一个根"； （3）Δ＜0 时把开口向上的"恒正"与"无解"弄反，全集写成空集； （4）带等号与不带等号时端点开闭没有区分； （5）由解集反求系数时，忘记先由解集的类型判断开口方向（a 的符号）； （6）含参数时分类不全或有重叠，漏掉 a＝1 这类临界情形。 五、巩固练习 基础题 求下列不等式的解集： （1）(x＋2)(x－3)＞0；　（2）3x²－7x≤10；　（3）−x²＋4x－4＜0； （4）x²－x＋＜0；　（5）−2x²＋x≤−3；　（6）x²－3x＋4＞0。 提高题 （7）求 x²－6x＋9≤0 的解集； （8）若不等式 x²－2x＋m＞0 的解集为 R，求实数 m 的取值范围； （9）若不等式 x²＋bx＋c＞0 的解集为 {x | x＜−1 或 x＞3}，求 b、c 的值； （10）解关于 x 的不等式 x²－(a＋2)x＋2a＞0（就 a 与 2 的大小分类讨论）。 参考答案 （1）两根 −2、3，开口向上，取两边：{x | x＜−2 或 x＞3}。 （2）化为 3x²－7x－10≤0，即 (3x－10)(x＋1)≤0，两根 −1、，取中间（含端点）：{x | −1≤x≤}。 （3）化为 x²－4x＋4＞0，即 (x－2)²＞0，只需 x2：{x | x2}。 （4）化为 (x－)²＜0，平方非负，无解：∅。 （5）化为 2x²－x－3≥0，即 (2x－3)(x＋1)≥0，两根 −1、，取两边（含端点）：{x | x≤−1 或 x≥}。 （6）Δ＝9－16＝−7＜0，开口向上恒正：R。 （7）x²－6x＋9＝(x－3)²≤0，只有 x＝3 使其等于0：{x | x＝3}（即 {3}）。 （8）解集为 R 要求开口向上（成立）且 Δ＜0，即 4－4m＜0，解得 m＞1。 （9）解集为"两根之外"型，−1、3 是方程 x²＋bx＋c＝0 的根。由根与系数关系：(−1)＋3＝−b，得 b＝−2；(−1)×3＝c，得 c＝−3。 （10）x²－(a＋2)x＋2a＝(x－2)(x－a)，两根 2、a。开口向上，＞0 取两根之外。当 a＞2 时解集 {x | x＜2 或 x＞a}；当 a＝2 时 (x－2)²＞0，解集 {x | x2}；当 a＜2 时解集 {x | x＜a 或 x＞2}。 学科网（北京）股份有限公司 $