第2章 二次函数·单元测试培优卷 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

**基本信息** 湘教版九年级上册二次函数单元培优卷，分层考查定义、图像性质及实际应用，适配单元复习，可量化学生掌握程度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题40分|二次函数定义（1）、图像性质（6）、最值（4）|基础巩固，通过图像辨析（5）发展几何直观| |填空|4题20分|顶点坐标（9）、实际应用（10）|能力提升，结合大棚截面（10）体现数学眼光| |解答|6题60分|综合应用（15梯形面积）、利润问题（16）、动态几何（18）|创新应用，通过利润模型（16）培养模型意识，动态几何（18）发展推理能力|

第2章二次函数·培优卷 【新教材湘教版九年级上册】 时间:90分钟 满分:120分 姓名:_______班级:________考号:___________ 考卷信息: 本卷试题共18题，单选8题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度! 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 1．下列函数，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．如果点三点都在抛物线的图象上，那么、与之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．将二次函数化为的形式，结果为（   ） A． B． C． D． 4．二次函数的最大值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 7．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为．则以下结论正确的有（     ）个． ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、两点，若是轴上一动点，点的坐标为，连接，则的最小值是（　　） A．4 B． C． D． 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．抛物线 的顶点坐标为______． 10．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 11．已知函数的部分图像如下，则代数式的值为_____________． 12．在平面直角坐标系中，点是抛物线图象上的三点，若时，满足恒成立，则的整数部分数值为_____． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．已知函数是关于的二次函数． (1)求的值； (2)当为何值时，抛物线有最高点？并求出最高点的坐标． 14．已知二次函数 (是常数)的图象是抛物线． (1)若图象经过点，求的值和图象的顶点坐标． (2)若抛物线的顶点在轴上，则 ； (3)若点，在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 15．如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 16．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 17．在平面直角坐标系xOy中，点和在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． (1)当，时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； (2)点在抛物线上，若，求的取值范围； (3)当2时，函数的最大值与最小值的差为，求的值． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，当点F为抛物线顶点时，过点F作轴，垂足为点E，交于点D，连接，求的面积； (3)如图2，连接，点E是线段上（不与点O、B重合）的点，过点E作轴，交抛物线于点F，交于点D，点P是线段上一动点，过P作轴，垂足为Q，点G为线段的中点，连接．当线段的长度取得最大值时，求的最小值． 参考答案 1．A 2．C 3．C 4．C 5．C 6．D 7．D 8．A 9． 10．6 11．0 12． 13．【详解】（1）解：函数是关于的二次函数， ，且， 解得，； （2）解：抛物线有最高点， ， ， 当时，抛物线有最高点， 二次函数的解析式为， 当时，取最大值为2， 最高点的坐标为． 14．【详解】（1）解：∵图象经过点，代入 ∴ 解得： ∴二次函数的解析式为 ∴顶点坐标为 （2）∵，抛物线的顶点在轴上， ∴， 解得 故答案为：或． （3）把，代入函数关系式得：，， ∵， ∴, 解得：， 故答案为：． 15．【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由图可知，, ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下， ∴当时，取得最大值． 答：该矩形停车场的最大面积为． 16．【详解】（1）解：由题意，单件利润：元，销售量， ， 结合实际意义，销售量， 即，； 单价高于成本，自变量取值范围：． 函数关系式：． （2）解：对于二次函数，，，， 对称轴：， 在取值范围内，将代入利润函数： ， 当销售单价为元时，每月获得最大利润，最大利润为万元． 17．【详解】（1）解：当时，， ∴当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴． （2）解：当时，， ∴抛物线与y轴交点坐标为， ∴抛物线与轴交点关于对称轴的对称点坐标为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当点，点，均在对称轴的右侧时， ， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， 当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，， ∵， ∴，且， 解得， ∵，，对称轴为， ∴， ∴， 解得， ∴的取值范围为． （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ，， ∵， ∴，， ∵， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴当2时， 函数的最大值为， 函数的最小值为， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 18．【详解】（1）在中，当时，， ∴．在中，， ∴，即， 将分别代入中，得 ，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）∵， ∴， 设所在直线的函数表达式为， 将分别代入中， 得解得 ∴所在直线的函数表达式为， 当时，， ∴． ∴， ∴． （3）设，其中， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时， ∴， ∴， 如图3，连接，易得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当E、Q、G共线时，取最小值，即取最小值， 如图3，过点G作于点H，易得，，则， ∴， ∴当线段的长度取得最大值时，的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $