28.2.1 中心对称及其性质（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“中心对称及其性质”，引导学生理解中心对称的定义、性质及作图。课堂导入通过复习旋转的定义、三要素和性质，结合多媒体展示风车叶片、线段等旋转180°的动态过程，搭建从一般旋转到特殊旋转（中心对称）的学习支架。 导学案以自主学习与合作探究为特色，通过观察图形、实操画图、小组归纳培养几何直观和推理意识，作图口诀助力规范操作，例题与中考真题结合提升应用能力，有效发展空间观念和创新意识，适合学生主动构建知识和教师教学使用。

28.2.1 中心对称及其性质（导学案） （1）准确理解中心对称、对称中心、对称点的定义，能区分中心对称与一般旋转的区别与联系.熟练掌握中心对称的两条核心性质，能运用性质判断两个图形是否成中心对称、求解线段长度和角度大小. 掌握基本几何图形关于某一点成中心对称的作图方法，能准确找出两个成中心对称图形的对称中心. （2）通过观察图形旋转、动手操作、小组探究的活动，经历中心对称概念的形成、性质的推导全过程，培养几何直观与归纳推理能力. 通过例题实操、变式练习，掌握几何变换类问题的解题思路，提升规范作图和逻辑解题的能力. （3）感受几何图形的对称美、变换美，激发数学学习兴趣.体会“一般到特殊”“数形结合”的数学思想，培养严谨的几何思维和合作探究意识. 重点：中心对称的定义及核心性质的理解与记忆；利用中心对称性质进行简单计算、判断及规范作图. 难点:深度理解中心对称的本质（旋转180°重合的特殊旋转）， 灵活运用中心对称性质解决几何问题，精准确定对称中心、规范完成中心对称作图. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 1. 复习回顾：提问学生旋转的定义、旋转三要素、旋转的基本性质，随机抽查学生作答. 2. 情境展示：多媒体展示两组动态图形：①风车叶片绕中心旋转180°；②线段、三角形绕定点旋转180°的动态过程. 3. 设问引导： 追问1.以上图形的旋转角是多少度？ 追问2.图形旋转后与原图形有什么位置关系？能否完全重合？ 追问3.这种旋转180°的特殊变换，和我们学的一般旋转有什么区别？ 4.导入课题：这种旋转180°后能与原图形重合的特殊变换，就是本节课的核心内容——中心对称及其性质. 【学法指导】 新知自研：自研课本P99-100页的内容 【学法指导】自研课本P99-100页内容 (一)中心对称的定义 活动1.(1)如左图，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？ 可以发现，在左图中，一个图案旋转后与另一个图案重合. (2)如图右，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？ 在右图中，旋转后的OCD与△OAB重合. 自主观察：学生观察多媒体中三角形绕点O旋转180°的图形， 独立思考：旋转前后两个图形的位置、大小、形状有何特点？ 小组归纳：4人小组交流观察结果，尝试自主定义该特殊变换. 对照图形学生总结： 教师总结规范定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点. 核心解读：强调中心对称三大必备条件：①存在一个对称中心；②旋转角度固定为180°；③两个图形旋转后完全重合. （二）中心对称的性质 活动2. 实操探究：学生在练习本上画△ABC，选取定点O，画出△ABC绕点O旋转180°后的△A'B'C'，连接AA'、BB'、CC'. 如图，△ABC和△A'B'C'关于点O对称，我们仍考虑它们的对称点之间的关系. 追问1.△ABC和△A'B'C'的形状、大小有什么关系？ 追问2.对称中心O与对称点的连线AA'有什么关系？点O与BB'，CC’呢? 追问3.线段AA'、BB'、CC'与对称中心O有什么位置和数量关系？ （三）基础作图 问题提出：给定一个点和一个图形，可以画出与这个图形关丁这个点中心对称的图形，与其他图形的变化类似，对于规则几何图形，只要找到它的关键点，作出它们关于对称中心的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形中心对称的图形. 活动3.作图：如图，已知三角形ABC和点O，画出三角形ABC关于点O成中心对称的四边形A'B'C'. 解题小结：多边形中心对称作图口诀：连顶点、延线段、取等长、顺次连. 【自研自探】 自研课本P99-100页内容 典型例题 例1．如图，是的中线，画出以为对称中心，与成中心对称的三角形．    例2.如图，与关于点O成中心对称，请你写出两个三角形的对应点、对应线段、对应角和对称中心． 第二环节 合作探究 1.讨论什么是中心对称？ 2.讨论什么中心对称的性质？ 3.讨论怎样画中心对称的图形？ 拓展提升： 1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出和．    (1)把先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，得到； (2)以图中的O为对称中心，作中心对称图形，得到． 课本课堂P101练习. 1．（2025.河北保定统考）如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（    ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 2．（2025.保定统考）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，图①，图②，图③均为顶点在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点）． (1)在图中，图①经过______变换可以得到图②（填“平移”“旋转”或“轴对称”）； (2)在图中画出图①绕点A逆时针旋转90°后得到的图形； (3)在图中，图③与图②关于某点对称，则其对称中心是点______（填“A”或“B”或 “C”）． 知识技能：（1）核心概念：把一个图形绕定点 ，即为中心对称，定点为 ，对应点为 ；（2）核心性质：①成中心对称的两个图形 ；②对应点连线过 ，且被 平分；（3）核心技能：掌握多边形中心对称 ，能利用性质进行 、 计算，能判定 . 思想方法：（1）一般到特殊：从通用旋转变换，聚焦 ，推导 称专属知识；（2）数形结合：通过 、 分析，实现 的结合；（3）转化思想：将 问题转化为全等图形、 问题求解. 易错提醒：（1）概念混淆：中心对称是 ，区别于后续 ；（2）角度误区：中心对称旋转角 ，不可 ；（3）作图易错：作图时必须保证 ，延长线 ，必须 ，避免 ；（4）性质误用：全等是 ， . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2.1 中心对称及其性质（导学案） （1）准确理解中心对称、对称中心、对称点的定义，能区分中心对称与一般旋转的区别与联系.熟练掌握中心对称的两条核心性质，能运用性质判断两个图形是否成中心对称、求解线段长度和角度大小. 掌握基本几何图形关于某一点成中心对称的作图方法，能准确找出两个成中心对称图形的对称中心. （2）通过观察图形旋转、动手操作、小组探究的活动，经历中心对称概念的形成、性质的推导全过程，培养几何直观与归纳推理能力. 通过例题实操、变式练习，掌握几何变换类问题的解题思路，提升规范作图和逻辑解题的能力. （3）感受几何图形的对称美、变换美，激发数学学习兴趣.体会“一般到特殊”“数形结合”的数学思想，培养严谨的几何思维和合作探究意识. 重点：中心对称的定义及核心性质的理解与记忆；利用中心对称性质进行简单计算、判断及规范作图. 难点:深度理解中心对称的本质（旋转180°重合的特殊旋转）， 灵活运用中心对称性质解决几何问题，精准确定对称中心、规范完成中心对称作图. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 1. 复习回顾：提问学生旋转的定义、旋转三要素、旋转的基本性质，随机抽查学生作答. 2. 情境展示：多媒体展示两组动态图形：①风车叶片绕中心旋转180°；②线段、三角形绕定点旋转180°的动态过程. 3. 设问引导： 追问1.以上图形的旋转角是多少度？ 追问2.图形旋转后与原图形有什么位置关系？能否完全重合？ 追问3.这种旋转180°的特殊变换，和我们学的一般旋转有什么区别？ 4.导入课题：这种旋转180°后能与原图形重合的特殊变换，就是本节课的核心内容——中心对称及其性质. 【学法指导】 新知自研：自研课本P99-100页的内容 【学法指导】自研课本P99-100页内容 (一)中心对称的定义 活动1.(1)如左图，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？ 可以发现，在左图中，一个图案旋转后与另一个图案重合. (2)如图右，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？ 在右图中，旋转后的OCD与△OAB重合. 自主观察：学生观察多媒体中三角形绕点O旋转180°的图形， 独立思考：旋转前后两个图形的位置、大小、形状有何特点？ 小组归纳：4人小组交流观察结果，尝试自主定义该特殊变换. 对照图形学生总结：一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点.例如，在图28.2-2中，△OCD和△OAB关于点O对称，点C与点A是对称点. 教师总结规范定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点. 核心解读：强调中心对称三大必备条件：①存在一个对称中心；②旋转角度固定为180°；③两个图形旋转后完全重合. （二）中心对称的性质 活动2. 实操探究：学生在练习本上画△ABC，选取定点O，画出△ABC绕点O旋转180°后的△A'B'C'，连接AA'、BB'、CC'. 如图，△ABC和△A'B'C'关于点O对称，我们仍考虑它们的对称点之间的关系. 追问1.△ABC和△A'B'C'的形状、大小有什么关系？ 成中心对称的两个图形全等. 追问2.对称中心O与对称点的连线AA'有什么关系？点O与BB'，CC’呢? 追问3.线段AA'、BB'、CC'与对称中心O有什么位置和数量关系？ 师生共同归纳核心性质：成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分. （三）基础作图 问题提出：给定一个点和一个图形，可以画出与这个图形关丁这个点中心对称的图形，与其他图形的变化类似，对于规则几何图形，只要找到它的关键点，作出它们关于对称中心的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形中心对称的图形. 活动3.作图：如图，已知三角形ABC和点O，画出三角形ABC关于点O成中心对称的四边形A'B'C'. 分析：本题考查中心对称的作图方法，核心依据是中心对称的性质——对称中心平分对应点连线.解题关键是逐个找顶点的对称点，再顺次连线，多边形中心对称作图遵循“定点—找点—连线”的通用步骤. 解：1. 定点：确定对称中心为点O； 2. 找对称点： ① 连接AO并延长AO至A'，使OA'=OA，得到点A的对称点A'； ② 同理，分别作出B、C的对称点B'、C'； 3. 顺次连线：依次连接A'B'、B'C'、C'A'； 4. 结论：四边形A'B'C'即为所求的中心对称图形. 解题小结：多边形中心对称作图口诀：连顶点、延线段、取等长、顺次连. 【自研自探】 自研课本P99-100页内容 典型例题 例1．如图，是的中线，画出以为对称中心，与成中心对称的三角形．    【分析】延长到使，则为所作． 【详解】解：如图，与关于点中心对称．    例2.如图，与关于点O成中心对称，请你写出两个三角形的对应点、对应线段、对应角和对称中心． 【分析】利用中心对称的定义及性质直接写出即可． 【详解】解：对称中心为点O； 对应点分别是：A和D，B和E，C和F； 对应线段分别是：和，和，和； 对应角分别是：和，和，和． 第二环节 合作探究 1.讨论什么是中心对称？ 2.讨论什么中心对称的性质？ 3.讨论怎样画中心对称的图形？ 拓展提升： 1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出和．    (1)把先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，得到； (2)以图中的O为对称中心，作中心对称图形，得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求；    课本课堂P101练习. 1．（2025.河北保定统考）如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（    ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 【详解】解：∵与成中心对称，点O是对称中心， ∴点A与点D是对应点，，， 不能说明， 故选：D． 2．（2025.保定统考）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，图①，图②，图③均为顶点在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点）． (1)在图中，图①经过______变换可以得到图②（填“平移”“旋转”或“轴对称”）； (2)在图中画出图①绕点A逆时针旋转90°后得到的图形； (3)在图中，图③与图②关于某点对称，则其对称中心是点______（填“A”或“B”或 “C”）． 【详解】（1）解：图①经过平移变换可以得到图②． 故答案为：平移． （2）解：图①绕点A逆时针旋转90°后得到的图形如图所示：    （3）解：如图：连接， 由和相交于点C，即对称中心是点C．    故答案为C． 知识技能：（1）核心概念：把一个图形绕定点旋转180°能与另一个图形重合，即为中心对称，定点为对称中心，对应点为对称点； （2）核心性质：①成中心对称的两个图形全等；②对应点连线过对称中心，且被对称中心平分；（3）核心技能：掌握多边形中心对称作图方法，能利用性质进行边长、角度计算，能判定中心对称图形. 思想方法：（1）一般到特殊：从通用旋转变换，聚焦180°特殊旋转，推导中心对称专属知识；（2）数形结合：通过图形实操、线段角度分析，实现图形与数量关系的结合；（3）转化思想：将中心对称问题转化为全等图形、线段中点问题求解. 易错提醒：（1）概念混淆：中心对称是两个图形的位置关系，区别于后续的中心对称图形（单个图形的特征），不可混用；（2）角度误区：中心对称旋转角固定为180°，不可等同于任意角度旋转；（3）作图易错：作图时必须保证OA'=OA，延长线不可偏移，必须顺次连接对称点，避免连线混乱、漏点；（4）性质误用：全等是中心对称的推论，不可反向判定（两个图形全等，不一定成中心对称）. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $