第02讲成对数据的统计分析（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦成对数据的统计分析，涵盖相关关系、样本相关系数、线性与非线性回归、独立性检验等核心考点，按课标要求构建知识体系。通过考情分析、知识梳理、重难突破、分层集训四环节，帮助学生系统掌握统计方法，突破相关强弱判断、回归方程求解等难点。 资料采用分层教学与情境化设计，如非线性回归中通过换元转化为线性模型培养数学思维，独立性检验规范书写流程强化数学语言表达。设置基础、能力、真题三层练习，配合新考法预测，助力学生高效提升数据处理与统计推断能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第01讲 成对数据的统计分析 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 相关关系与散点图 知识2 样本相关系数r 知识3 一元线性回归模型 知识4 非线性回归换元转化 知识5 列联表与独立性检验 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 相关关系与相关系数 考点02 一元线性回归方程 考点03非线性回归换元 考点04 残差与拟合效果 考点05 卡方独立性检验 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.结合成对样本数据，借助散点图直观区分正相关、负相关、线性或非线性相关，会计算样本相关系数，依据取值判断线性相关强弱； 2.理解一元线性回归模型、最小二乘原理，掌握求解，利用样本中心点解题，能通过残差、评判模型拟合效果； 3.掌握指数、反比例等非线性模型换元线性转化方法，完成预测计算； 4.理解列联表统计意义，熟记卡方公式，依据临界值完成独立性检验，规范书写统计推断结论。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 相关关系、样本相关系数 2026天津卷单选第3题 2025天津卷单选第5题 2024天津卷单选第3题 2024上海卷选择第13题 列联表、卡方独立性检验 2025 全国一卷 解答题第15题 2024 上海卷解答 19 2024 全国甲卷 解答题第17题 考情解读 成对数据的统计分析是高考数学高频考点，命题形式灵活多样，既可以单独设置选择、填空小题，也经常结合现实情境命制解答题。试题依托散点图、相关系数、回归模型、列联表展开考查，重点围绕相关强弱判断、线性与非线性回归方程求解、模型拟合效果分析、独立性检验等内容设问，着重考查数据读取、代数运算与统计推断能力。题目情境多贴合生产生活、环境监测、经济调研、医学调查等真实素材，整体难度以基础、中档题型为主，极少出现综合性极强的复杂难题。 备考策略 熟练掌握相关系数、回归系数、卡方统计量的计算公式与统计含义，能够根据散点图判断变量相关类型，牢固掌握一元线性回归求解步骤与非线性模型换元转化方法；规范独立性检验的书写流程，重视统计结论结合实际情境的文字表述训练；熟练运用样本中心点简化回归运算，区分函数关系与相关关系，持续强化数据运算准确率，立足近三年高考真题梳理典型答题模板，厘清回归分析与独立性检验两类大题的答题逻辑。 知识・归纳梳理 知识1 相关关系与散点图 1.相关关系 1.定义：两个变量存在关联，但无法通过一个变量精准计算出另一个变量，这类不确定的依存关系叫做相关关系。 2.相关关系的分类 （1）依据增减变化趋势分为正相关、负相关 ①正相关：一个变量增大，另一变量整体同步增大； ②负相关：一个变量增大，另一变量整体随之减小。 （2）依据图像特征分为线性相关、非线性相关 ①线性相关：数据散点集中分布在某条直线两侧； ②非线性相关（曲线相关）：变量具备相关性，但散点无直线分布特征。 2. 散点图 将每组成对数据作为平面直角坐标系内的点，全部点构成的统计图即为散点图，可直观观察变量变化趋势，判断相关类型。 知识2 样本相关系数r 1.公式：r＝. 2.取值范围： (2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关. (3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 知识3 一元线性回归模型 1.模型 为关于的一元线性回归模型。是因变量（响应变量），是自变量（解释变量）；为截距参数，为斜率参数；代表随机误差。若，与满足确定一次函数关系。 2.最小二乘估计 称作经验回归方程，对应直线为经验回归直线。 通过最小二乘法求解，二者分别是参数的最小二乘估计，配套对应计算公式， 其中 3. 性质：回归直线必过样本中心点。 4. 残差与残差分析 （1）残差概念 ①响应变量实际测量得到的数值为观测值，代入回归方程算出的数值为预测值；观测值减去预测值的结果叫做残差。 ②残差公式： （2）残差分析 残差可以估算随机误差，借助残差能够判断回归模型贴合数据的效果，同时排查原始数据里的异常可疑值，整套分析流程为残差分析。 残差点均匀落在水平带状区域内，则模型拟合效果良好；决定系数，数值越靠近 1，模型拟合效果越好。 知识4 非线性回归换元转化 1.：两边取自然对数，令，化为； 2.：令，化为； 3.：令，化为。 知识5 列联表与独立性检验 1.关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 2.独立性检验 （1）定义：借助卡方统计量判断两个分类变量是否相互独立，该方法叫独立性检验； （2）卡方公式：，总样本量； 3.独立性检验步骤 （1）提出零假设：变量相互独立，结合题意说明含义； （2）根据统计数据搭建2×2列联表，计算数值，和给定临界值对比； （3）对照检验标准，给出独立性相关推断结论； （4）若判定变量不独立，可对比各组频率，分析变量间的影响规律。 重难・核心突破 考点01 相关关系与相关系数 典例1．（25-26高二下·广东肇庆·期末）以下散点图中，两个变量具有正相关关系的是（    ） A．    B．  C．    D．   【答案】A 【分析】根据散点图中两个变量的变化趋势直接判断即可. 【详解】样本点成直线形带状分布，且从左到右呈上升趋势，则两个变量是正相关关系， 故A正确，BCD错误. 典例2．（25-26高二下·天津西青·期末）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由散点图的特征，结合相关系数的定义即可得到答案． 【详解】由散点图的趋势可知，，，， 又图一的散点图比图三的散点图更为集中，则，所以， 又图二的散点图比图四的散点图更为集中，则，所以， 所以． 故选：D． 【考法预测1】（新考法）（25-26高二下·广东深圳·期末）有两组数据，，…与，，…，满足，其中，．记与另一组样本数据，，…的样本相关系数为，与同一组数据的样本相关系数为（样本相关系数的公式为：），则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用样本相关系数的定义公式，结合与的线性变换关系，化简的表达式后与对比即可得结论． 【详解】， 由， ， 即． 方法技巧 线性变换下相关系数不变判定技巧 1.变换规则：对自变量做线性变换、因变量做线性变换（，为常数）； 2.平移常数只改变数据整体上下 或左右位置，完全不改变两组变量的线性相关程度，不影响相关系数数值大小； 3.伸缩系数的符号只改变相关系数正负：与同号，变换后相关系数和原相等；与异号，变换后相关系数等于； 4.做题步骤：先判断正负，再直接写出变换后的相关系数，无需重新套复杂求和公式计算。 【考法预测2】（新考法）（2026·天津河西·二模）某研究小组为了探究变量x与y之间的线性相关关系，收集了5组数据，（），并绘制成如图所示的散点图（点A，B，C，D，E）.经计算，这5组数据的样本相关系数为r.若去掉点后，剩余4组数据的样本相关系数为，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，所以去掉点后，回归效果更好，结合相关系数的性质判断． 【详解】从散点图中可知，样本数据的两变量是正相关， 由于点较其他点偏离程度大，删除点后，回归效果更好， 从而相关系数的绝对值更接近于1，所以 考点02 一元线性回归方程 典例1．（25-26高二下·重庆北碚·期末）新能源汽车的定价是影响其销量的关键因素之一.某公司统计了其一款车型在五个不同定价下的日均销量，数据如下表： 销售单价（万元/辆） 14 16 18 20 22 日均销量（辆） 110 95 80 65 55 (1)根据上表数据，求日均销量关于销售单价的经验回归方程，并据此预测当销售单价为24万元/辆时，该车型的日均销量； (2)计算表中5个样本点对应的残差（，2，3，4，5），用销售单价作为横坐标，残差作为纵坐标，作出残差图，并根据残差图分析该线性回归模型的拟合效果. 附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【答案】(1) (2)当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 得到，作出残差图， 由图，残差数值都在横轴附近波动，残差点均匀分布在横轴两侧的狭窄带状区域内， 没有明显的曲线趋势与扩散收缩现象，说明该线性回归模型对数据拟合效果很好. 【分析】（1）结合题意求出平均数，利用最小二乘法得到回归方程，再进行计算即可； （2）逐个求出残差，作出残差图，再进行分析即可. 【详解】（1）由题意得，， 则，， 可得，， 则回归方程为，当时，， 得到预测当销售单价为24万元/辆时，该车型的日均销量为辆. （2）略 典例2．（25-26高二下·广东深圳·期末）随着时代和科技的进步，人工智能在生产领域中越来越重要，某研究团队在商业运营数据分析中，收集了某商家一段时间内投入人工智能的费用与对应产品销量数据如下表，将投入经费(单位:万元)作为解释变量，销售量(单位:万件)作为响应变量，已知与之间呈现出线性相关关系，，. (投入经费) 1 2 3 4 5 (销售量) 3 11 15 (1)求的值以及关于的经验回归方程； (2)从上述5组数据中任意挑选2组，记为其中残差值为正数的组数，求的分布列和数学期望. 参考公式:. 【答案】(1)， (2)的分布列为： 0 1 2 数学期望为. 【分析】（1）根据，列式求的值，根据表中数据求，即可得回归方程； （2）求各组的残差值，可知可取0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望. 【详解】（1）由，得， 由，得， 联立方程，解得， 由题意可得：，， 则，， 所以关于的经验回归方程为. （2）依题意可得，，，，，单位均为万件， 所以5组数据中有2组数据残差值为正数，则可取0，1，2， 可得，，， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望为. 【考法预测1】（新考法）（多选）（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）根据一组样本数据，，…，，求得回归方程为，且．这组样本数据中有两个样本点和误差较大，移除后重新求得的回归直线的斜率为，则（    ） A．变量与具有正相关关系 B．移除两个误差较大的样本点后重新求得的方程为 C．移除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快 D．移除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变慢 【答案】AD 【分析】对A：根据经验回归方程为，，即可求解；对B：由线性回归方程的性质，即可求解；对CD：比较原线性回归方程的斜率和新回归方程的斜率，即可求解． 【详解】对A，经验回归方程为，， 变量与具有正相关关系，故A正确； 对B，当时，，所以样本中心为， 去掉两个样本点为和，，， 样本中心不变， 去除后重新求得的经验回归直线的斜率为， ，解得， 故去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为，故B错误； 对C，， 去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变慢，故C错误，D正确； 方法技巧 新增样本更新回归直线速算技巧 1.先利用原有样本数量、原有，算出原有所有总和、所有总和； 2.加入新增一组，分别计算新的自变量总和、因变量总和，再除以新总样本量，得到新样本中心点； 3.重新计算回归斜率，再根据回归直线必过新样本中心点，代入公式算出新截距； 4.结论：无论新增多少样本，更新后的回归直线一定经过更新后的样本中心点，此结论可简化计算，不用全部重新求和 【考法预测2】（25-26高二下·河南信阳·期末）甲、乙、丙、丁四位同学各自对，两变量的线性相关关系做实验，并用回归分析方法求得相关系数与残差平方和如下表： 甲 乙 丙 丁 0.83 0.79 0.91 0.88 193 201 132 167 则哪位同学的实验结果体现，两变量有更强的线性相关性（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强；残差平方和越小，相关性越强，即可得出选项. 【详解】相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丙的相关系数最大； 残差平方和越小，相关性越强，只有丙的残差平方和最小， 综上可知丙的试验结果体现了，两变量有更强的线性相关性. 考点03 非线性回归换元 典例1．（25-26高三·全国·三轮复习）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中；；； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)根据（1）中所选择的模型，求出关于的回归方程． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 【答案】(1)①； (2) 【分析】（1）根据残差点的分布情况分析即可； （2）取对数，将非线性回归转化为线性回归，然后根据所给数据代入公式即可得回归方程. 【详解】（1）模型①更合适． 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄， 所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适． （2）令与温度可以用线性回归方程来拟合，则． ， ， 则关于的线性回归方程为，即， 产卵数关于温度的回归方程为． 典例2．（25-26高二下·河南·阶段检测）为研究城市文旅新媒体推广对旅游消费的带动效应，某文旅部门统计了2025年7-12月某城市文旅短视频累计播放量（单位：亿次）与当月旅游总收入（单位：亿元）的统计数据，如下表：（   ） 月份 7 8 9 10 11 12 /亿次 2 3 4 5 6 7 /亿元 8 15 28 50 90 160 通过散点图分析发现，与的关系可用指数型回归模型拟合，回归方程为（，），令 ，得到 关于的回归方程为，相关系数为 ．则下列说法正确的是 附： ， ， ， ， ， ， ． A．关于的回归方程为，当每增加1亿次时，平均增加亿元 B． 与的相关系数 ，若用一元线性回归模型直接拟合与，得到的相关系数为，则 C．若2026年1月该城市文旅短视频累计播放量为8亿次，用该回归模型预测的当月旅游总收入约为299亿元 D．当旅游总收入为123亿元时，用该回归模型反推的播放量约为5.8亿次 【答案】C 【分析】根据回归直线经过样本点中心可知经过 ，得到，从而确定回归方程，由回归方程的性质判断每个选项. 【详解】根据回归直线的性质，必定经过，即 ， 于是，得， 则 ，，解得. A选项，由回归方程可知，当每增加1亿次时，变为原来的倍，A选项错误； B选项，由题知， 是指数相关的，因此 时， 的相关性更强，即，B选项错误； C选项， 时， ，C选项正确； D选项，令，则 ， 解得 ，D选项错误. 【考法预测1】（2026·山西临汾·一模）水体富营养化导致藻类大量繁殖，以2017年中国太湖蓝藻爆发为例：5月初监测发现湖体中蓝藻细胞密度为每升50万个，随着气温升高至25-30℃且氮磷营养盐浓度超标（总磷浓度达），蓝藻进入增长期.5月10日细胞密度增至每升200万个，5月15日突破每升800万个，5月20日达到每升3200万个，形成面积超150平方公里的绿色水华带.此次爆发导致湖区溶解氧骤降至以下，大量鱼类死亡，自来水厂被迫停产、所以对水资源的保护刻不容缓，现对某区域的藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系，进行监测，得到如下数据： x/年 1 2 3 4 5 6 7 y/平方公里 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制成如图所示的散点图： 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合. (1)根据散点图判断与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程； (3)若不及时保护水质，当第八年检测时，请估计藻类面积为多少平方公里. 参考数据： 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 其中， 参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1)更适宜 (2) (3)347 【分析】（1）根据散点图的特征确定回归方程类型. （2）利用非线性回归及最小二乘法求出回归方程. （3）利用（2）的结论进行数据估计. 【详解】（1）由散点图得，藻类面积随时间的增加其增长速度越来越快， 所以更适宜作为藻类面积y与时间x的关系的回归方程类型. （2）由，两边同时取常用对数得， 设，，，则， 由，，得， 则，因此，， 所以y关于x的回归方程为. （3）当时，（平方公里） 所以若不加治理，第8次检测时，藻类面积约为347平方公里. 【考法预测2】（新考法）（25-26高二下·河南郑州·期末）牛顿创立了传热学的第一个定律，即牛顿冷却定律．该定律表明，物体的冷却速度（在一定范围内）与它和周围环境的温差成正比，温差越小，它的冷却速度就越慢．某物理兴趣小组研究一杯热水的冷却过程：初始水温为，环境温度恒定为．每隔2分钟记录一次水温，统计了时间（分钟）与水温及温差的数据如下： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 100 86.5 75.3 66 58.2 51.6 46 41.3 37.3 33.9 31 28.5 26.4 24.7 23.3 80 66.5 55.3 46 38.2 31.6 26 21.3 17.3 13.9 11 8.5 6.4 4.7 3.3 根据牛顿冷却定律，温差与时间满足关系式，． (1)根据给出的数据，求温差与时间的回归方程（系数精确到0.01）； (2)根据模型，预测水温降至所需的时间（精确到0.01分钟）． 参考数据：，，，，；设，，，，，，，，，； 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，． 【答案】(1) (2)26.36 【分析】 (1)    设，将方程转化成线性回归方程，再代入公式求系数； (2)    代入回归方程求解. 【详解】（1）设，因为，所以，，，，，， 则,故， ，， 故回归方程为. （2）因为，当水温时， 代入回归方程得，即， 因为，，所以.    考点04 残差与拟合效果 典例1．（25-26高二下·山东东营·期末）若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的回归直线方程为，则样本点的残差为（    ） A． B．1.8 C． D．2.5 【答案】B 【分析】先将样本点的横坐标代入回归直线方程求得预测值，再根据残差等于实际观测值减去预测值计算即可. 【详解】由已知回归直线方程为，将代入方程，可得预测值， 又实际观测值，因此残差为 . 典例2．（25-26高二下·河南信阳·期末）甲、乙、丙、丁四位同学各自对，两变量的线性相关关系做实验，并用回归分析方法求得相关系数与残差平方和如下表： 甲 乙 丙 丁 0.83 0.79 0.91 0.88 193 201 132 167 则哪位同学的实验结果体现，两变量有更强的线性相关性（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强；残差平方和越小，相关性越强，即可得出选项. 【详解】相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丙的相关系数最大； 残差平方和越小，相关性越强，只有丙的残差平方和最小， 综上可知丙的试验结果体现了，两变量有更强的线性相关性. 【考法预测1】（新考法）（多选）（2026·湖北武汉·三模）成对数据和的一元线性回归模型为，依据模型可建立经验回归方程，用回归方程可得到响应变量的预测值及残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果．对下列四幅残差图的描述正确的是（    ） A．图甲显示残差的方差随观测时间变大而变小 B．图乙满足一元线性回归模型对随机误差的假设 C．图丙说明残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分 D．图丁说明残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型 【答案】BCD 【分析】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断. 【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0、方差为的随机变量的观测值. 对于A选项，由图甲可知残差的方差随观测时间变大而变大，故A错误； 对于B选项，由图乙可知残差比较均匀地分布在水平带状区域内，满足一元线性回归模型对随机误差的假设，故B正确； 对于C选项，由图丙知残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分，故C正确； 对于D选项，由图丁知残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型，故D正确 【考法预测2】（多选）（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）下列描述中说法正确的是（    ） A．已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强则相关系数越接近于 B．正态曲线当一定时，越小，正态曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖” C．决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D．在经验回归方程中，相对于样本点的残差为 【答案】BC 【分析】根据相关系数、正态曲线性质、决定系数、残差的定义，结合对应知识点逐一判断即可. 【详解】选项A：两个线性相关变量的相关性越强，是相关系数的绝对值越接近于1， 若为负相关，相关性越强时相关系数越接近，而非1，故A错误； 选项B：正态分布中决定曲线的位置，反映数据的离散程度：越小数据越集中，正态曲线越“瘦高”； 越大数据越分散，正态曲线越“矮胖”，故B正确； 选项C：决定系数公式为，显然越大，残差平方和越小， 模型对数据的拟合效果越好，故C正确； 选项D：残差定义为实际观测值减回归预测值，将代入回归方程得， 对应残差为，不是，故D错误. 考点05 卡方独立性检验 典例1．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 220 合计 250 400 (1)求； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效? 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)， (2)认为药物A对预防疾病B有效 【分析】（1）根据列联表计算即可； （2）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可. 【详解】（1），. （2）零假设：药物A对预防疾病B无效. 根据列联表中的数据可得. 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为药物A对预防疾病B有效. 典例2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）随着科技的发展，数学在各个领域的应用越来越深入广泛，某中学为了增强在校学生学习数学的兴趣，提高本校的数学水平，学校准备开设数学兴趣培辅班，开班之前，学校用简单随机抽样的办法抽取了本校男生和女生各100人作为样本，调查学生的性别与喜欢数学是否有关，经统计后得到了如图所示的等高堆积条形图． (1)根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并根据的独立性检验，推断该校学生的性别是否与喜欢数学有关联； 性别 是否喜欢数学 合计 是 否 男生 女生 合计 (2)已知该校男生和女生的人数之比为，将样本的频率当作概率，现从全校中随机抽取1名学生，求抽取学生喜欢数学的概率． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 【答案】(1) 性别 是否喜欢数学 合计 是 否 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 ，可以推断该校学生的性别与喜欢数学有关联 (2)（或） 【分析】（1）根据等高堆积条形图读取男生和女生喜欢数学的频率，结合样本容量计算频数并填写列联表，代入公式计算观测值，与临界值比较得出结论； （2）设事件为“抽取的学生喜欢数学”，利用男女生人数比例确定抽取到男生和女生的概率，结合样本频率作为条件概率，利用全概率公式求解． 【详解】（1）由等高堆积条形图可知，男生样本中喜欢数学的频率为，人数为， 不喜欢数学的人数为；女生样本中喜欢数学的频率为，人数为， 不喜欢数学的人数为．填写列联表如下： 性别 是否喜欢数学 合计 是 否 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 零假设为该校学生的性别与喜欢数学无关联， 根据列联表中的数据，计算的观测值： ， 因为，所以依据小概率值的独立性检验， 我们没有充分证据推断成立，即认为该校学生的性别与喜欢数学有关联，此推断犯错误的概率不超过. （2）设事件为“抽取的学生喜欢数学”，事件为“抽取的学生为男生”，事件为“抽取的学生为女生”． 由题意可知，该校男生和女生的人数之比为，所以，， 将样本的频率视为概率，所以，； 由全概率公式得. 所以从全校中随机抽取1名学生，抽到学生喜欢数学的概率为. 【考法预测1】（25-26高二下·陕西榆林·期末）某商场为了解顾客对某款坚果礼盒的满意程度，随机调研了200名购买过该款坚果礼盒的顾客，得到如下列联表. 性别 调查 不满意 合计 男性 40 80 女性 80 合计 200 (1)补全列联表； (2)根据小概率值的独立性检验，分析顾客对该款坚果礼盒的满意度是否与性别有关联. 附：，. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) 性别 满意 不满意 合计 男性 40 40 80 女性 80 40 120 合计 120 80 200 (2)顾客对该款坚果礼盒的满意度与性别有关，犯错误的概率不大于. 【分析】（1）根据列联表的数据，依次补齐其他数据； （2）首先计算，再和比较大小，即可判断. 【详解】（1）列联表如下： 性别 满意 不满意 合计 男性 40 40 80 女性 80 40 120 合计 120 80 200 （2）零假设为：顾客对该款坚果礼盒的满意度与性别无关. 经计算得. 依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 即顾客对该款坚果礼盒的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【考法预测2】（新考法）（25-26高二下·安徽·期末）2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼.某中学为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有是男生. (1)根据已知条件补充完整下表，并判断是否有99%的把握认为该校学生喜欢军事与性别有关； 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 女生 15 合计 (2)采用样本比例分配的分层随机抽样的方法从喜欢军事的学生中随机抽取15人进行一次军事知识竞赛，其中有3人可以获得“军事百科达人”的称号，记这3人中男生的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，当时，没有充分的证据判断变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的；当时，有90%的把握判断变量，有关联；当时，有95%的把握判断变量，有关联；当时，有99%的把握判断变量，有关联. 【答案】(1) 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 有99%的把握认为该校学生喜欢军事与性别有关. (2) 0 1 2 3 数学期望. 【分析】（1）完善列联表，计算进行判断； （2）因为的可能取值为0，1，2，3，根据古典概型计算公式、数学期望公式，列出分布列求期望即可. 【详解】（1）因为喜欢军事的学生中有是男生， 所以喜欢军事的学生中有是女生， 所以喜欢军事的男生与女生人数之比为， 且有15名女生喜欢军事，所以有30名男生喜欢军事， 因为男生中有的人喜欢军事，所以男生共有50名，故不喜欢军事的男生有20名， 完善后的列联表如下： 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 零假设为：该校学生喜欢军事与性别无关． 因为， 因此可以认为不成立，即有99%的把握认为该校学生喜欢军事与性别有关． （2）由题可知喜欢军事的男生与女生人数之比为， 所以随机抽取15人中男生的人数为、女生人数为， 的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 拔高・分层集训 基础演练 一、选择题 1.（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】直接根据散点图及相关系数的性质判断可得. 【详解】对四个散点图分析： 对选项A：散点明显呈上升趋势，且非常接近一条直线，因此样本数据有较强的相关关系且； 对选项B：散点呈下降趋势，且比较接近一条直线，所以，一定有​； 对选项C、D：散点分布非常分散，线性相关性极弱，​都接近，都小于. 因此相关系数最大的是. 2.（25-26高二下·湖北·阶段检测）对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】由图知，C、D中各点都非常分散无法判断正负相关性，显然它们的相关系数无法比较大小， 而A、B中各点相对比较集中，其中A中散点的正相关，而B中散点的负相关， 所以A中样本点相关系数为正，且最大. 3.（25-26高二下·河南南阳·期中）已知，，，四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为-0.95，-0.82，0.86，0.93，则线性相关程度最弱的是（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】由线性相关系数的性质判断即可得. 【详解】因为，所以线性相关程度最弱的是组. 4.（25-26高二下·广东清远·期末）甲、乙、丙、丁各自研究两个变量的样本数据，得到样本相关系数分别为，，，，则成对样本数据的线性相关程度最强的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】因为， 所以乙的线性相关程度最强. 5.（2026高二·全国·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．任意两个变量都具有相关关系 B．圆的周长与该圆的直径具有相关关系 C．某商品的需求量与该商品的价格是一种确定性关系 D．当两个变量相关且样本相关系数时，表明两个变量正相关 【答案】D 【详解】A选项：并非任意两个变量之间都存在相关关系，例如毫不相关的两个变量之间可能没有统计关联，故A错误； B选项：圆的周长与直径是确定的函数关系（），属于确定性关系，不是相关关系，故B错误； C选项：商品的需求量与价格通常呈负相关关系（价格上升需求量下降），但并非严格的确定性关系，还受到收入、偏好等因素影响，故C错误； D选项：样本相关系数表示两个变量之间呈正相关，即一个变量增大时另一个也倾向于增大，故D正确. 6.（25-26高二下·河南·阶段检测）若变量关于变量的线性回归方程为，则相关系数的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知变量与变量负相关，由此可得结果. 【详解】由题意可知变量与变量负相关，则相关系数，即. 7.（25-26高二下·河北张家口·期末）样本数据，，…，（，，，…，不全相等）的散点图中，所有样本点都落在直线上，则这组样本数据的相关系数为（     ） A．1 B． C． D．-1 【答案】A 【详解】所有样本点都落在直线上,斜率,所以这组样本数据正相关且相关系数为1. 8.（25-26高二下·贵州安顺·期末）对某两组数据进行统计，获得以下散点图，且图1､图2对应的相关系数分别为，则关于其相关系数的说法，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可. 【详解】由散点图可知，图（1）中两个变量成正相关，所以；图（2）中两个变量成负相关，所以；. 9．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）如下四个散点图中，负相关的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】负相关，即随一个量增大另外一个量减少， A为正相关，BD不相关，C负相关. 10．（25-26高二下·北京丰台·期末）下列散点图中所对应的成对样本数据呈现正相关关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数据点的分布情况直观判断是否有线性相关关系及正负相关即可. 【详解】A中散点图可知样本数据呈现正相关，B中散点图可知样本数据呈现负相关， C中散点图可知样本数据的趋势先下降后上升，不是正相关， D中散点图的样本数据杂乱无序，没有相关性. 11．（多选）（24-25高二下·广东深圳·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．若随机变量，则当较大时，对应的正态曲线“矮胖”，随机变量X的分布比较分散 B．在线性回归分析时，可以用相关系数刻画两个随机变量间的线性相关性，若越小，则说明线性相关性越弱 C．若样本数据的方差为，则的方差为 D．一组数据的第百分位数为 【答案】BD 【分析】根据正态分布的性质，相关系数的作用，样本方差的性质以及百分位数的计算逐项分析. 【详解】选项A，由为标准差，该值越大，数据越分散，对应的正态曲线越“矮胖”，故A正确； 选项B，利用相关系数刻画两个随机变量间的线性相关性时，的值越接近线性相关性越弱， 仅通过的大小无法判断线性相关性强弱，故B错误； 选项C，根据样本方差的性质可知，若样本数据的方差为， 则的方差为，故C正确； 选项D，由，所以所给数据的第百分位数为，故D错误. 12.（多选）（25-26高二下·陕西西安·期中）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，且图1、图2、图3、图4中的样本相关系数分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由图可知，图1和图2是正相关，图3和图4是负相关，则， 而图1和图3的点相对更加集中，所以相关性更强，则，即， 则. 二、填空题 13.（25-26高二下·黑龙江·期末）分别对三组成对数据做相关性分析，计算出其对应的相关系数分别为，则三组相关性的强弱从弱到强排序依次为_______________． 【答案】 【分析】根据线性相关系数的绝对值越大，成对数据的线性相关性越强的性质，比较三组相关系数的绝对值大小即可完成排序. 【详解】线性相关系数的绝对值用于衡量成对数据线性相关性的强弱，越接近，线性相关性越强，的正负仅表示正相关或负相关，不影响相关性强弱的判定. 计算三组相关系数的绝对值：，，， 可得大小关系为， 因此、、三组相关性的强弱从弱到强排序依次为. 14.（25-26高二下·河北沧州·期中）下列关系中，属于相关关系的是______（填序号）． ①球的体积与该球的半径之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③一般情况下，一个人的身高和体重之间的关系． 【答案】②③ 【详解】在①中，球的体积与该球的半径之间是函数关系，不是相关关系； 在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系； 在③中，一般情况下，一个人的身高和体重是正相关关系． 能力进阶 1、 选择题 1.（2026·重庆九龙坡·一模）已知变量和的成对样本数据的经验回归方程为，且，当增加1个样本数据后，重新得到的经验回归方程的斜率为，则在新的经验回归方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【详解】由，可得增加1个样本数据后的平均数为， 因为，所以， 则增加1个样本数据后的平均数为， 所以，解得， 所以新的经验回归方程为， 则当时，， 样本点的残差为. 故选：B. 2.（25-26高二下·河南·阶段检测）为研究城市文旅新媒体推广对旅游消费的带动效应，某文旅部门统计了2025年7-12月某城市文旅短视频累计播放量（单位：亿次）与当月旅游总收入（单位：亿元）的统计数据，如下表：（   ） 月份 7 8 9 10 11 12 /亿次 2 3 4 5 6 7 /亿元 8 15 28 50 90 160 通过散点图分析发现，与的关系可用指数型回归模型拟合，回归方程为（，），令 ，得到 关于的回归方程为，相关系数为 ．则下列说法正确的是 附： ， ， ， ， ， ， ． A．关于的回归方程为，当每增加1亿次时，平均增加亿元 B． 与的相关系数 ，若用一元线性回归模型直接拟合与，得到的相关系数为，则 C．若2026年1月该城市文旅短视频累计播放量为8亿次，用该回归模型预测的当月旅游总收入约为299亿元 D．当旅游总收入为123亿元时，用该回归模型反推的播放量约为5.8亿次 【答案】C 【分析】根据回归直线经过样本点中心可知经过 ，得到，从而确定回归方程，由回归方程的性质判断每个选项. 【详解】根据回归直线的性质，必定经过，即 ， 于是，得， 则 ，，解得. A选项，由回归方程可知，当每增加1亿次时，变为原来的倍，A选项错误； B选项，由题知， 是指数相关的，因此 时， 的相关性更强，即，B选项错误； C选项， 时， ，C选项正确； D选项，令，则 ， 解得 ，D选项错误. 3.（25-26高三上·上海·单元测试）下图是某地区2010年至2019年污染天数（单位：天）与年份的折线图．根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据折线图中各阶段的数据，计算其样本中心纵坐标、极差，并结合数据的变化趋势画出近似回归直线，即可确定回归方程参数之间的大小关系. 【详解】根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，， ∴由图知：2010年至2014年数据为； 2015年至2019年数据为； 2010年至2019年数据为；均成递减趋势. 又，，，且极差分别为6、51、65， 三条回归方程的直线大致图象，如下图示： ∴回归方程的斜率大小关系为，且截距. 故选：C. 4.（25-26高二下·河南洛阳·期末）如图所示，从散点图的5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（    ） A．变小，变大 B．相关系数r变小 C．残差平方和变大 D．解释变量x与响应变量y的线性相关性变强 【答案】D 【详解】由题设，均值，去掉后，新均值，变大， 均值，去掉后，新均值，变小，A错误， 由散点图可知，是偏离其余点的离群点，去掉后，剩余点更贴近一条直线， 所以x和y为正相关且相关性变强，即相关系数的绝对值越接近1，故去掉后变大，B错误，D正确； 线性相关性越强，模型拟合效果越好，残差平方和越小，因此去掉后残差平方和变小，C错误. 5.(多选）（25-26高二下·内蒙古包头·期末）一组样本数据，．其中，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，，分布如图所示，且，则（    ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 【答案】ABD 【分析】A选项，根据回归方程斜率的正负即可判断相关性；B选项，利用回归直线过样本中心点即可求出截距；C、D选项，借助残差图的波动程度判断方差大小与拟合效果即可. 【详解】由经验回归方程中斜率，可知样本负相关，故A正确； 因为样本均值分别为， 由样本中心在经验回归直线上，代入经验回归方程：， 解得，故B正确； 由残差分布图可知，图1中残差的分布比较分散，波动较大；图2中残差的分布比较集中，波动较小. 因为方差反映数据的离散程度（波动大小），所以 ,故C错误； 决定系数用于刻画回归模型的拟合效果，越大，拟合效果越好. 由图可知，处理后的残差波动更小，说明残差平方和更小，模型拟合效果更好，因此决定系数变大，故D正确。 6.(多选）（25-26高二下·山东临沂·期末）根据儿子的身高与父亲的身高相关关系研究中的一组数据，作出如图所示的散点图，对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加该点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（   ） A．决定系数变小 B．残差平方和变小 C．相关系数变大 D．相关系数变小 【答案】AD 【分析】新增的点是偏离原正相关趋势的离群点，会削弱线性相关性，因此决定系数变小、相关系数变小，残差平方和变大. 【详解】增加点，从散点图中可以看出拟合效果变差； 选项A，决定系数越接近1，拟合效果越好，所以拟合效果变差后决定系数变小，A正确； 选项B，残差平方和越小，拟合效果越好，所以残差平方和变大，B错误； 选项C，越接近1，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，所以相关系数变小，C错误，D正确 二、填空题 7.（2026高二·全国·专题练习）已知一系列样本点满足，，由最小二乘法得到与的回归方程，其中，.现用决定系数来判断拟合效果（越接近1，拟合效果越好），若，则_____． 【答案】/ 【详解】． 三、解答题 8.（25-26高二下·重庆·期末）脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换，埃隆马斯克宣布，该试验可以实现意念控制手机和电脑，未来10到20 年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量(单位：亿元)与研发人员增量(单位：人)的10组数据，现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图： 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中 . 7.5 2.25 82.50 4.50 11.55 3.24 (1)根据残差图，判断哪个更适合作为回归模型？(给出判断即可，不必说明理由 (2)根据（1）中所选模型， （i）求出关于的经验回归方程； （ii）预测要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？(结果精确到 1) 附:对于一组具有线性相关关系的数据 ，其经验回归直线 的斜率及截距的最小二乘估计公式分别为: 【答案】(1)模型② (2)（i）；（ii）9人 【分析】（1）通过观察残差图中残差点的分布情况及带状区域宽度来判断模型拟合效果； （2）（i）令，将非线性模型转化为线性模型，利用最小二乘法公式计算回归系数，得到经验回归方程； （ii）根据年收益增量超过8亿元，建立不等式求解. 【详解】（1）选择模型②，理由如下 由残差图可知，模型②的残差点比较均匀地落在水平带状区域中，且带状区域宽度比模型①窄，说明模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故模型②比较合适. （2）（i）根据模型②，令，则与可用线性回归来拟合，有. 由表中数据可知，，，， ，则， ， 所以与的经验回归方程为， 即与的经验回归方程为. （ii）由题意，要使年收益增量超过8亿元，则，即， 整理得，，即，解得， 因为为研发人员增量，需为正整数，所以，故预测要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少9人. 9.（2026高三·全国·专题练习）水体富营养化导致藻类大量繁殖，以2017年中国太湖蓝藻爆发为例：5月初监测发现湖体中蓝藻细胞密度为每升50万个，随着气温升高至25-30℃且氮磷营养盐浓度超标（总磷浓度达），蓝藻进入增长期.5月10日细胞密度增至每升200万个，5月15日突破每升800万个，5月20日达到每升3200万个，形成面积超150平方公里的绿色水华带.此次爆发导致湖区溶解氧骤降至以下，大量鱼类死亡，自来水厂被迫停产，所以对水资源的保护刻不容缓.现对某区域的藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系，进行监测，得到如下数据： x/年 1 2 3 4 5 6 7 y/平方公里 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制成如图所示的散点图： 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合. (1)根据散点图判断与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程. 参考数据： 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 其中， 参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1)更适合； (2). 【分析】（1）由散点图的递增趋势选择更适宜的模型； （2）先根据所取模型进行线性变换，再代入公式求解回归模型. 【详解】（1）由散点图得，藻类面积随时间的增加其增长速度越来越快， 所以更适宜作为藻类面积y与时间x的关系的回归方程类型. （2）由，两边同时取常用对数得， 设，，，则， 由，， 得， 则， 因此，即 ， 所以y关于x的回归方程为. 真题实战 1．（2026·天津·高考真题）调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（     ） A．与负相关 B．当时，一定为1359 C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系 【答案】A 【详解】因为相关系数，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域， 所以y与x负相关，所以A正确，D错误； 当时，，所以约为， 所以B，C错误. 2．（2024·天津·高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的分布特征可直接判断 【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1. 故选：A 3．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 【答案】B 【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可. 【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确； 对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误； 对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确. 故选：B 4．（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 【答案】C 【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项. 【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误. 对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势， 故C正确，D错误. 故选：C. 5．（2025·全国一卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)有关 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断. 【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； （2）零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 6．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：         时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 【答案】(1) (2) (3)有 【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可； （2）根据平均数的计算公式即可得到答案； （3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论. 【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比， 则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为． （2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为 ． 则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时. （3）由题列联表如下： 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关． 其中． ． 则零假设不成立， 即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. (2)可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算，并与临界值对比分析； （2）用频率估计概率可得，根据题意计算，结合题意分析判断. 【详解】（1）根据题意可得列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 可得， 因为， 所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. （2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为， 用频率估计概率可得， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率， 则， 可知， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 成对数据的统计分析 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 相关关系与散点图 知识2 样本相关系数r 知识3 一元线性回归模型 知识4 非线性回归换元转化 知识5 列联表与独立性检验 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 相关关系与相关系数 考点02 一元线性回归方程 考点03非线性回归换元 考点04 残差与拟合效果 考点05 卡方独立性检验 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.结合成对样本数据，借助散点图直观区分正相关、负相关、线性或非线性相关，会计算样本相关系数，依据取值判断线性相关强弱； 2.理解一元线性回归模型、最小二乘原理，掌握求解，利用样本中心点解题，能通过残差、评判模型拟合效果； 3.掌握指数、反比例等非线性模型换元线性转化方法，完成预测计算； 4.理解列联表统计意义，熟记卡方公式，依据临界值完成独立性检验，规范书写统计推断结论。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 相关关系、样本相关系数 2026天津卷单选第3题 2025天津卷单选第5题 2024天津卷单选第3题 2024上海卷选择第13题 列联表、卡方独立性检验 2025 全国一卷 解答题第15题 2024 上海卷解答 19 2024 全国甲卷 解答题第17题 考情解读 成对数据的统计分析是高考数学高频考点，命题形式灵活多样，既可以单独设置选择、填空小题，也经常结合现实情境命制解答题。试题依托散点图、相关系数、回归模型、列联表展开考查，重点围绕相关强弱判断、线性与非线性回归方程求解、模型拟合效果分析、独立性检验等内容设问，着重考查数据读取、代数运算与统计推断能力。题目情境多贴合生产生活、环境监测、经济调研、医学调查等真实素材，整体难度以基础、中档题型为主，极少出现综合性极强的复杂难题。 备考策略 熟练掌握相关系数、回归系数、卡方统计量的计算公式与统计含义，能够根据散点图判断变量相关类型，牢固掌握一元线性回归求解步骤与非线性模型换元转化方法；规范独立性检验的书写流程，重视统计结论结合实际情境的文字表述训练；熟练运用样本中心点简化回归运算，区分函数关系与相关关系，持续强化数据运算准确率，立足近三年高考真题梳理典型答题模板，厘清回归分析与独立性检验两类大题的答题逻辑。 知识・归纳梳理 知识1 相关关系与散点图 1.相关关系 1.定义：两个变量存在关联，但无法通过一个变量精准计算出另一个变量，这类不确定的依存关系叫做相关关系。 2.相关关系的分类 （1）依据增减变化趋势分为正相关、负相关 ①正相关：一个变量增大，另一变量整体同步________________； ②负相关：一个变量增大，另一变量整体随之_______________。 （2）依据图像特征分为线性相关、非线性相关 ①线性相关：数据散点集中分布在某条_______________两侧； ②非线性相关（曲线相关）：变量具备相关性，但散点无直线分布特征。 2. 散点图 将每组成对数据作为平面直角坐标系内的点，全部点构成的统计图即为散点图，可直观观察变量变化趋势，判断相关类型。 知识2 样本相关系数r 1.公式：r＝. 2.取值范围：____________________ (2)当r>0时，称成对样本数据__________；当r<0时，称成对样本数据_______________ (3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越_______________；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越_______________ 知识3 一元线性回归模型 1.模型 为关于的一元线性回归模型。是因变量（响应变量），是自变量（解释变量）；为截距参数，为斜率参数；代表随机_______________。若，与满足确定_______________关系。 2.最小二乘估计 称作经验回归方程，对应直线为经验回归直线。 通过最小二乘法求解，二者分别是参数的最小二乘估计，配套对应计算公式， 其中 3. 性质：回归直线必过样本中心点。 4. 残差与残差分析 （1）残差概念 ①响应变量实际测量得到的数值为观测值，代入回归方程算出的数值为预测值；_________减去____________的结果叫做残差。 ②残差公式： （2）残差分析 残差可以估算随机误差，借助残差能够判断回归模型贴合数据的效果，同时排查原始数据里的异常可疑值，整套分析流程为残差分析。 残差点均匀落在水平带状区域内，则模型拟合效果良好；决定系数，数值越靠近 1，模型拟合效果越好。 知识4 非线性回归换元转化 1.：两边取自然对数，令，化为； 2.：令，化为； 3.：令，化为。 知识5 列联表与独立性检验 1.关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b _______________ X＝1 c d _______________ 合计 ____________ _____________ n＝_______________ 2.独立性检验 （1）定义：借助卡方统计量判断两个分类变量是否相互_______________，该方法叫独立性检验； （2）卡方公式：，总样本量； 3.独立性检验步骤 （1）提出零假设：变量相互_______________，结合题意说明含义； （2）根据统计数据搭建2×2列联表，计算数值，和给定临界值对比； （3）对照检验标准，给出独立性相关推断结论； （4）若判定变量不独立，可对比各组频率，分析变量间的影响规律。 重难・核心突破 考点01 相关关系与相关系数 典例1．（25-26高二下·广东肇庆·期末）以下散点图中，两个变量具有正相关关系的是（    ） A．    B．  C．    D．   典例2．（25-26高二下·天津西青·期末）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（新考法）（25-26高二下·广东深圳·期末）有两组数据，，…与，，…，满足，其中，．记与另一组样本数据，，…的样本相关系数为，与同一组数据的样本相关系数为（样本相关系数的公式为：），则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（新考法）（2026·天津河西·二模）某研究小组为了探究变量x与y之间的线性相关关系，收集了5组数据，（），并绘制成如图所示的散点图（点A，B，C，D，E）.经计算，这5组数据的样本相关系数为r.若去掉点后，剩余4组数据的样本相关系数为，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 考点02 一元线性回归方程 典例1．（25-26高二下·重庆北碚·期末）新能源汽车的定价是影响其销量的关键因素之一.某公司统计了其一款车型在五个不同定价下的日均销量，数据如下表： 销售单价（万元/辆） 14 16 18 20 22 日均销量（辆） 110 95 80 65 55 (1)根据上表数据，求日均销量关于销售单价的经验回归方程，并据此预测当销售单价为24万元/辆时，该车型的日均销量； (2)计算表中5个样本点对应的残差（，2，3，4，5），用销售单价作为横坐标，残差作为纵坐标，作出残差图，并根据残差图分析该线性回归模型的拟合效果. 附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 典例2．（25-26高二下·广东深圳·期末）随着时代和科技的进步，人工智能在生产领域中越来越重要，某研究团队在商业运营数据分析中，收集了某商家一段时间内投入人工智能的费用与对应产品销量数据如下表，将投入经费(单位:万元)作为解释变量，销售量(单位:万件)作为响应变量，已知与之间呈现出线性相关关系，，. (投入经费) 1 2 3 4 5 (销售量) 3 11 15 (1)求的值以及关于的经验回归方程； (2)从上述5组数据中任意挑选2组，记为其中残差值为正数的组数，求的分布列和数学期望. 参考公式:. 【考法预测1】（新考法）（多选）（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）根据一组样本数据，，…，，求得回归方程为，且．这组样本数据中有两个样本点和误差较大，移除后重新求得的回归直线的斜率为，则（    ） A．变量与具有正相关关系 B．移除两个误差较大的样本点后重新求得的方程为 C．移除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快 D．移除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变慢 【考法预测2】（25-26高二下·河南信阳·期末）甲、乙、丙、丁四位同学各自对，两变量的线性相关关系做实验，并用回归分析方法求得相关系数与残差平方和如下表： 甲 乙 丙 丁 0.83 0.79 0.91 0.88 193 201 132 167 则哪位同学的实验结果体现，两变量有更强的线性相关性（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 考点03 非线性回归换元 典例1．（25-26高三·全国·三轮复习）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中；；； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)根据（1）中所选择的模型，求出关于的回归方程． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 典例2．（25-26高二下·河南·阶段检测）为研究城市文旅新媒体推广对旅游消费的带动效应，某文旅部门统计了2025年7-12月某城市文旅短视频累计播放量（单位：亿次）与当月旅游总收入（单位：亿元）的统计数据，如下表：（   ） 月份 7 8 9 10 11 12 /亿次 2 3 4 5 6 7 /亿元 8 15 28 50 90 160 通过散点图分析发现，与的关系可用指数型回归模型拟合，回归方程为（，），令 ，得到 关于的回归方程为，相关系数为 ．则下列说法正确的是 附： ， ， ， ， ， ， ． A．关于的回归方程为，当每增加1亿次时，平均增加亿元 B． 与的相关系数 ，若用一元线性回归模型直接拟合与，得到的相关系数为，则 C．若2026年1月该城市文旅短视频累计播放量为8亿次，用该回归模型预测的当月旅游总收入约为299亿元 D．当旅游总收入为123亿元时，用该回归模型反推的播放量约为5.8亿次 【考法预测1】（2026·山西临汾·一模）水体富营养化导致藻类大量繁殖，以2017年中国太湖蓝藻爆发为例：5月初监测发现湖体中蓝藻细胞密度为每升50万个，随着气温升高至25-30℃且氮磷营养盐浓度超标（总磷浓度达），蓝藻进入增长期.5月10日细胞密度增至每升200万个，5月15日突破每升800万个，5月20日达到每升3200万个，形成面积超150平方公里的绿色水华带.此次爆发导致湖区溶解氧骤降至以下，大量鱼类死亡，自来水厂被迫停产、所以对水资源的保护刻不容缓，现对某区域的藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系，进行监测，得到如下数据： x/年 1 2 3 4 5 6 7 y/平方公里 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制成如图所示的散点图： 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合. (1)根据散点图判断与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程； (3)若不及时保护水质，当第八年检测时，请估计藻类面积为多少平方公里. 参考数据： 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 其中， 参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【考法预测2】（新考法）（25-26高二下·河南郑州·期末）牛顿创立了传热学的第一个定律，即牛顿冷却定律．该定律表明，物体的冷却速度（在一定范围内）与它和周围环境的温差成正比，温差越小，它的冷却速度就越慢．某物理兴趣小组研究一杯热水的冷却过程：初始水温为，环境温度恒定为．每隔2分钟记录一次水温，统计了时间（分钟）与水温及温差的数据如下： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 100 86.5 75.3 66 58.2 51.6 46 41.3 37.3 33.9 31 28.5 26.4 24.7 23.3 80 66.5 55.3 46 38.2 31.6 26 21.3 17.3 13.9 11 8.5 6.4 4.7 3.3 根据牛顿冷却定律，温差与时间满足关系式，． (1)根据给出的数据，求温差与时间的回归方程（系数精确到0.01）； (2)根据模型，预测水温降至所需的时间（精确到0.01分钟）． 参考数据：，，，，；设，，，，，，，，，； 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，．    考点04 残差与拟合效果 典例1．（25-26高二下·山东东营·期末）若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的回归直线方程为，则样本点的残差为（    ） A． B．1.8 C． D．2.5 典例2．（25-26高二下·河南信阳·期末）甲、乙、丙、丁四位同学各自对，两变量的线性相关关系做实验，并用回归分析方法求得相关系数与残差平方和如下表： 甲 乙 丙 丁 0.83 0.79 0.91 0.88 193 201 132 167 则哪位同学的实验结果体现，两变量有更强的线性相关性（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考法预测1】（新考法）（多选）（2026·湖北武汉·三模）成对数据和的一元线性回归模型为，依据模型可建立经验回归方程，用回归方程可得到响应变量的预测值及残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果．对下列四幅残差图的描述正确的是（    ） A．图甲显示残差的方差随观测时间变大而变小 B．图乙满足一元线性回归模型对随机误差的假设 C．图丙说明残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分 D．图丁说明残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型 【考法预测2】（多选）（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）下列描述中说法正确的是（    ） A．已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强则相关系数越接近于 B．正态曲线当一定时，越小，正态曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖” C．决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D．在经验回归方程中，相对于样本点的残差为 考点05 卡方独立性检验 典例1．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 220 合计 250 400 (1)求； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效? 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 典例2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）随着科技的发展，数学在各个领域的应用越来越深入广泛，某中学为了增强在校学生学习数学的兴趣，提高本校的数学水平，学校准备开设数学兴趣培辅班，开班之前，学校用简单随机抽样的办法抽取了本校男生和女生各100人作为样本，调查学生的性别与喜欢数学是否有关，经统计后得到了如图所示的等高堆积条形图． (1)根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并根据的独立性检验，推断该校学生的性别是否与喜欢数学有关联； 性别 是否喜欢数学 合计 是 否 男生 女生 合计 (2)已知该校男生和女生的人数之比为，将样本的频率当作概率，现从全校中随机抽取1名学生，求抽取学生喜欢数学的概率． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 【考法预测1】（25-26高二下·陕西榆林·期末）某商场为了解顾客对某款坚果礼盒的满意程度，随机调研了200名购买过该款坚果礼盒的顾客，得到如下列联表. 性别 调查 不满意 合计 男性 40 80 女性 80 合计 200 (1)补全列联表； (2)根据小概率值的独立性检验，分析顾客对该款坚果礼盒的满意度是否与性别有关联. 附：，. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【考法预测2】（新考法）（25-26高二下·安徽·期末）2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼.某中学为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有是男生. (1)根据已知条件补充完整下表，并判断是否有99%的把握认为该校学生喜欢军事与性别有关； 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 女生 15 合计 (2)采用样本比例分配的分层随机抽样的方法从喜欢军事的学生中随机抽取15人进行一次军事知识竞赛，其中有3人可以获得“军事百科达人”的称号，记这3人中男生的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，当时，没有充分的证据判断变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的；当时，有90%的把握判断变量，有关联；当时，有95%的把握判断变量，有关联；当时，有99%的把握判断变量，有关联. 拔高・分层集训 基础演练 一、选择题 1.（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（     ） A．   B．   C．   D．   2.（25-26高二下·湖北·阶段检测）对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（    ） A．   B．   C．   D．   3.（25-26高二下·河南南阳·期中）已知，，，四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为-0.95，-0.82，0.86，0.93，则线性相关程度最弱的是（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 4.（25-26高二下·广东清远·期末）甲、乙、丙、丁各自研究两个变量的样本数据，得到样本相关系数分别为，，，，则成对样本数据的线性相关程度最强的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5.（2026高二·全国·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．任意两个变量都具有相关关系 B．圆的周长与该圆的直径具有相关关系 C．某商品的需求量与该商品的价格是一种确定性关系 D．当两个变量相关且样本相关系数时，表明两个变量正相关 6.（25-26高二下·河南·阶段检测）若变量关于变量的线性回归方程为，则相关系数的值不可能是（    ） A． B． C． D． 7.（25-26高二下·河北张家口·期末）样本数据，，…，（，，，…，不全相等）的散点图中，所有样本点都落在直线上，则这组样本数据的相关系数为（     ） A．1 B． C． D．-1 8.（25-26高二下·贵州安顺·期末）对某两组数据进行统计，获得以下散点图，且图1､图2对应的相关系数分别为，则关于其相关系数的说法，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）如下四个散点图中，负相关的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·北京丰台·期末）下列散点图中所对应的成对样本数据呈现正相关关系的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）（24-25高二下·广东深圳·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．若随机变量，则当较大时，对应的正态曲线“矮胖”，随机变量X的分布比较分散 B．在线性回归分析时，可以用相关系数刻画两个随机变量间的线性相关性，若越小，则说明线性相关性越弱 C．若样本数据的方差为，则的方差为 D．一组数据的第百分位数为 12. （多选）（25-26高二下·陕西西安·期中）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，且图1、图2、图3、图4中的样本相关系数分别为，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13.（25-26高二下·黑龙江·期末）分别对三组成对数据做相关性分析，计算出其对应的相关系数分别为，则三组相关性的强弱从弱到强排序依次为_______________． 14.（25-26高二下·河北沧州·期中）下列关系中，属于相关关系的是______（填序号）． ①球的体积与该球的半径之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③一般情况下，一个人的身高和体重之间的关系． 能力进阶 1、 选择题 1.（2026·重庆九龙坡·一模）已知变量和的成对样本数据的经验回归方程为，且，当增加1个样本数据后，重新得到的经验回归方程的斜率为，则在新的经验回归方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 2.（25-26高二下·河南·阶段检测）为研究城市文旅新媒体推广对旅游消费的带动效应，某文旅部门统计了2025年7-12月某城市文旅短视频累计播放量（单位：亿次）与当月旅游总收入（单位：亿元）的统计数据，如下表：（   ） 月份 7 8 9 10 11 12 /亿次 2 3 4 5 6 7 /亿元 8 15 28 50 90 160 通过散点图分析发现，与的关系可用指数型回归模型拟合，回归方程为（，），令 ，得到 关于的回归方程为，相关系数为 ．则下列说法正确的是 附： ， ， ， ， ， ， ． A．关于的回归方程为，当每增加1亿次时，平均增加亿元 B． 与的相关系数 ，若用一元线性回归模型直接拟合与，得到的相关系数为，则 C．若2026年1月该城市文旅短视频累计播放量为8亿次，用该回归模型预测的当月旅游总收入约为299亿元 D．当旅游总收入为123亿元时，用该回归模型反推的播放量约为5.8亿次 3.（25-26高三上·上海·单元测试）下图是某地区2010年至2019年污染天数（单位：天）与年份的折线图．根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4.（25-26高二下·河南洛阳·期末）如图所示，从散点图的5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（    ） A．变小，变大 B．相关系数r变小 C．残差平方和变大 D．解释变量x与响应变量y的线性相关性变强 5.（25-26高二下·内蒙古包头·期末）(多选）一组样本数据，．其中，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，，分布如图所示，且，则（    ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 6.（25-26高二下·山东临沂·期末）(多选）根据儿子的身高与父亲的身高相关关系研究中的一组数据，作出如图所示的散点图，对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加该点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（   ） A．决定系数变小 B．残差平方和变小 C．相关系数变大 D．相关系数变小 二、填空题 7.（2026高二·全国·专题练习）已知一系列样本点满足，，由最小二乘法得到与的回归方程，其中，.现用决定系数来判断拟合效果（越接近1，拟合效果越好），若，则_____． 三、解答题 8.（25-26高二下·重庆·期末）脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换，埃隆马斯克宣布，该试验可以实现意念控制手机和电脑，未来10到20 年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量(单位：亿元)与研发人员增量(单位：人)的10组数据，现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图： 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中 . 7.5 2.25 82.50 4.50 11.55 3.24 (1)根据残差图，判断哪个更适合作为回归模型？(给出判断即可，不必说明理由 (2)根据（1）中所选模型， （i）求出关于的经验回归方程； （ii）预测要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？(结果精确到 1) 附:对于一组具有线性相关关系的数据 ，其经验回归直线 的斜率及截距的最小二乘估计公式分别为: 9.（2026高三·全国·专题练习）水体富营养化导致藻类大量繁殖，以2017年中国太湖蓝藻爆发为例：5月初监测发现湖体中蓝藻细胞密度为每升50万个，随着气温升高至25-30℃且氮磷营养盐浓度超标（总磷浓度达），蓝藻进入增长期.5月10日细胞密度增至每升200万个，5月15日突破每升800万个，5月20日达到每升3200万个，形成面积超150平方公里的绿色水华带.此次爆发导致湖区溶解氧骤降至以下，大量鱼类死亡，自来水厂被迫停产，所以对水资源的保护刻不容缓.现对某区域的藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系，进行监测，得到如下数据： x/年 1 2 3 4 5 6 7 y/平方公里 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制成如图所示的散点图： 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合. (1)根据散点图判断与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程. 参考数据： 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 其中， 参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 真题实战 1．（2026·天津·高考真题）调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（     ） A．与负相关 B．当时，一定为1359 C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系 2．（2024·天津·高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 4．（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 5．（2025·全国一卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 6．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：         时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 7．（2024·全国甲卷·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $