第二十七章 反比例函数 单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册反比例函数单元测试，含选择、填空、解答题，覆盖定义、图像、性质及几何综合，注重基础巩固与创新应用，适配单元复习，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|反比例函数定义（题3）、图像判断（题2）、性质（题5）|结合几何图形（题6）考查空间观念| |填空题|5题|解析式形式（题11）、实际应用（题12）、增减性（题13）|设置开放题（题13）培养创新意识| |解答题|5题|新定义“等值点”（题17）、函数与几何综合（题19）、存在性问题（题20）|通过“等值点”（题17）考查数学抽象，结合等腰直角三角形（题19）体现推理能力，平行四边形存在性（题20）强化模型观念|

第二十七章 反比例函数 单元测试2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．在反比例函数 中，当时，，则k的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 2．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．计划修建铁路1200km，则铺轨天数与平均每天铺轨量之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 5．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象位于第二、第四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 6．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 7．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 10．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A、B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（    ） A．5 B． C． D．以上都不对 二、填空题 11．反比例函数的解析式有三种表现形式，分别是_______，________，______．（为常数，且）． 12．小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与录入文字的平均速度v（字/分）之间的函数表达式应为______（）． 13．请写出一个在第一象限内函数值随自变量的增大而减小的函数解析式__________． 14．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是______．（用“”连接） 15．直线与双曲线交于，两点，则______． 三、解答题 16．已知计划修建铁路，设铺轨天数为y天，每天铺设铁轨的长度为， (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)判断该函数是否是反比例函数，若是，请写出比例系数． 17．阅读理解 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”． 例如，求函数的图象的“等值点”P的坐标． 解：在中，令，得， 所以，函数的图象的“等值点”P的坐标为． (1)函数的图象的“等值点”的坐标是______； (2)函数的图象的“等值点”的坐标是______； (3)是否存在这样的函数：函数图象上任意一点都是这个函数图象的“等值点”．若存在，请举出一个这样的函数（写出函数表达式即可）；若不存在，请说明理由． 18．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点. (1)求的值，并在图中画出函数的图象； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点是点关于原点的对称点，连接、，求的面积. 19．【阅读材料】： 解方程：时，先两边同乘以x，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，． 【模仿练习】 （1）解方程； 【拓展应用】 （2）如图1，等腰直角的直角顶点的坐标为，B，C两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值； （3）如图2在双曲线有，两点，如果，，那么是否为定值，若存在请求出，不存在请说明理由． 20．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与x轴交于点C． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)①观察图象，直接写出不等式的解集；②请连接OA、OB，并计算△AOB的面积； (3)是否存在坐标平面内的点P，使得由点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B C C B C B B 1．【答案】C 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了根据反比例函数的定义求参数，解一元一次方程（三）——去分母，解题关键是掌握反比例函数的定义并能运用求解． 将给定的x和y值代入反比例函数解析式，得到关于k的一元一次方程求解． 【详解】解：∵当时，， ∴代入，得：， 两边同时乘以，得：， ∴， 故选：C． 2．【答案】B 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】根据反比例函数图象的特点，以原点为对称中心的中心对称的两条曲线，因为，即可得出结论． 【详解】∵是反比例函数，其中， ∴函数图象是双曲线，位于第一、第三象限， 只有B选项符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象特点，正确掌握图象的特点是解题的关键． 3．【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 根据反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义可知是反比例函数， 故选：B． 4．【答案】B 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查反比例函数的应用．铺轨天数铁路长每日铺轨量，把相关数值代入即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：铺轨天数铁路长每天铺轨量， ， 故选：B． 5．【答案】C 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、在中，当时，，∴图象经过点，原说法错误，故此选项不符合题意； B、在中，，∴反比例函数图象位于第一、三象限，原说法错误，故此选项不符合题意； C、在中，当时，y随x的增大而减小，原说法正确，故此选项符合题意； D、在中，当时，y随x的增大而减小，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 6．【答案】C 【知识点】已知两点坐标求两点距离、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用．依据题意，可得，，再由，从而，进而得解． 【详解】解：由题意，得，． ， 由两点距离公式可得：． ． 或5． 又， ． 故选：C． 7．【答案】B 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及性质;由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 8．【答案】C 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质，一次函数和反比例函数的图象和性质．观察抛物线的图象可得，，从而得到一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象位于第一、三象限，即可求解． 【详解】解：观察抛物线的图象得：抛物线与y轴交于正半轴，开口向下，且对称轴位于y轴的右侧， ∴， ∴， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象位于第一、三象限， ∴一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是 故选：C 9．【答案】B 【知识点】由反比例函数值求自变量、正比例函数的图象、求一次函数解析式 【分析】先根据直线过原点设出直线解析式，代入A、B坐标得到与的乘积，再根据C点坐标判断其满足哪个函数解析式． 【详解】解：∵直线经过原点， ∴设直线的解析式为， 把代入解析式得，即， ∴直线的解析式为， 把代入得，即， ∵点的坐标为， ∴点横纵坐标的乘积为， 对函数变形可得，满足点的坐标特征， ∴点一定在函数的图象上． 10．【答案】B 【知识点】求反比例函数值、由平移方式确定点的坐标、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了反比例函数，坐标的平移，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，然后根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴，， 设平移后点A、B的对应点分别为、， ∵将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度， ∴，， ∵平移后的A、B两点恰好都落在函数的图象上， ∴把点代入， 得，即， 解得或（不合题意，舍去）， 故选：B． 11．【答案】 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的概念，只需根据反比例函数的定义整理出其三种常见的表现形式即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义，反比例函数是形如（为常数，）的函数， 对该式变形可得到另外两种表现形式， 将根据负整数指数幂的定义变形可得（为常数，）； 将两边同乘变形可得（为常数，）． 12．【答案】 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】根据录入的时间＝录入总量÷录入速度即可得出函数关系式． 【详解】解：由录入的时间＝录入总量÷录入速度， 可得t（v＞0）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据实际问题列函数关系式的知识，比较简单，解答本题的关键是掌握关系式录入的时间＝录入总量÷录入速度． 13．【答案】答案不唯一，如 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】根据反比例函数的性质，写出的反比例函数的比例系数k＞0即可． 【详解】解：∵一个在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小， ∴反比例函数的解析式（答案不唯一，只要是k＞0即可）． 故答案为：（答案不唯一，只要是k＞0即可）． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝（k≠0）当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 14．【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分别把点的横坐标代入解析式求出纵坐标，进而即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴， 故答案为． 15．【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．由直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，可得A、B两点关于原点对称，即，再由反比例函数可得，，将原式化简再代入数据即可解答． 【详解】解：由题意得，直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，则A、B两点关于原点对称， ， 又，在双曲线上， ，， ． 故答案为：． 16．【答案】(1) (2)是反比例函数，比例系数为 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的定义，求反比例函数的解析式． （1）铺轨天数=铁路长÷每天铺轨量，把相关数值代入即可得到y与x之间的函数关系式； （2）反比例函数解析式的一般形式为，比例系数为k，根据反比例函数的一般形式判断是否为反比例函数，写出比例系数即可． 【详解】（1）解：∵铺轨天数=铁路长÷每天铺轨量， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）∵反比例函数解析式的一般形式为，比例系数为k， ∴是反比例函数，比例系数为． 17．【答案】(1) (2)， (3)存在，例如 【知识点】求一次函数自变量或函数值、正比例函数的性质、求反比例函数值 【分析】本题考查了新定义下一次函数、反比例函数点坐标的特征，解一元一次方程，解一元二次方程． （1）令，求解方程即可； （2）令，求解方程即可； （3）根据“等值点”的定义列举即可． 【详解】（1）解：令， 解得：， 故答案为：； （2）解：令，即， 解得：， 故答案为：，； （3）解：存在， ， 不管x取任何值，都有， 函数图象上任意一点都是这个函数图象的“等值点”． 18．【答案】(1)，图见解析 (2)或 (3) 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将点代入一次函数得出点的坐标为，代入反比例函数求得反比例函数解析式； （2）根据函数图象以及交点的横坐标即可求解． （3）根据题意求得点的坐标，根据反比例函数图象的性质求得点的坐标，进而即可求解． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得， ∴ ∴点的坐标为. 把点代入反比例函数得，解得. ∴反比例函数的解析式为 ∴反比例函数的图象如下图， （2）由，，根据函数图象可得： 不等式的解集为：或 （3）将点代入反比例函数得，； ∵点C是点B关于原点的对称点， ∴点C的坐标为； ∴的面积 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，掌握一次函数与反比例函数图象的性质是解题的关键． 19．【答案】（1），；（2）；（3）是定值， 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查阅读理解，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据阅读材料，进行计算，即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据是等腰直角三角形，则，；根据，，等量代换，全等三角形的判定和性质，则，，，最后根据反比例函数的图象和性质，即可； （3）过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点，同理证明，得，；求得，根据点在函数图象上，则∵，在反比例函数图象上，，推出，解得，即可． 【详解】（1） 解：先两边同乘以，得， 解得：，， 经检验无增根， ∴原方程的解为，； （2）过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∵点坐标是， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数图像上， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴． （3）是定值，理由如下： 过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，在反比例函数图象上， ∴， ∴， 解得， ∴． 20．【答案】(1)反比例函数的表达式是：y＝，一次函数表达式是：y＝﹣x+7 (2)①x＜0或1≤x≤6； (3)存在点P的坐标为（8，6）或（﹣6，6）或（6，﹣6）使得由点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积、利用平行四边形的性质求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式； （2）①利用函数图象结合其交点得出不等式k1x+b≥的解集；②如图所示，过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于B，则，再根据进行求解即可； （3）利用平行四边形的性质结合当AP为边和AP为对角线两种情况分别得出答案即可． 【详解】（1）解：∵点A（1，6）在反比例函数y＝的图象上， ∴6＝， 解得：k2＝6， ∴反比例函数的表达式是：y＝； ∵B（6，m）在反比例函数y＝的图象上， ∴m＝＝1， ∴B（6，1）， 将点A（1，6），B（6，1）代入y＝k1x+b，可得： ， 解得：， ∴一次函数表达式是：y＝﹣x+7； （2）解：①∵点A（1，6），B（6，1）， ∴不等式k1x+b≥的解集是：x＜0或1≤x≤6； 故答案为：x＜0或1≤x≤6； ②如图所示，过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于B， ∴， ∵A（1，6），B（6，1）， ∴OD=1，AD=6，OE=6，BE=1， ∴DE=5， ∵， ∴； （3）解：∵C是直线AB与x轴的交点， ∴点C的坐标为（7，0）， 如图3-1所示：当AP为边时， ∴AP∥OC， AP＝OC＝7， ∵A（1，6）， ∴P点坐标为：（8，6）或（-6，6）； 当AP为对角线时，如图3-2所示， ∵AP与OC的中点坐标相同， ∴ ， ∴ ， ∴点P的坐标为（6，-6）； 综上所述存在点P的坐标为（8，6）或（﹣6，6）或（6，﹣6）使得由点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合以及待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，正确数形结合分析是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $