第27章 反比例函数k的几何意义 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学讲义以“反比例函数|k|的几何意义”为核心，通过分类表格系统梳理知识体系，将“单系数k”（含一点一垂直、一点两垂直等图形）和“双曲线”（同号/异号k值曲线与平行线组合）的结论与对应图形直观呈现，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“问题情境-模型构建-综合应用”的练习设计，如题型一通过平行四边形顶点在双曲线上求面积，培养几何直观；题型二由三角形面积反推k值，发展推理能力。每个题型配备例题与梯度练习，基础学生可掌握基本方法，优秀学生能挑战综合问题，为教师实施精准分层教学提供支持，助力学生用数学思维解决实际问题。

目录 第9讲：反比例函数|k|的几何意义 1 【知识梳理】 1 【题型演练】 2 【题型一：求图形面积】 2 【题型二：由图形面积求k】 5 【题型三：反比例函数中的面积和差问题】 8 【题型四：一次函数与反比例函数综合】 10 【巩固练习】 14 1 学科网（北京）股份有限公司 第9讲：反比例函数|k|的几何意义 【知识梳理】 类型一 单系数k 一点 一垂直 结论 一点 两垂直 结论 两点一垂直 两点两垂直 类型二 双曲线 k符号相同（两条同号k值曲线+平行线） k符号不同（异号k值曲线+平行线） 【题型演练】 【题型一：求图形面积】 【例题1】已知反比例函数：和：在第一象限的图象如图所示，平行四边形的顶点，分别在和上，点在轴上，则的面积为_____． 【练习1-1】如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，，轴，双曲线的图象经过两点，若的面积等于，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【练习1-2】如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【练习1-3】如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，若点，，，则________． 【例题2】如图，已知点是函数图象上一点，连接延长至点，使，过点作轴交函数图象于点，连接，点的横坐标为4．    (1)请写出：点坐标为______，点坐标为______，点的坐标为______； (2)观察函数图象，请直接写出当时，的取值范围； (3)连接，求面积． 【练习2-1】如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，反比例函数的图象经过点A和点B，且点B为的中点．则的面积为（     ） A．l B．2 C．3 D．4 【练习2-2】已知直线与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数交于第一象限内的，两点． (1)求反比例函数和直线的函数表达式； (2)求的面积． (3)在第一象限内，当时，直接写出的取值范围． 【例题3】如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【练习3-1】如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（   ） A． B．2 C． D． 【练习3-2】如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于第一象限的点，且经过小正方形的顶点B，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【题型二：由图形面积求k】 【例题4-1】如图，点A，B分别在和的图象上，且轴，点在轴上，若的面积为7，则_____． 【例题4-2】如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（k为常数，且，）的图象上，轴于点B，点C在x轴负半轴上，且，连接、，若的面积为3，则k的值为______． 【练习4-1】如图，菱形的顶点O是坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上．若菱形的面积是8，则k的值为_______． 【练习4-2】如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若，则_____． 【练习4-3】如图，已知点A是反比例函数的图象上一点，轴交另一个反比例函数的图象于点B，C为x轴上一点，若，则k的值为________．    【练习4-4】如图，点A，D在反比例函数的图象上，垂直y轴，垂足为C，，垂足为B．若四边形的面积为8，，则k的值为______． 【练习4-5】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，．若点E为的中点，的面积为2，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【练习4-6】如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【题型三：反比例函数中的面积和差问题】 【例题5-1】如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（    ） A． B． C．8 D．4 【例题5-2】如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．15 B．12 C．10 D．18 【练习5-1】如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【练习5-2】如图，在反比例函数的图象（x＞0）上，有点P1，P2，P3，P4，…，点P1横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1，P2，P3，P4，…分别作x轴，y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…则S1+S2+S3+…+Sn＝_____． 【练习5-3】如图，反比例函数的图象经过点，，．过点作轴于点，连结，并延长交于点．若是的中点，则的值为______（结果用含的代数式表示）． 【变式拓展1】如图所示，在直角平面坐标系中，点为反比例函数上不同的三点，连接，过点作轴于点，过点分别作垂直轴于点，与相交于点，记、、四边形的面积分别为、、，则（　　） A． B． C． D． 【变式拓展2】如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型四：一次函数与反比例函数综合】 【例题6-1】如图，一次函数的图象与反比例函的图象分别交于第二、四象限内的点，，过点A作轴，垂足为点C，的面积为3． (1)求a，b的值； (2)结合图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)在y轴上取一点P，使的值最大，求出点P的坐标． 【例题6-2】如图，已知点P是反比例函数（）图象上一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线交反比例函数（）图象上点A、点B，连接，． (1)若点P的横坐标为1，则的面积为 ，的面积为 ； (2)随着点P在反比例函数（）图象上运动时，的面积是否会发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，请计算出的面积． 【练习6-1】如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，点A在第一象限，点B在x轴上，C为斜边上一点且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)求k的值； (3)取的中点E，证明：直线与反比例函数的图象仅有一个交点A． 【练习6-2】如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标． 【巩固练习】 1．如图，一块含的直角三角板放在平面直角坐标系中，直角边与x轴重合，点A在双曲线上，若点C的坐标为，，则的面积为 （    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于、两点，，的面积为9，则等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交点、两点，连结、，若的面积为，则的值为（  ）． A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为轴负半轴上一点，以为边作面积为的，若反比例函数的图象恰好经过的中点，则反比例函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 5．若直线与双曲线的交点为，，则的值为__________． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在函数的图象上，点是矩形内的一点，连接，则图中阴影部分的面积是_______．    7．如图，矩形、矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，M为的中点，反比例函数（，k为常数，）的图像恰好经过点M、P，若阴影部分面积为8，则k的值为________． 8．如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则______． 9．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） $ 目录 第9讲：反比例函数|k|的几何意义 1 【知识梳理】 1 【题型演练】 2 【题型一：求图形面积】 2 【题型二：由图形面积求k】 14 【题型三：反比例函数中的面积和差问题】 23 【题型四：一次函数与反比例函数综合】 31 【巩固练习】 40 1 学科网（北京）股份有限公司 第9讲：反比例函数|k|的几何意义 【知识梳理】 类型一 单系数k 一点 一垂直 结论 一点 两垂直 结论 两点一垂直 两点两垂直 类型二 双曲线 k符号相同（两条同号k值曲线+平行线） k符号不同（异号k值曲线+平行线） 【题型演练】 【题型一：求图形面积】 【例题1】已知反比例函数：和：在第一象限的图象如图所示，平行四边形的顶点，分别在和上，点在轴上，则的面积为_____． 【答案】3 【知识点】利用平行四边形的性质求解、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】通过作辅助线，利用反比例函数中的几何意义，结合平行四边形的性质，求出平行四边形的面积．本题主要考查反比例函数的几何意义和平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键． 【详解】解：延长交轴于点，则轴于，连接． 点在上， ； 点在上， ； 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 【练习1-1】如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，，轴，双曲线的图象经过两点，若的面积等于，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】先过点作交于点，根据，推出，结合题意设，结合轴求出的坐标，求出的值，再根据即可求解． 【详解】如图，过点作交于点， ∵，， ∴， ∵双曲线的图象经过，设， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， ∵双曲线的图象经过， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 【练习1-2】如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【答案】4 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到即可求出答案． 【详解】解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形的面积为． 【练习1-3】如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，若点，，，则________． 【答案】9 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数图像的性质；熟练运用反比例函数性质是解题的关键． 先求长度，再求点坐标，进而得出函数解析式，可求得面积； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， ∴该反比例函数的表达式为：， ∴． 故答案：9． 【例题2】如图，已知点是函数图象上一点，连接延长至点，使，过点作轴交函数图象于点，连接，点的横坐标为4．    (1)请写出：点坐标为______，点坐标为______，点的坐标为______； (2)观察函数图象，请直接写出当时，的取值范围； (3)连接，求面积． 【答案】(1)；； (2) (3)面积为3 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积、中点坐标 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，关键是利用函数解析式求点的坐标，结合坐标特征分析图形面积． （1）先代入点的横坐标求出其纵坐标；再由，用中点坐标公式求点的坐标；最后根据轴，结合反比例函数解析式求点的坐标； （2）根据反比例函数的单调性，当时，函数值随增大而减小，结合时的函数值，确定的取值范围； （3）取的中点，确定是的中位线，从而得到轴；将拆分为与，分别计算两个三角形的面积后求和． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上，且横坐标为，代入得， ∴点的坐标为． ∵， ∴点是线段的中点， 设点的坐标为，由中点坐标公式得，， 解得，， ∴点的坐标为． ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，为，代入得，解得， ∴点的坐标为； 故答案为：；；． （2）解：对于函数，当时，随的增大而减小，且时，且， ∴； （3）解：如图，取中点，连接D．    ∴是的中位线， ∴．， ∵轴， ∴轴. 对于，到的垂直距离为，对于，到的垂直距离为， ∴，， ∴． 【练习2-1】如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，反比例函数的图象经过点A和点B，且点B为的中点．则的面积为（     ） A．l B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、相似三角形的判定与性质综合、反比例函数与几何综合 【分析】过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，得到，推出，根据，得到，据此计算即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， ， ， ， ， 的边在y轴上，点B为的中点， ， ， ∵反比例函数的图象经过点A和点B， ， ， ， ， ． 【练习2-2】已知直线与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数交于第一象限内的，两点． (1)求反比例函数和直线的函数表达式； (2)求的面积． (3)在第一象限内，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为 (2) (3)或 【知识点】求直线围成的图形面积、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，一次函数与不等式，掌握好一次函数与反比例函数的性质并运用数形结合思想是解题关键． （1）利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）分别过点P和点Q作y轴的垂线，垂足为C、D，先算出 A、B、C、D的坐标，利用的面积减去的面积可求出结果； （3）结合函数的图象可以得到结果． 【详解】（1）解：将代入反比例函数得， ，即， ∴反比例函数表达式为， 将，，代入反比例函数得，， ∴点Q坐标为， 将，代入一次函数得， ， 解得，， ∴一次函数表达式为； （2）解：如图，分别过点P和点Q作y轴的垂线，垂足为C、D， 将代入一次函数得，， ∴点B坐标为， 同理，点A坐标为， ∵轴于点C， ∴， 同理，， ； （3）由函数与不等式的关系可知，当一次函数的值小于反比例函数的值时，成立， 由图象可知，此时或，即或． 【例题3】如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比函数比例系数的几何意义，根据反比函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点， ，， 四边形的面积， 故选：D． 【练习3-1】如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题结合矩形的性质考查反比例函数的系数的意义，关键是利用相似三角形的判定与性质，结合反比例函数的坐标特征求解阴影面积． 【详解】解：四边形是矩形，设， ∴，点纵坐标与点相同，为． 又∵在上， ∴点横坐标为，即， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，. ∴阴影总面积为． 故选：D． 【练习3-2】如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于第一象限的点，且经过小正方形的顶点B，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积、根据正方形的性质求面积、求反比例函数解析式 【分析】根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的解析式，根据反比例函数系数k的几何意义求出小正方形的面积为4m2＝4n，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积为4n2，根据图中阴影部分的面积＝大正方形的面积−小正方形的面积即可求出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点A（1，n）， ∴k＝1×n＝n， ∴反比例函数的解析式为， ∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行， ∴设B点的坐标为（m，m）， ∵反比例函数的图象经过B点， ∴m2＝n， ∴小正方形的面积为4m2＝4n， ∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且A（1，n）， ∴大正方形在第一象限的顶点坐标为（n，n）， ∴大正方形的面积为4n2， ∴图中阴影部分的面积为：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义，是解决问题的关键． 【题型二：由图形面积求k】 【例题4-1】如图，点A，B分别在和的图象上，且轴，点在轴上，若的面积为7，则_____． 【答案】 6 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】连接、，根据，以及反比例函数的性质解题即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵轴， ∴，， ∴， ∵ ， ∵点A，B分别在和的图象上， ∴，， ∴， 解得． 【例题4-2】如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（k为常数，且，）的图象上，轴于点B，点C在x轴负半轴上，且，连接、，若的面积为3，则k的值为______． 【答案】4 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】考查了反比例函数与几何图形的关系，解题的关键是利用线段的长度表示出关键点的坐标． 设点P的坐标并表示相关线段长度，根据三角形面积公式求出的值，根据反比例函数性质求出k的值即可； 【详解】设， ∵轴于点， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵的面积为， ∴． 即， 化简得， ． ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ∴． 故答案为：4． 【练习4-1】如图，菱形的顶点O是坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上．若菱形的面积是8，则k的值为_______． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质证明、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据反比例函数值几何意义解答结构。 【详解】解：如图，连接交于点， 菱形， ， ， 菱形的面积是， ， 点A在反比例函数的图象上 ， 点在第二象限， ， 故答案为： ． 【练习4-2】如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若，则_____． 【答案】 【知识点】三线合一、一次函数与反比例函数的交点问题、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】根据函数与反比例函数交于两点，得出、两点关于原点对称，推出，过点作轴于点，由三线合一可得，从而得到，进而可求出的值． 【详解】解：过点作轴于点， 函数与反比例函数交于两点， 、两点关于原点对称， 即， ， ，轴 ， ， 即， ． 【练习4-3】如图，已知点A是反比例函数的图象上一点，轴交另一个反比例函数的图象于点B，C为x轴上一点，若，则k的值为________．    【答案】6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】由点是反比例函数的图象上，可得，根据等底同高的三角形面积相等可得，进而求出，再根据点在反比例函数的图象上，求出，进而求出的值． 【详解】解：延长交轴于点，连接、， 点是反比例函数的图象上，轴， ，， ， 又点在反比例函数的图象上， ， ，（舍去）， 故答案为：6．    【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解决问题的关键． 【练习4-4】如图，点A，D在反比例函数的图象上，垂直y轴，垂足为C，，垂足为B．若四边形的面积为8，，则k的值为______． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 设点，可得，，从而得到，再得出轴， 可得点，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：设点， 轴， ，， ， ， ， ，轴， 轴， 点， ， ，四边形的面积为8， ， 解得：． 故答案为：． 【练习4-5】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，．若点E为的中点，的面积为2，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为2，得的面积为4，所以，即可求出的值． 【详解】解：设， 是矩形，且点为的中点， 点纵坐标为， 代入反比例函数解析式得， ， 点横坐标为， 点横坐标为，代入反比例函数解析式， 得， ， ， 的面积为2， 的面积为4， ， ， 解得． 【练习4-6】如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三线合一、成中心对称、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，然后过点A作于E，求出，点D的横坐标为，再根据列式求出，进而可得点D的纵坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解：由题意，设， ∵过原点， ∴， 过点A作于E， ∵是等腰三角形， ∴， ∴，点D的横坐标为， ∵底边轴，轴， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∴， 解得：， 故选：C．    【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性质等知识，设出点B坐标，正确表示出点D的坐标是解题的关键． 【题型三：反比例函数中的面积和差问题】 【例题5-1】如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（    ） A． B． C．8 D．4 【答案】D 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查反比例函数与图形面积的计算，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，设出两个等腰直角三角形的边长，表示出点的坐标，代入反比例函数的关系式，得到两个边长之间的关系，表示两个等腰直角三角形的面积，利用整体代入即可求出面积差． 【详解】解：设，，则，， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴，即， ∴． 故选：D． 【例题5-2】如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．15 B．12 C．10 D．18 【答案】A 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】此题考查了反比例函数的几何意义，设反比例函数为，设，得到，，，求出，得到，求出，得到，，列得，得到，进而求出，即可得到． 【详解】解：设反比例函数为, ∴， ∵，， ∴设， ∴， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴，， ∴， 得 ∴ ∵ ∴． 故选A． 【练习5-1】如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义；点A、B分别在反比例函数和图象上，利用反比例函数比例系数的几何意义，表示出，，由阴影部分的面积，由此解出k即可． 【详解】解：如图所示： 点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴， 四边形和为矩形， 根据反比例函数比例系数的几何意义，得： ，， 则阴影部分的面积为， 故选：B． 【练习5-2】如图，在反比例函数的图象（x＞0）上，有点P1，P2，P3，P4，…，点P1横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1，P2，P3，P4，…分别作x轴，y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…则S1+S2+S3+…+Sn＝_____． 【答案】4﹣ 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】易求得P1的坐标得到矩形P1EOB的面积；而把所有的阴影部分平移到左边，阴影部分的面积之和就等于矩形P1ACB的面积，即可得到答案． 【详解】详解片段 解：如图，过点P1、点Pn作y轴的垂线段，垂足分别是点B、点C，过点P1作x轴的垂线段，垂足是点E，P1E交CPn于点A， 则点A的纵坐标等于点Pn的纵坐标等于，AC＝2，AE＝， 故S1+S2+S3+…+Sn＝S矩形P1EOB﹣S矩形AEOC＝2×﹣2×＝4﹣． 故答案为4﹣． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上任何一点到坐标轴的垂线段及坐标轴所组成的矩形面积相等的知识；通过分析图像得出：把所有的阴影部分平移到左边，阴影部分的面积之和就等于矩形P1ACB的面积，是解题的关键所在． 【练习5-3】如图，反比例函数的图象经过点，，．过点作轴于点，连结，并延长交于点．若是的中点，则的值为______（结果用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数的性质，比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，过点作轴于，于，由反比例函数的性质得，，，再证明得，，进而得，，再根据即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于，于，则，，， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式拓展1】如图所示，在直角平面坐标系中，点为反比例函数上不同的三点，连接，过点作轴于点，过点分别作垂直轴于点，与相交于点，记、、四边形的面积分别为、、，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】根据反比例函数系数的几何意义得到，即可得到结论． 【详解】解：∵点为反比例函数上不同的三点， 轴， 垂直轴于点， ∴， ∵， ∴，（故B正确、故A.C错误） ∵ ∴，即D错误. 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的性质，正确的识别图形是解题的关键． 【变式拓展2】如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】连接，根据反比例函数的几何性质，可得，又，可得到，，，按此规律，可得． 【详解】解：连接，如图所示， ，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于x轴， ，根据反比例函数的几何性质可得， ， ， ，，，依此规律，可得． 【题型四：一次函数与反比例函数综合】 【例题6-1】如图，一次函数的图象与反比例函的图象分别交于第二、四象限内的点，，过点A作轴，垂足为点C，的面积为3． (1)求a，b的值； (2)结合图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)在y轴上取一点P，使的值最大，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、根据图形面积求比例系数（解析式）、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据的面积为3，求出反比例函数的关系式为，把点，代入反比例函数解析式求出结果即可； （2）根据函数图象，求出不等式的解集即可； （3）取点A关于y轴的对称点，连接，并延长，交y轴于点P，连接，根据轴对称，三角形三边关系和轴对称的性质得出此时的值最大，求出直线的关系式为，再求出结果即可． 【详解】（1）解：∵的面积为3， ∴， 解得：或（舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点，代入， 解得：，； （2）解：根据图象，可知不等式的解集为：或； （3）解：取点A关于y轴的对称点，连接，并延长，交y轴于点P，连接，如图所示： ∵点， ∴点， 根据轴对称可知：， ∴， ∵， ∴， 设直线的关系式为， 则， 解得， ∴直线的关系式为， ∴直线与y轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，求出反比例函数解析式． 【例题6-2】如图，已知点P是反比例函数（）图象上一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线交反比例函数（）图象上点A、点B，连接，． (1)若点P的横坐标为1，则的面积为 ，的面积为 ； (2)随着点P在反比例函数（）图象上运动时，的面积是否会发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，请计算出的面积． 【答案】(1)4，8 (2)不变，8 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、反比例函数与几何综合 【分析】（1）延长交x轴于点C，过点B作轴于点D，依题意得点，四边形是矩形，四边形是梯形，点，点，则，，，，，，由此可得的面积，根据反比例函数比例系数k的几何意义得，，由此得； （2）设点P的坐标为，则点点，点，同理可证明四边形是矩形，四边形是梯形，则，，，，，，由（1）可知． 此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：延长交x轴于点C，过点B作轴于点D，如图所示： ∵点P的横坐标为1，且点P在反比例函数的图象上， ∴点， ∵平行y轴，平行y轴， ∴，轴，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为2， ∴四边形是矩形，四边形是梯形， 又∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点，点， ∴，，，， ∴，， ∴， 根据反比例函数比例系数k的几何意义得：， ， ∴， 故答案为：4；8； （2）解：的面积不发生变化，始终等于8，理由如下： 设点P的坐标为， 则点A的横坐标为a，点B的纵坐标为， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点，点， 同理可证明：四边形是矩形，四边形是梯形， 则，，，， ∴， ∴， 由（1）可知：． 【练习6-1】如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，点A在第一象限，点B在x轴上，C为斜边上一点且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)求k的值； (3)取的中点E，证明：直线与反比例函数的图象仅有一个交点A． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2) (3) 解：依题意，反比例函数的图象过点A．设， ∴， ∵四边形是平行四边形； ∴， ∴点D的纵坐标为， ∵点D在反比例函数的图象上， 把代入，得， 解得， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 得 解得， ∴直线解析式为， 依题意，得， ∴， 整理得 ∴， ∴直线与反比例函数的图象仅有一个交点 ∵反比例函数的图象过点A． ∴直线与反比例函数的图象仅有一个交点A． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、利用平行四边形的判定与性质求解、根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】（1）运用 证明，得出，再结合等边对等角 ，则，故四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是矩形，因为点D在反比例函数的图象上，所以矩形的面积是2，故矩形的面积是1，因为反比例函数的图象过点A．则； （3）先设，再分别表示，，，再运用待定系数法求出直线解析式为，依题意，得，整理得，得，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形； ∴， 延长交轴于一点，过点作轴，如图所示： ∵， ∴， ∵轴，，， ∴四边形是矩形， 同理，得证四边形是矩形， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积是2， ∴， ∵， ∴， 即， ∴矩形的面积是1； ∵反比例函数的图象过点A． ∴； （3）略 【点睛】本题考查了反比例函数的几何综合，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，反比例函数的值与面积关系，一元二次方程的判别式的应用，求一次函数的解析式 ，难度较大，综合性强 ，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【练习6-2】如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为： (2)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）运用待定系数法，将分别代入反比例函数解析式以及一次函数解析式中，即可求出它们的函数解析式； （2）设点P的纵坐标为m，由点P为线段上的一点，则有，由已知可得，，根据点C为中点，可得，最后由点C在反比例函数图象上，将点C坐标代入反比例函数解析式中，求出m的值，即可求得点C的坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，B点坐标为， ∴将代入反比例函数中， 得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：； 同理，将代入一次函数中， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：设点P的纵坐标为m， ∵点P为线段上的一点，一次函数的解析式为：， ∴， ∵过P作y轴的垂线，垂足为H， ∴， ∵点C为中点， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴或． 【巩固练习】 1．如图，一块含的直角三角板放在平面直角坐标系中，直角边与x轴重合，点A在双曲线上，若点C的坐标为，，则的面积为 （    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、二次根式的乘法、已知比例系数求特殊图形的面积、用勾股定理解三角形 【分析】连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由图象可知：轴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于、两点，，的面积为9，则等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】连接，根据等底同高三角形面积相等得出，从而求出，设点坐标，利用中点性质及反比例函数性质表示出和的面积，建立方程求解. 【详解】解：连接， ， ， ， 设点坐标为，则， 为中点， 点坐标为， 轴， 点坐标为，点横坐标为， 在双曲线上， 点纵坐标为， ， ， ， ， ， . 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交点、两点，连结、，若的面积为，则的值为（  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】由两条直线的解析式，得到两直线平行，根据同底等高的三角形面积相等，得，根据，，得的横坐标，代入求得纵坐标，把的坐标代入，即可求得的值． 【详解】设直线交轴于点，连接， ∴点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴点的坐标为：， ∴把点代入， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数和几何的综合，解题的关键是掌握平行线的性质，等面积法，一次函数的图象和性质． 4．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为轴负半轴上一点，以为边作面积为的，若反比例函数的图象恰好经过的中点，则反比例函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了求反比例函数的几何意义，三角形中线的性质，连接，根据题意易求的面积为，进而得到，再结合图形可得，即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵面积为，点为的中点， ∴的面积为， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 故选：D． 5．若直线与双曲线的交点为，，则的值为__________． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据正比例函数与反比例函数的图象中心对称性，可得两交点关于原点对称，得到两交点坐标的关系，再利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ 直线过原点，且正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴ 两交点，关于原点对称， ∴， ∵ 点在双曲线上， ∴， 将代入得： ． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在函数的图象上，点是矩形内的一点，连接，则图中阴影部分的面积是_______．    【答案】4 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积、矩形性质理解 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键． 如图所示，过点作于点，作于点，有矩形的性质得到，，根据题意可得，，则有，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∵顶点在函数的图象上， ∴， ∵点是矩形内的一点， ∴， ∴， 故答案为：4 ． 7．如图，矩形、矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，M为的中点，反比例函数（，k为常数，）的图像恰好经过点M、P，若阴影部分面积为8，则k的值为________． 【答案】8 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、根据图形面积求比例系数（解析式）、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，中点坐标，矩形的性质，求出矩形的面积是解题的关键； 根据题意，可设出点P、M的坐标，然后利用反比例函数的性质和矩形的性质即可求得k的值． 【详解】解：反比例函数的图象恰好经过点M、P， 设点P的横坐标为a，则纵坐标为，点M的横坐标为b，则纵坐标为， 在矩形和矩形中，轴，轴， M为的中点， 点C的横坐标为b，则纵坐标为， A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，阴影部分面积为8， ，，，， 阴影面积， 解得：， 故答案为：8. 8．如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则______． 【答案】12 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，设反比例函数解析式为，由，则有，，，通过反比例函数系数的几何意义可得，，，则有，，求得，，然后代入即可求解，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设反比例函数解析式为， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积、根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由，可得，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设，可得的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，，四边形是矩形； ∴， ∴，故①符合题意； 如图，连接，，，与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意； 如图，连接， ∵轴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小，则最小， 设， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③不符合题意； 如图，设平移距离为， ∴， ∵反比例函数为，四边形为矩形， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． $