第二十七章 反比例函数 单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册反比例函数单元卷，通过基础巩固、几何综合及实际应用，考查反比例函数定义、性质与图像，适配单元复习，培养抽象能力与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|反比例关系辨识、图像象限判断|如第3题结合圆柱形储存室体积，体现用数学眼光观察现实世界| |填空题|5题|反比例函数定义、概率结合|第14题以数的乘积求概率，渗透推理意识| |解答题|5题|实际应用、几何综合、新定义|17题气球气压与体积关系为真实情境，20题“双倍点”新定义问题，发展创新意识与应用能力|

第二十七章 反比例函数 单元测试2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．下面每组中的两种量成反比例关系的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 2．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 3．如图，某加油站计划在地下修建一个容积为的圆柱形石油储存室，则储存室的底面积S（单位：）与其深度h（单位：）的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点，分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点作的垂线交轴于点，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 5．已知反比例函数，则下列结论正确的是（    ） A．点在它的图象上 B．其图象分别位于第一、三象限 C．y随x的增大而增大 D．如果点在它的图象上，则点也在它的图象上 6．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．不存在 7．已知正比例函数与反比例函数，它们的图象的共同特征是（    ） A．这两个函数的图象都在第一象限与第三象限； B．当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐增大； C．当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小； D．点（，）与点（，）皆为这两个函数图象的公共点． 8．平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 9．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A、B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（    ） A．5 B． C． D．以上都不对 10．已知反比例函数的图象上有两点，当时，，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．下列函数关系式：①；②；③；④；⑤；其中表示是的反比例函数的是______． 12．若正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则的值为______． 13．请写出一个在第一象限内函数值随自变量的增大而减小的函数解析式__________． 14．在－1、3、－2这三个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数的图象在第二、四象限的概率是_____． 15．从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是_____． 三、解答题 16．已知在中，边BC的长为x，边BC上的高为y，的面积为6． (1)y与x的函数解析式为________，x的取值范围是________； (2)请在图中，画出该函数的图象； (3)若，是图象上的两个点，且，试判断，的大小． 17．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围） (2)当气球内的气压为千帕时，求气球的体积． 18．写出下列函数关系式，指出其中的正比例函数和反比例函数，并写出它们的比例系数． (1)火车从石家庄驶往相距约的北京，若火车的平均速度为，求火车距石家庄的距离与行驶的时间之间的函数关系式． (2)某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数关系式． (3)一个游泳池容积为，注满游泳池所用的时间随注水速度x的变化而变化，求y与x之间的函数关系式． 19．【阅读材料】： 解方程：时，先两边同乘以x，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，． 【模仿练习】 （1）解方程； 【拓展应用】 （2）如图1，等腰直角的直角顶点的坐标为，B，C两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值； （3）如图2在双曲线有，两点，如果，，那么是否为定值，若存在请求出，不存在请说明理由． 20．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． (1)求直线上的“双倍点”的坐标； (2)反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； (3)已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； (4)若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C A D B D B B C 1．【答案】D 【知识点】 反比例的意义及辨识、用反比例函数描述数量关系 【分析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断． 两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例，据此判断． 【详解】解：A、因为长方形的周长=（长+宽），长方形周长一定，是长和宽的和一定，所以长和宽不成比例，故此选项不符合题意； B、因为圆的面积半径2，所以圆的半径和面积不成反比例，故此选项不符合题意； C、一个人的身高和年龄虽然是相关联的两个量，但是它们的比值和乘积都不一定，所以不成比例，故此选项不符合题意； D、因为底面积×高=圆柱的体积（一定），乘积一定，所以底面积和高成反比例，故此选项符合题意； 故选：D． 2．【答案】A 【知识点】求反比例函数值 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用表示出和，再整理得到二者的关系式即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 3．【答案】C 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】根据储存室的体积底面积高即可列出反比例函数关系，从而判定正确的结论． 【详解】解：由储存室的体积公式知：， 故储存室的底面积S（）与其深度之间的函数关系式为为反比例函数． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，解题的关键是根据自变量的取值范围确定双曲线的具体位置，难度不大． 4．【答案】A 【知识点】证明四边形是矩形、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，矩形的判定；过点B作轴于E，设交x轴于点F，由反比例函数比例系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：过点B作轴于E，设交x轴于点F，如图， ∵点，分别是反比例函数与的图象上，且轴， ∴，四边形是矩形， ∴； 故选：A． 5．【答案】D 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，根据反比例函数知识点逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵反比例函数， ∴点不在它的图象上，故A项不符合题意， ∵ ∴图象分别位于第二、四象限，故B项不符合题意， ∴函数在时，即和时，y随x的增大而增大，故C项不符合题意， ∵如果点在它的图象上，即， ∴点也在它的图象上，故D选项符合题意， 故选：D． 6．【答案】B 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题主要考查反比例函数性质，结合题意得，解不等式即可求出． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴ ∴ 故选：B． 7．【答案】D 【知识点】判断一次函数的增减性、判断反比例函数的增减性、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】根据函数图象经过的象限，增减性即函数的性质分别判断． 【详解】解：A、正比例函数的图象在第一、三象限且过原点，反比例函数的两个分支在第一、第三象限但不过原点，故该项错误； B、正比例函数，当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐增大；反比例函数，当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小，故该项错误； C、正比例函数，当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐增大；反比例函数，当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小，故该项错误； D、正比例函数，当x=1时y=2；当x=-1时y=-2，故点（，）与点（，）在此函数图象上；反比例函数，当x=1时y=2；当x=-1时y=-2，故点（，）与点（，）在此函数图象上；故点（，）与点（，）皆为这两个函数图象的公共点． 故选：D． 【点睛】此题考查了正比例函数与反比例函数的性质，熟记两者的性质是解题的关键． 8．【答案】B 【知识点】由反比例函数值求自变量、正比例函数的图象、求一次函数解析式 【分析】先根据直线过原点设出直线解析式，代入A、B坐标得到与的乘积，再根据C点坐标判断其满足哪个函数解析式． 【详解】解：∵直线经过原点， ∴设直线的解析式为， 把代入解析式得，即， ∴直线的解析式为， 把代入得，即， ∵点的坐标为， ∴点横纵坐标的乘积为， 对函数变形可得，满足点的坐标特征， ∴点一定在函数的图象上． 9．【答案】B 【知识点】求反比例函数值、由平移方式确定点的坐标、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了反比例函数，坐标的平移，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，然后根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴，， 设平移后点A、B的对应点分别为、， ∵将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度， ∴，， ∵平移后的A、B两点恰好都落在函数的图象上， ∴把点代入， 得，即， 解得或（不合题意，舍去）， 故选：B． 10．【答案】C 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得，而 时，，则，然后解不等式即可； 【详解】解：∵反比例函数的图象上有 当时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式． 11．【答案】③④ 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，形如（ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解：①变形为，含有常数项，不符合反比例函数形式； ②是二次函数，不符合反比例函数形式； ③可化为，其中，符合反比例函数形式； ④可化为，其中，符合反比例函数形式； ⑤分母是而非，不符合反比例函数形式； 综上分析可知：是的反比例函数的是③④． 故答案为：③④． 12．【答案】15 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的对称性，待定系数法求解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据反比例函数的对称性求得，，继而可求和． 【详解】解：反比例函数的图象是关于原点为对称中心的中心对称图形， 点与关于原点对称， ，， ，， 正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， ，， ． 故答案为：15． 13．【答案】答案不唯一，如 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】根据反比例函数的性质，写出的反比例函数的比例系数k＞0即可． 【详解】解：∵一个在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小， ∴反比例函数的解析式（答案不唯一，只要是k＞0即可）． 故答案为：（答案不唯一，只要是k＞0即可）． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝（k≠0）当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 14．【答案】 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与任选两个数的积作为k的值使反比例函数的图象在第二、四象限的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数的图象在第二、四象限的有4种情况，即（-1，3），（3，-1），（3，-2），（-2，3）， ∴任选两个数的积作为k的值，使反比例函数的图象在第二、四象限的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，熟知概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 15．【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、由反比例函数值求自变量 【分析】本题主要考查概率公式的知识，解答本题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比，首先找出在双曲线上点的个数，然后根据概率公式求出答案． 【详解】解：∵五个点、、、、中，在双曲线上的点有，一共1个， ∴五点任取一点，在双曲线上的概率是， 故答案为：． 16．【答案】(1)； (2) 画图如下： (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、判断（画）反比例函数图象、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】（1）利用三角形的面积公式，求出函数解析式即可； （2）画出反比例函数的图象即可； （3）根据图象和反比例函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵是边上的高， ∴； 故答案为：，； （2）解：，； 列表如下： 2 3 4 6 6 4 3 2 （3）解：由图象可知， y随x的增大而减小． ∵， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的应用．根据题意，正确的求出反比例函数的解析式，利用，列表，描点，连线画出图象，是解题的关键． 17．【答案】(1) (2)立方米 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，根据点在反比例函数图象上，求出反比例系数，再根据反比例函数的性质，进行解答，即可． （1）设，根据点在反比例函数图象上，代入，求出，即可； （2）根据题意，当，代入反比例函数解析式，求出，即可． 【详解】（1）解：设， 由函数图象可得，点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：由（1）得，反比例函数的表达式为：， 当时， ∴， 答：当气球内的气压为千帕时，气球的体积为立方米． 18．【答案】(1)，是正比例函数，比例系数为 (2)，是反比例函数，比例系数为 (3)，是反比例函数，比例系数为 【知识点】正比例函数的定义、根据定义判断是否是反比例函数 【分析】(1)根据题意即可写出函数关系式； (2)根据题意即可写出函数关系式； (3)根据题意即可写出函数关系式； 【详解】（1）解：由题意可得：，是正比例函数，比例系数为； （2）解：由题意可得：，是反比例函数，比例系数为； （3）解：由题意可得：，是反比例函数，比例系数为． 【点睛】本题考查了根据题意写函数解析式，理解题意，正确写出函数关系式是解决本题的关键． 19．【答案】（1），；（2）；（3）是定值， 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查阅读理解，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据阅读材料，进行计算，即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据是等腰直角三角形，则，；根据，，等量代换，全等三角形的判定和性质，则，，，最后根据反比例函数的图象和性质，即可； （3）过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点，同理证明，得，；求得，根据点在函数图象上，则∵，在反比例函数图象上，，推出，解得，即可． 【详解】（1） 解：先两边同乘以，得， 解得：，， 经检验无增根， ∴原方程的解为，； （2）过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∵点坐标是， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数图像上， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴． （3）是定值，理由如下： 过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，在反比例函数图象上， ∴， ∴， 解得， ∴． 20．【答案】(1) (2)不存在“双倍点”，理由见解析 (3)或 (4)的值为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值、求反比例函数值 【分析】（1）根据“双倍点”的定义设直线上的“双倍点”的坐标，可得，解方程求出的值即可； （2）设在反比例函数图象上，把代入可得，根据平方的非负数性质得出得出该方程无实数解，可得不存在“双倍点”； （3）根据二次函数解析式得出与轴的交点坐标是，根据“双倍点”的定义得出，根据“双倍二次函数”的定义得出顶点坐标为，根据“双倍点”的定义求出或，即可得出答案； （4）根据“双倍二次函数”的得出及“双倍点”的定义求出二次函数解析式为，分，，三种情况，利用二次函数的性质分别求解即可得答案． 【详解】（1）解：设直线上的“双倍点”的坐标， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“双倍点”的坐标． （2）解：不存在“双倍点”，理由如下： 设在反比例函数图象上， ∴ ∴，此方程无实数解， ∴在反比例函数图象上不存在“双倍点”． （3）解：∵二次函数解析式为， ∴当时，， ∴函数的图象与轴的交点坐标是， ∵函数的图象与轴的交点是“双倍点”， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， ∵该二次函数是“双倍二次函数”， ∴， 解得：或， ∴二次函数的解析式为或． （4）解：设“双倍二次函数”， ∵为“双倍点”， ∴， ∴， 解得：或， 当时，顶点为，不合题意，舍去； ∴时，这个“双倍二次函数”为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）； 当时，时，函数的最小值为，不存在满足条件的t值； 当时，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $