专题3 根的判别式及根与系数的关系的综合 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦根的判别式与根与系数关系，从单一应用到综合拓展，构建“概念理解-性质应用-综合迁移”的逻辑体系，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根的判别式运用|4题|含参数范围、函数性质、新定义问题|从基础根的情况判断到多知识点融合，深化判别式本质理解| |根与系数关系应用|6题|参数求解、方程构造、代数式求值|从直接应用到变式转化，强化符号运算与推理意识| |综合运用|4题|含几何背景（等腰三角形）、参数综合题|整合判别式与根与系数关系，构建“条件限制-关系应用-问题解决”的完整思维链|

专题3根的判别式及根与系数的关系的综合人教版（新课 标)九年级数学上册 类型一根的判别式的运用 1.一元二次方程x+1)x-1)=2x+3的根的情况是( ）. A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.无实数根 2.若关于x的方程(a-1)x2+2x+1=0有两个实数根，则实数a的取值范围是( A.Q≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1D.a<2且a≠1 3.已知一次函数y=x+b(k≠0的图象不过第三象限，则方程bx2-2x+k=0的根的个数为 ). A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 4.定义：如果一元二次方程ax+bx+c=0a0)满足a-b+c=0,那么我们称这个方程为“负 一”方程，已知ax+bx+c=0(a≠0)是“负一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论 中错误的是( A.a=c B.b=2c C.b=2a D.a=b=c 类型二利用根与系数的关系求代数式的值 第1页，共1页 5.已知：X1,X2是一元二次方程x+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3,x1x2=1,则a、b的值分别 是( A.a=-3,b=1 B.a=3,b=1 c4=-2b-J 6.若x1+x2=3,x+x2=5,则以X1,x2为根的一元二次方程是( A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-2=0 C.x2+3x+2=0 D.x2-3x-2=0 7.已知关于x的一元二次方程x-kx+k-3=0的两个实数根分别为x1,2,且x+x2=5,则k的 值是( A.-2 B.2 C.-1 D.1 8.若a、β为方程2x-5x-1=0的两个实数根，则2a+3c3+5β的值为( ）. A.-13 B.12 C.14 D.15 9.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x+2x+k-1=0的两个实数根，且x+x2-x1x2=13,则 k的值为 第2页，共1页 10.已知一元二次方程x2+2x-8=0的两根为xx'则+2XX+- X1 ”X2 类型三一元二次方程判别式和根与系数的关系的综合 11.已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+m=0有两个不相等的实数根x1,X2.若 1+1=4m,则m的值是( X1 X> A.2 B.-1 C.2或-1 D.不存在 12.设×1，x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+2=0的两个实数根，且 (x+1)(x,+1)=8?则m的值为 13.已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2(a+1)x+a2+5=0的两实数根 (1)若(m-1)(n-1)=28,求a的值： (2)已知等腰△ABC的一边长为7，若m'n恰好是△ABC另外两边的边长，求△ABC的周长. 第3页，共1页 14.已知关于x的一元二次方程x-6x+m+4=0有两个实数根x1,x2. (1)求m的取值范围； (2若x?x,满足3x,=x,+2:求m的值. 第4页，共1页 答案和解析 1.【答案】A 【解析】原方程可化为x2-2x-4=0, .a=1’b=-2'c=-4' ∴.4=(-2)2-4×1×(-4)=20>0' :.方程有两个不相等的实数根. 故选A. 2.【答案】C 3.【答案】D 【解析】解：.'一次函数y=心+bk≠0的图象不过第三象限， .k<0'b≥0' 分两种情况讨论： 当b=0时，原方程化为-2x+k=0,是一元一次方程，仅有1个根： 当b>0时，原方程为一元二次方程，计算判别式得△=(-22-4bk=4-4bk, .k<0'b>0' ..-4bk>0 ·△=4-4bk>0:即方程有2个不相等的实数根， 第5页，共1页 综上，方程根的个数为1个或2个. 4.【答案】D 【解析】：ax2+bx+c=0(a≠0)是“负一”方程，且有两个相等的实数根， a-b+c=0'且62-4ac=0 由a-b+c=0可得b=a+c, 将b=a+c代入b2-4ac=0得a2+2ac+c2-4ac=(a-c=0,则a=c, ∴.b=2a=2c 故选D. 5.【答案】D 【解析】解：：X1,x,是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根， .X1+X2=-2a'X1X2=b’ .X1+X2=3’X1X2=1' ∴.-2a=3’b=1' 即a=-是b-1 故选D。 第6页，共1页 6.【答案】A 【解析】解：x+x=5, ∴.(x1+x22-2x1x2=5’ 而X1+x2=3, .9-2x1X2=5’ ∴.X1X2=2’ :.以x?x,为根的一元二次方程为x-3x+2=0 故选A. 7.【答案】D 【解析】解：.关于x的一元二次方程x-kx+k-3=0的两个实数根分别为x1,x2, X1+X2=k?X1X2=k-3’ .x1+x3=5 ∴(x1+x22-2x1x2=5' ∴.k2-2(k-3)=5’ 整理得出：k2-2k+1=0, 第7页，共1页 解得k1=k2=1, 故选：D. 8.【答案】B 【解析】 解：：a为2x2-5x-1=0的实数根， 22-5w-1=0'即22=5a+1 ∴.2a2+3a3+5β=5a+1+3a3+5β=5(a+β)+3cβ+1' :aB为方程2X-5x-1=0的两个实数根， ia+8-号0= 2 2a2+3g+5B=5×5+3x-号)+1=12. 故选B. 9.【答案】-2 【解析】解：根据题意得：x1+x2=-2,X1X2=k-1, x+x-X1X2 =(x1+X22-3X1X2 =4-3(k-1) 第8页，共1页 =13' 解得k=-2, 故答案为2， 10.【答案】-37 【解析】解：：一元二次方程x+2x-8=0的两根为X1、x2, .X1+X2=-2’X1‘X2=-8 克2%6 X2 =2X1X2 x好+x灯 X1X2 =2×(-8)+x+为-2x飞 -8 =-16+-22-2×(-8) -8 =-37, 故答案为-驴 11.【答案】A 【解析】 第9页，共1页 解：由一元二次方程板与系数的关系可得×+xm2,X子 m m+2 :1+1-X+x=m=4m, X1X2 XX 1 解得m1=2,m2=-1. 该方程有两个不相等的实数根， .△=[-(m+2)-4mm=4m+4>0, 解得m>-1, .m=2 故选A. 12.【答案】1 【解析】解：·x1、x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+2=0的两实根， ∴.x1+x2=2(m+1)X1x2=m2+2' .(x1+1)(x2+1)=8’ ∴.m+2+2(m+1)+1=8' 解得：m=1或m=-3, .△=4(m+1)2-4(m+2)=8m-4≥0' 第10页，共1页 解得：m≥2 ∴.m=1' 故答案为1. 13. 【答案】解：(1)由根与系数关系得：m+n=2(a+1),mn=a2+5 依题意得m-1)(n-1)=28, mn-m-n+1=28' a+5-2(a+1)+1=28' a2-2a-24=0' 解得a1=6,a2=-4, 由△≥0得[-2(a+1)]2-4(a2+5)20, 解得a≥2， ∴.a=6 (2)分两种情况： ①当m=7或n=7时，即方程有一根为7， 第11页，共1页 把x=7代入方程得49-14(a+1)+a+5=0, 整理得a-14a+40=0, 解得a1=10,a2=4, 当a=10时，x1+x2=2(a+1)=22, 解得x2=15,而7+7<15，故舍去： 当a=4时，x1+x2=2(a+1)=10, 解得x,=3,则三角形周长为3+7+7=17： ②当m=n时，即方程有两个相等实根，X=x, 则△=0，a=2, 方程化为x2-6x+9=0, 解得X1=X2=3, 3+3<7故舍去， 所以这个三角形的周长为17. 14.【答案】解：(1).关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1,2, ∴.4=(-62-4(m+4)=20-4m≥0' 解得：m≤5， 第12页，共1顶 .m的取值范围为m≤5： (2:关于x的一元二次方程×-6x+m+4=0有两个实数根x'X .X1+x2=6①’X1X2=m+4②： .3x1=x2+2' 当2≥0时，有3x1=x2+2③， 联立①③解得：x1=2,2=4, ..8=m+4’m=4 当X2<0时，有3x1=-X2+2④， 联立①④解得：X1=-2,x2=8(不合题意，舍去). :.符合条件的nm的值为4 第13页，共1页