1.1.1 空间向量及其线性运算 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的概念、线性运算及共线共面向量定理，通过滑翔伞运动受力的问题情境导入，类比平面向量知识，搭建从平面到空间的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以问题情境激发数学眼光，通过概念辨析和定理证明培养数学思维，结合平行六面体探究、共线共面例题及方法总结提升数学语言表达。学生能深化空间观念与推理能力，教师可借助结构化资源高效教学。

第一章 空间向量与立体几何 1.1.1空间向量及其线性运算 人教A版2019选择性必修一 问题情境 问题探讨：滑翔伞运动过程中，飞行员会受到来自不同方向，大小各异的力，类比利用平面向量解决物理问题的方法，用空间向量的思想解决这种问题？ 拉力 风力 重力 3.空间向量的大小：如的大小称为的_____(或称___)， 记作_____.的大小称为的长度（或称模），记作. 印刷用黑体， 书写用. 1.定义：在_____中，既有_____又有_____的量叫做空间向量. 2.表示： ②字母表示：字母. ①几何表示：有向线段如,叫向量的起点，B叫向量的终点 大小 方向 长度 模 向量不能比较大小，但模可以 新知一：空间向量的概念 空间 3 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 .方向是任意的 单位向量 模为1的向量称为单位向量，一般用 表示，方向是任意的 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量（方向相同或相反的非零向量） 规定：对于任意向量，都有∥. 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 4.几类特殊的空间向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 例1：判断正误 （1）若将空间中所有表示单位向量的有向线段的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆 （ ） （2）若空间向量满足||,那么 （ ） （3）若空间向量满足，，则 （ ） （4）空间中任意两个单位向量必相等 （ ） （5）零向量没有方向 （ ） 题型一：概念辨析 √ ❌️ ❌️ ❌️ ❌️ 任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两向量. 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算. 由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算： 问题降维 7 1.加法运算 ①三角形法则： “首尾相接，接首尾；和向量由起点指向终点. ②平行四边形法则： 共起点，和向量由起点指向对角线端点 （1）∀向量，我们规定： （2）对于非零向量，： 新知二：空间向量的线性运算及运算律 （一）空间向量的运算法则 __________. 向量加法推广： (1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； (2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。 (3)模长： 反向 同向 ______. 2.减法运算 （1）运算法则 三角形法则:“共起点，指被减” （2）减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 如: (3)模长： 同向 向 3.数乘运算： 当时，； 当时，； 当时， 模长：； 11 与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（其中）： 交换律： 结合律： 分配律： 思考：你能证明这些运算律吗？证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？ 利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变. （二）空间向量的运算律 12 下面证明空间向量的加法结合律： 如图，因为 所以， 由以上证明可以看出，证明空间向量的加法结合律时，由于三个向量可能不同在任何一个平面内，因此证明方法与平面向量有所区别.对于空间向量线性运算的其他运算律，它们都只涉及同一平面内的向量，因此证明方法与平面向量相同. 结合律的证明 13 探究1：空间向量的线性运算、分解与表示 如图，在平行六面体中，分别标出，表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？ 一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？ 可以发现，. 一般地，对于三个不共面的向量，以任意点为起点，为邻边作平行六面体，则的和等于以为起点的平行六面体对角线所表示的向量. 底面是平行四边形的四棱柱 14 新知三：空间向量共线与共面向量定理 1.共线定理 (1)内容： 两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使即： ⇔ 与共线 注意：共线⇏ （2）直线的方向向量： • • 如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得. 我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量. 这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定. 讨论：如图，三点共线，为直线外一点，， 则__. 1 推论（鸡爪定理）：若三点共线，为直线外一点， ，则1. 16 题型二：共线定理 例1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中O为AC1上一点，且= , BD与AC交于点M，证明：C1,O,M三点共线 证明: = 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 例2 如图，ABCD-ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断：与。 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 向量平行于直线：如图，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线. 向量平行于平面：如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面. (1)共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. 任意两个空间向量总是共面的 思考：任意三个空间向量共面吗，什么条件下共面？ 新知三：空间向量共线与共面向量定理 2.共面定理 19 若两个向量不共线，共面，则存在唯一的有序实数对，使. （1）必要性：由平面向量基本定理：存在唯一的有序实数对，使. （2）充分性 ①当，都为或部分为零向量时，充分性显然成立， ②下面就与都是非零向量时： 与共线，所以都在确定的平面内，是以为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在确定的平面内，所以在确定的平面内.即与共面. 新知三：空间向量共线与共面向量定理 2.共面定理 (2)共面向量基本定理 三个向量若两个向量 ，若不共线，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使， 即： 不共线，共面⟺ 存在唯一的有序实数对，使 21 例1 如图1.1-9，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使，求证：E，F，G，H四点共面. 题型三：共面定理 例题 已知A，B,C三点不同线，平面ABC外的一点M满足=. (1)判断,,三个向量是否共面。 (2)判断点M是否在平面ABC内 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 方法总结：证明空间三向量共面或四点共面的方法 (1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示为另两个向量的线性组合，即若，则向量共面. (2)若存在有序数组使得对于空间任一点，有，且成立，则四点共面. 归纳总结 24 课堂巩固 1．如图P为空间中任意一点，动点Q在△ABC所在平面内运动，且=2-3+m，则实数m= . 2.三棱锥P-ABC中，M是棱BC的中点，若=++（，，∈R），则+的值为 . 归纳总结 3.正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，用向量方法证明M、N、P、Q四点共面． 返回导航 第一章　空间向量与立体几何 数学（选择性必修·第一册 RJA） 4.已知非零向量不共线，如果，，，求证：四点共面. 证明：令， 则 因为不共线，所以解得 所以， 所以四点共面. $