四川2026-2027学年高二上学期开学考试数学模拟基础卷（3）

**基本信息** 高二（上）数学开学模拟卷基础卷，聚焦复数、向量、概率、立体几何等核心知识，通过基础巩固与能力梯度设计，检测假期学习效果，适配开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8题|复数运算（第1题）、向量垂直（第3题）、概率计算（第4题）|基础概念辨析，如第2题结合虚数单位考查充要条件，体现数学思维的逻辑性| |多项选择|3题|向量模与夹角（第9题）、分层抽样（第11题）|多选项设计考查知识全面性，如第9题综合向量数量积与模的计算，培养数学眼光的严谨性| |填空|3题|角平分线向量（第12题）、分层抽样平均数（第13题）|情境化问题，如第14题圆中垂直平分线与向量数量积，渗透空间观念| |解答题|5题|异面直线证明（第15题）、立体几何平行（第17题）、三角函数图象变换（第19题）|综合性强，如第18题结合解三角形与中线长度计算，体现数学语言的模型应用；第17题探究性问题，发展创新意识|

高二（上）数学开学考试模拟卷 基础卷（3） 一、单项选择题 1.已知复数z满足(z+2)(1+i)=2i,则其共轭复数在复平面上所对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知n∈N*,I={-1,1},则“n为偶数”是“in∈I”(i是虚数单位)的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知平面向量a=(2-m,4),b=(1,8),满足a⊥b,则m=(　　) A.2 B.4 C.17 D.34 4.已知随机事件A,B相互独立,且P(A)=P(B)=,则P(A∪B)=(　　) A. B. C. D. 5.已知向量=(-1,2),=(2,3),=(m,-3),若B,C,D三点共线,则m=(　　) A.-16 B.16 C. D.- 6.某校为了让学生度过一个充实的假期生活,要求每名学生都制定一份假期学习的计划.已知该校高一年级有400人,占全校人数的,高三年级人数占,为调查学生计划完成情况,用按比例分配的分层随机抽样的方法从全校的学生中抽取10%作为样本,将结果绘制成如图所示统计图,则样本中高三年级完成计划的人数为(　　) A.80 B.90 C.9 D.8 7.已知O是平行四边形ABCD内一点,设=a,=b,=c,则=(　　) A.a+b+c B.-a+b+c C.a-b+c D.a+b-c 8.在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则在一次试验中,事件A+发生的概率为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 9.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a+b|=,则下列结论中正确的是(　　) A.a与b夹角为 B.a·b=-1 C.a⊥(a-b) D.|a-b|= 10.如图,在梯形ABCD中,=2,点E是CD的中点,点F是BD上靠近点B的三等分点,则(　　) A. B. C. D. 11.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品,已知其中一等品有20件,合格品有70件,其余为不合格品,现在这个工厂随机抽查一件产品,设事件A为“是一等品”,B为“是合格品”,C为“是不合格品”,则下列结果正确的是(　　) A.P(B)= B.P(A∪B)= C.P(A∩B)=0 D.P(A∪B)=P(C) 三、填空题 12.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上,且||=3,则向量的坐标为　　　　　　. 13.将一个总体分为A,B,C三层,其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样的方法抽取容量为100的样本,则应从C中抽取　　　　　个个体;若A,B,C三层的样本的平均数分别为15,30,20,则样本的平均数为　　　　　. 14.已知点A,B,C是半径为3的圆上三点,BC=2,点D是BC的垂直平分线上任意一点,则的最小值为　　　　. 四、解答题 15.如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点. (1)求证:直线EF与BD是异面直线; (2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角. 16.从0,1,2,3这四个数字中,不放回地取两次,每次取一个.构成数对(x,y),x为第一次取到的数字,y为第二次取到的数字.设事件A=“第一次取出的数字是1”,B=“第二次取出的数字是2”. (1)写出此试验的样本空间及P(A),P(B)的值; (2)判断A与B是否为互斥事件,并求P(A∪B). 17.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N,Q分别为BC,PA,PB的中点. (1)求证:平面MNQ∥平面PCD. (2)在线段PD上是否存在一点E,使得MN∥平面ACE?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 18.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为a(csin C+bsin B-asin A). (1)求A; (2)若a=2,且△ABC的周长为5,设D为边BC中点,求AD. 19.将函数f(x)=sin x的图象先向右平移个单位长度,再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0)(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象. (1)若ω=2,求函数y=g(x)在区间上的最大值; (2)若函数y=g(x)在区间上没有零点,求ω的取值范围. 高二（上）数学开学考试模拟卷 基础卷（3） （答案） 一、单项选择题 1.已知复数z满足(z+2)(1+i)=2i,则其共轭复数在复平面上所对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：因为z+2==1+i,所以z=-1+i,=-1-i,其对应的点位于第三象限.故选C. 2.已知n∈N*,I={-1,1},则“n为偶数”是“in∈I”(i是虚数单位)的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：当n为偶数时,in=±1∈I,则“n为偶数”是“in∈I”(i是虚数单位)的充分条件;当n为奇数时,in=±i∉I,则in∈I时,n为偶数,则“n为偶数”是“in∈I”(i是虚数单位)的必要条件.综上,“n为偶数”是“in∈I”(i是虚数单位)的充要条件.故选C. 3.已知平面向量a=(2-m,4),b=(1,8),满足a⊥b,则m=(　　) A.2 B.4 C.17 D.34 解析：D　由题意,因为a⊥b,所以a·b=0,可得32+(2-m)=0,解得m=34.故选D. 4.已知随机事件A,B相互独立,且P(A)=P(B)=,则P(A∪B)=(　　) A. B. C. D. 解析：因为事件A,B相互独立,且P(A)=P(B)=,可得P(AB)=P(A)P(B)=,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)= 5.已知向量=(-1,2),=(2,3),=(m,-3),若B,C,D三点共线,则m=(　　) A.-16 B.16 C. D.- 解析：根据题意知=(-1,2),=(2,3),=(m,-3),则=(3,1),=(m-2,-6).若B,C,D三点共线,则,故m-2=-18,解得m=-16. 6.某校为了让学生度过一个充实的假期生活,要求每名学生都制定一份假期学习的计划.已知该校高一年级有400人,占全校人数的,高三年级人数占,为调查学生计划完成情况,用按比例分配的分层随机抽样的方法从全校的学生中抽取10%作为样本,将结果绘制成如图所示统计图,则样本中高三年级完成计划的人数为(　　) A.80 B.90 C.9 D.8 解析：=1 200,1 200×10%=120,故样本容量为120,其中高三年级有120=20人,由图可知,样本中高三年级假期学习计划的完成率为40%,故样本中高三年级完成计划的人数为20×40%=8. 7.已知O是平行四边形ABCD内一点,设=a,=b,=c,则=(　　) A.a+b+c B.-a+b+c C.a-b+c D.a+b-c 解析：在平行四边形ABCD中,,则,所以=a-b+c.故选C. 8.在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则在一次试验中,事件A+发生的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：掷一枚骰子的试验有6种等可能的结果,依题意知P(A)=,P(B)=,所以P()=1-P(B)=1-,因为表示“出现5点或6点”的事件,所以事件A与互斥,从而P(A+)=P(A)+P()= 二、多项选择题 9.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a+b|=,则下列结论中正确的是(　　) A.a与b夹角为 B.a·b=-1 C.a⊥(a-b) D.|a-b|= 解析：由|a+b|=两边平方,得a2+2a·b+b2=3,因为|a|=1,|b|=2,故可得a·b=-1,故B正确;对于A,由a·b=-1可得cos<a,b>=-,因为0≤<a,b>≤π,故得<a,b>=,即A正确;对于C,由a·(a-b)=a2-a·b=1-(-1)=2≠0,则a与a-b不垂直,即C错误;对于D,由|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×(-1)+4=7,即|a-b|=,故D正确.故选ABD. 10.如图,在梯形ABCD中,=2,点E是CD的中点,点F是BD上靠近点B的三等分点,则(　　) A. B. C. D. 解析：对于A,因为在梯形ABCD中,=2,点E是CD的中点,所以,所以A错误;对于B,因为点F是BD上靠近点B的三等分点,所以)=,所以B正确;对于C,由选项AB可知,所以,所以C正确;对于D,因为点F是BD上靠近点B的三等分点,所以)-,所以D正确.故选BCD. 11.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品,已知其中一等品有20件,合格品有70件,其余为不合格品,现在这个工厂随机抽查一件产品,设事件A为“是一等品”,B为“是合格品”,C为“是不合格品”,则下列结果正确的是(　　) A.P(B)= B.P(A∪B)= C.P(A∩B)=0 D.P(A∪B)=P(C) 解析：由题意知A,B,C为互斥事件,故C正确;P(B)=,P(A)=,P(C)=,则P(A∪B)=,故ABC正确,故D错误.故选ABC. 3、 填空题 12.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上,且||=3,则向量的坐标为　　　　　　. 解析：(-3,9)　因为点C在∠AOB的平分线上,所以存在λ∈(0,+∞),使得=λ()=λ(0,1)+λ(-)=(-,),又因为||=3,所以(-)2+()2=(3)2,解得λ=5.故向量=(-3,9). 13.将一个总体分为A,B,C三层,其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样的方法抽取容量为100的样本,则应从C中抽取　　　　　个个体;若A,B,C三层的样本的平均数分别为15,30,20,则样本的平均数为　　　　　. 解析：20　20.5　∵A,B,C三层个体数之比为5∶3∶2,又总体中每个个体被抽到的概率相等,∴分层随机抽样应从C中抽取100=20个个体. 样本的平均数为15+30+20=20.5. 14.已知点A,B,C是半径为3的圆上三点,BC=2,点D是BC的垂直平分线上任意一点,则的最小值为　　　　. 解析：-6　以圆心O为坐标原点,线段BC的垂直平分线所在直线作为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,b),D(0,c),根据题意得B(1,-2),C(-1,-2),=(-a,c-b),=(2,0),所以=-2a,因为-3≤a≤3,所以当a=3时,取得最小值为-6. 四、解答题 15.如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点. (1)求证:直线EF与BD是异面直线; (2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角. 证明：(1) 假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾. 故直线EF与BD是异面直线. (2)解 取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角. 又因为AC⊥BD,所以FG⊥EG. 在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,求得∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°. 16.从0,1,2,3这四个数字中,不放回地取两次,每次取一个.构成数对(x,y),x为第一次取到的数字,y为第二次取到的数字.设事件A=“第一次取出的数字是1”,B=“第二次取出的数字是2”. (1)写出此试验的样本空间及P(A),P(B)的值; (2)判断A与B是否为互斥事件,并求P(A∪B). 解 (1)样本空间Ω={(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2)},所以n(Ω)=12,因为A={(1,0),(1,2),(1,3)},B={(0,2),(1,2),(3,2)}, 所以n(A)=3,n(B)=3.从而P(A)=,P(B)= (2)因为A∩B={(1,2)},故A与B不是互斥事件.又A∪B={(1,0),(1,2),(1,3),(0,2)(3,2)}.所以n(A∪B)=5.从而P(A∪B)= 17.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N,Q分别为BC,PA,PB的中点. (1)求证:平面MNQ∥平面PCD. (2)在线段PD上是否存在一点E,使得MN∥平面ACE?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 证明：(1) 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N,Q分别为BC,PA,PB的中点,所以NQ∥AB∥CD,MQ∥PC. 因为NQ⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以NQ∥平面PCD. 同理MQ∥平面PCD,又NQ∩MQ=Q,NQ,MQ⊂平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PCD. (2)解 线段PD上存在一点E,使得MN∥平面ACE,且 证明如下:如图,取PD的中点E,连接NE,CE,AE, 因为N,E,M分别是AP,PD,BC的中点,BC∥AD,BC=AD,所以NE∥MC,NE=MC,所以四边形MCEN是平行四边形,所以MN∥CE. 因为MN⊄平面ACE,CE⊂平面ACE,所以MN∥平面ACE,此时 18.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为a(csin C+bsin B-asin A). (1)求A; (2)若a=2,且△ABC的周长为5,设D为边BC中点,求AD. 解 (1)依题意,a(csin C+bsin B-asin A)=absin C,所以csin C+bsin B-asin A=bsin C,由正弦定理可得,c2+b2-a2=bc,由余弦定理,c2+b2-a2=2bccos A,解得cos A=, 因为A∈(0,π),所以A= (2)依题意,b+c=5-a=3,因为c2+b2-bc=(b+c)2-3bc=a2,解得bc=,因为),所以)2=, 所以AD= 19.将函数f(x)=sin x的图象先向右平移个单位长度,再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0)(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象. (1)若ω=2,求函数y=g(x)在区间上的最大值; (2)若函数y=g(x)在区间上没有零点,求ω的取值范围. 解 (1)函数f(x)=sin x的图象先向右平移个单位长度,则解析式变为y=sin,再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0)(纵坐标不变),则解析式变为y=sin,则g(x)=sin当-x时,-2x-,∵函数y=sin x在上单调递减,在上单调递增,sin=-1,max=sin ∴-1≤sin,∴y=g(x)在区间上的最大值为 (2)g(x)=sin,当<x<时,<ωx-, 要使g(x)在上无零点, 则k∈Z⇒4k+1≤ω≤2k+,k∈Z,ω>0,4k+1≤2k+k,当k=0时,1;当k=-1时,-30<;当k≤-2时,ω<0舍去. 综上,ω的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $