专题04 整式的除法（专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦整式除法9类核心题型，以基础计算为起点，递进至几何应用与新定义问题，构建"概念-运算-应用"三阶训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|9类题型（约45题）|涵盖单项式/多项式除法的计算与应用（含几何、实际问题）、化简求值及综合求值|从单一运算到混合运算，从代数计算到几何应用，体现运算能力与几何直观的结合| |综合攻坚·知能拔高|3类题型（16题）|包含易错辨析、新定义运算及跨知识综合题|通过变式训练深化知识迁移，培养应用意识与创新思维，契合中考命题趋势|

专题04 整式的除法 常考题型·精准突破 题型1 单项式除以单项式的计算 题型2 单项式除以单项式的应用（重） 题型3 多项式除以单项式的计算（高频） 题型4 多项式除以单项式的应用（重） 题型5 整式的混合运算（高频） 题型6 整式的化简求值（重） 题型7 利用整式的除法综合求值 题型8 整式的除法与几何图形的应用（重） 题型9 与整式的除法有关的新定义问题（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1单项式除以单项式的计算 1．计算：_________． 【答案】 【分析】利用单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：． 2．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 3．请写出一个单项式，使其能被整除：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】能被整除的单项式，只需的次数不低于即可，写出任意一个符合要求的单项式即可． 【详解】解：根据整式整除的定义，若一个单项式除以，所得结果为整式，则该单项式满足要求． 取单项式为，计算得： 是整式，因此符合要求． 4．计算：． 【答案】 【详解】解： 5．计算：____________． 【答案】 【详解】解：． ◆题型2 单项式除以单项式的应用 6．如图（1）中的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）中的杯子中． (1)请用整式表示一共需要多少个这样的杯子（结果要化简）； (2)计算出当，时所需杯子的数目． 【答案】(1)杯 (2)90杯 【分析】（1）先分别用代数式表示出瓶子中水的体积和杯子的容积，然后相除即可； （2）将、代入（1）所得的结果求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：图（1）中的瓶子中盛满了水的体积为：； 图（2）中的杯子的容积为：， 共需的杯子数为：杯． （2）解：当，时，杯． 7．海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的多少倍？ 【答案】倍 【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解：， 所以海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的7.5倍． 8．某居民小区为响应党的号召，开展全民健身活动，准备修建一座长方形健身广场，其设计方案及数据如图所示．已知广场内区为长方形的成年人活动场所，区为圆形的儿童活动场所，其余地方为绿化带． (1)求绿化带的面积（结果保留）； (2)求整座健身广场的面积是成年人活动场所面积的多少倍． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用大长方形广场的总面积减去成年人活动区和圆形儿童活动区的面积，即可得到绿化带面积； （2）用整座广场的总面积除以成年人活动场所的面积，即可求出倍数关系． 【详解】（1）解：绿化带的面积： ； （2）解：根据题意得： ． 9．地球表面平均上的空气质量约为，地球的表面积大约是，地球的质量约为． (1)地球表面全部空气的质量约为多少？ (2)地球质量大约是其表面全部空气质量的多少倍？（结果用科学记数法表示） 【答案】(1) (2)倍 【分析】本题考查的是科学记数法的应用，整式的乘法和除法运算： （1）利用科学记数法及整式的乘法计算即可； （2）根据整式除法法法则计算即可． 【详解】（1）解：地球表面全部空气的质量约为：； （2）解：， 答：地球质量大约是其表面全部空气质量的倍． 10．某高分子聚合材料的性能优于铝合金材料，密度为．又知铝合金的密度约为，求铝合金的密度是这种材料密度的多少倍． 【答案】铝合金的密度是这种材料密度的3倍 【分析】本题考查了整式的除法运用，用铝的密度除以这种材料的密度列式计算即可，掌握整式的除法的运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 答：铝合金的密度是这种材料密度的3倍． ◆题型3 多项式除以单项式的计算 11．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂相乘法则以及乘方运算法则计算即可得出结果； （2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．计算： (1)； (2)，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可； （2）先计算括号内的乘法运算，合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再把，代入计算即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 将，代入得：原式. 14．计算的正确结果是______． 【答案】/ 【详解】解：． 15．计算：． 【答案】 【分析】先根据平方差公式以及多项式除以单项式进行计算，最后合并同类项，即可求解． 【详解】解：原式 ． ◆题型4 多项式除以单项式的应用 16．某市有一块形状为三角形的广场，已知这块广场的面积为平方米，底边为米． (1)求这块三角形广场底边上的高； (2)现计划对这块广场进行扩建，扩建后的广场形状仍为三角形，同时保证底边不变，若扩建后的广场的面积为平方米，则扩建后的广场底边上的高为多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）利用三角形面积公式即可解答； （2）利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：因为三角形广场的面积为平方米，底边为米， 所以这块三角形广场底边上的高为米． （2）解：因为扩建后的广场的面积为平方米，底边不变， 所以扩建后的广场底边上的高为：米． 17．一个面积为的长方形木板，若把它锯成个小长方形木板，则每个小长方形木板的面积是多少？ 【答案】每个小长方形木板的面积是 【分析】本题考查的是多项式除以单项式的应用，根据题意列式，再计算即可. 【详解】解：由题意可得：每个小长方形木板的面积是： . 18．解决问题 (1)已知A、均为单项式，多项式与单项式的商为，请分别求出单项式； (2)某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为，长为，求这块长方形空地的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算的应用，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据题意得，则由，求解即可． （2）根据块长方形空地的宽为，然后根据长方形周长公式，列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ∴ ∵， ∴，； （2）解：长方形空地的宽为 ， ∴这块长方形空地的周长 ． 19．如图，一个柱体工件的体积为．其形状和部分尺寸如图所示，求工件的长．（用含的式子表示） 【答案】工件的长 【分析】本题考查了整式除法运算的应用．用柱体工件的体积除以底面积，即可求得工件的长． 【详解】解：根据题意得，工件的长 ． 20．某超市第二季度的利润比第一季度下降了，第三季度的利润比第二季度增长了，第四季度的利润是第一季度的倍，求第四季度的利润相比第三季度增长的百分数． 【答案】第四季度的利润相比第三季度增长的百分数为 【分析】本题考查列代数式及整式的运算，设第一季度的利润为，表示出其他三个季度的利润是解决问题的关键． 【详解】设第一季度的利润为，则第二季度的利润为， 第三季度的利润为， 第四季度的利润为， 则第四季度的利润相比第三季度增长的百分数为：， 即：第四季度的利润相比第三季度增长的百分数为． ◆题型5 整式的混合运算 21． 一块长方形铁皮的长为米，宽为米，在它的四个角各剪去一个边长为米的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，问这个盒子的表面积是多少？ 【答案】平方米 【分析】本题考查了整式的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；根据题意列出代数式后化简即可． 【详解】解：由题意得： （平方米）． 答：这个盒子的表面积为平方米． 22．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 23．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按单项式乘除混合运算的法则进行计算． （2）结合平方差，完全平方公式以及多项式除以单项式进行计算； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 24．计算：． 【答案】 【分析】先分别计算单项式乘单项式、多项式除以单项式，再合并同类项． 【详解】解：原式 ． 25．计算：． 【答案】 【详解】解： ． ◆题型6 整式的化简求值 26．化简求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ； 当，时 原式． 27．先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【详解】解：原式， ， ． 将代入上式，得原式． 28．先化简，再求值：，其中，满足：． 【答案】 【详解】解： ； ， ， ， 把代入，原式． 29．先化简，再求值： ，其中． 【答案】 【详解】解： ； 当时，原式 ． 30．先化简再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． ◆题型7 利用整式的除法综合求值 31．若，则的值为（     ）． A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ，， ，， ． 32．已知：． (1)求所表示的代数式； (2)求当，时，所表示的代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：当，时，． 33．在等式中，括号内表示的整式是_________． 【答案】 【分析】利用多项式除以单项式即可得到结果． 【详解】设括号内的整式为， 由题意得， ． 34．长方形的面积是，宽是，那么它的周长是_________． 【答案】 【分析】根据长方形面积公式求出长方形的长，再代入长方形周长公式计算即可． 【详解】解：长方形的长为：， 长方形周长为． 35．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式性质，将m变形为多项式除以单项式，按照对应运算法则计算即可得到结果． 【详解】由已知等式可得： ， 多项式除以单项式，需将多项式每一项分别除以单项式，再将所得结果相加， 计算第一项：， 计算第二项：， ． ◆题型8 整式的除法与几何图形的应用 36．如图，将张完全相同的小长方形纸片不重叠地放在正方形内，未被覆盖的部分恰好分割为长方形和长方形，记长方形周长为，长方形周长为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设小长方形纸片的长为，宽为，由长方形可得，，即，再利用长方形的周长公式分别表示出和，即可求解． 【详解】解：设小长方形纸片的长为，宽为， 则，，， 由长方形可得，， ∴， 长方形周长为 ， 长方形周长为， ∴． 37．如图（单位：），图（1）的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）这样的杯子中，那么一共需要多少个这样的杯子？ 【答案】 【分析】要计算瓶子中的水可倒满几个杯子，实际上是计算瓶子中水的体积是杯子中水的体积的几倍，列算式计算即可． 【详解】解：由题意可知： 图1几何体的容积为：， 图2几何体的容积为：， 则需要杯子的个数：（个）． 38．一家住房结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分铺上地砖． (1)至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是m元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ (2)已知房屋的高度为h米，只需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？（计算时不算门、窗所占的面积）． 【答案】(1)平方米，元 (2)平方米 【分析】此题考查了整式运算的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据某种地砖的价格是m元/平方米，求出需要的钱数即可； （2）求出侧面积即可得到需要的壁纸数即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （平方米）； 需要的钱为：（元）, 则把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要平方米的地砖；购买所需地砖至少需要元． （2）根据题意得： 面积：平方米， 需要平方米的壁纸． 39．某同学绘制了如右图所示的火箭模型截面图，图下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)用含有a、b的代数式表示该截面的面积S； (2)当时，求这个截面的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代数式求值、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，求出代数式的值，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和图形中的数据可以用代数式表示出截面的面积S； （2）将a、b的值代入（1）中的代数式即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得，该截面的面积，， 即该截面的面积S是． （2）当时，． 答：这个截面的面积是． 40．小颖家住房的结构如图所示（单位：米）， (1)由图可知卧室的面积为 平方米． (2)小颖打算把卧室以外的部分铺上地砖，请你帮她算一算至少需要多少平方米的地砖？若某种地砖价格为元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ 【答案】(1) (2)平方米，元 【分析】本题主要考查了代数式表示数量关系，理解图示中的数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的书写整式的计算方法是关键． （1）根据图示的数量关系，用字母表示数量关系即可； （2）根据整式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：根据图示，卧室的长为米，宽为（米）， ∴卧室的面积为：（平方米）， 故答案为：； （2）解：客厅的面积为：（平方米）， 厨房的长为（米），宽为米，则面积为（平方米）， 卫生间的长为米，宽为（米），则面积为（平方米）， ∴（平方米）， ∴卧室以外的部分的面积为平方米， ∵某种地砖价格为元/平方米， ∴（元）， ∴购买所需地砖至少需要元． ◆题型9 与整式的除法有关的新定义问题 41．将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，求的值． 【答案】， 【分析】根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 42．数学社团的同学在探究一个有趣的问题：对于一个三位数，用这个数除以它各位数字的和，把得到的结果称为这个数的“特征值”，如，则这个三位数的特征值为40．那么，所有三位数中，特征值的最大值是________． 【答案】100 【分析】先设三位数各数位字母并写出代数式，通过整式作差比较三位数和其数字和100倍的大小，分十位个位全为0、不全为0两种情况分析，结合除法规律判断特征值与100的大小，最终得到特征值最大值． 【详解】设三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，其中，，，且a、b、c均为整数， ∴该三位数写作，各位数字相加的和是． 根据题意，特征值为这个三位数除以各位数字之和， 将100倍的数字和展开，得， 最小取1，因此是不为0的正整数，依据除法的数量规律：若被除数恰好等于除数的100倍，商为100；若被除数小于除数的100倍，商就小于100． 情况1，当、时，差值，说明与数值相等，也就是这个三位数正好是数字和的100倍，此时特征值等于100，100、200……900这类整百三位数均符合该条件． 情况2，当b、c不全为0时，是正数，说明的数值小于，也就是这个三位数不足数字和的100倍，此时特征值一定小于100． 综上所述，所有三位数中，特征值的最大值是100． 43．对于任意有理数，，，，定义一种新运算：， (1)____________； (2)对于有理数，，若是一个完全平方式，则___________； (3)对于有理数，，若，，求的值． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）根据新运算的定义求解即可； （2）根据新运算的定义列出代数式，然后根据完全平方式的定义确定值； （3）根据新运算的定义列出代数式并变形，代入已知式子的值计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得,； （2）解：由题意可得, , ∵是一个完全平方式， ∴； （3）解：原式               ，， ． 44．对于任何数，我们规定：． 例如：． (1)按照这个规定，请你化简； (2)按照这个规定，请你计算，当 时，的值 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干所给的运算法则进行计算即可； （2）先按照题意化简，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， 当时，原式． 45．已知实数，，，，设，．定义如下运算： ①② ③④ 请尝试解决如下问题： (1)如果，，那么________，________； (2)求证： (3)已知，，，则的值为________． 【答案】(1)， (2) 证明： ，， ， 又 ， ， ； (3) 【分析】本题考查了新定义的运算，整式的混合运算，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据新定义的运算法则求解即可； （2）由，，可得，根据得到，将该式子整理化简即可判定； （3）由，，，可得，，，推出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ， 故答案为：，； （2）略 （3） ，， ，， ， ， ， ， ， 的值为， 故答案为：． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26七年级下·山西运城·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A，，错误； 对选项B，，错误； 对选项C，，错误； 对选项D，，正确． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）墨迹覆盖了整式计算“”的一部分，则被覆盖的部分不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项、单项式的乘除法则判断即可． 【详解】解∶ A．，故A不符合题意， B．与不能合并同类项，故B符合题意， C．， 故C不符合题意， D．， 故D不符合题意． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）计算：的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用积的乘方、幂的乘方和同底数幂除法法则，先算乘方再算除法即可得到结果． 【详解】解： ． 4．（25-26七年级下·广东河源·期中）小明的作业本上不小心洒上了墨水：□，则被墨水遮盖的部分应是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据除法各部分的关系，被除数等于商乘除数，利用单项式乘多项式的运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：设被墨水遮盖的多项式为， ∵， ∴ ． 5．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）一个长方形机箱面板的面积为，长为，则这个长方形机箱面板的宽为（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长方形的宽=面积长，利用多项式除以单项式的运算法则进行计算，即可求出宽． 【详解】解：由长方形面积公式可知，宽=面积长，即： ． 6．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图，点在线段上，，点与点向上平移距离得到点与点，点到直线的距离为，和相交于点，连结和．则和面积的差可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作于H，由题意得，，，，计算出的面积为，的面积为，再列式计算即可得到答案． 【详解】解：连接，作于H， 由题意得，，，， 的面积为， 的面积为， 和面积的差为． 二、填空题 7．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）多项式除以多项式，则所得的商式是______． 【答案】 【分析】将被除式变形整理为与商式乘积的形式，即可求解． 【详解】解： ． 8．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）化简：______． 【答案】 【详解】解： ． 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图是一个运算程序，若输入的m为，代数式p为，则输出的x为________． 【答案】 【分析】根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：根据运算程序得， ∵， ∴， ∴输出的x为． 10．（25-26七年级下·山西运城·期末）为举办山西文旅演艺晚会，工作人员在剧场设计一块长方形主舞台，已知舞台面积为，其中一条边长为，则这块长方形舞台的另一条边长为__________． 【答案】 【分析】根据长方形面积公式，可得另一条边长为，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：由题意可得，另一条边长为， ， ． 11．（25-26七年级下·四川成都·期末）如果一个长方形的面积是，宽是，则这个长方形的长为___________． 【答案】 【详解】解：∵长方形的面积为，宽为， ∴长方形的长为． 三、解答题 12．（25-26七年级下·北京顺义·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据幂的乘方运算法则，同时注意负号的处理． 【详解】解： ． 13．（21-22七年级下·安徽亳州·期中）化简求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式． 14．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）定义新运算：． (1)试说明． (2)设整式C满足，求整式C． 【答案】(1)证明：根据定义， 得， 即． (2) 【分析】(1)根据定义新运算，将等式左边进行代入转化，并化简合并即可； (2)根据定义新运算，将等式左边进行代入，然后，再根据等式的性质，去括号、移项、合并同类项，转化为用含有x的代数式表示C的形式即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ， ． 15．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就．南宋数学家杨辉借助三角数表，阐释了二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，这一数表也因此得名．如下图，该三角形图表两条斜边上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和． 例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．利用上面的规律，完成以下问题： (1)请写出的展开式为 ； (2)的展开式中共有 项，从左往右第三项的系数是 ； (3)代数推理：已知x为整数，求证：能被24整除． 【答案】(1) (2)8，21 (3)证明：根据二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，可得 ， ∵x为整数， ∴是整数， ∴是24的倍数，即能被24整除． 【分析】(1)根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律先确定展开式中各项的系数，再确定每一项中对应的次数即可得到展开式； (2)根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数规律得到展开式的项数比n大1，即项数为，可得的展开式中的项数，再根据展开式中的系数规律得到从左到右各项的系数即可得出答案； (3)根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数及系数的规律将代数式展开并化简，再提取公因数即可证得结论． 【详解】（1）解：根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律可知，的展开式中从左到右各项的系数为1，5，10，10，5，1，每一项中a的次数按降幂排列从5降到0，b的次数按升幂排列从0升到5， ∴； （2）解：根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数规律可知，展开式的项数比n大1，即项数为， ∴的展开式中共有(项)； 根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律可知，的展开式中从左到右各项的系数为1，7，21，35，35，21，7，1， ∴的展开式中从左到右第三项的系数是21； （3）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04整式的除法 内容概览 目常考题型精准突破 题型1单项式除以单项式的计算 题型2单项式除以单项式的应用（重） 题型3多项式除以单项式的计算（高频） 题型4多项式除以单项式的应用（重） 题型5整式的混合运算（高频） 题型6整式的化简求值（重） 题型7利用整式的除法综合求值 题型8整式的除法与几何图形的应用（重） 题型9与整式的除法有关的新定义问题（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1单项式除以单项式的计算 1.计算：-16a4b2c÷4a2b2= 2.计算：4x5÷2x2= 3.请写出一个单项式，使其能被x整除： 4.计算：5xyx2y2=x3y. 5.计算：-2x2yP=4x2y=」 ◆题型2单项式除以单项式的应用 6.如图(1)中的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图(2)中的杯子中. 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2a (1)瓶子 (2)杯子 (1)请用整式表示一共需要多少个这样的杯子（结果要化简）； (2)计算出当h=20cm,H=40cm时所需杯子的数目. 7.海豚能听到声音的最高频率是1.5×105Hz,人类能听到声音的最高频率是2×104Hz,海豚能听到声音 的最高频率是人类能听到的多少倍？ 8.某居民小区为响应党的号召，开展全民健身活动，准备修建一座长方形健身广场，其设计方案及数据 如图所示.已知广场内A区为长方形的成年人活动场所，B区为圆形的儿童活动场所，其余地方为绿化带 4a 5a 1.5a Ba 3a A B .5a (1)求绿化带的面积（结果保留π）： (2)求整座健身广场的面积是成年人活动场所面积的多少倍 9.地球表面平均1cm2上的空气质量约为1kg,地球的表面积大约是5×103km2,地球的质量约为 6×1024kg. ()地球表面全部空气的质量约为多少kg？ (2)地球质量大约是其表面全部空气质量的多少倍？（结果用科学记数法表示） 10.某高分子聚合材料的性能优于铝合金材料，密度为9×10kg/m3.又知铝合金的密度约为 2.7×103kg/m3,求铝合金的密度是这种材料密度的多少倍. ◆题型3多项式除以单项式的计算 11.计算：-2x2y-xy2+x2y-6xy2-2x4y=-2xyl. 12.计算： (1)a3a2a4+-a: (2x2-2xy+x÷x. 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.计算： (1l2x2y月-7xy2: (2)x+2y川x-2y+4x-y-6x,其中x=2,y=3. 14.计算8a2b-4ab÷4ab的正确结果是 15.计算：x+2y川x-2y-3x3-6x2y=3x. ◆题型4多项式除以单项式的应用 16.某市有一块形状为三角形的广场ABC,已知这块广场的面积为 xy-2xy 平方米，底边为4y米. (①)求这块三角形广场底边上的高； (2)现计划对这块广场进行扩建，扩建后的广场形状仍为三角形，同时保证底边不变，若扩建后的广场的面 积为6x3y+12xy-24xy平方米，则扩建后的广场底边上的高为多少米？ 17.一个面积为b-4a4b的长方形木板，若把它锯成b个小长方形木板，则每个小长方形木板的面积是 多少？ 18.解决问题 (1)已知A、B均为单项式，多项式21x4y-A与单项式-7x2y的商为B+5y,请分别求出单项式A、B: (2)某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为 9x2y3-2xy+6x2,长为3x,求这块长方形空地的周长. 19.如图，一个柱体工件的体积为8a3+12a2.其形状和部分尺寸如图所示，求工件的长x.(用含a的式 子表示) 2a 20.某超市第二季度的利润比第一季度下降了20%，第三季度的利润比第二季度增长了10%，第四季度 的利润是第一季度的22倍，求第四季度的利润相比第三季度增长的百分数. ◆题型5整式的混合运算 21.一块长方形铁皮的长为6a2+4b2米，宽为5a4米，在它的四个角各剪去一个边长为2a米的小正方 形，然后折成一个无盖的长方体盒子，问这个盒子的表面积是多少？>1 319 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.计算：4b2-ab2ab-12a3b4+3a4b3÷-3a2b. 23.计算： (-3x3.x4÷-x5 (2)2x+y2x-y-x-2y2+6x4-10x2y21÷-2x2 24.计算：2a2·a+3a3+4a4÷a. 25.计算：-x3y4+2xy=-xy--6xy+x2y2xy2. ◆题型6整式的化简求值 26.化简求值：3a-bb+3a-a2b-a+b2-2a,其中a=1,b=-2. 27.先化简，再求值：x+2y+x+2yx-2y列=2x,其中x=3,y=-2. 28.先化简，再求值：x-2yP-x3x-4y+2y+xx-2y+2x2yP=2xy,其中x,y满足： x-2+y+62=0. 29.先化简，再求值：3xx2-x-1-x+13x2-x÷x,其中x=2. 30.先化简再求值：abab-2a+2-2ba2b-2ab+2a,其中a=-1,b=-2. ◆题型7利用整式的除法综合求值 31.若2a2”÷4a=2a”,则m-n的值为(). A.2 B.4 C.-4 D.-2 32.已知：【xy+2lxy-2-2x2y2+4■=xy. (1)求■所表示的代数式： ②求当x0,y=云时，■所表示的代数式的值 33.在等式-3x·(U=-3x+6x中，括号内表示的整式是 34.长方形的面积是ab2-2a2,宽是a,那么它的周长是 35.若m2x2y3=18x3y4-24x4y3,则m的值为() A.12Xy-8x2B.9xy-12x2 C.12xy2-9x D.9x'y-12xy ◆题型8整式的除法与几何图形的应用 36.如图，将6张完全相同的小长方形纸片不重叠地放在正方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好分割为长 方形AEFG和长方形FHCK,记长方形AEFG周长为C1,长方形FHCK周长为C,则元的值为() 419 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D 个 H 6 A.2 B.3 c. D. 37.如图（单位：cm),图(1）的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图(2)这样的杯 子中，那么一共需要多少个这样的杯子？ a 8 2a (1)瓶子(2)杯子 38.一家住房结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分铺上地砖， 2 卫生 间 卧室 厨房 4x 2 客厅 4 (1)至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ (②)己知房屋的高度为米，只需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？（计 算时不算门、窗所占的面积)· 39.某同学绘制了如右图所示的火箭模型截面图，图下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形 519 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ←a 2a (1)用含有b的代数式表示该截面的面积S: (2)当a=3cm,b=2cm时，求这个截面的面积. 40.小颖家住房的结构如图所示（单位：米）， y 2y 卫生间 卧室 厨房 4x 21 客厅 4y (1)由图可知卧室的面积为平方米. (2)小颖打算把卧室以外的部分铺上地砖，请你帮她算一算至少需要多少平方米的地砖？若某种地砖价格为 元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ ◆题型9与整式的除法有关的新定义问题 41.将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 6定日=ad-bc,上 述记号就叫做2阶行列式.若 x+1x-1 1-xx+1 =6,求x的值， 42.数学社团的同学在探究一个有趣的问题：对于一个三位数，用这个数除以它各位数字的和，把得到的 结果称为这个数的“特征值”，如120：1+2+0=40，则这个三位数的特征值为40.那么，所有三位数中， 特征值的最大值是 43.对于任意有理数a,b,c,d,定义一种新运算： (a b=a2+d2+bc, c d ②对于有理数x,y,若ky x xy 是一个完全平方式，则k= 619 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)对于有理数x,y,若x+y=5,Xy=1,求 -xx 2x+3xy+3y 的值 a b 44.对于任何数，我们规定： c d =ad-bc.例如： 1 2=1×4-2×3=-2 34 2y (1)按照这个规定，请你化简 2x-5y (2)按照这个规定，请你计算，当a=-l时， a+13a a-2a-1的值. 45.已知实数a,b,c,d,设M=a,b,N=c,d.定义如下运算： ①M+N=a+c,b+d②M-N=a-c,b-d ③M*N=ac-bd,ad+bc④MP=a+b2 请尝试解决如下问题： (1)如果A=1,2,B=3,4,那么A+B=,A*B= (②)求证：|M·NP=M*N2 (3)已知M2=4,IN2=9,IM+N2=16,则M-N2的值为 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(25-26七年级下山西运城期末)下列计算正确的是() A.2a2-a÷a=2a B.x+3-x-3=-x2-9 c.-2a2b}=-4a4b2 D.aa2-5=a3-5a 2.(2026河北沧州·模拟预测)墨迹覆盖了整式计算“3x2☐=x2”的一部分，则被覆盖的部分不可能是 () A.-2x2 B.-3 C.÷3 D.+ 3 /3 3.(2026陕西榆林·模拟预测)计算： xyxy的维果是() 1 1 A.-2xy B.- xy 8 C. 8 4.(25-26七年级下广东河源期中)小明的作业本上不小心洒上了墨水：口÷-2xy2=2x-y,则被 墨水遮盖的部分应是() A.4x2y2-2x2y B.y'-xy C.xy-2x2y3 D.-4x2y2+2x2y3 5.(25-26七年级下·甘肃兰州期中)一个长方形机箱面板的面积为2x2y-4xy+xy,长为y,则这个 7/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 长方形机箱面板的宽为(）· A.2x-4y2-1B.2x-y3+1 C.2xy-4y2+1 D.2X-4y+1 6.(25-26七年级下·浙江杭州期末)如图，点C在线段AB上，AB=a,点A与点B向上平移距离b得到 点E与点F,点D到直线AB的距离为c,CF和ED相交于点G,连结EC和DF.则△ECG和△FDG面积的 差可以表示为() G B C 1 A.ac B. ac C.ab-ac D 1 ab-ac) 二、填空题 7.(25-26七年级下浙江嘉兴期末)多项式2x3-X-1除以多项式x-1,则所得的商式是 8.(24-25七年级下安徽马鞍山期末)化简：a2-b2-a+ba-2b= 9.(25-26七年级下陕西咸阳阶段检测)如图是一个运算程序，若输入的m为9a2-3b,代数式p为 -3a,则输出的x为 输入m+6a 得到n 计算n÷p 输出x 10. (25-26七年级下·山西运城期末)为举办山西文旅演艺晚会，工作人员在剧场设计一块长方形主舞台， 已知舞台面积为6y4-3xy+2xy2,其中一条边长为3y,则这块长方形舞台的另一条边长为 11. (25-26七年级下四川成都期末)如果一个长方形的面积是6x3y2-3xy,宽是3xy,则这个长方形 的长为 三、解答题 12.(25-26七年级下北京顺义期末)计算：-x2+xy6÷y2. 13.(21-22七年级下·安徽毫州期中)化简求值：x2+y2-x-2y川x-y+2yx-y÷4y,其中x=4, y=-4. 14.(25-26七年级下·浙江杭州·期末)定义新运算：a®b=3a-b. (1)试说明a®b+b®a=0」 (2)设整式C满足C®2x=3x-6,求整式C. 15.（25-26七年级下·江苏无锡·期末)“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就.南宋数学家杨辉借助三 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角数表，阐释了二项和a+b”(n=1,2,3,4,…)展开式的系数规律，这一数表也因此得名.如下图， 该三角形图表两条斜边上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右)两数之和. n= (a+b)'=a+b n=2 (a+b)2=a2+2ab+b2 n=3 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b n=4 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 例如，此三角形中第3行的3个数1,2,1，恰好对应着a+b展开式中的各项的系数：第4行的4个数 1,3,3,1,恰好对应着a+b3展开式中各项的系数.利用上面的规律，完成以下问题： (1)请写出a+b的展开式为_： (2)a+b的展开式中共有_项，从左往右第三项的系数是_： (3)代数推理：已知x为整数，求证：x+34-x-3能被24整除. 919 专题04 整式的除法 常考题型·精准突破 题型1 单项式除以单项式的计算 题型2 单项式除以单项式的应用（重） 题型3 多项式除以单项式的计算（高频） 题型4 多项式除以单项式的应用（重） 题型5 整式的混合运算（高频） 题型6 整式的化简求值（重） 题型7 利用整式的除法综合求值 题型8 整式的除法与几何图形的应用（重） 题型9 与整式的除法有关的新定义问题（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1单项式除以单项式的计算 1． 2． 3．（答案不唯一） 4． 5． ◆题型2 单项式除以单项式的应用 6．(1)杯 (2)90杯 7．倍 8．(1) (2) 9．(1) (2)倍 10．铝合金的密度是这种材料密度的3倍 ◆题型3 多项式除以单项式的计算 11． 12．(1) (2) 13．(1) (2)， 14．/ 15． ◆题型4 多项式除以单项式的应用 16．(1)米 (2)米 17．每个小长方形木板的面积是 18．(1) (2) 19．工件的长 20．第四季度的利润相比第三季度增长的百分数为 ◆题型5 整式的混合运算 21．平方米 22． 23．(1) (2) 24． 25． ◆题型6 整式的化简求值 26．， 27．， 28． 29． 30．， ◆题型7 利用整式的除法综合求值 31．D 32．(1) (2) 33． 34． 35．B ◆题型8 整式的除法与几何图形的应用 36．D 37． 38．(1)平方米，元 (2)平方米 39．(1) (2) 40．(1) (2)平方米，元 ◆题型9 与整式的除法有关的新定义问题 41．， 42．100 43．(1)8 (2) (3) 44．(1) (2) 45．(1)， (2) 证明： ，， ， 又 ， ， ； (3) 综合攻坚·知能拔高 1．D 2．B 3．D 4．D 5．D 6．B 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13．， 14．(1)证明：根据定义， 得， 即． (2) 15．(1) (2)8，21 (3)证明：根据二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，可得 ， ∵x为整数， ∴是整数， ∴是24的倍数，即能被24整除． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $