第3章 一元二次方程·单元测试培优卷 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

**基本信息** 湘教版九年级上册一元二次方程单元培优卷，18题120分，覆盖定义、解法、应用等核心知识，梯度设计合理，结合实际情境与综合探究，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|一元二次方程定义（1）、根的意义（2）、判别式（3）、增长率应用（4）|基础概念与简单应用结合，如第4题廉租房投资体现模型意识| |填空|4/20|配方法（9）、根的判别式（10）、方程组与根关系（11）、根与系数关系（12）|聚焦方法本质，如第12题结合两根求代数式值发展推理能力| |解答|6/60|解方程（13）、几何面积（14）、销售利润（15）、根的综合应用（17）|多情境综合探究，如第15题自行车销售培养数据观念与应用意识，第17题多问设计提升思维层次性|

第3章 一元二次方程·培优卷 【新教材湘教版九年级上册】 时间:90分钟 满分:120分 姓名:_______班级:________考号:___________ 考卷信息: 本卷试题共18题，单选8题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度! 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（     ） A．1 B．2 C． D． 3．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 5．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 6．若直角三角形的两边长是方程的实根，则该直角三角形的面积是（     ） A．18 B．24或6 C．32 D．18或36 7．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 8．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 11．若方程组的两组解为，，则________． 12．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．解下列方程： (1)； (2)． 14．某镇政府规划在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）． (1)用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若已知，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ 15．某运动商城的自行车销售量自2016年起逐月增加，据统计，该商城3月份销售自行车64辆，5月份销售了100辆． (1)若该商城3月至5月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份售出多少辆自行车？ (2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备再购进一批两种规格的自行车共100辆，已知A型自行车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型自行车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆，根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，假设所进车全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 16．已知关于的方程． (1)当取什么值时，原方程没有实数根； (2)对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根． 17．若实数a，b，c满足：，． (1)若，求m的最小值； (2)若，且a为整数，求； (3)若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 18．关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 2．A 3．A 4．A 5．C 6．B 7．C 8．C 9． 10． 11． 12．17 13．【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； （2）解：去分母得， 整理得， 解得， 经检验，是原方程的解． 14．【详解】（1）解：∵两条人行横道的长分别为a米和b米，宽均为2米， ∴人行横道的面积为平方米； （2）解：∵， ∴设，则， 根据题意，得 解得或（舍去） ∴，， 答：原长方形的长为60米，宽为40米． 15．【详解】（1）解：设平均增长率为a，根据题意得： ， 解得：（舍去） 四月份的销量为：辆． 答：四月份的销量为80辆． （2）解：设购进A型车x辆，则购进B型车辆，根据题意得： ， 解得：， 设所获利润为w元，则 ， 因为， 所以w随x的增大而减小， 因为x为整数， 所以x的最小值为67， 所以当时，w取得最大值，此时， 即A型67辆，B型33辆利润最大． 16．【详解】（1）解：∵关于的方程， ∴判别式， ∵原方程没有实数根， ∴，即， 解得：， ∴当时，原方程没有实数根． （2）解：∵原方程有两个实数根， ∴，即， 解得：， ∴选取满足条件的非零整数（答案不唯一，符合要求即可）， ∴原方程为， ∵，，， ∴， ∴，． 17．【详解】（1）解：，， ∴， ． ∴当时，m的最小值为； （2）解：，， ． ∴b，c是方程的两根， ，则， ，则， ， ∵a为整数， 或1， ∴无论哪种情况都有， 或； (3)不能，理由如下： 把代入，得， 与奇偶性不同，b与奇偶性不同， 与必定同为偶数， 必定为偶数，即m必定为偶数． 18．(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． $