四川2026-2027学年高二上学期开学考试数学模拟基础卷（2）

**基本信息** 四川高二（上）数学开学模拟卷（基础卷2），通过多样题型覆盖向量、概率、立体几何等知识，注重基础巩固与能力提升，体现数据分析、空间想象及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题|百分位数、向量平行、概率|结合数据计算与逻辑推理，如第2题用百分位数与平均数关系求参数| |多选|3题|向量运算、立体几何动态问题|考查向量性质与空间体积分析，如第11题判断动点对体积的影响| |填空|3题|复数、向量共线、圆锥与球体积比|综合复数运算与立体几何公式，第14题结合轴截面求体积表面积比| |解答|5题|立体几何证明、三角函数、概率|注重空间证明与实际应用，如16题折叠问题证面面垂直，18题不放回抽样概率计算|

四川高二（上）数学开学考试模拟卷 基础卷（2） 一、单项选择题 1.计算的结果是(　　) A. B.- C. D.- 2.有一组数据,按从小到大排列为:1,2,x,8,9,10,这组数据的第40百分位数等于它们的平均数,则x为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 3.若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA与O'A'的方向相同,则OB与O'B'(　　) A.一定平行且方向相同 B.一定平行且方向相反 C.一定不平行 D.不一定平行 4.已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,则P()=(　　) A.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8 5.已知在四边形ABCD中,,并且||=||,则四边形ABCD是 (　　) A.菱形 B.正方形 C.等腰梯形 D.长方形 6.△O'A'B'是△OAB在斜二测画法下的直观图,其中O'B'=2O'A'=4,则△OAB的面积是(　　) A.2 B.4 C.8 D.8 7.底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为(　　) A. B.π C.2π D.3π 8.一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球,每种颜色的玻璃球至少有一个.从中随机拿出4个玻璃球,这4个球都是红色的概率为P1,恰好有三个红色和一个白色的概率为P2,恰好有两个红色、一个白色和一个蓝色的概率为P3,四种颜色各一个的概率为P4.若恰好有P1=P2=P3=P4,则这个盒子里玻璃球的个数的最小值为(　　) A.17 B.19 C.21 D.以上都不正确 二、多项选择题 9.下列说法正确的是(　　) A.任意两个向量a和b,有|a+b|≤|a|+|b| B.|(a·a)a|=|a|3 C.任意两个向量a和b,有|a-b|≤|a|-|b| D.若向量a,b满足|a|>|b|,且a与b同向,则a>b 10.如图,=2,线段AD,CE相交于点F,则(　　) A. B. C. D. 11.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4,动点E,F在棱AB上,且EF=2,动点Q在棱DC上,则在三棱锥A-EFQ中,下列说法正确的是(　　) A.△EFQ的面积与点E,F的位置无关 B.三棱锥A'-EFQ的体积与点Q的位置有关 C.三棱锥A'-EFQ的体积与点E,F,Q的位置都有关 D.三棱锥A'-EFQ的体积与点E,F,Q的位置均无关,是定值 三、填空题 12.在复平面内,若复数z对应的点的坐标为(1,-2),则-i=　　　　. 13.已知向量a=(log2x,1),b=(log23,-1),若a∥b,则x=　　　　. 14.已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等,则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是　　　　　,圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是　　　　　. 四、解答题 15.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是线段A1B,AC1的中点. (1)求证:MN∥平面ABC. (2)是否在线段BC1上存在一点P,使得平面MNP∥平面ABC?若存在,指出点P的具体位置;若不存在,请说明理由. 16.如图(1),点E是直角梯形ABCD底边CD上的一点,∠ABC=90°, BC=CE=1,AB=DE=2,将△DAE沿AE折起,使得D-AE-B成直二面角,连接CD和BD,如图(2). 图(1) 图(2) (1)求证:平面ABD⊥平面BCD; (2)在线段BD上确定一点F,使得CF∥平面ADE. 17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=sin Asin B. (1)若A=,求cos B; (2)若c=,求△ABC的面积. 18.一个袋子中有4个红球,6个绿球,采用不放回方式从中依次随机地取出2个球. (1)求第二次取到绿球的概率; (2)如果是n个红球,6个绿球,已知取出的2个球都是绿球的概率为,那么n是多少? 19.已知函数f(x)=2sin+a+1. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)当x∈时,f(x)的最大值为4,求a的值; (3)在(2)的条件下,求满足f(x)=1,且x∈[-π,π]的x的取值集合. 高二（上）数学开学考试模拟卷 基础卷（2） （答案） 一、单项选择题 1.计算的结果是(　　) A. B.- C. D.- 解析：故选A. 2.有一组数据,按从小到大排列为:1,2,x,8,9,10,这组数据的第40百分位数等于它们的平均数,则x为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：因为该组数据共6个,且6×40%=2.4, 所以这组数据的第40百分位数为第三位数,即为x,则x=,解得x=6. 3.若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA与O'A'的方向相同,则OB与O'B'(　　) A.一定平行且方向相同 B.一定平行且方向相反 C.一定不平行 D.不一定平行 解析：如图, 若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA与O'A'的方向相同,OB与O'B'不一定平行. 4.已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,则P()=(　　) A.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8 解析：因为随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,所以P(A)=P(A∪B)-P(B)=0.7-0.2=0.5,所以P()=1-P(A)=1-0.5=0.5. 5.已知在四边形ABCD中,,并且||=||,则四边形ABCD是 (　　) A.菱形 B.正方形 C.等腰梯形 D.长方形 解析：由题意,四边形ABCD中,因为,可得||=||且AB∥CD,所以四边形ABCD为平行四边形,又因为||=||,可得BC=AB,所以四边形ABCD为菱形.故选A. 6.△O'A'B'是△OAB在斜二测画法下的直观图,其中O'B'=2O'A'=4,则△OAB的面积是(　　) A.2 B.4 C.8 D.8 解析：如图所示,由题意,在平面直角坐标系中作出△OAB的图形可得OB=8,OA=2,且∠BOA=90°,故S△OAB=2×8=8.故选C. 7.底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为(　　) A. B.π C.2π D.3π 解析：由题可知圆锥的底面半径R=1,母线长l=2,高h=,∴圆锥的体积V=R2h= 8.一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球,每种颜色的玻璃球至少有一个.从中随机拿出4个玻璃球,这4个球都是红色的概率为P1,恰好有三个红色和一个白色的概率为P2,恰好有两个红色、一个白色和一个蓝色的概率为P3,四种颜色各一个的概率为P4.若恰好有P1=P2=P3=P4,则这个盒子里玻璃球的个数的最小值为(　　) A.17 B.19 C.21 D.以上都不正确 解析：设红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球数量分别为a,b,c,d.由题意得,则有b=bc=abcd,即a=4b+3=3c+2=2d+1.经验证,玻璃球的个数的最小值为21,此时a=11,b=2,c=3,d=5. 二、多项选择题 9.下列说法正确的是(　　) A.任意两个向量a和b,有|a+b|≤|a|+|b| B.|(a·a)a|=|a|3 C.任意两个向量a和b,有|a-b|≤|a|-|b| D.若向量a,b满足|a|>|b|,且a与b同向,则a>b 解析：对于A,由向量加法的三角形法则知,|a+b|≤|a|+|b|,A正确;对于B,由向量的数量积公式知,|(a·a)a|=|a2||a|=|a|3,B正确;对于C,由向量减法的运算性质得|a-b|≥|a|-|b|,C错误;对于D,向量不能比大小,D错误.故选AB. 10.如图,=2,线段AD,CE相交于点F,则(　　) A. B. C. D. 解析：对于A,)=,故A正确;对于B,)=,故B错误;对于C,设=x+y,则=x+y=3x+y,因为E,F,C三点共线,所以3x+y=1,又因为=x+y=x+2y,A,F,D三点共线,所以x+2y=1,解得x=,y=,故,故C正确;对D,)=,故D错误.故选AC. 11.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4,动点E,F在棱AB上,且EF=2,动点Q在棱DC上,则在三棱锥A-EFQ中,下列说法正确的是(　　) A.△EFQ的面积与点E,F的位置无关 B.三棱锥A'-EFQ的体积与点Q的位置有关 C.三棱锥A'-EFQ的体积与点E,F,Q的位置都有关 D.三棱锥A'-EFQ的体积与点E,F,Q的位置均无关,是定值 解析：连接AD',BC',对于选项A,因为AB∥C'D',且AB=C'D',可知ABC'D'为平行四边形,且AB⊥平面ADD'A',AD'⊂平面ADD'A',则AB⊥AD',可知ABC'D'为矩形,所以△EFQ的面积S△EFQ=EF·AD'=2×4=4,即△EFQ的面积为定值,与点E,F的位置无关,故A正确; 对于选项B,C,D,因为A'D'⊥平面ABB'A',且平面ABB'A'∥平面CDD'C',可知三棱锥Q-A'EF的高为A'D'=4,所以三棱锥A'-EFQ的体积VA'-EFQ=VQ-A'EF=A'D'·S△A'EF=42×4=,即三棱锥A'-EFQ的体积为定值,与点E,F,Q的位置均无关,故D正确,B,C错误. 三、填空题 12.在复平面内,若复数z对应的点的坐标为(1,-2),则-i=　　　　. 解析：-2-2i　由题意得z=1-2i,所以-i=-i=-i=-i=-2-2i. 13.已知向量a=(log2x,1),b=(log23,-1),若a∥b,则x=　　　　. 解析：　因为a∥b,所以-log2x=log23,所以log2x+log23=0,所以log2(3x)=0,所以3x=1,所以x= 14.已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等,则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是　　　　　,圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是　　　　　. 解析：　1　设圆锥的底面半径为r,球的半径为R,因为圆锥的轴截面为正三角形,所以圆锥的高h=r,母线l=2r,由题可知h=2R,所以球的半径R=r,所以圆锥的体积V1=(π×r2)r=r3,球的体积V2=R3=(r)3=r3,所以 四、解答题 15.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是线段A1B,AC1的中点. (1)求证:MN∥平面ABC. (2)是否在线段BC1上存在一点P,使得平面MNP∥平面ABC?若存在,指出点P的具体位置;若不存在,请说明理由. 证明 如图,连接A1C,则N也为A1C的中点. 因为M为A1B的中点,所以MN为△A1BC的中位线,所以MN∥BC. 又MN⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,所以MN∥平面ABC. (2)解 存在,当P为BC1的中点时,平面MNP∥平面ABC,证明如下:连接PM,PN,因为N为AC1的中点,P为BC1的中点,所以PN∥AB,又PN⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以PN∥平面ABC,又由(1)知MN∥平面ABC,且MN∩PN=N,MN,PN⊂平面MNP,所以平面MNP∥平面ABC. 16.如图(1),点E是直角梯形ABCD底边CD上的一点,∠ABC=90°, BC=CE=1,AB=DE=2,将△DAE沿AE折起,使得D-AE-B成直二面角,连接CD和BD,如图(2). 图(1) 图(2) (1)求证:平面ABD⊥平面BCD; (2)在线段BD上确定一点F,使得CF∥平面ADE. 证明：(1) 在直角梯形ABCD中,取DE中点为M,连接AM, 则DM=EM=1,AM=BC=1,所以AE=AD=,所以AE2+AD2=DE2,所以DA⊥AE. 因为D-AE-B成直二面角,所以平面ADE⊥平面ABCE,又平面ADE∩平面ABCE=AE,DA⊂平面ADE,所以DA⊥平面ABCE. 因为BC⊂平面ABCE,所以DA⊥BC,又AB⊥BC,DA∩AB=A,DA⊂平面ABD,AB⊂平面ABD,所以BC⊥平面ABD,因为BC⊂平面BCD,所以平面ABD⊥平面BCD. (2)解 如图,分别取线段BD,AB的中点F,G,连接CG,FG,FC, 则FG∥AD,又FG⊄平面ADE,AD⊂平面ADE,所以FG∥平面ADE.在直角梯形ABCD中,AG∥EC且AG=EC=1,所以四边形AGCE为平行四边形,所以AE∥GC,又CG⊄平面ADE,AE⊂平面ADE,所以CG∥平面ADE,又FG∩CG=G,FG,CG⊂平面CFG,所以平面CFG∥平面ADE,又因为CF⊂平面CFG,所以CF∥平面ADE. 所以当点F为线段的中点时,CF∥平面ADE. 17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=sin Asin B. (1)若A=,求cos B; (2)若c=,求△ABC的面积. 解 (1)在△ABC中,A=, 所以C=π-(A+B)=-B. 因为sin C=sin Asin B, 所以sinsin B, 所以cos B+sin B=sin B, 即sin B=cos B(*), 又sin2B+cos2B=1, 所以+cos2B=1, 即cos2B=, 又B∈(0,π),所以sin B>0,由(*)知,cos B>0,所以cos B= (2)因为sin C=sin Asin B,由正弦定理,得c=asin B.又c=,所以asin B=所以△ABC的面积为S=acsin B= 18.一个袋子中有4个红球,6个绿球,采用不放回方式从中依次随机地取出2个球. (1)求第二次取到绿球的概率; (2)如果是n个红球,6个绿球,已知取出的2个球都是绿球的概率为,那么n是多少? 解 (1)从10个球中不放回地随机取出2个共有10×9=90种,即n(Ω)=90,设事件A=“两次取出的都是红球”,则n(A)=4×3=12,设事件B=“第一次取出红球,第二次取出绿球”,则n(B)=6×4=24,设事件C=“第一次取出绿球,第二次取出红球”,则n(C)=6×4=24,设事件D=“两次取出的都是绿球”,则n(D)=6×5=30,且事件A,B,C,D两两互斥.∴第二次取到绿球的概率为P(B∪D)= (2)由题意P(D)=,则n(Ω)=n(D)=72, 又n(Ω)=(n+6)(n+5)=72, ∴n=3或-14,n∈N*,即n=3. 19.已知函数f(x)=2sin+a+1. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)当x∈时,f(x)的最大值为4,求a的值; (3)在(2)的条件下,求满足f(x)=1,且x∈[-π,π]的x的取值集合. 解 (1)令2kπ-2x+2kπ+,k∈Z,得kπ-x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z. (2)因为当x=时,f(x)取得最大值,即f=2sin+a+1=a+3=4,解得a=1. (3)由f(x)=2sin+2=1,可得sin=-, 则2x++2kπ,k∈Z或2x++2kπ,k∈Z,即x=+kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z,又因为x∈[-π,π],可解得x=-,-,所以x的取值集合为{-,-}. 学科网（北京）股份有限公司 $