第二章有理数单元培优卷 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

**基本信息** 苏科版七上数学第2章有理数单元培优卷，采用“基础巩固-能力提升-创新拓展”三阶分层设计，通过概念辨析、运算应用到规律探究的进阶路径，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|相反数、科学记数法、基本运算|以选择填空考查核心概念，如正负数表示（第11题），夯实数感与符号意识| |中档|绝对值应用、分段计费、程序运算|结合生活情境设计问题，如用水量计费（第14题），发展模型意识与应用能力| |拓展|数轴运动规律、新定义运算、数阵探究|通过规律猜想（第15题数阵）和综合应用（第24题绝对值几何意义），提升推理意识与创新思维|

2026-2027学年苏科版七上数学 第2章 有理数单元培优卷 考试时间：120 分钟 满分：120 分 一、选择题（共10小题，每小题 3 分，共 30 分） 1、的相反数是（ ） A. B. C. D. 2、下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 3、截至 目前，我国某新能源汽车品牌累计销量突破 3200000 辆，将 3200000 用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4、下列各组数中，数值相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5、科技的力量离不开复杂的程序，现在请同学们体会一个小小的程序设计，按图中程序运算，如果输入0，则输出的结果是（    ） A．8 B．2 C．4 D．1 6、已知，，且，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7、如图，数轴上的点表示的数为，点表示的数为。若将数轴沿某点折叠，使点与点重合，则与表示的点重合的点表示的数为（ ） A. B. C. D. 8、观察下列算式：，，，，，…… 根据上述规律，的末位数字是（ ） A. B. C. D. 9、点M，N在数轴上的位置如图所示，点M，N表示的有理数为a，b．如果，那么下列描述数轴原点的位置说法正确的是（    ） A．原点O在点M左侧 B．原点O在点N的右侧 C．原点O在点M、N之间，且 D．原点O在点M、N之间，且 10、对于正数，规定，例如，则的结果是（　　） A． B．4043 C． D．44041 二、填空题（共6小题，每小题 3 分，共 18 分） 11、如果收入 100 元记作元，那么支出 50 元记作 元。 12、比较大小： （填 “”“” 或 “”）。 13、甲地海拔高度为米，乙地海拔高度为 10 米，则甲地比乙地低 米。 14、某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过 10 吨，每吨 2.5 元；超过 10 吨的部分，每吨 3.5 元。某户 8 月份交水费 39 元，则该户 8 月份用水量为 吨。 15、将正整数按规律排成三角形数阵： 第 1 行： 第 2 行： 第 3 行： 第 4 行： …… 若用有序数对表示第行第个数（从左往右数），如表示 5，则表示 2025 的有序数对是 。 16、数轴上点初始表示的数为 1，按如下规律移动：第 1 次向左移动 2 个单位，第 2 次向右移动 3 个单位，第 3 次向左移动 4 个单位，第 4 次向右移动 5 个单位…… 依此规律，第 2025 次移动后，点表示的数为 。 三、解答题（共8小题，共 72分） 17、（9分）计算： （1） （2） （3） 18、（6分）把下列各数在数轴上表示出来，并按从大到小的顺序用“＞”连接起来， ，0，，2.5，， 19、（6分）已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为 2，求代数式的值。 20、（9分）某摩托车厂本周计划每日生产 250 辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的辆数记为正，减少的记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 （1）本周总产量与计划相比，是增加还是减少？增加或减少多少辆？ （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ 21、（8分）观察下列算式： …… （1）猜想： ； （2）计算：。 22、（10分）阅读材料：对于任意有理数 ，，规定一种特别的运算“”：． 例如，． （1）求 的值； （2）若 ，求的值； （3）试探究这种特别的运算“”是否具有交换律？ 23、（12分）如图：在数轴上 A点表示数 a， B点表示数 b， C点表示数 C， b是最小的正整数，且 a＝﹣2， c＝7． （1）若将数轴折叠，使得 A点与 C点重合，则点 B与数 　   　表示的点重合； （2）点 A、 B、 C开始在数轴上运动，若点 A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点 B和点 C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设 t秒钟过后，若点 A与点 B之间的距离表示为 AB，点 A与点 C之间的距离表示为 AC，点 B与点 C之间的距离表示为 BC． 则 AB＝ 　   　， AC＝ 　   　， BC＝ 　   　．（用含 t的代数式表示） （3）请问：3 BC﹣2 AB的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 24、 （13分）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和-1的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，②数轴上表示和-1的两点A和B之间的距离是 ． （2）若数轴上表示数的点位于-3与5之间，求的值是 ； （3）当取最小值时，相应的数的取值范围是 ； （4）求的最小值是 ． 实际应用： （5）问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： （6）若数，满足，求的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027苏科版七上第二章有理数单 元培优卷答案解析 一、选择题（每题3分，共30分) 1.答案：A 解析：只有符号不同的两个数互为相反数，-2026的相反数是2026。 2.答案：A 解析：有理数大小：负数<0<正数；负数绝对值越大数越小。-2<-1<0<1，最小为-2。 3.答案：A 解析：科学记数法a×10”(1≤a<10) 3200000=3.2×10;B指数错，C不符合规范，D不符合规范。 4.答案：A 解析 A.-2=-8,（-23=-8,相等； B.-32=-9,（-32=9 c名 D.-（-2=2,-|-2=-2。 5.答案：C 6.答案：C 解析：a=3→a=±3；|b=5→b=±5 a-b<0→a<b ①a=3,b=5,a+b=8;②a=-3,b=5,a+b=2; 综上a+b=8或-2。 7.答案：C -2+4=1 解析：A(2)、B(④).折叠中点：2 设重合点为X,二5+x=1→X=7 2 8.答案：A 解析：末位周期：2,4,8,6，周期4 2025÷4=506……1,余数1对应第一个数2。 9.答案：D 解析：ab<0→a、b异号；a+b>0→正数绝对值更大。 原点在M、N之间，正数点离原点更远，即OM|<ON|。 10.答案：A 解析： X 分组： f202+f2022=1,f2021+f201-1f21+f2=1共2021组和为 2021: 单独f1)=2 总我=201分9 二、填空题（每题3分，共18分) 11.答案：-50 解析：收入正，支出负。 12.答案：> 架标小子8子是 2 2_8 8<9 1212 负数绝对间小圳数有大。一号一子 13.答案：30 解析：10-(-20)=30米。 14.答案：14 解析：10吨水费：10×2.5=25元，39>25，超量。 超出费用：39-25=14元，超出吨数：14÷3.5=4 总用水量：10+4=14吨。 15.答案：(64,9) 解析：第n行有n个数。前n行总数S。=nn+l 2 解方程nn+1≥2025 2 n=63时，S6-63X64-=2016, 2 2025-2016=9,即第64行第9个：(64,9). 16.答案：-1013 解析：初始1，移动规律： 第1次：1-2；第2次：1-2+3；第3次：1-2+3-4；…第n次： n=2025(奇数)： 1+(-2+3)+(-4+5)+…+(-2024+2025) 除去首项，共1012组，每组和1： 1+1012×1-2026(简化统一算式) 1-2+3-4+…-2026 =(1-2)+(3-4)+…+(2025-2026),共1013组，每组-1 1013×(-1)=-1013 三、解答题（共72分） 17.计算 (1)-20+(-14)-(-18)-13 =-20+(-14)+18+(-13) =-47+18 =-29 ②号号景-24 =号×1-24+号-24)-吕×1-24刘 =16+(-12)+10 =26+(-12)=14 3)-14-(1-0.5)×号×[2-(-3] 3 -1×}×(2-9) =-1-1×(-7) 6 18.数轴表示+排序 化简各数：--4=-4，-(-1)=1； 数字：-1.50- =-0.3752.5,1,-4 8 从大到小：25>-(-10>-吾-15>-4 19.代数式求值 a、b互为相反数→a+b=0;c、d互为倒数→cd=1;m=2→m2=4; 代入代数式：m2-cd+a+也=4-1+0=3. m m 20.生产统计 (1)计算增减总和：-5+7-3+4+10-9-25=-21； 答：本周总产量与计划相比减少，减少21辆。 (2)产量最多的一天是周五(+10辆)，产量最少的一天是周日(-25辆)； 差值：10-（-25)=35辆； 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产35辆。 21.裂项相消 111 (1)猜想：nn+1nn+1 (2)计算： 成1分号应如 1 =1-2025 1 =2024 2025 22.新定义运算a1b=a2-2b2+ab (1)求3■(-1)的值 =32-2×(-1)2+3×(-1) =9-2+(-3） =4 (2)若x■2x=-5,求x的值： x2-2×(2x)2+x×2x=-5 x2-8x2+2x2=-5 -5x2=-5 x2=1 x=±1 (3)探究运算“■”是否具有交换律： 交换律要求aIb=b1a 分别计算：a■b=a2-2b2+ab,b1a=b2-2a2+ba; 显然a2-2b2≠b2-2a2,故不相等，无交换律 举例验证：1■2=1-8+2=-5,211=4-2+2=4，-5≠4，进一步说明无交换律。 23.数轴动点 )折怪中点：生7-25，设更合点为x,则生-25→X=4,4。 2 (2)t秒后，各点坐标：A:-2-t;B:1+2t;C:7+4t; 距离计算： AB=(1+2t)-（-2-t)=3+3t, AC=(7+4t)-（-2-t)=9+5t, BC=(7+4t)-(1+2t)=6+2t (3)计算3BC-2AB: 3(6+21)-2(3+3t)=18+6t-6-6t=12 结果为常数，不随时间变化，值为12。 24.绝对值几何意义 (1)①数轴上表示2和5的两点距离：|2-5=3；②数轴上表示x和-1的两点距离： |x-（-1川=|x+11。 (2)若-3<a<5,则a+3>0,a-5<0; |a+3+a-5=a+3+5-a=8。 (3)当a-1+a-2取最小值时，a的取值范围是1≤a≤2。 (4)a-1+a-2+|a-3的最小值 当a=2时，最小值为2-1+0+|2-3=2。 (⑤)2023户居民为奇数个，取中间第2023+1=1012户，即点P选在A0,才能使距离总和 2 最小。 (6)拆分绝对值：a-1+a-3最小值为2(1≤a≤3)， 1b-4+|b+5最小值为9（-5≤b≤4)； 两者最小和为2+9=11，恰好满足等式； 求a+b最小值：取a=1,b=-5, 则a+b=1+(-5)=-4。