28.1图形的旋转（第1课时 图形旋转的概念）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“图形的旋转（第一课时）”，核心内容为旋转的概念及三要素（旋转中心、方向、角）。课堂导入通过展示钟表指针、风扇叶片等生活旋转实例，引导学生观察共同特征，对比平移与轴对称，关联旧知中平移的研究思路，搭建从生活现象到数学概念的学习支架。 此资料亮点在于采用类比迁移法，以平移研究框架（定义—要素—性质—应用）引导学习旋转，结合自主探究（课本研读、概念辨析）与合作讨论，辅以典型例题及中考题。通过具体实例抽象出数学概念，培养学生抽象能力、几何直观与推理意识，助力构建图形变换认知体系。

28.1 图形的旋转（第一课时 图形旋转的概念） （导学案） (1)通过具体实例认识图形的旋转，理解旋转的概念.掌握旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.能在具体的旋转情境中识别旋转中心、旋转方向、旋转角以及对应点. (2)经历从生活实例中抽象出旋转概念的过程，发展抽象概括能力.在探索旋转概念的过程中，进一步发展空间观念和几何直观.类比平移、轴对称的研究方法，体会图形变换研究的一般思路.能运用旋转的概念判断一个图形运动是否为旋转.能在简单图形中找出旋转中心、旋转方向、旋转角和对应点. (3)感受数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣.在观察、操作、归纳的过程中，体验数学探索的乐趣，培养勇于探索的精神. 重点：旋转的概念及旋转的三要素. 难点:对旋转角的理解与准确识别在复杂图形中确定对应点和旋转角. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 展示生活中的旋转现象图片或视频：钟表指针的转动、风扇叶片的旋转、摩天轮的转动、汽车方向盘的转动、开门时门的运动、风车的转动等. 追问1：这些运动现象有什么共同的特征？ 追问2：它们和我们之前学过的平移、轴对称有什么不同？ 复习旧知，铺垫引路 引导学生回顾平移的相关知识. 追问3：我们研究平移时，是按照"定义—要素—性质—作图—应用"的思路来进行的，那么，对于旋转这种新的图形变换，我们可以按照怎样的思路来研究呢？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第92-93页的内容 【学法指导】自研课本P92-93页内容 (一)类比迁移，形成旋转概念 思考：如下图，①钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了多少度? ②风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.③改变航向时，舵柄绕船舵中间的轴转动. 我们可以把上面问题中的指针、叶片、舵柄看作平面图形，这些图形都在平面内围绕着一个点转动.像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度，叫作图形的旋转，点0叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如果图形上的点P经过旋转后变为点P'，那么这两个点叫作这个旋转的对应点.例如，时针在旋转，表盘的中心是旋转中心，旋转角是60°，在3时的时针端点P与在5时的时针端点P’是对应点. 追问1：旋转前后，图形的形状、大小发生变化了吗？ 追问2：通过以上思考，类比平移的定义，你能结合刚才观察到的旋转现象，给旋转下一个数学定义吗？ 追问3：确定一个旋转变换，需要知道哪些条件？ 强调：三要素缺一不可，只有同时确定了旋转中心、旋转方向和旋转角度，才能唯一确定一个旋转变换. 学生活动：类比平移的定义，尝试用自己的语言表述旋转的定义，在教师引导下逐步完善概念.理解并记忆旋转的三要素. （二）深化理解，旋转性质 问题探究：演示动画：三角形ABC绕点O顺时针旋转得到三角形A'B'C'. 讲解：如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点P和P'叫做这个旋转的对应点. 追问1. 旋转中心是什么点？旋转方向是什么？ 追问2. 点A的对应点是哪个点？点B的对应点呢？点C的对应点呢？ 追问3. 连接OA和OA'，∠AOA'是什么角？连接OB和OB'，∠BOB'呢？连接OC和OC'，∠COC'呢？ 追问4. 这三个角的大小有什么关系？为什么？ 强调：旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，不是对应点连线的夹角. 总结：一个图形和其旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角. （三） 概念辨析，深化理解 1.判断下列说法是否正确，并说明理由. ① 旋转中心一定在图形上.（ ） ② 旋转只能按顺时针方向转动.（ ） ③ 旋转不改变图形的形状和大小.（ ） ④ 旋转角就是对应点之间的角.（ ） ⑤ 确定一个旋转变换，只要知道旋转中心和旋转角度就够了.（ ） 2.如图 ，将△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A'B'C，若∠BCA'= 100'，能求出∠B'CA 的度数吗？ 【自研自探】 自研课本P92-93页内容 典型例题 例1. 钟表的时针匀速旋转一周需要12小时. （1）指出它的旋转中心； （2）经过5小时整，时针旋转了多少度？ （3）从上午8:00到上午10:30，时针旋转了多少度？ 例2．如图．在中，，将绕点C逆时针旋转得到，于点D．求的度数．    第二环节 合作探究 1.讨论什么是图形的旋转？图形旋转的三要素是指什么？ 2.讨论图形旋转具有哪些性质？ 拓展提升： 1.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，．    (1)当时，求的长度； (2)当时，求的度数． 课本课堂练习P93-94练习. 1．（2025•吉林）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 2．（2025•天津）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为B′，C′，B′C′的延长线与边BC相交于点D，连接CC′．若AC＝4，CD＝3，则线段CC′的长为（　　） A． B． C．4 D． 3．（2026年广东省）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 知识技能：旋转的定义：在平面内，将 ，这样的图形运动叫做图形的旋转.旋转的三要素 、 、 ，三者缺一不可.对应点： .旋转角： 夹角.所有 都相等.旋转的本质：旋转是 变换，不改 ，只 位置. 思想方法：类比思想：类比平移的研究方法（ — — — — ）来研究旋转，体现了数学学习的 和 研究的统一范式.抽象概括：从生活中的旋转现象抽象出数学中的旋转概念，经历了" — — "的认知过程，培养抽象思维能力. 转化思想：将生活中的 转化为 来解决，体现了数学建模的思想.数形结合：通过 理解 的概念，将 起来分析问题，发展几何直观. 易错提醒：旋转中心的位置：旋转中心 形上，它可以 上，不要误以为旋转中心 点.旋转方向的判断：旋转方向 两种，不能忽略旋转方向，判断方向时要 的方向，与钟表指针转动方向相同的是 ，相反的是 .旋转角的识别：旋转角是 夹角，不是 的夹角，也不是 的夹角.找旋转角时要牢记"一找 ，二找 ，三 ，四 ".对应点的确定：在复杂图形中找 时，要 变化，按照 来确定，避免对应关系找错，可以通过字母顺序或图形特征来辅助判断. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（第一课时 图形旋转的概念） （导学案） (1)通过具体实例认识图形的旋转，理解旋转的概念.掌握旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.能在具体的旋转情境中识别旋转中心、旋转方向、旋转角以及对应点. (2)经历从生活实例中抽象出旋转概念的过程，发展抽象概括能力.在探索旋转概念的过程中，进一步发展空间观念和几何直观.类比平移、轴对称的研究方法，体会图形变换研究的一般思路.能运用旋转的概念判断一个图形运动是否为旋转.能在简单图形中找出旋转中心、旋转方向、旋转角和对应点. (3)感受数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣.在观察、操作、归纳的过程中，体验数学探索的乐趣，培养勇于探索的精神. 重点：旋转的概念及旋转的三要素. 难点:对旋转角的理解与准确识别在复杂图形中确定对应点和旋转角. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 展示生活中的旋转现象图片或视频：钟表指针的转动、风扇叶片的旋转、摩天轮的转动、汽车方向盘的转动、开门时门的运动、风车的转动等. 追问1：这些运动现象有什么共同的特征？ 追问2：它们和我们之前学过的平移、轴对称有什么不同？ 复习旧知，铺垫引路 引导学生回顾平移的相关知识. 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移.平移的要素：方向和距离.（二者缺一不可） 平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；对应线段平行（或在同一直线上）且相等；对应角相等. 追问3：我们研究平移时，是按照"定义—要素—性质—作图—应用"的思路来进行的，那么，对于旋转这种新的图形变换，我们可以按照怎样的思路来研究呢？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第92-93页的内容 【学法指导】自研课本P92-93页内容 (一)类比迁移，形成旋转概念 思考：如下图，①钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了多少度? ②风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.③改变航向时，舵柄绕船舵中间的轴转动. 我们可以把上面问题中的指针、叶片、舵柄看作平面图形，这些图形都在平面内围绕着一个点转动.像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度，叫作图形的旋转，点0叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如果图形上的点P经过旋转后变为点P'，那么这两个点叫作这个旋转的对应点.例如，时针在旋转，表盘的中心是旋转中心，旋转角是60°，在3时的时针端点P与在5时的时针端点P’是对应点. 追问1：旋转前后，图形的形状、大小发生变化了吗？ 旋转前后，图形的形状、大小未发生变化.也就是说，旋转前、后的图形全等. 追问2：通过以上思考，类比平移的定义，你能结合刚才观察到的旋转现象，给旋转下一个数学定义吗？ 学生思考、讨论、尝试表述后，教师引导归纳完善： 旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角. 追问3：确定一个旋转变换，需要知道哪些条件？ 引导学生提炼出旋转的三要素： 旋转三要素：① 旋转中心（定点）；② 旋转方向（顺时针或逆时针）；③ 旋转角度. 强调：三要素缺一不可，只有同时确定了旋转中心、旋转方向和旋转角度，才能唯一确定一个旋转变换. 学生活动：类比平移的定义，尝试用自己的语言表述旋转的定义，在教师引导下逐步完善概念.理解并记忆旋转的三要素. （二）深化理解，旋转性质 问题探究：演示动画：三角形ABC绕点O顺时针旋转得到三角形A'B'C'. 讲解：如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点P和P'叫做这个旋转的对应点. 追问1. 旋转中心是什么点？旋转方向是什么？ 追问2. 点A的对应点是哪个点？点B的对应点呢？点C的对应点呢？ 追问3. 连接OA和OA'，∠AOA'是什么角？连接OB和OB'，∠BOB'呢？连接OC和OC'，∠COC'呢？ 追问4. 这三个角的大小有什么关系？为什么？ 引导学生发现并归纳：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.所有旋转角都相等. 强调：旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，不是对应点连线的夹角. 学生活动：观察动画演示，跟随问题串逐步深入思考，理解对应点的概念，发现旋转角的本质特征. 总结：一个图形和其旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角. （三） 概念辨析，深化理解 1.判断下列说法是否正确，并说明理由. ① 旋转中心一定在图形上.（ ） ② 旋转只能按顺时针方向转动.（ ） ③ 旋转不改变图形的形状和大小.（ ） ④ 旋转角就是对应点之间的角.（ ） ⑤ 确定一个旋转变换，只要知道旋转中心和旋转角度就够了.（ ） 组织学生独立思考后小组讨论，再全班交流.教师针对学生的易错点进行重点强调：旋转中心可以在图形上、图形内或图形外，不一定是图形的顶点. 旋转方向有顺时针和逆时针两种，不能忽略.旋转是全等变换，不改变图形的形状和大小，只改变位置.旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，不是对应点连线的夹角.旋转三要素缺一不可：旋转中心、旋转方向、旋转角度. 2.如图 ，将△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A'B'C，若∠BCA'= 100'，能求出∠B'CA 的度数吗？ 解决问题:由旋转的性质可知，∠BCB'=∠ACA'=35°（旋转角相等）. 又因为∠BCB'+∠B'CA+∠ACA'=∠BCA'=100°, 所以∠B'CA =30°. 【自研自探】 自研课本P92-93页内容 典型例题 例1. 钟表的时针匀速旋转一周需要12小时. （1）指出它的旋转中心； （2）经过5小时整，时针旋转了多少度？ （3）从上午8:00到上午10:30，时针旋转了多少度？ 【分析】本题考查旋转的概念在实际生活中的应用.解题的关键是理解旋转中心和旋转角的含义，并结合钟表的特点进行计算.第（1）问：钟表的时针绕着钟表的中心转动，因此旋转中心就是钟表表盘的中心（即时针和分针的交点）.第（2）问：时针旋转一周是360°，需要12小时，因此每小时旋转的角度为360°÷12=30°.经过5小时，时针旋转的角度就是5个30°，即5×30°=150°.第（3）问：从上午8:00到上午10:30，经过的时间是2小时30分钟，即2.5小时.时针每小时旋转30°，因此2.5小时旋转的. 【详解】（1）钟表的时针绕着钟表的中心转动，因此旋转中心就是钟表表盘的中心（即时针和分针的交点）.（2）时针旋转一周是360°，需要12小时，因此每小时旋转的角度为360°÷12=30°.经过5小时，时针旋转的角度就是5个30°，即5×30°=150°. （3）从上午8:00到上午10:30，经过的时间是2小时30分钟，即2.5小时.时针每小时旋转30°，因此时针旋转了75度. 例2．如图．在中，，将绕点C逆时针旋转得到，于点D．求的度数．    【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由旋转的性质，可得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 第二环节 合作探究 1.讨论什么是图形的旋转？图形旋转的三要素是指什么？ 2.讨论图形旋转具有哪些性质？ 拓展提升： 1.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，．    (1)当时，求的长度； (2)当时，求的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由旋转可知，∴为等边三角形， ∴． （2）∵，，， ∴， ∴，即． 课本课堂练习P93-94练习. 1．（2025•吉林）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 【解答】解：360°÷3＝120°， 图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为120°． 故选：B． 2．（2025•天津）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为B′，C′，B′C′的延长线与边BC相交于点D，连接CC′．若AC＝4，CD＝3，则线段CC′的长为（　　） A． B． C．4 D． 【解答】解：连接AD，交CC'于点O， 由旋转得：AC＝AC＝4，∠AC'B'＝∠ACB＝90°， ∴∠AC'D＝90°． 在Rt△AC'D和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AC'D（HL）， ∴C'D＝CD＝3， ∴AD垂直平分CC'， ∴CC'＝2OC，AD⊥CC'． ∵∠ACB＝90°，AC＝4，CD＝3， ∴． ∵， ∴OC， ∴． 故选：D． 3．（2026年广东省）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的周长为． 知识技能：旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.旋转的三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度，三者缺一不可.对应点：旋转前的点和旋转后的点互为对应点.旋转角：对应点与旋转中心所连线段的夹角.所有旋转角都相等.旋转的本质：旋转是全等变换，不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置. 思想方法：类比思想：类比平移的研究方法（定义—要素—性质—作图—应用）来研究旋转，体现了数学学习的一般方法和图形变换研究的统一范式.抽象概括：从生活中的旋转现象抽象出数学中的旋转概念，经历了"具体—抽象—具体"的认知过程，培养抽象思维能力. 转化思想：将生活中的实际问题转化为数学问题来解决，体现了数学建模的思想.数形结合：通过图形直观理解旋转的概念，将数与形结合起来分析问题，发展几何直观. 易错提醒：旋转中心的位置：旋转中心不一定在图形上，它可以在图形的内部、外部或边上，不要误以为旋转中心一定是图形的某个顶点或中心点.旋转方向的判断：旋转方向有顺时针和逆时针两种，不能忽略旋转方向，判断方向时要注意观察图形转动的方向，与钟表指针转动方向相同的是顺时针，相反的是逆时针.旋转角的识别：旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，不是对应点连线的夹角，也不是图形中任意两个点的夹角.找旋转角时要牢记"一找中心，二找对应点，三连线，四看夹角".对应点的确定：在复杂图形中找对应点时，要仔细观察图形的位置变化，按照旋转方向和角度来确定，避免对应关系找错，可以通过字母顺序或图形特征来辅助判断. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $