专题03 整式中的规律探究问题（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级上册

**基本信息** 聚焦整式规律探究，通过数字与图形两类题型构建从具体到抽象的认知路径，强化归纳推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数字类规律探究|5道|涵盖数字序列、循环周期、算式规律|从特殊到一般，引导抽象代数式表达规律| |图形类规律探究|5道|涉及图形计数、结构变化、物质组成|通过图形直观建立数与形的联系，培养几何直观|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03整式中的规律探究问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、数字类规律探究问题， 题型二、图形类规律探究问题… 5 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、数字类规律探究问题 1.观察下列单项式：，-2x2,4r,-8x…,根据你发现的规律，写出第7个式子是_ 2.观察表一，寻找规律，表二、表三、表四是从表一里面截取的一部分，根据发现的规律，则+b+C=- 16 2 2025 21c■ ………… a 24b ■3240 表 表二 表三 表四 3.a是不为1的有理数， 我们宪0称为。的差倒数。已如4=，4是的关倒数，4是，的差倒数。 1 a4是0的差倒数，…，依此类推，则a2020= 4.观察下列各式： (-0x2()+2 (( 〔(+ (4( 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 (1)你发现的规律是： nn+l =-（用字母表示)· a用你发现的提种计：←》（兮》好+…+ 1） 20232024 5.观察图，解答下列问题. 000000 000000 (1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…， 第六层有11个圆圈.如果要你继续画下去，那么第9层有 一一个小圆圈？ (2)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法， 比如：前两层的圆圈个数和为(1+3)或22，由此得，1+3=22. 同样，由前三层的圆圈个数和得：1+3+5=32， 由前四层的圆圈个数和得：1+3+5+7=42」 由前五层的圆圈个数和得：1+3+5+7+9=52 根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是-（用的代数式表示）； (3)计算：1+3+5+7++199= 4)计算：201+203+205+..+299 题型二、图形类规律探究问题 6.摆一摆，找规律 (1)请画出第⑥个图形： (2)摆第7个图形需要用 根小棒； (3)摆第n个图形需要用根小棒， 7.如图，这是一类物质结构组成的式子，第1个结构式中有1个C和4个H,分子式是CH4;第2个结构 式中有2个C和6个H,分子式是CH。;第3个结构式中有3个C和8个H,分子式是CH~按照此规 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 律，回答下列问题 HH H HH H-C-H H-C-C-H H一C-C-C-H HH HH H 第1个 第2个 第3个 (1)第5个结构式的分子式是 (2)第n个结构式的分子式是 (3)试通过计算说明分子式是C22H4s0的物质构成符合上述构成规律吗？ 8.如图，每个图案均是由长度相等的木棒按一定的规律拼接而成的，第1个图案需要3根木棒，第2个图 案需要5根木棒，第3个图案需要7根木棒，第4个图案需要9根木棒，…依据此规律，继续拼接图案. 第1图案 第2图案 第3图案 第4图案 (I)第5个图案需要木棒_根，第n个图案需要木棒_（用含n的式子表示）根. (2)若要摆出第25个图案，则所需木棒的根数是多少？ 9.如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”· O O OO O oo oo 00 o0 0 oo … o0o o00o o000 O oo o0o o00 000 oo oo oO OO O 0 oo 0O0 O000 O0000 (1) (2) (3) (4) (5) … (1)按照此规律继续摆下去，第7个“小屋子”中图形“○”的个数为个，“●”的个数为一个： (2)按照此规律继续摆下去，第几个“小屋子”中图形“○”的个数是图形“●”的个数的4倍 10.有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各 点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图()，将“沙漏形”挖去， 对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图(2)所示的图形… 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f=l 3 7 图(1) 图(2) 图(3) 设图()中的“沙漏形”的个数为fm(为正整数)，观察以上图形，解答下列问题： (1)填空：=，f=(用含n的式子表示)： (2)当n的值为多少时，，-fn-1的值开始大于2025. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.若2024-a24结果的个位数字是1，则a的值可能是（) A.13 B.24 C.35 D49 2.如图所示是一组有规律的图案，第1个图案需要4个基础图形，第2个图案需要7个基础图形…，若 第n个图案需要2026个基础图形，则n的值是( 舒8 A.674 B675 C.676 D.677 3.【找规律】如图，一张桌子可以坐4人，两张桌子拼起来可以坐6人，三张桌子拼起来可以坐8人.像 这样()张桌子拼起来可以坐26人. O ☐oo☐oo☐o OOO A.11 B.12 C.13 D.14 4.已知整数aa,aa4,,满足下列条件：a=0,4=1-a,a=2-,a=3-a,,依 照这个规律，则02025=（) A.1009 B.1010 C.1011 D.1012 5.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，A的值应是() 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 4 10 22 A A.156 B.158 C.160 D.162 6.下列定义一种关于正整数n的“F运算”：①当n是奇数时，F=3n+5;②n为偶数时，结果是 111 F=n×2×2×2×…(其中F是奇数)，并且运算重复进行.例如：取n=26,如图， 26 F② 13 F① 44 F② 11 第一次 第二次 第三次 若n=50,则第2012次“F运算”的结果是() A.25 B.20 C.80 D.5 二、填空题 357 7.观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：-1”4,9,16，…，第8个数是一：则 第n个数是 8.用125个三条边都是1厘米的三角形拼图形，按如下规律拼下去，最后会是一个一形.这个图形 的周长是 厘米. 9.若x是不等于1的有理数，我们把一x称为x的差倒数.如：2的差倒数是一21，-1的差倒数为 1 1 1 1-(-可2，现已知=一了是x,的差倒数，x是x的差倒数，x是x的差倒数，··，依次类推， 则X2025= 10.观察下列各算式：2=2,2=4,2=8,24=16,2°=32,2=64…通过观察，用你所发现的规 律确定2016的个位数字是 11.有一列数{1，-2，-3,4}，将这列数中的每个数求其相反数得到12,3,4}，再分别求与1的和的倒数， 1111 得到2'3'45，令这组数为{4，a2,4,a4}称这为一次操作：第二次操作是将{a,a2,a,a4}再进行上述 操作，得到{a,a,a,a}:第三次操作是将{a,a,a,a}重复上述操作，得到{a,4o,41,42};:以此类 推，则a2025一，a+2+0+.+061= 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●” 的个数为a,第2幅图形中“●”的个数为2，第3幅图形中“●”的个数为a,…,以此类推，则 第1幅图第2幅图 第3幅图 第4幅图 三、解答题 13.如图，自行车每节链条的长度为2.5cm,交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm, 2.5cm￥ 0.8cm 2节链条 n节链条 1节链条 (1)3节链条长cm,10节链条长 cm: (2)n节链条长是多少？ 14.如图，摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用7根小棒，摆3个正方形要用10根小棒，按此 规律摆放， 4根 7根 10根 (I)按照上述摆放方式，摆个正方形用」 根小棒（用的代数式表示，并化简）. (2)按照上述摆放方式，能否用18根小棒摆出6个正方形？并说明理由， (3)设小棒长度为1，用不多于18根小棒摆出6个边长为1的小正方形，画出一种示意图. 15.观察下列三行数，根据规律解决下列问题： 第一行：1，-3,5，-7,9，-11,13，-15， 第二行：0，-4,4，-8,8，-12,12，-16，… 第三行：2，-6,10，-14,18，-22,26，-30，… (1)第一行第9个数为 一，第二行第9个数为. 一，第三行第9个数为. 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)取每行中第10个数，求三个数之和； (3)若每行都取第n个数，是否存在这样的n,使得这三个数之和为99？若存在，求出n的值；若不存在， 请说明理由 16.观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题.请你擦 亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 0版察下列等式：高1片·高宁片女时根安现的我杂 1 ①写出第6个等式是 第n个等式是 1 1 1 1 ②计算：1x22×33×4 2023×2024 11.1111 (②)思考运用以上方法计算：4+12+24+40+60+84的值. 17.如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形. 第1个图形 第2个图形 第3个图形 ()请观察图形，并填写下列表格： 第1 第2 第3 第n 图形标号 个 个 个 入 灰色方块的 5 10 15 个数 白色方块的 4 … 个数 (2)第200个图形中的灰色方块和第202个图形中的白色方块共有多少个？ (3③)若第(m+)个图形中的灰色方块比第(n-l(n>)个图形中的白色方块多45个，求n的值.（用含n的 代数式表示) 第1 第2 第3 第n 图形标号 个 个 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 灰色方块的 U 10 15 5n 个数 白色方块的 7 10 3n+1 个数 18.据统计，2023年，山西新增公路通车里程1076.2公里，年末公路通车里程14.7万公里，其中高速公路 6187.6公里.根据山西交通建设规划目标，到2027年，全省高速公路通车里程将突破7000公里.修路的 主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃.注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式 如下： H、 H-C C-H CIoHs CicHio C22H2 结构图 结构简式 图(1) 图(2) 图(3) 【观察思考】观察结构简式的分子式回答下列问题： 【规律发现】 (1)图(4)的分子中含 个C原子： (2)图(n)的分子中含 一个C原子： 【规律运用】 (3)若图(m)和图(m+)的分子中共含有242个C原子，求m的值. 8/8 专题03 整式中的规律探究问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、数字类规律探究问题 1 题型二、图形类规律探究问题 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、数字类规律探究问题 1．观察下列单项式；，根据你发现的规律，写出第7个式子是 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式表示，整式的数字变化规律， 先确定代数式的系数为，再确定字母的指数，即可得出答案. 【详解】解：由， 可知，，，， ∴第7个式子是. 故答案为：. 2．观察表一，寻找规律，表二、表三、表四是从表一里面截取的一部分，根据发现的规律，则 ． 【答案】76 【分析】根据题意，得，，解答即可． 本题考查了数字的规律，正确发现规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ， 解得， 解得， 故． 故答案为：76． 3．是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，依此类推，则 ． 【答案】 【分析】本题考查数字规律探究，根据新定义，求出前几个数，进而找到规律，再进行求解即可．解题的关键是根据新定义抽象概括出相应的数字规律． 【详解】解：由题意，，，，，， 故每3个数一循环， ∵， ∴； 故答案为：． 4．观察下列各式： ； ； ； ； … (1)你发现的规律是：＝ （用字母表示）． (2)用你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是数字类规律探索、有理数的混合运算，解题关键是找到题中的规律． （1）观察一系列的等式，找出一般性的规律即可； （2）利用（1）中的规律化简所求式子，抵消后计算即可得到结果． 【详解】（1）解：发现的规律为（为正整数）． 故答案为：． （2）解：由（1）中的规律得： 原式＝， ， ． 5．观察图，解答下列问题． (1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第9层有_______个小圆圈？ (2)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法． 比如：前两层的圆圈个数和为或，由此得，． 同样，由前三层的圆圈个数和得：， 由前四层的圆圈个数和得：． 由前五层的圆圈个数和得：． 根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是______（用n的代数式表示）； (3)计算： _________； (4)计算：． 【答案】(1)17 (2) (3) (4) 【分析】本题考查图形类规律探究、数字类规律探究、有理数的混合运算，找到变化规律是解答的关键． （1）根据前几层的圆圈个数得到规律，进而可求解； （2）利用已知数据得出答案即可； （3）利用（2）中发现的规律得出答案即可； （4）利用（2）中发现的规律得出答案即可． 【详解】（1）解：第一层有1个小圆圈， 第二层有3个圆圈， 第三层有5个圆圈， …， 依此规律：每一层小圆圈个数是连续的奇数， 第n层有个小圆圈， ∴ ∴第9层有个小圆圈 故答案为：； （2）解：前一层的圆圈个数和得：， 前两层的圆圈个数和得：， 由前三层的圆圈个数和得：， 由前四层的圆圈个数和得：， 由前五层的圆圈个数和得：， ， 从1开始的n个连续奇数之和是， 故答案为：； （3）解：由上可得：， 故答案为：； （4）解： ． 题型二、图形类规律探究问题 6．摆一摆，找规律 (1)请画出第⑥个图形； (2)摆第7个图形需要用______根小棒； (3)摆第个图形需要用______根小棒． 【答案】(1)图形见解析 (2)15 (3) 【分析】本题考查了数与形结合的规律，图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况，据此解答即可． （1）根据图意接着画出2个三角形组成平行四边形； （2）根据每增加2根小棒，就增加一个三角形，即可得出n个三角形所需火柴棍的根数为，进而即可求出当时，小棒的根数； （3）整理得出n个图形需要小棒的根数． 【详解】（1）解：如图所示，第⑥个图形是平行四边形； （2）观察图形可知： 1个三角形所需火柴棍的根数为3， 2个三角形所需火柴棍的根数为， 3个三角形所需火柴棍的根数为， 4个三角形所需火柴棍的根数为， … n个三角形所需火柴棍的根数为， 当时，， 故摆第7个图形需要15根小棒． （3）由（2）可知： n个三角形所需火柴棍的根数为， 故摆第个图形需要用根小棒． 7．如图，这是一类物质结构组成的式子，第1个结构式中有1个和4个，分子式是；第2个结构式中有2个和6个，分子式是；第3个结构式中有3个和8个，分子式是按照此规律，回答下列问题． (1)第5个结构式的分子式是______． (2)第个结构式的分子式是______． (3)试通过计算说明分子式是的物质构成符合上述构成规律吗？ 【答案】(1) (2) (3)不符合，计算见解析 【分析】本题主要考查了跨学科情境下的列代数式相关知识，根据题意得到正确的规律是解题是关键． （1）根据规律可知第4个结构式中有4个和8个，分子式是，第5个结构式中有5个和12个，分子式是． （2）根据规律可知第个结构式的分子式有个和个． （3）根据（2）中的规律第2025个结构式的分子式有2025个和4052个． 【详解】（1）解：根据规律可知第4个结构式中有4个和10个，分子式是，第5个结构式中有5个和12个，分子式是． 故答案为：． （2）解：根据规律可知第个结构式的分子式有个和个，分子式为． 故答案为：． （3）解：不符合． 因为第个结构式的分子式，令，则， 所以分子式的物质构成不符合上述构成规律． 8．如图，每个图案均是由长度相等的木棒按一定的规律拼接而成的，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，……依据此规律，继续拼接图案． (1)第个图案需要木棒 根，第个图案需要木棒 （用含n的式子表示）根． (2)若要摆出第个图案，则所需木棒的根数是多少？ 【答案】(1)11； (2)51 【分析】本题考查了根据图形变化找规律，仔细观察图形的变化，找到规律是解题关键．第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，据此解答． 【详解】（1）解：第个图案需要（根）木棒，第个图案需要根木棒； 故答案为：11； （2）解：当时，， ∴若要摆出第个图案，则所需木棒的根数是． 9．如图所示，是用图形“”和“”按一定规律摆成的“小屋子”． (1)按照此规律继续摆下去，第7个“小屋子”中图形“”的个数为______个，“”的个数为______个； (2)按照此规律继续摆下去，第几个“小屋子”中图形“”的个数是图形“”的个数的4倍？ 【答案】(1)，； (2)第个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的4倍． 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、用代数式表示图形的规律，能根据所给图形发现“”和“”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“”和“”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； …， 由此可知， 第个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 故答案为：，； （2）解：第个“小屋子”中图形“”的个数为，“”的个数为； 由题意得，解得（舍），， 答：第个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的4倍． 10．有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形…… 设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数）．观察以上图形，解答下列问题： (1)填空： ， （用含n的式子表示）： (2)当n的值为多少时，的值开始大于2025． 【答案】(1)31， (2) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，同底数幂乘法的逆运算，正确找到规律是解题的关键． （1）先观察图形找到规律即可求出答案； （2）根据（1）可得，然后代入式子中进行求解即可． 【详解】（1）解：第一个图形有1个“沙漏型”， 第二个图形有 个“沙漏型”， 第三个图形有 个“沙漏型”， …． 由此可得到规律，第n个图形有个 图形，即 ∴， 故答案为：31；； （2）解：∵ ∴ ∴ 则当成立，. ∴ 一、单选题 1．若结果的个位数字是1，则的值可能是（   ） A．13 B．24 C．35 D．49 【答案】C 【分析】先找出个位数字的规律，再根据结果的个位数字是，确定结果的个位数字，最后据此找出可能的值．本题主要考查了尾数特征问题，熟练掌握通过找规律的方法确定幂次的个位数字是解题的关键． 【详解】解：个位数字是， 个位数字是（）， 个位数字是（）， 个位数字是（）， 可以发现当为奇数时，个位数字是；当为偶数时，个位数字是． 个位数字是． 结果的个位数字是， 结果的个位数字是． 个位数字是（的幂次个位数字以、、、循环，，余数为时个位是）， 个位数字是（的幂次个位数字以、循环，，余数为时个位是）， 个位数字是（的任何正整数次幂个位数字都是）， 个位数字是（的幂次个位数字以、循环，，余数为时个位是）． 的值可能是． 故选：C． 2．如图所示是一组有规律的图案，第1个图案需要4个基础图形，第2个图案需要7个基础图形……，若第n个图案需要2026个基础图形，则n的值是（　　） A．674 B．675 C．676 D．677 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需基础图形的个数依次增加3是解题的关键．根据所给图形，依次求出所需基础图形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图案中基础图形的个数为：； 第2个图案中基础图形的个数为：； 第3个图案中基础图形的个数为：； …， 所以第n个图案中基础图形的个数为个． 令， 解得， 即n的值为675． 故选：B． 3．【找规律】如图，一张桌子可以坐4人，两张桌子拼起来可以坐6人，三张桌子拼起来可以坐8人．像这样（　　）张桌子拼起来可以坐26人． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了数与形的结合，认真观察图形找出其中的规律是解题关键，主要培养学生的观察能力．观察图形可知，一张桌子可以坐4人，以后每增加一张桌子就增加2人，则张桌子拼起来可以坐：人，因此求出即可． 【详解】解：一张桌子可以坐4人，以后每增加一张桌子就增加2人，则张桌子拼起来可以坐：人， 所以当可坐26人时：， 解得：， 故选：B． 4．已知整数，…，满足下列条件：，，， ，…，依照这个规律，则（    ） A．1 009 B．1 010 C．1 011 D．1 012 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，由已知可得，故总结规律，，（n为正整数），即可求得． 【详解】解：由已知得， 故，，（n 为正整数）， 故． 故选：D． 5．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，A的值应是（    ） A．156 B．158 C．160 D．162 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，依据题意，正确发现规律是解题关键．由前三个正方形可知，规律为正方形中右上和左下的两个数的积减左上的数等于右下的数，且左上、左下、右上的三个数是相邻的偶数，即可求解． 【详解】解：由前三个正方形可知，规律为正方形中右上和左下的两个数的积减左上的数等于右下的数，且左上、左下、右上的三个数是相邻的偶数， ∴图中阴影部分的两个数分别为左下的数是12，右上的数是14， 则， 故选：B． 6．下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类，解题的关键是先分别计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：根据题意，得 当时， 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 第四次运算，， 第五次运算：， 第六次运算：， …… 规律：从第三次开始，结果就只是，两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是，次数是奇数时，结果是， ∵次是偶数， ∴第次“运算”的结果是． 故选：B． 二、填空题 7．观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：，，，，…，第8个数是 ；则第个数是 ． 【答案】 【分析】本题是对数字变化规律的考查，根据分母是平方数，分子是连续的奇数得出变化规律是解题的关键． 观察数列，分子是连续的奇数，分母是序数的平方，且奇数项是负数，偶数项是正数，根据此规律写出即可． 【详解】解：观察数据的规律可知：分子的规律是连续的奇数即，分母是、、、，且奇数项是负数，偶数项是正数即，则第个数是，第8个数是， 故答案为：，． 8．用125个三条边都是1厘米的三角形拼图形，按如下规律拼下去，最后会是一个 形．这个图形的周长是 厘米． 【答案】 梯 127 【分析】本题考查了数与形结合的规律问题，观察图形可知，当小三角形的个数为偶数时，拼成的是平行四边形，当小三角形的个数是奇数时，拼成的是梯形；观察图形得出一般规律即可解答． 【详解】解：（1）当小三角形的个数为偶数时，拼成的是平行四边形，当小三角形的个数是奇数时，拼成的是梯形， 125是奇数，所以拼成的图形是梯形； （2）第一幅图有2个三角形，周长是：； 第二幅图有3个三角形，周长是：； 第三幅图有4个三角形，周长是：； 第四幅图有5个三角形，周长是：； 据此即可得出125个三角形拼成的图形的周长是（厘米）； 答：最后会是一个梯形．这个图形的周长是127厘米． 故答案为：梯；127． 9．若x是不等于1的有理数，我们把称为x的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，．．．，依次类推，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了数字的变化规律．根据差倒数的定义找出该组数列的前4个数，由，从而得出数据变化规律，根据规律可得出的值． 【详解】解：根据差倒数的定义可得出：， ， ， ， ， 由此发现该组数每3个一循环． ， ． 故答案为：4． 10．观察下列各算式：，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，能够通过所给条件，探索出数的规律是解题的关键．通过观察可知每4次运算的尾数循环一次，则的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，，，，的个位数字，每4个是一组循环， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同， ∴的个位数字是， 故答案为：． 11．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，令这组数为，称这为一次操作；第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次操作是将重复上述操作，得到；…；以此类推，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及倒数，能根据题意得出大括号内的数字每三组循环一次是解题的关键． 根据题意，先求出和在第几组式子中，其次通过计算发现大括号内数的变化规律即可解决问题． 【详解】解：根据题意得，，，， 第二次操作得，，，， 第三次操作得，，，． 观察上述规律可知，每3次操作为一循环，一个循环内共12个数． 因为， 所以． 因为． 因为， 所以， 故答案为，． 12．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查图形规律，数字规律，根据图示找出规律，结合分数的计算方法是关键． 根据图示，可得，由此代入得到，根据数字规律计算即可． 【详解】解：第1幅图形中“●”的个数为， 第2幅图形中“●”的个数为， 第3幅图形中“●”的个数为， 第4幅图形中“●”的个数为， …， 以此类推，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 13．如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． (1)3节链条长_____，10节链条长_____； (2)节链条长是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了图形的变化类，解题的关键是根据题意得出节链条的长度与每节长度之间的关系． （1）根据图形找出规律计算第3节、10节链条的长度即可； （2））从特殊到一般，找到规律，得到节链条拉直后长度为． 【详解】（1）解：根据图形可得出： 2节链条的长度为：， 3节链条的长度为：， 4节链条的长度为：， 5节链条的长度为：， 6节链条的长度为：， 7节链条的长度为：， 8节链条的长度为：， 9节链条的长度为：， 10节链条的长度为：， 故答案为：，； （2）解：节链条的长度为： 14．如图，摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用7根小棒，摆3个正方形要用10根小棒，按此规律摆放． (1)按照上述摆放方式，摆n个正方形用______根小棒(用n的代数式表示，并化简）． (2)按照上述摆放方式，能否用18根小棒摆出6个正方形？并说明理由． (3)设小棒长度为1，用不多于18根小棒摆出6个边长为1的小正方形，画出一种示意图． 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 (3)作图见详解 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示中数量关系，找出规律是解题的关键． （1）根据图示找出规律即可求解； （2）根据（1）中的规律计算即可求解； （3）由（2）的计算可得，用不多于18根小棒摆出6个边长为1的小正方形，需要改变摆放方式，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：第1个图有1个正方形需要根小棒， 第2个图有2个正方形需要根小棒，即， 第3个图有3个正方形需要根，即， ∴第个正方形需要（根）， 故答案为：； （2）解：根据（1）可得，摆出6个正方形时是第6个图形， ∴，即需要根小棒， ∴用18根小棒摆不出6个正方形； （3）解：根据题意，第3个图中有3个正方形，需要10根小棒， 由（2）可知，按照题目中的图形摆放得到6个正方形需要19根， ∴改变摆放方式，如图所示， ∴摆放时需要根小棒，即不多于18根小棒， ∴符合题意． 15．观察下列三行数，根据规律解决下列问题： 第一行：1，，5，，9，，13，， 第二行：0，，4，，8，  ，12，， 第三行：2，，10，，18，，26，， (1)第一行第9个数为________，第二行第9个数为________，第三行第9个数为________； (2)取每行中第10个数，求三个数之和； (3)若每行都取第个数，是否存在这样的，使得这三个数之和为99？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)17，16，34 (2) (3)存在，13，见解析 【分析】（1）第一行的规律是，，，于是得到第n个数为，第二行的规律是，，，于是得到第n个数为；根据题意，得，，，于是得到第n个数为，解答即可． （2）根据题意，得第n个数是，，，，，于是得到第n个数为，解答即可． （3）根据前面的规律，列式计算即可． 本题考查了有理数的乘方，有理数的加减混合，熟练掌握有理数的乘方的混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：第一行的规律是，，，于是得到第n个数为， 第二行的规律是，，，于是得到第n个数为； 根据题意，得，，，于是得到第三行第n个数为， 当时，，，， 故答案为：17，16，34． （2）解：当时，，，， 故． （3）解：根据题意，得， 整理，得， 即， 当n为偶数时，， 解得，不符合题意； 当n为奇数时，， 解得，符合题意； 故存在，且n为13． 16．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题． (1)观察下列等式：，，，根据发现的规律： ①写出第6个等式是________________________，第n个等式是______________________________； ②计算：； (2)思考运用以上方法计算：的值． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题考查了规律型−数字的变化类，准确熟练的进行计算是解题的关键． （1）①观察发现，等式的左边都是一个分数，分子都是1，分母是两个连续正整数之积，等式的右边是两个分数的差，分子都是1，分母是两个连续正整数，根据规律写出第6个等式和第n个等式即可； ②利用发现的规律进行计算即可； （2）先提出，然后根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴第6个等式是：； 第n个等式是：； 故答案为：，； ②原式 ； （2）解：原式 ． 17．如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形． (1)请观察图形，并填写下列表格； 图形标号 第 1 个 第2个 第3个 … 第n个 灰色方块的个数 5 10 15 … 白色方块的个数 4 … (2)第200个图形中的灰色方块和第202个图形中的白色方块共有多少个？ (3)若第个图形中的灰色方块比第个图形中的白色方块多45个，求n的值．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)；7；10； (2)1607个 (3)19 【分析】本题考查了图形的变化规律，仔细观察图形，总结出一般变化规律是解题的关键． （1）根据图形，得出结论，灰色方块每次增加5个，白色方块每次增加3个，分别算出各个数据即可； （2）根据（1）中的规律，分别算出第200个图形中的灰色方块数和第202个图形中的白色方块数，再相加即可； （3）根据（1）中的规律，第个图形中的灰色方块数和第个图形中的白色方块数，再相减列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： 第2个图形中白色方块数为（个）， 第3个图形中白色方块数为（个）， 第n个图形中灰色方块数为：个，白色方块数为个， 补全表格为： 图形标号 第 1 个 第2个 第3个 … 第n个 灰色方块的个数 5 10 15 … 白色方块的个数 4 7 10 … 故答案为：，7，10，； （2）第200个图形中的灰色方块有（个）， 第202个图形中的白色方块有（个）． （个）． 答：第200个图形中的灰色方块和第202个图形中的白色方块共有1607个； （3）第个图形中的灰色方块有个， 第个图形中的白色方块有个， 根据题意得， 解得． 18．据统计，2023年，山西新增公路通车里程公里，年末公路通车里程万公里，其中高速公路公里．根据山西交通建设规划目标，到2027年，全省高速公路通车里程将突破7000公里．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下： 【观察思考】观察结构简式的分子式回答下列问题： 【规律发现】 （1）图（4）的分子中含________个C原子； （2）图的分子中含________个C原子； 【规律运用】 （3）若图和图的分子中共含有242个C原子，求m的值． 【答案】（1）28；（2）；（3）19． 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给结构简式，发现C原子的个数依次增加6是解题的关键； （1）根据所给结构简式，发现C原子个数的规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题； （3）根据（1）中发现的规律即可解决问题； 【详解】解：（1）由所给分子结构图及结构简式可知， 图（1）的分子中含C原子的个数为∶， 图（2）的分子中含C原子的个数为∶， 图（3）的分子中含C原子的个数为∶， 所以图的分子中含C原子的个数为个， 当时， (个)， 即图（4）的分子中含C原子的个数为28个， 故答案为：28． （2）由（1）知， 图的分子中含C原子的个数为个， 故答案为：． （3）根据规律可知， ， 解得：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $