第28章 旋转（大单元教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“旋转”核心知识，涵盖旋转定义、性质、中心对称及坐标规律，从生活旋转现象导入，对比平移与轴对称，衔接图形变换、全等三角形及坐标系知识，构建完整几何变换体系。 通过动手旋转探究性质培养几何直观，对比辨析易混概念提升逻辑推理，设计图案与模型应用发展模型观念，多元评价关注过程，助力学生动态思维形成与教师分层教学实施，夯实几何基础。

第二十八章旋转 （大单元教学设计） 大单元主题背景分析（教材分析） 教材地位与作用 本章是人教版2024版九年级上册“图形与几何”核心大单元，是初中三大全等几何变换（平移、轴对称、旋转）的收官章节.在学生已经掌握平移、轴对称两种图形变换、全等三角形、平面直角坐标系的基础上，系统学习旋转变换、中心对称、中心对称图形、原点对称坐标规律，最终完成初中平面图形变换完整知识体系的构建. 1. 纵向衔接.前承七、八年级图形变换、全等三角形、坐标系知识，是对图形运动思想的深化拓展；后接平行四边形、特殊四边形、圆的对称性及高中图形变换内容.旋转构造全等是初中几何最重要的辅助线模型之一，是几何综合题、动态几何、压轴题的核心考点，具备承上启下的关键作用. 2. 编排逻辑.本章遵循”一般到特殊、几何到代数、理论到应用”的编排逻辑：28.1 图形的旋转：研究任意角度旋转的定义、三要素、旋转性质、旋转作图（一般旋转变换）；28.2.1 中心对称：研究180°特殊旋转，两个图形的中心对称位置关系与性质；28.2.2 中心对称图形：研究单个图形自身的中心对称特征，辨析易混概念；28.2.3 关于原点对称的点的坐标：将几何中心对称转化为坐标系代数规律，实现数形结合； 章末数学活动：整合三大变换，实现图案设计、旋转几何探究的综合实践应用. 本章从图形运动直观上升到性质推理、坐标量化、综合探究、实践创新，是培养学生几何直观、动态思维、模型思想的核心单元. 新课标衔接与核心素养 依据《义务教育数学课程标准（2022版）》要求，结合2024版新教材改编导向，本章隶属于新课标“图形与几何—图形的变化”主题，紧扣2022版新课标要求： 1. 认识图形的旋转变换，探索旋转的基本性质；2. 理解中心对称的意义与性质，识别中心对称图形； 3. 探索平面直角坐标系中关于原点对称点的坐标规律；4. 能利用图形变换进行图案设计与几何推理应用。 本章重点落实四大核心素养： 几何直观：通过图形旋转、作图、对称辨析，建立图形动态变化的空间观念； 逻辑推理：通过旋转性质推导、几何证明、角度线段推理，发展演绎推理能力； 数形结合：实现几何中心对称与坐标代数运算互通，以形助数、以数释形； 模型观念：建立旋转全等模型、中心对称模型，学会用变换思想解决几何问题. 学情分析 （一）已有知识基础 九年级学生已熟练掌握平移、轴对称的变换特征与作图方法，掌握全等三角形判定与性质、平面直角坐标系基础，具备图形观察、动手作图、简单几何推理的能力，生活中对旋转现象有丰富直观感知，具备学习本章的前置基础. （二）认知特点 学生习惯于静态几何思维，对图形动态旋转、位置变化、不变量感知较弱；擅长单一知识点学习，对“一般旋转与特殊中心对称”“两图对称与一图对称”的辨析能力不足. （三）核心学习短板与思维障碍 （1）易混淆三组核心概念：旋转与中心对称、中心对称与中心对称图形、坐标三种对称规律； （2）动态思维薄弱，无法精准捕捉旋转过程中不变的边长、角度、全等关系； （3）几何应用僵化，不会主动利用旋转构造全等解决线段、角度综合题； （4）作图不规范、变换参数（中心、角度）判断易错，数形转化不灵活. 单元教学目标 知识与技能 1. 理解旋转的定义、旋转三要素，掌握图形旋转的基本性质，能准确识别旋转中心、旋转角、对应点. 2. 掌握180°特殊旋转——中心对称的定义与性质，能准确区分中心对称（两图形位置关系）与中心对称图形（单图形特征）. 3. 熟记常见中心对称图形，能快速判定一个图形是否为中心对称图形，区分轴对称与中心对称图形. 4. 掌握平面直角坐标系内关于原点对称点的坐标变化规律，能熟练求对称点坐标、作原点对称图形、求解含参数坐标问题. 5. 熟练掌握旋转作图、中心对称作图的规范步骤，保留作图痕迹，作图准确规范. 6. 整合平移、轴对称、旋转三大变换，能分析生活图案的变换方式，能利用图形变换设计简单对称图案. 数学思考 1. 经历“观察旋转现象—猜想性质—操作验证—归纳总结”的探究过程，建立图形运动变化的几何思维，理解动态几何中“位置变、形状大小不变”的核心本质. 2. 通过“一般旋转→特殊180°中心对称”的学习过程，体会由一般到特殊的数学思想，掌握类比迁移的学习方法. 3. 通过几何图形变换与坐标运算的相互转化，建立数形结合的核心思维，打通几何与代数的知识壁垒. 4. 通过概念对比辨析、性质归纳、模型总结，培养归纳概括、对比分析、严谨推理的数学思维. 5. 在图案分析与几何探究中，体会变换思想、模型思想，学会用运动的观点看待静态几何图形. 问题解决 1. 能利用旋转性质解决线段相等、角度计算、图形全等判定等基础几何问题. 2. 能准确辨析易混对称概念，解决中心对称图形判定、对称类型辨析题型. 3. 能运用原点对称坐标规律，解决坐标求解、图形作图、参数计算等数形结合问题. 4. 能运用旋转变换思想构造全等三角形，解决线段最值、角度定值、几何综合探究问题，掌握旋转几何模型的解题方法. 5. 能分析复杂图案的变换构成，独立完成几何图案设计，运用图形变换知识解决简单实际应用问题. 情感态度 1. 在图形旋转、对称变化的探究中，感受几何图形的对称美、运动美、规律美，提升数学审美能力. 2. 在动手操作、合作探究、推理验证的过程中，培养主动探究、合作交流、严谨求实的学习品质. 3. 在解决几何综合问题的过程中，克服动态几何学习难点，增强攻克难题的自信心与成就感. 4. 体会图形变换在生活、艺术、设计中的广泛应用，感受数学的实用性、规律性与创造性，激发几何学习兴趣. 5. 构建完整的初中图形变换知识体系，体会数学知识的系统性、逻辑性与统一性，养成结构化学习的良好习惯. 通过旋转变换动手构造全等三角形，探究线段、角度数量关系，掌握“旋转集中条件”的几何解题模型；整体梳理单元知识体系，辨析全章易错点，完成单元知识整合与综合应用提升. 学习活动设计 生活旋转感知与旋转性质活动一 特殊旋转探究与概念辨析活动二 坐标变换数形结合活动三 图形变换创意实践活动四 旋转模型几何探究与单元整合活动五 学习评价设计 过程性评价 过程性评价聚焦学生课堂探究、实操作图、合作交流、作业订正、单元活动表现，关注学习过程、思维方法、实操能力、学习习惯，摒弃唯分数评价，实现动态、多元、常态化评价. （一）课堂即时评价 评价内容: 1. 概念理解：能否准确说出旋转三要素、旋转性质，区分一般旋转与180°中心对称. 2. 概念辨析：能准确区分中心对称（两图形位置关系）与中心对称图形（单个图形特征）. 3. 坐标应用：熟练区分x轴、y轴、原点三种对称坐标变化规律，准确计算对称点坐标. 4. 课堂思维：能通过观察、猜想、验证归纳图形变换规律，准确表达几何推理思路. 5. 课堂规范：作图痕迹完整、步骤清晰、课堂参与积极、小组合作有序. 评价方式:教师随堂观察、随机提问、学生板演、小组互评；采用A优秀、B良好、C合格、D待提升等级记录，当堂反馈、当场纠错. 素养指向:几何直观、逻辑推理、数学表达、归纳概括. （2） 课时作业评价 评价内容: 1. 基础作业：旋转性质填空、对称图形判定、坐标对称计算、基础作图题正确率. 2. 提升作业：旋转几何推理计算、对称概念辨析、原点对称图形作图、参数求解问题. 3. 习惯评价：书写规范、作图痕迹完整、错题订正到位、错因分析清晰. 评价标准: A：全对、作图规范、推理严谨、订正完整、能自主总结易错点； B：少量细节失误，思路正确，作图基本规范； C：概念模糊、作图疏漏、推理步骤缺失、订正不完整； D：知识性错误较多，作图混乱，无订正反思. （三）单元探究性表现性评价 依托课本探究活动、数学活动一图案设计开展表现性评价，为本单元特色评价项目. 评价任务:1. 动手探究：自主旋转图形，归纳旋转性质、中心对称性质； 2. 辨析探究：表格梳理三类对称变换区别，构建变换知识体系； 3. 实践创作：利用旋转、轴对称、平移组合变换设计对称图案； 4. 几何探究：利用旋转性质解决线段、角度几何探究问题. 评价维度:动手操作规范性、规律归纳准确性、概念辨析清晰度、图案设计合理性、几何推理严谨性、创新应用意识. 评价形式:学生自评→小组互评→教师综合定级，留存作图作品、探究笔记、设计图案作为单元学习档案. （四）阶段性小节过关评价 依据课本课时设置三次小节过关检测： 1. 图形的旋转性质与作图专项检测； 2. 中心对称与中心对称图形概念辨析专项检测； 3. 原点对称坐标规律与数形结合应用专项检测; 重点排查学生概念混淆、作图不规范、坐标符号出错、推理跳步等常态化易错点. 终结性评价 以整章课本知识体系为蓝本，立足教材例题、习题、数学活动进行分层命题，全面检测学生知识技能、数学思考、问题解决与核心素养达成水平. （一）评价目标 1. 全面掌握旋转定义、三要素、旋转全等性质，熟练完成旋转、中心对称规范作图. 2. 精准区分中心对称与中心对称图形、三类坐标对称变换，杜绝概念混淆. 3. 熟练掌握原点对称坐标规律，能解决坐标计算、图形作图、含参数综合问题. 4. 能利用旋转变换思想解决几何线段、角度计算与简单综合探究问题. 5. 能辨析图案变换方式，利用图形变换完成图案设计，具备数学应用与创新能力. （二）题型结构 1. 基础层60%：概念辨析、旋转要素识别、对称图形判断、坐标对称计算、基础作图（课本课后习题原题改编）. 2. 提升层30%：旋转性质几何计算、中心对称综合辨析、坐标系对称图形作图与面积计算. 3. 拓展层10%：旋转构造全等简单探究、组合变换图案分析、动态对称几何综合题（课本数学活动拓展）. （三）评价维度 1. 知识维度：全覆盖旋转、中心对称、中心对称图形、原点坐标对称、图形变换应用五大板块. 2. 能力维度：几何识图能力、规范作图能力、逻辑推理能力、数形转化能力、实践创新能力. 3. 素养维度：几何直观、推理能力、模型观念、创新意识、应用意识. （四）评价等级划分 优秀（85分以上）：概念清晰、作图规范、推理严谨、能灵活运用旋转思想解决综合问题； 良好（70–84分）：基础扎实，中档题少量失误，作图与推理基本规范； 合格（60–69分）：基础知识点基本掌握，综合辨析与作图细节薄弱； 待提升（60分以下）：概念混淆严重、作图不规范、几何推理能力薄弱. 反思性教学改进 结合单元全过程评价数据，从学生共性问题、教师教学短板、精准改进策略三方面形成闭环教学改进体系.（一）学生学习共性问题 1. 概念极易混淆.普遍分不清：中心对称（两图形关系）与中心对称图形（单个图形）、三类坐标对称变换规律，存在大量张冠李戴、公式混用问题. 2. 动态几何思维薄弱.学生习惯静态识图，难以理解旋转过程中位置改变、形状大小不变、对应关系不变的本质，不会主动用旋转全等转化边角条件. 3. 作图规范性极差.旋转、中心对称作图缺少作图痕迹、对应点找错、连线混乱，随手画图、不按步骤操作，实操失分严重. 4. 数形结合能力不足.无法将几何中心对称特征与坐标代数规律结合，原点对称符号运算易错，数形转化脱节. 5. 综合应用能力弱.只会单一知识点做题，面对组合变换图案分析、旋转几何探究题，思路单一、不会模型迁移. （二）教师教学存在的不足 1. 新知教学偏重结论记忆，对旋转动态过程、概念生成过程探究不足，学生理解浮于表面. 2. 易混概念对比辨析课时设计不足，缺少专项对比、专项纠错训练，学生概念模糊问题长期存在. 3. 作图教学示范不够细致，对作图步骤、痕迹保留、规范要求强调不到位，实操训练量不足. 4. 数形结合专项训练碎片化，没有系统建立“几何变换→坐标规律”的转化思维. 5. 分层教学落实不足，学困生作图、概念不过关，优等生缺少旋转几何模型拔高训练. （三）针对性教学改进策略 1. 强化概念对比教学.持续采用表格对比、错题对比、变式辨析的方式，常态化区分三组易混概念，从根源杜绝概念混用. 2. 强化动态几何直观教学.多用动态演示、实物操作、学生亲手旋转实操，让学生亲眼感知旋转不变量，建立动态几何思维，理解旋转全等本质. 3. 固化作图规范模板.统一旋转、中心对称、坐标对称作图四步模板，专项训练作图痕迹、对应点找点、规范连线，日日清作图过关. 4. 构建数形结合专项体系.强化“几何变换特征→坐标代数规律”双向转化训练，整理三类对称坐标口诀，专项突破符号易错点. 5. 落实模型化教学.总结180°中心对称模型、90°旋转模型、原点对称数形模型，让学生以模型解题，提升综合探究能力. 6. 实施分层精准辅导.学困生抓概念、作图、基础计算过关；中等生抓辨析、数形结合、中档综合；优等生抓旋转几何探究、动态几何拔高. （四）单元教学整体改进总结 旋转单元是初中几何变换核心收官单元，后续教学将弱化机械刷题、强化实操探究、强化概念辨析、强化数形转化、强化规范落地，依托多元评价精准捕捉学生思维短板，实现“评价诊断—靶向纠错—素养提升”的大单元闭环教学，真正落实几何直观、逻辑推理、模型观念的核心素养. 单元教学结构图 教学设计 生活旋转感知与旋转性质活动一 · 情境引入 展示生活素材：钟表指针转动、风车转动、车轮旋转、旋转门等生活实景图形. 引导学生观察：以上物体运动的共同特征是绕着一个固定的定点转动一定角度. 追问1. 这些运动和平移、轴对称有什么不同？ 追问2. 图形在转动过程中形状、大小是否发生改变？ 学生结合生活经验交流观察结果，初步感知旋转是图形绕定点的位置变换. （设计意图：结合教材原生情境，从学生熟悉的生活现象切入，唤醒直观经验，区分旋转与已学两种全等变换，让学生在真实情境中初步建立旋转的动态表象，为抽象定义、探究性质做好铺垫.） · 探究新知 探究点1 动手操作 观察猜想 学生在硬纸板上画出任意△ABC，在平面内固定一点O，将△ABC绕点O旋转任意角度，得到新图形△A′B′C′，标出对应点. 引导学生观察、测量： （1）对应线段：AB、A'B'，BC、B'C'长度关系； （2）对应角：∠A与∠A'、∠B与∠B'大小关系； （3）连接OA、OA'，OB、OB'，OC、OC'，观察线段长度、夹角关系. 探究点2 归纳旋转核心性质 师生共同归纳旋转核心性质： （1）旋转前后的图形全等（形状、大小不变）； （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）每一组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角，且所有旋转角相等. 明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度. （设计意图：遵循教材“操作—观察—猜想—归纳”的探究逻辑，让学生亲身经历旋转形成过程，从直观操作上升到抽象性质，理解“位置改变、大小形状不变、对应关系不变”的本质，培养几何直观与归纳推理能力.） · 应用新知 例1.将△AOB绕点O逆时针旋转45°得到△COD. （1）指出本次旋转的旋转中心、旋转角； （2）若∠AOB=30°，求∠AOD的度数； （3）若OA=6，求OC的长度. 【分析】本题紧扣本节课旋转定义与旋转性质，考查旋转三要素识别、旋转角应用、对应点到中心距离相等核心知识点。解题关键：抓住旋转前后图形全等、对应线段相等、旋转角等于对应点与中心连线夹角. 【详解】解：（1）旋转中心：点O；旋转角：∠AOC、∠BOD，均为45°. （2）由旋转性质可知：∠BOD=45°，∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+45°=75°. （3）由旋转性质：对应点到旋转中心距离相等OC=OA=6. 例2．如图．在中，，将绕点C逆时针旋转得到，于点D．求的度数．    【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由旋转的性质，可得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． (设计意图：以课本基础题型落地新知，直接应用旋转三要素与三大性质，巩固学生基础识图、用图、计算能力，让学生初步掌握旋转题型的规范解题思路，实现知识从探究到应用的闭环。呈现问题情境，引导学生观察变量变化规律.) 特殊旋转探究与概念辨析活动二 · 情境引入 复习回顾：图形可绕定点旋转任意角度，旋转前后图形全等. 展示素材：将三角形、四边形、花瓣图形绕定点旋转180°，图形能够与另一图形完全重合或与自身完全重合. 追问1. 这类旋转180°的旋转和普通旋转有什么不同？ 追问2. 旋转180°后图形呈现怎样的对称特征？ 引导学生发现：180°旋转是一种特殊的旋转变换，产生两种对称关系：两个图形对称、单个图形自对称，顺势引出本节课核心：中心对称与中心对称图形. （设计意图：依托新旧知识衔接创设情境，从“任意角度一般旋转”过渡到“180°特殊旋转”，自然生成新知，让学生体会由一般到特殊的数学思想，提前破除学生“旋转、对称概念混乱”的问题，为本节课概念辨析铺垫.） · 探究新知 探究点1：两图形中心对称（180°旋转、两图关系） 1. 学生动手操作：将△ABC绕平面内一点O旋转180°，得到△A′B′C′. 2. 观察探究：旋转180°后两个图形完全重合； 点A、O、A′在同一直线上，且OA=OA'； 所有对应点连线都经过旋转中心，且被中心平分. 3. 归纳定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称. 总结中心对称性质：中心对称的两个图形，对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分. 探究2：中心对称图形（单图形自对称） 动手操作：旋转线段、平行四边形、圆、正六边形180°，观察图形与自身重合. 归纳定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形. 探究3：核心概念辨析（本章重难点） 小组对比讨论，精准区分： 1. 中心对称：两个图形的位置关系； 2. 中心对称图形：一个图形的自身特征. （设计意图：完全遵循课本“操作—观察—归纳—辨析”流程，通过180°特殊旋转实操，让学生从运动本质理解两个核心概念；通过针对性对比辨析，从根源解决本章最大易错混淆点，培养学生对比分析、归纳概括的数学思维.） · 应用新知 例1：下列说法正确的是（ ） A. 中心对称图形是两个图形的对称关系 B. 两个能够重合的图形一定中心对称 C. 中心对称的两个图形对应点连线经过对称中心 D. 轴对称图形一定是中心对称图形 【分析】本题为本节课核心概念辨析题，紧扣课本定义与性质，重点考查学生对中心对称（两图）、中心对称图形（一图）、轴对称与中心对称区别的理解。解题关键：严格回扣课本定义，区分概念主体、对称本质. 【详解】解：A错误：中心对称图形是一个图形自身的特征，不是两个图形的关系； B错误：能够重合的图形仅代表全等，不一定满足旋转180°重合，不一定中心对称； C正确：根据中心对称性质，中心对称的两个图形，对应点连线经过对称中心且被对称中心平分； D错误：轴对称图形仅沿直线翻折重合，不一定旋转180°重合，例如等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形. 答案：C 例2.如图是由边长为1的小正方形构成的的正方形网格，线段的端点均在格点上，请按要求画图．    (1)在图①中，以为边画一个面积是9的四边形，使它的另外两个顶点在格点上，且该四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图②中，以为对角线画一个四边形，使它的另外两个顶点在格点上，且该四边形既是轴对称图形又是中心对称图形． 【分析】（1）因为面积为9，所以只需做出底边为3，高为3的平行四边形即可； （2）根据题目要求可知菱形满足上述条件，故以为对角线画一个菱形即可，本题考查平行四边形的面积，菱形的性质，能够数量掌握菱形的性质是解决本题的关键． 【详解】（1）如图所示，四边形即为所求．    （2）如图所示，四边形即为所求．    （设计意图：让学生在做题中固化概念边界，熟练区分两组易混概念，夯实特殊旋转的核心性质，实现探究知识落地、辨析能力提升，达成课堂知识闭环.） 坐标变换数形结合活动三 · 情境引入 回顾旧知：在平面直角坐标系中，已经学习了关于x轴、y轴对称点的坐标变化规律. 提出问题：我们几何中刚刚学习了绕原点旋转180°（中心对称），如果将平面内任意一点绕坐标原点旋转180°，它的坐标会发生怎样的变化？ 教师出示平面直角坐标系，点在第一象限、第二象限、第三象限、第四象限随机分布，引导学生猜想：原点中心对称是否存在统一的坐标变化规律. （设计意图：依托学生已有坐标对称知识搭建迁移支架，由几何中心对称自然过渡到代数坐标规律，制造探究悬念，实现几何特征向代数规律转化的思维衔接，为本节课数形结合探究奠定基础.） · 探究新知 探究点1 动手描点、实验探究 学生在平面直角坐标系中描出下列各点： A(2,3)、B(-2,1)、C(3,-2)、D(-4,-1) 将各点绕原点旋转180°，画出对应中心对称点，读出新坐标。 探究点2 观察对比、寻找规律 对比每组原点前后坐标： A(2,3)→(-2,-3) B(-2,1)→(2,-1) C(3,-2)→w(-3,2) 小组合作归纳核心规律： 在平面直角坐标系中，点P(x,y)关于原点对称的点的坐标为P'(-x,-y) 口诀：原点对称，横、纵坐标全部变相反数. 探究点3 知识对比、强化辨析 梳理三类对称坐标规律，避免混淆： 关于x轴对称：横不变，纵相反 关于y轴对称：纵不变，横相反 关于原点对称：横纵全变号 （设计意图：遵循教材“动手操作—数据观察—归纳规律—对比辨析”的探究流程，让学生亲身经历数形转化过程，理解原点对称坐标公式的生成过程，杜绝死记硬背，强化数形结合思想，突破三类坐标对称混淆的高频易错点.） · 应用新知 例1.求下列各点关于原点对称的点的坐标： （1）A(4,-2) （2）B(-5,-3) （3）C(0,6) 【分析】本题紧扣本节课核心知识点，考查原点对称坐标变化规律的直接应用。解题核心依据：点P(x,y)关于原点对称的点为(-x,-y)，横纵坐标分别取相反数，特别注意坐标轴上点的对称规律依然成立，0的相反数仍为0. 【详解】解：根据原点对称坐标规律“横纵全变号”可得： （1）点A(4,-2)关于原点对称点坐标为(-4,2)； （2）点B(-5,-3)关于原点对称点坐标为(5,3)； （3）点C(0,6)关于原点对称点坐标为(0,-6). 例2.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，（每个方格的边长均为1个单位长度） (1)作与关于原点O成中心对称的，写出坐标； (2)求的面积． 【分析】本题考查作图-中心对称、三角形的面积，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质可得答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）作图如下： ∵和关于原点成中心对称， ∴； （2）的面积=， 的面积为． （设计意图：选用基础题型，落地原点对称坐标核心规律，训练学生准确、规范写出对称点坐标，强化符号运算能力，巩固数形结合的转化思维，实现从规律探究到实操应用的闭环，夯实本节课基础知识与基本技能.） 图形变换创意实践活动四 · 情境引入 展示经典几何图案：地砖纹样、剪纸对称图案、风车花纹、几何环形图案. 引导学生观察思考：这些精美、规整的复杂图案并不是随意绘制的，全部由同一个简单基本图形通过平移、轴对称、旋转变换重复得到. 追问1. 每一幅图案的最小基本图形是什么？ 追问2. 主要依靠哪一种图形变换实现对称构图？ 学生观察、交流，感知“简单图形经过重复变换可以生成复杂美观图案”的数学规律. （设计意图：依托教材原生图案素材创设美育情境，唤醒学生对三大图形变换的整体认知，让学生体会数学的对称美、规律美，激发创意设计兴趣，自然引出“图案拆解、图案创作”的实践探究任务.） · 探究新知 探究点1. 拆解图案，探究构图规律 以课本四叶花瓣图案为探究载体： （1）确定基本图形：单个扇形三角形； （2）确定主导变换：旋转变换； （3）确定变换参数：固定中心、每次旋转90°、连续旋转三次，形成完整中心对称图案。 探究点2. 归纳图案生成通用方法 复杂对称图案生成步骤： ① 选取简单几何图形作为基本单元； ② 确定主导变换（旋转为核心，搭配轴对称、平移）； ③ 确定旋转中心、旋转角度、变换次数； ④ 重复变换，组合形成完整对称图案. 变换功能归纳 60°、90°、120°旋转：生成环形放射规整图案； 180°旋转：生成中心对称图案； 旋转+轴对称：生成精美复合对称图案. （设计意图：遵循教材“赏析—拆解—归纳—建模”的活动逻辑，让学生掌握图案分析的标准化思路，从感性欣赏上升到理性数学分析，归纳出图案设计模型，为自主创意设计提供理论支撑，培养几何直观与模型观念.） · 应用新知 例1.以等腰直角三角形为基本图形，以直角顶点为旋转中心，利用旋转变换设计一个中心对称规整图案，并简述设计过程. 【分析】本题源自课本数学活动一核心实操题型，考查学生选取基本图形、确定旋转参数、有序完成图案创作的实践能力。解题与设计核心：利用90°旋转四次闭环特性，依托旋转不变性，构造对称均匀的闭合图案，作图需保证图形大小一致、角度精准、对称规整. 【详解】1. 确定要素 基本图形：等腰直角三角形； 旋转中心：三角形直角顶点； 旋转角度：90°. 2. 分步作图过程 ① 绘制初始等腰直角三角形（基础图形）； ② 绕直角顶点顺时针旋转90°，画出第二个图形； ③ 继续旋转90°（累计180°），画出第三个图形； ④ 继续旋转90°（累计270°），画出第四个图形； ⑤ 四次图形拼接形成闭合、中心对称的四合一规整图案. 3. 图案特征总结 整体图案既是旋转对称图形，也是中心对称图形，构图均匀、对称规范，完全依托旋转变换规律生成. 例2．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形． (1)在图1中画出一个，使点C在格点上，且是轴对称图形． (2)在图2中画四边形，使点D，E均在格点上，四边形不是矩形，且四边形是中心对称图形． 【分析】（1）根据轴对称图形的特征进行作答即可（答案不唯一）； （2）根据中心对称图形的特征，且四边形不是矩形，结合图2是由边长为1的小等边三角形构成的网格，因此以为边作出菱形，进行作答即可． 【详解】（1）解：如图所示，是轴对称图形：   （答案不唯一） （2）解：如图所示，四边形不是矩形，且四边形是中心对称图形：    设计意图：以实操例题落地创意实践方法，让学生掌握标准化图案设计流程，实现从识图、析图到创图的能力提升，巩固旋转变换核心知识，培养学生动手实践能力与数学创新审美素养. 旋转模型几何探究与单元整合活动五 · 情境引入 回顾整章知识：本章学习了旋转定义、旋转性质、中心对称、坐标对称、图形图案变换，掌握了图形位置变换的基本规律. 出示课本数学活动二经典图形：正方形内部有一动点，线段、角度条件分散，无法直接求解角度与线段长度. 设问激趣：普通全等、平行知识无法直接解决此类分散条件几何题，能否利用本章旋转的“图形不变性”，移动图形、集中边角条件，破解几何难题？ 顺势引出本节课核心：利用旋转构造全等模型，整合全章知识解决综合几何问题. （设计意图：立足单元整体视角，串联全章所学知识，从基础图形变换过渡到几何综合探究，让学生体会旋转是重要的几何解题工具，打破静态识图思维，建立动态几何模型意识，为模型探究与单元整合做好铺垫.） · 探究新知 探究点1. 模型探究操作 已知正方形具有四边相等、四角为90°的特征，选取正方形内一点连接顶点形成三角形. 将其中一个三角形绕正方形顶点顺时针旋转90°. 探究点2.归纳旋转不变模型特征 （1）旋转前后图形全等，边长、角度完全不变； （2）旋转90°后，对应边重合、分散线段成功集中； （3）旋转中心处形成等腰直角三角形，出现固定45°、90°特殊角。 探究点3.提炼课本核心解题模型 旋转几何通用思路： 遇线段、角度条件分散→利用旋转平移图形→构造全等三角形→集中边角条件→借助特殊三角形求解。 探究点4.单元知识整合梳理 串联整章逻辑：一般旋转→180°特殊中心对称→坐标数形变换→图案应用→旋转几何模型，形成完整知识体系，厘清易混概念、变换规律、解题方法. （设计意图：依托教材章末数学活动核心探究素材，让学生亲手体验旋转建模全过程，理解“旋转不是画图，是几何转化工具”的核心思维；同时完成单元知识闭环整合，实现从基础识记、实操作图到综合推理的能力升级.） · 应用新知 例1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出和．    (1)把先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，得到； (2)以图中的O为对称中心，作中心对称图形，得到． 【分析】（1）根据平移规则确定的对应点，连线得到即可； （2）根据成中心对称的特点，确定的对应点，连线得到即可． 本题考查图形变换--平移和中心对称，掌握平移的性质和中心对称的性质，是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求；    例2.如图，在中，，是中线；，绕点顺时针旋与重合，点，的对应点分别为点，．    (1)尺规作图：作（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求证：三点在同一直线上． 【分析】（1）根据作角等于已知角的方法即可求解； （2）根据组图可得，，，根据即可求解． 【详解】（1）解：，绕点顺时针旋与重合，点，的对应点分别为点，， ∴线段在线段上，即点在线段上，且，如图所示，    ①以点为圆心，以为半径画弧，交于点，交于点，连接； ②以点为圆心，以为半径画弧，交弧于点，连接并延长至点； ③以点为圆心，以为半径画弧，交于点，连接，得； ∴根据作图可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中， ， ∴，即绕点顺时针旋转得， ∴即为所求图形． （2）解：，，如图所示，连接，交于点，    ∵， ∴， ∵，且由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 在中，，， ∴，且， ∴， ∴点三点共线． （设计意图：实现单元知识查漏补缺、综合巩固，完成大单元知识与能力的最终整合提升） · 课堂小结 知识技能：理解图形旋转的定义，掌握旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度，能准确识别旋转对应点、对应线段、旋转角；熟练掌握旋转的核心性质：旋转前后图形全等，对应点到旋转中心距离相等，各组旋转角相等；掌握特殊旋转——中心对称的定义与性质，能准确区分中心对称（两个图形的位置关系）与中心对称图形（单个图形的固有特征）；能够正确辨别常见轴对称图形、中心对称图形，掌握双重对称图形的特征；掌握平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标变化规律：点(x,y)关于原点对称的点为(-x,-y)，能熟练完成坐标计算、参数求解、对称图形作图；能利用旋转、轴对称、平移的单一或组合变换分析图案构成、自主设计对称图案；掌握旋转构造全等的几何方法，能利用旋转变换集中边角条件，解决线段、角度计算等几何综合问题. 思想方法： 一般与特殊思想：从任意角度的一般旋转变换，过渡到180°特殊旋转变换（中心对称），体现由一般到特殊的探究思路；数形结合思想：将几何中心对称特征与平面直角坐标系坐标规律相互转化，以形助数、以数释形；转化思想：通过旋转变换移动图形位置，将分散的线段、角度条件集中，把复杂几何问题转化为全等、特殊三角形问题求解；模型思想：归纳90°旋转、180°中心对称、原点对称等固定几何模型，实现以模型通一类题型；类比思想：类比平移、轴对称的学习方法探究旋转性质，类比x轴、y轴对称规律记忆原点对称坐标规律. 易错警示： 混淆中心对称和中心对称图形，错把单个图形判定为两图形位置关系；判断旋转角出错，误将对应线段夹角当作旋转角，忽略“对应点与旋转中心连线的夹角才是旋转角”；三类坐标对称规律混淆，原点对称容易出现只变单一坐标符号的错误；旋转作图不规范，缺少作图痕迹、对应点找错、旋转角度偏差；误认为旋转图形方向不变，旋转变换图形位置、方向改变，大小形状不变；分析组合图案变换时，遗漏旋转或轴对称变换，对主导变换判断错误；几何解题不会主动构造旋转辅助线，无法利用旋转全等转化边角条件，思路局限. · 当堂练习 一、选择题 1.下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：两个点关于原点对称，这两个点的坐标符号相反， 点关于原点对称的点的坐标是． 故选：C． 3．如图的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．  科克曲线 B．  笛卡尔心形线 C．  赵爽弦图 D．  斐波那契螺旋线 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故符合题意； 故选：A． 4.如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是，则点M坐标是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形，且点A的坐标是， ∴， 故选：C． 5．如图，将绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵将绕顶点C逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，将该正方形绕着点A顺时针旋转得到正方形，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：如图，过作轴，垂足为D， ∵将该正方形绕着点A顺时针旋转， ∴，， 又， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴边长，则， ∴， ∴，即， 故选D． 二、填空题 7．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 8.在平面直角坐标系中，点坐标为，将点绕原点顺时针旋转，则点的对应点坐标为 ． 【详解】解：如图，依题意，点绕原点顺时针旋转后的对应点为， 故答案为：． 9．如图，是等边三角形内的一点，，现将绕点逆时针旋转得，且与重合，则的长为 ． 【详解】∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵等边三角形中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2． 10．如图，菱形的对角线、交于点O，，，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是    【详解】解：∵菱形的对角线、交于点O，，， ∴， ∴， ∵将绕着点C旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，根据勾股定理得： ． 故答案为：5． 三、解答题 11.如图是一个三叶吊扇的图片，回答下列问题： （1）吊扇正常工作（运转）时，其叶片的转动可以看成是一个旋转运动，试找出它的旋转中心； （2）当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了多少度？转动到第三个叶片的位置时呢？ （3）在转动过程中，叶片的大小和形状发生变化了吗？ 【详解】解：（1）旋转中心是三片叶片的交点； （2）第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了120度，第一个叶片转动到第三个叶片的位置时，它转过了240度； （3）在转动过程中，叶片的大小和形状不发生变化． 12.如图，是边长为1的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为和．    (1)画出该平面直角坐标系； (2)画出线段关于原点成中心对称的线段，并求的长． 【详解】（1）解：如图，平面直角坐标系即为所求；   ； （2）解：如图，线段即为所求；    ． 13.如图，已知中，． (1)如果与关于原点对称，点的对应点A，点的对应点，点的对应点；请在如图所示的网格内画出满足条件的． (2)如果与关于轴对称，点的对应点A，点的对应点，点的对应点，请直接写出三个点的坐标． (3)求出的面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：∵，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． （3）解：， 答：的面积为4． 14.如图 1，四边形是正方形；如图2，四边形是矩形，是等腰三角形. 请只用无刻度的直尺按要求画图．      (1)在图1中，画出正方形的对称中心O； (2)在图2中，画出线段的中点N． 【详解】（1）解：如图1所示，连接交于点O即为所求；    （2）解：如图2所示，连接交于点O，连接并延长交于点N即为所求．    15.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； (3)若点为轴上一点，则的最小值为____________． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求， ． （3）作点关于轴的对称点'，连接，交轴于点，连接，    则的最小值为 故答案为：． 单元作业设计 基础达标 1、 选择题 1．点关于原点对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 2．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确． 故选∶D 3.如图，在平面直角坐标系中，点、、在轴上，点的坐标为，，是经过某些变换得到的，则正确的变换是（    ） A．绕点逆时针旋转，再向下平移1个单位 B．绕点顺时针旋转，再向下平移1个单位 C．绕点逆时针旋转，再向下平移3个单位 D．绕点顺时针旋转，再向下平移3个单位 【详解】解：由题意得，，， ， ∴由图可知，绕点顺时针旋转，再向下平移3个单位可得到， 故选C． 4.在下列四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、不能旋转得到，错误； B、可以旋转得到，正确； C、不能旋转得到，错误； D、不能旋转得到，错误； 故选：B． 5.如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【详解】∵将绕点逆时针旋转， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6.如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D． 【详解】解：由旋转的性质得； ∵，， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得：． 故选：C． 7.如图，点，点B在y轴的正半轴上，，将绕原点O顺时针旋转后得到，当点恰好落在上时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】过作轴于点C， ∵将绕原点O顺时针旋转后得到， 当点恰好落在上时， ∴， 而， ∴是等边三角形， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为． 故选：C． 8.在中，，，点D是上一点，将点B绕点D逆时针旋转得到点，连接，则的最小值为（       ） A．4 B． C． D．5 【详解】解：如图，由旋转可得：，， ∴是等边三角形， ∴，即的最小值即为的最小值， 当时，最小，即最小， 过点A作， ∵，， ∴， ∴， ∵， 即， 则， ∴， 故选C．    9.如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：C． 10.如图，将边长为2的正方形绕点按逆时针旋转到正方形的位置，且点落在对角线上，与相交于点，则的长为（    ）    A．1 B． C． D． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， 由旋转得： 四边形是正方形， ，，， ， ， 在中，， ， ， ． 故选：D． 二、填空题 11．如图，菱形的对角线交于坐标原点．已知点，，则点的坐标为 ．    【详解】解：∵菱形的对角线交于坐标原点．点， ∴， 故答案为： 12.若点与点关于原点对称，则的值为 ． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， ∴， 故答案为：． 13.如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…如此进行下去，直至得．若在第10段抛物线上，则 ． 【详解】解：∵一段抛物线：与x轴交于点O，， ∴图象与x轴交点坐标为：，， ∵将绕点旋转得，交x轴于点 ∴； ∴的解析式为， ∵将绕点旋转得，交x轴于点； ∴； ∴的解析式为， …… ∴的解析式为， ∴的解析式为， 当时，． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上一动点，设其坐标为，线段绕点C逆时针旋转至线段. （1） 点B的坐标为 ； （2） 连接，则的最小值是 ．    【详解】（1）设，过点作轴，垂足为点，    ∵线段绕着点按逆时针方向旋转至线段， ∵点，点， ∴点的坐标为， （2）点的运动轨迹是直线， ∵直线交轴于，交轴于， 过点作于．则， 根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为， 故答案为：；． 三、解答题 15．在直角坐标系中，找出下列各点中关于原点对称的点． ，，，，，，，，，． 【详解】解：点和点关于原点对称； 点与关于原点对称； 点与关于原点对称； 点与关于原点对称； 点与关于原点对称． 16．如图所示的四个四边形全等．在图（1）~（3）中，哪个图形可以由四边形经过平移或旋转得到？ 【详解】解：图（1）是由四边形ABCD的翻折得到， 图（2）是由四边形ABCD旋转得到的， 图（3）是由四边形ABCD平移得到． 17．如图将绕点A逆时针旋转得到，点C和点E是对应点，若，，求BD的长． 【详解】由旋转的性质得：，， ∴． 18.下面是由半径相同的圆组成的花瓣，观察图形，回答下列问题：    (1)是轴对称图形的有 　 　，是中心对称图形的有 　 　（分别用图形的代码填空）． (2)若“花瓣”在圆中是均匀分布的，试根据（1）小题的结果总结“花瓣”的个数与花瓣图形的对称性（轴对称或中心对称）之间的规律． 【详解】（1）解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知： 是轴对称图形的有①②③④⑤，是中心对称图形的有①③⑤． 故答案为：①②③④⑤；①③⑤． （2）解：规律：当“花瓣”是偶数个，既是中心对称图形，也是轴对称图形； 若花瓣是奇数个，则是轴对称图形． 19.如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得到．在旋转过程中：    (1)旋转中心是什么，为多少度？ (2)与线段相等的线段是哪一条？ (3)的面积是多少？ 【详解】（1）观察图形可知，旋转中心为． ∵旋转前后的图形全等，即， ∴． 故答案为： ，； （2）∵旋转前后的图形全等，即， ∴． 故答案为：． （3）∵旋转前后的图形全等，即， ∴，，． ∴． 故答案为：． 20.（1）请写出是旋转对称图形的两种多边形（正三角形除外）的名称，并分别写出其旋转角α的最小值； （2）下面的网格图都是由边长为1的正三角形组成的，请以图中给出的图案为基本图形（其顶点均在格点上），在图2、图3中再分别添加若干个基本图形，使添加的图形与原基本图形组成一个新图案，要求： ①图2中设计的图案既是旋转对称图形又是轴对称图形； ②图3中设计的图案是旋转对称图形，但不是中心对称图形； ③所设计的图案顶点都在格点上，并给图案上阴影（建议用一组平行线段表示阴影）． 【详解】解：（1）正方形是旋转对称图形，最小旋转角为90°；正六边形是旋转对称图形，最小旋转角为60°； （2）①如图2所示： ②如图3所示： 21.在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，．线段的端点坐标是，．    (1)画出绕坐标原点O逆时针旋转后的图形 (2)试说明如何平移线段，使其与线段重合： (3)将绕坐标原点O逆时针旋转，使的对应边为，点B的对应点为点F，画出．直接写出点F的坐标； 【详解】（1）解：∵绕坐标原点O逆时针旋转， ∴旋转到E点，C旋转到A点，B旋转到点，如图所示，    （2）解：由图像可得， ∵，，，， ∴线段向右移动6个单位再向下移动8个单位长度与线段重合； （3）解：连接交x轴于原点O，即可得到旋转得到图形，图形如图所示   ， ∴点F的坐标是． 22.已知：如图在 ， ，，线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，连接 ，，过点B作于点E． (1)依题意补全图形； (2)求的度数． (3)若，求的面积． 【详解】（1）解：依题意补全图形如图所示： （2）过点作于点， ，， ， ∴， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ，，， 四边形为矩形，， ， ， 即垂直平分为， ， ． （3）过点作于点， ， 由（2）得：，， ，， ， ，， ， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴由勾股定理得， ， ． 23.已知：如图 1， 中， ，D、E分别是、上的点， 不难发现、的关系． (1)将 绕A 点 旋转到图2 位 置时，写出、的 数量关系 ； (2)当 时，将 绕 A 点 旋转到图3 位置． ①猜想与有什么数量关系和位置关系?请就图3 的情形进行证明； ②当点 C、D、E 在同一直线上时，直接写出的度数 ． 【详解】（1）∵，    即， 在和中，，，， ∴ ∴； （2）①，， 证明：如图，交于点F，交于点M， ∵， ∴，    即， 在和中，，，， ∴ ∴，， 在和中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 因此，； ②如图， 当点 C、D、E 在同一直线上，且点D在线段上时，如图I所示， 在等腰中，， ∵， ∴， ∴； 当点 C、D、E 在同一直线上，且点E在线段上时，如图II所示， 在等腰中，， ∵， ∴， ∴； 故的度数为：或． 能力提升 一、选择题 1.如图，在中，．顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形．将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【详解】解：如图，过点作轴于， ， 顶点的坐标为， ， 在中，，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转， 每旋转8次回到最初位置， ， 第98次旋转结束时，相当于将逆时针旋转了，如图所示， ， 则，， 作轴于，则， ，， ， ， ，， ， 第98次旋转结束时，点的坐标为， 故选：B． 2.如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【详解】解：作轴于点M，轴于N，   设， ∵， 则，，    ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 当时，有最小值为5， ∴的最小值为， 故选：B． 3.如图1，将一张菱形纸片沿对角线剪开，得到和，再将以为旋转中心，按逆时针方向旋转角，使，得到如图所示的，连接，，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【详解】解：如图中，过点作于点， 由旋转的性质，得， ，， ， ， ， ． 同理，， ， 又， 四边形是平行四边形， 又，， ， 四边形是矩形， ；；故①②正确； ， ， ， ；故③正确， 是等腰直角三角形， ， ， ，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选A． 4.如图，等边三角形的边长为5，是所在直线上的一个动点，是的中点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动过程中，线段长度的最小值是（ ） A． B. C. D. 【详解】解：如图，连接， 旋转角为， ． 是等边三角形， ， ． ∵是的中点， ∴ 是等边的高所在的直线， ， ． 又旋转到， ， ， ， 根据垂线段最短可知：当时，最短，即最短， ，， ， ， 故选：B． 二、填空题 5.如图，在平而直角坐标系中，将，，绕点O顺时针旋转后得到，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到，如果点A的坐标为，那么点的坐标为 ． 【详解】解：∵，，，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， 由旋转可知：， ∵将绕点O顺时针旋转后得到， ∴相当于将线段绕点O顺时针旋转，依次得到：， ∴，，，，，，，，…… ∴每8次完成一个循环， ∵， ∴的坐标与的坐标相同， ∴的坐标为． 故答案为：． 6.如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转 得到. （1）图中CD= ； （2）图中阴影部分的面积为 . 【详解】过点E作交的延长线于点F， ∵，，， ∴，， ∴， 根据旋转的性质，得 （2）根据旋转的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴阴影面积为， 故答案为： ． 三、解答题 7.如图，长方形的顶点都在方格纸的格点上． (1)如图，将长方形平移，使得点与点重合，请画出平移后的长方形，并判断平移前后的两个长方形构成________图形（填写“轴对称”或“中心对称”）； (2)如图，请作出一个与长方形关于某条直线成轴对称的图形，且所有顶点均在格点上．（画出一种即可） 【详解】(1)；中心对称 (2) 8.【实践操作】小明是一名图案设计师，他常常利用图形的轴对称、平移和旋转来设计美丽的图案．小明以线段作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段，直线a和b，作线段关于直线a对称的线段，再作关于直线b对称的线段，对应点的连线、分别与对称轴相交于点P、Q． 【问题探究】如图①，当直线a与直线b平行时 (1)可看作是沿着 方向平移而成的图形，平移的距离等于线段 的长度； (2)若，则 ； 【类比探究】如图②，当直线a与直线b相交于点O时 (3)可看作是绕着点 旋转而成的，与的数量关系为 ； (4)当直线a与直线b垂直时，与关于 成 对称； 【知识应用】 (5)由实践操作可知：平移和旋转都可转化为若干次轴对称变换，即图形的变换都可由轴对称完成．如图③，可以由经过3次轴对称变换得到，请画出3次轴对称变换的示意图（保留画图痕迹，写出必要的文字说明） 【详解】（1）解：当直线与直线平行时：可看作是沿着射线方向平移而成的图形，平移的距离等于线段的长度； （2）解：根据题意得，，， ∴； （3）解：当直线与直线相交于点时：可看作是绕着点旋转而成的， 由对称可得，，， ∴， ∴与的数量关系为； （4）解：当直线与直线垂直时， 与的对称关系是关于点O成中心对称； （5）5)如图：以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线，以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线 素养挑战 一、选择题 1.平面直角坐标系中有一直线，先将其向右平移3个单位得到，再将作关于x轴的对称图形，最后将绕与y轴的交点逆时针旋转得到，则直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：设直线与x轴交于A，直线与x轴交于B，与y轴交于C，直线与y轴交于D，将绕直线点D逆时针旋转得到，如图： 在中，令得， ∴， ∵将直线向右平移3个单位得到， ∴，且直线， ∴直线解析式为， 在中，令得， ∴， ∵将作关于x轴的对称图形， ∴， ∵将绕与y轴的交点逆时针旋转得到， ∴，， ∴E到x轴距离为， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 故选：A． 2.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是和将绕点顺时针旋转得到，将绕点旋转一定的角度，得到、再绕点旋转一定的角度得到……，由此可知点的坐标为(　　)    A． B． C． D． 【详解】解：∵点、的坐标分别是和 ∴ ∴， 由题意，第一次旋转后， 第二次旋转后， 第三次旋转后， 第四次旋转后， ， 由此可知：旋转3次完成一周，此时点A的角标增加2次，向右平移12个单位， ， 故点对应坐标时点向右平移， ∴点的坐标为， 故选：A． 3.如图，两块完全相同的含角的直角三角板和叠合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转角，有以下四个结论： ①当时，与的交点恰好为中点； ②当时，恰好经过； ③在旋转过程中，存在某一时刻，使得 ④在旋转过程中，始终存在； 共中结论正确的有多少个（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：如图1所示，设与交于H（不包括）， ∵在中，， ∴， 当时，则， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即点H是的中点， ∴当时，与的交点恰好为中点，故①正确； 同理可得 当时，如图2所示， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线，即恰好经过，故②正确； 如图3所示，分别在上取一点E、F，使得，过点F作交于G， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴，故③错误； 如图4所示，设直线与直线交于M， ∵， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴在旋转过程中，始终存在，故④正确； 故选C． 4.如图，在正方形中，，若点在对角线上运动，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．点在上，且． 给出以下四个结论：  ①， ②，③线段的最小值是，④面积的最大是16．其中正确的是（    ）    A． ①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【详解】解：根据旋转可知，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，故①正确，符合题意； ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③∵， ∴点F总是在过点C与垂直的直线上运动，过点P作垂足为点H，如图所示：    ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴ 为等腰直角三角形， i∴， 即的最小值为，故③正确，符合题意； ④∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴ ∴当时，的面积最大，且最大值为16，故④正确，符合题意； 综上分析可知，其中正确的是①②③④． 故选：A． 二、填空题 5.如图，中与交于点D，E是边上的一个动点，将沿着进行折叠后射线与边交于点F，将射线绕点D逆时针旋转后与边交于点G，若，则 ． 【详解】解：如图，当点G在线段上， ∵， ∴设，则， ∴， ∵将沿着进行折叠后射线与边交于点F， ∴， ∵将射线绕点D逆时针旋转， ∴， ∵， ∴7， ∴， ∴． 如下图所示：当点G在线段上时， 同理可得：， ∴， ∴， 故答案为：或． 6.如图，在中，，，，点在边上，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，．当是等腰三角形时，的长为 ． 【详解】解：设，则， 当时， 由题意得， 在中，， 即， 解得，即； 当时，作于点F，如图， 由旋转的性质知，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， 即， 整理得， 解得，则； 综上，的长为或． 三、解答题 7.图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图1中作，使与关于直线对称； (2)在图2中作，使与关于点成中心对称． 【详解】(1) (2) 8.图①、图②、图③均为12个边长为1的小正方形组成的长方形，每个小正方形的边称为网格线．仅用无刻度的直尺，按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中沿网格线画一条实线，使该长方形被分割的两部分关于这条实线成轴对称． (2)在图②中沿网格线画一条实线，使该长方形被分割的两部分只是关于某一点成中心对称． (3)在图③中沿网格线画一条实线，使该长方形被分割成面积相等的两部分，且这两部分不全等． 【答案】(1) (2) (3) 9.如图所示的方格纸上，每个小正方形的边长都为，请用无刻度直尺按要求在方格纸中作图． (1)在图中画出关于点成中心对称的图形，点、的对应点分别为点、； (2)在图中画出以为边，面积为的菱形，点、均在格点上． 【答案】(1) (2) 10.如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下两个问题（每个问题画线不超过5条）． (1)在图1中，画；连接，再作关于的对称点； (2)在图2中，点是竖格线上一点，先画出的中点；在上找一点，交于点，使得． 【详解】（1）解：如图，设交于点，交于点， ∵， ∴到的距离等于的长， ∵ ∴ ∴到的距离等于的长 ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴到的距离相等 ∴ ∴点是关于的对称点； （2）解：如图，连接 由作图可得 ∴四边形是平行四边形 又∵为对角线中点，平行四边形是中心对称图形，且为对称中心， ∴ 10.【问题情景】如图正方形是绿地公园的一块空地，其边长为60米．公园设计部门为了给儿童提供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出入口，即点、点、点，而且根据实际需要，要使得度，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草．    (1)【模型感知】请直接写出线段之间的数量关系； (2)【模型应用】如图②，若m，请你计算儿童活动区的面积； (3)【模型拓展】如图③，连接，若与线段分别交于点、点，则和仍满足（1）中的数量关系吗？若不满足，请写出新的数量关系并说明理由． 【详解】（1）解：如图，将绕点逆时针旋转得到，   ， 则， ，，， 四边形是正方形， ， ， ， ，即， ， ，， ， ，即； （2）解：四边形是正方形，边长为60米， ，， 将绕点逆时针旋转得到，   ， 则， ， ，， 由（1）可得， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， ， ； （3）解：如图，将绕点逆时针旋转得到，   ， 则， ，，，， 四边形是正方形，为对角线， ，， ， ， ，即， ， ，， ， ， ， ，即． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $